rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán hình học không gian

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Giáo viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Văn Sáng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Phú Hào MSSV: 1100096 Lớp:SP Toán – Tin K36 Cần Thơ, 04/2014 Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG MỤC LỤC  NỘI DUNG Trang PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………….……... 1 Chƣơng 1: TƢ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC.............................................3 1.1 Khái niệm về tƣ duy……….………………………………………............3 1.2 Đặc điểm của tƣ duy……………………….……………………………...3 1.2.1 Tính có vấn đề của tƣ duy………………………….………………3 1.2.2 Tính gián tiếp của tƣ duy…….……………………………………..4 1.2.3 Tính trừu tƣợng hóa và khái quát hóa của tƣ duy…………….…….5 1.2.4 Tính quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ….……………………………5 1.2.5 Tƣ duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính………….………..5 1.3 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy……………….…………………..6 1.4 Các thao tác của tƣ duy….……………………………...…………………9 1.4.1 Phân tích – Tổng hợp……………….……………………………...9 1.4.2 So sánh…………….………………………………………………10 1.4.3 Trừu tƣợng hóa – khái quát hóa....……….……………………….10 1.5 Các sản phẩm của tƣ duy…………………………………….…………..11 1.6 Vai trò của tƣ duy trong học tập toán học……….……………………….12 Chƣơng 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƢỜNG GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI………………………………………………………………...……………...14 2.1 Quan hệ song song………………………….……………………………14 2.1.1 Đƣờng thẳng và mặt phẳng.………………………………………14 2.1.2 Hai đƣờng thẳng song song………….……………………………15 2.1.3 Đƣờng thẳng song song mặt phẳng……………………….………16 2.1.4 Hai mặt phẳng song song………………………………….……...17 2.2 Quan hệ vuông góc…………………………….……………………… ..17 2.2.1 Đƣờng thẳng vuông góc mặt phẳng………………….…………...17 2.2.2 Đƣờng vuông góc và đƣờng xiên…………………….…………...18 2.2.3 Hai mặt phẳng vuông góc………………………………….….…..21 2.3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc với đƣờng thẳng và mặt phẳng…………………………………………………………….…………….23 2.4 Thể tích khối đa diện….…………………………………………………24 2.5 Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp……………………….………….25 GVHD: Nguyễn Văn Sáng i SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Chƣơng 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN……………………………..27 3.1 Vận dụng các thao tác tƣ duy vào giải toán……………….……………..27 3.2 Áp dụng các thao các tƣ duy vào bài toán cụ thể………….……………..40 Chƣơng 4: TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CHỌN LỌC………………………………………………49 PHẦN KẾT LUẬN………………………………………………………………...79 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….80 GVHD: Nguyễn Văn Sáng ii SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG LỜI CẢM ƠN  Sau bốn năm đại học đã để lại trong tôi vô vàng những kỷ niệm về trƣờng lớp, về thầy cô và bạn bè. Quá trình học tập và làm việc trong môi trƣờng đại học năng động đã giúp cho tôi rất nhiều trong quá việc tự hoàn thiện bản thân từ tri thức đến nhân cách sống. Và hôm nay, bài Luận văn tốt nghiệp của tôi đã đƣợc hoàn thành, có thể nó sẽ chƣa đƣợc hoàn hảo tuyệt đối nhƣng tôi vẫn cảm thấy tự hào. Bởi vì, đây là kết tinh của công sức cũng nhƣ lòng nhiệt huyết không phải chỉ riêng cá nhân tôi mà còn có sự giúp đỡ của thầy, cô và bạn bè đã dành cho tôi trong suốt khoảng thời gian qua. Vì vậy, hôm nay tôi muốn gửi lời cảm ơn đến: - Mẹ của tôi – ngƣời phụ nữ mà tôi yêu quý nhất luôn động viên tôi học tập, cũng nhƣ hỗ trợ tôi về mọi mặt. - Thạc sĩ Nguyễn Văn Sáng – thầy đã ra sức hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. - Cố vấn học tập – Cô Châu Xuân Phƣơng, tuy cô chỉ mới thực hiện cố vấn trong thời gian gần đây. Nhƣng cô đã rất quan tâm chia sẻ và giúp đỡ tập thể lớp Sƣ Phạm Toán – Tin k36 trong những học kì cuối này. Và cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tập thể quý thầy, cô trong bộ môn Toán nói riêng và khoa sƣ phạm nói chung đã nhiệt tình truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong suốt khoảng thời gian đào tạo vừa qua. Do kiến thức cũng nhƣ kinh nghiệm của bản thân vẫn còn nhiều hạn chế nên trong quá trình thực hiện có thể sẽ còn mắc phải một số sai sót. Vì vậy, rất mong quý thầy, cô cũng nhƣ bạn đọc có thể đóng góp ý kiến nhằm giúp cho đề tài đƣợc hoàn thiện hơn. Cần thơ, ngày 05 tháng 05 năm 2014 GVHD: Nguyễn Văn Sáng iii SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG PHẦN MỞ ĐẦU ---------1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn học gắn liền với tƣ duy và các thao tác tƣ duy là cách giúp cho việc tiếp thu một kiến thức mới, giải một bài toán đƣợc dễ dàng hơn. Vì vậy, để có thể học tốt đƣợc thì không chỉ phải hiểu và nắm rõ về các thao tác tƣ duy mà còn phải vận dụng chúng một cách hợp lý. Trong chƣơng trình học phổ thông nói chung và đối với môn toán nói riêng thì hình học không gian vẫn là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh. Giữa hình học phẳng và hình học không gian có nhiều đặc điểm giống nhau nhƣng cũng có một số tính chất khác nhau nên có thể làm cho các em nhầm lẫn. Bên cạnh đó, lại có thêm nhiều định nghĩa, khái niệm mới mà các em chƣa từng biết đến.Vì vậy, để các em có thể tiếp thu và ghi nhớ áp dụng vào bài tập sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Đồng thời, việc tìm ra cách truyền đạt mảng kiến thức này sao cho dễ hiểu cũng là vấn đề không nhỏ đối với một số giáo viên. Trong các kì thi quốc gia những năm gần đây, những bài toán về hình học không gian thƣờng đƣợc đƣa vào để đánh giá chất lƣợng của các em. Đặc biệt là các bài toán về tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng hay mặt phẳng,… Nhƣng để các em có thể giải quyết đƣợc thì đây là một vấn đề không hề dễ dàng. Với những lý do nhƣ vậy nên tôi quyết thực hiện bài luận văn của mình với đề tài mang tên là: “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”. Với luận văn này tôi muốn thống kê lại một số phƣơng pháp để giải các bài toán hình học không gian cơ bản. Đồng thời, phân tích một số bài toán theo các thao tác của tƣ duy nhằm giúp các em có thể tiếp thu kiến thức theo một hƣớng mới. Bên cạnh đó, trong luận này, tôi có tổng hợp lại một số bài tập về dạng toán tính thể tích cơ bản và nâng cao để quý thầy cô cũng nhƣ các em học sinh ở các trƣờng phổ thông có thêm một nguồn tài liệu tham khảo. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 1 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG 2. Những chữ viết tắt đƣợc sử dụng trong luận văn - HHKG: Hình học không gian. - SGK: Sách giáo khoa. - mp: Mặt phẳng. 3. Mục đích nghiên cứu Nhằm thống kê lại một số phƣơng pháp giải toán hình học không gian cũng nhƣ các thao tác tƣ duy. Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán HHKG. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu a) Đối tƣợng nghiên cứu Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh trong nhà trƣờng trung học phổ thông. b) Phạm vi nghiên cứu - SGK hình học 11 + 12: cơ bản và nâng cao. - Sách giáo viên. - Các sách về phƣơng pháp và lí luận dạy học môn toán. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý thuyết: - Các nội dung về tƣ duy trong giáo trình lí luận dạy học toán. - Các kiến thức liên quan đến hình học không gian lớp 11 và 12. - Các dạng toán có áp dụng thao tác tƣ duy để giải. - Các phƣơng pháp giải toán cơ bản. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm bốn chƣơng: - Chƣơng 1: Tƣ duy trong học tập toán học. - Chƣơng 2: Phân loại một số dạng toán hình học không gian thƣờng gặp trong chƣơng trình phổ thông và phƣơng pháp giải. - Chƣơng 3: Rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh thông qua các bài toán hình học không gian. - Chƣơng 4: Tổng hợp một số bài toán hình học không gian cơ bản và nâng cao chọn lọc. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 2 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Chƣơng 1 TƢ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC ---------1.1 Khái niệm về tƣ duy Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật bên trong của sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết. Tƣ duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác, tri giác. Có nghĩa là tƣ duy phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong, những mối liên hệ, quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tƣợng. Ví dụ: Khi nhắc đến một hình tứ diện, thì thông qua nhận thức cảm tính dựa vào các định nghĩa và tính chất đã học, ta sẽ suy nghĩ ngay đến một khối đa diện có bốn mặt và đều là hình tam giác,… Bên cạnh đó, tƣ duy sẽ cho ta biết đƣợc tính chất của trọng tâm, góc tạo bởi các cạnh bên với mặt đáy, thể tích sẽ đƣợc tính nhƣ thế nào….? Đó là những bản chất bên trong của một hình tứ diện. Tuy rằng tƣ duy phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong của sự vật, hiện tƣợng nhƣng không phải bao giờ tƣ duy cũng đi đến cái đúng, mà tƣ duy cũng có thể đi đến cái sai. Vì vậy, ta cần biết kết hợp cái hiện tƣợng bên ngoài và cái bản chất bên trong cùng với chiến thuật và phƣơng pháp tƣ duy cụ thể. Tƣ duy phản ánh khái quát, phản ánh những cái chƣa biết, nhờ nó mà ta mới có khả năng giải quyết các vấn đề do thực tiễn đề ra. 1.2 Đặc điểm của tƣ duy 1.2.1 Tính có vấn đề của tƣ duy Trong thực tế, tƣ duy chỉ xảy ra khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Nhƣng không phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện quá trình tƣ duy. Hoàn cảnh có vấn đề là những tình huống mà bằng vốn hiểu biết cũ, phƣơng pháp đã có ta không thể giải quyết đƣợc nó. Để nhận thức và giải quyết hoàn cảnh có vấn đề mới thì ta cần phải có những tri thức và phƣơng thức mới tức là ta phải tƣ duy. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 3 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Khi hoàn cảnh có vấn đề xuất hiện sẽ kích thích tƣ duy, nhƣng không phải bất cứ hoàn cảnh có vấn đề nào cũng có hoạt động tƣ duy. Vì vậy, để kích thích tƣ duy thì hoàn cảnh có vẫn đề phải đƣợc cá nhân nhận thức đầy đủ, xác định đƣợc cái gì đã biết, cái gì cần tìm và mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm nhƣ thế nào để có thể chuyển thành nhiệm vụ của tƣ duy, giải quyết vấn đề đó. Ví dụ: Trong bài “Hai đƣờng thẳng chéo nhau và hai đƣờng thẳng song song” của chƣơng trình toán hình học 11 cơ bản có bài toán sau: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC). (Ví dụ trang 58 SGK hình học 11 cơ bản) d S A D C B Với những kiến thức đã biết, khi gặp bài toán này các em sẽ tìm xem có thể xác định đƣợc điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) hay không? Để từ đó tìm ra đƣợc giao tuyến. Nhƣng trong tình huống này, các em sẽ phải lúng túng. Vì trong giả thiết bài toán, ta chỉ có thể tìm đƣợc một giao điểm là S, ngoài ra ta không thể tìm đƣợc thêm một giao điểm nào khác. Do đó, ta không thể tìm giao tuyến theo cách thông thƣờng đƣợc. Lúc này, đã xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề. Khi đó, học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề. Đó chính là hệ quả của định lý 2 mà các em vừa học. 1.2.2 Tính gián tiếp của tƣ duy Tƣ duy có khả năng phản ánh sự vật hiện tƣợng một cách gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,…. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 4 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Nhờ phản ánh gián tiếp của tƣ duy đã giúp con ngƣời nhận thức thế giới một cách sâu sắc và mở rộng khả năng hiểu biết của con ngƣời, của chủ thể tƣ duy. Ví dụ: Ứng dụng công nghệ thông tin trong công tác giảng dạy thông qua các phần mềm toán học để có thể dễ dàng minh họa và hƣớng dẫn cho học sinh cách tìm thiết diện của khối đa diện bị cắt bời một mặt phẳng, hình chóp cụt, hình trụ, hình nón,…. 1.2.3 Tính trừu tƣợng hóa và khái quát của tƣ duy Tƣ duy không chỉ phản ánh sự vật, hiện tƣợng một cách riêng lẻ cụ thể, mà còn có khả năng phản ánh sự vật, hiện tƣợng một cách khái quát. Có nghĩa là tƣ duy có khả năng trừu suất khỏi đối tƣợng những thuộc tính không bản chất mà chỉ giữ lại những dấu hiệu bản chất chung nhất đặc trƣng cho nhiều sự vật hiện tƣợng cùng loại. Nhờ vào đặc tính khái quát của tƣ duy mà ta có thể phân loại đƣợc sự vật đó thuộc thuộc nhóm sự vật, hiện tƣợng nào và có đặc tính gì… Ví dụ: Trong mặt phẳng, có hai đƣờng thẳng a và b cùng vuông góc với đƣờng thẳng c, thì ta kết luận a và b song song nhau. Vậy, tính chất này có còn đúng không gian hay không? 1.2.4 Tính quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ Ngôn ngữ là hình thức biểu đạt những sản phẩm của tƣ duy nhƣ: khái niệm, tính chất, ý nghĩa… Mặt khác, ngôn ngữ là một mặt không thể tách rời của tƣ duy, không có ngôn ngữ thì không có tƣ duy và ngƣợc lại, nếu không có tƣ duy thì ngôn ngữ chỉ là một chuỗi âm thanh vô nghĩa, không có nội dung. Hay nói cách khác, ngôn ngữ chính là phƣơng tiện của tƣ duy. Tƣ duy và ngôn ngữ có mối quan giữa nội dung và hình thức với nhau. 1.2.5 Tƣ duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Tuy tƣ duy có mức độ nhận thức cao hơn hẳn về chất so với nhận thức cảm tính, nhƣng tƣ duy không tách rời nhận thức cảm tính. Để giải một bài toán trƣớc hết ta dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả thuyết, đi đến nhận xét, kiểm tra bằng những hoạt động tƣ duy để đi đến kết quả. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 5 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Chứng minh: ABMN là hình thang. S M N B C A D Với giả thiết đề bài cho ABCD là hình bình hành  AB // CD. M  SC , Ta nhận thấy hình thang ABMN sẽ có hai đáy là AB và MN  N  SD   Cần xác định điểm M sao cho AB // MN. Do điểm M là trung điểm SC. Nên ta dễ dàng đoán ra đƣợc N cũng chính là trung điểm của SD. 1.3 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy 1.3.1 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy Tƣ duy là một hành động trí tuệ, là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn. Quá trình đó đƣợc thực hiện bởi các thao tác trí tuệ nhất định, nó đƣợc diễn ra theo các giai đoạn biễu diễn bởi sơ đồ sau: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 6 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG 1.3.2 Nhận thức vấn đề Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề là một điều kiện quan trọng của tƣ duy. Khi đó, ta cần nhận thức đƣợc vấn đề tức là xác định đƣợc vấn đề cần giải quyết ở đây là gì? Chính vấn đề đƣợc xác định này quyết định toán bộ những việc giải quyết sau đó: những dữ kiện ban đầu thành nhiệm vụ và việc biểu đạt vấn đề dƣới dạng nhiệm vụ giải quyết sau đó của quá trình tƣ duy. Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình tƣ duy. 1.3.3 Xuất hiện các liên tƣởng – huy động các tri thức, kinh nghiệm Xuất hiện trong đầu những tri thức, kinh nghiệm, những liên tƣởng nhất định có liên quan đến vấn đề đã đƣợc xác định. Tùy thuộc vào từng nhiệm vụ mà ta cần phải huy động những tri thức, kinh nghiệm,… phù hợp. 1.3.4 Sàng lọc các liên tƣởng và hình thành giả thuyết Các tri thức, kinh nghiệm và liên tƣởng ban đầu còn mang tính chất rộng rãi, bao trùm và chƣa thực sát với nhiệm vụ. Nên quá trình sàng lọc này sẽ hình thành giả thuyết nghĩa là cách giải quyết phù hợp với nhiệm vụ của tƣ duy. 1.3.5 Kiểm tra giả thuyết Chính sự đa dạng của giả thuyết mà ta cần phải kiểm tra xem giả thuyết nào là tƣơng ứng với điều kiện và vấn đề đặt ra. Nếu giả thuyết đúng thì khẳng định GVHD: Nguyễn Văn Sáng 7 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG giả thuyết và đi đến giải quyết vấn đề, ngƣợc lại nếu giả thuyết sai thì bác bỏ, xây dựng giả thuyết mới, rồi kiểm tra lại. Chính giai đoạn này có thể xuất nhiệm vụ mới, hoạt động tƣ duy mới. 1.3.6 Giải quyết vấn đề Khi giả thuyết đã đƣợc kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ đƣợc thực hiện, tức là đi đến câu trả lời cho vấn đề đƣợc đặt ra. Trong quá trình giải toán, nhận thức vấn đề có thể chỉ đơn giản là xác định giả thiết và kết luận. Nhƣng trong quá trình tƣ duy giải quyết vấn đề lại thƣờng gặp nhiều khó khăn cũng do ba nguyên nhân cơ bản là: - Bỏ sót một số dữ kiện của bài toán. - Dựa vào bài toán điều kiện thừa. - Cứng nhắc, khuôn mẫu của tƣ duy. Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lƣợt là trung điểm của các đoạn AB, AD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF). + Nhận thức vấn đề: Giả thiết E là trung điểm AB, F là trung điểm AD. C là điểm chung. Kết luận ( BCD)  (CEF )  d + Xuất hiện liên tƣởng. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF), ta có hai cách: - Tìm hai giao điểm của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF). - Tìm một giao điểm và hai đƣờng thẳng chứa trong hai mặt phẳng (BCD) và (CEF) song song với nhau. + Sàng lọc liên tƣởng và hình thành giả thuyết. Ta thấy cách thứ hai sẽ dễ dàng hơn vì dễ nhận ra EF chính là đƣờng trung bình của tam giác ABD. Nên EF // BD. Với điều kiện, C là giao điểm chung. Thì ta sẽ nhanh chóng xác định đƣợc giao tuyến hơn cách thứ nhất là tìm thêm một giao điểm thứ hai. Ta dựng đƣờng thẳng d đi qua C và d // BD, d // EF. + Kiểm tra giả thuyết GVHD: Nguyễn Văn Sáng 8 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, AD  EF là đƣờng trung bình của tam giác ABD  EF // BD (1) Mà:  EF  (CEF ) (2)   BD  ( BCD ) Lại có: C là điểm chung (3) Từ (1), (2) và (3)  (BCD)  (CEF) = d, sao cho: d đi qua C và d // BD, d // EF (cách thứ 2) Sau khi kiểm tra giả thiết, ta sẽ trình bày lại với lời giải. Giai đoạn sàng lọc, liên tƣởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt động tƣ duy tích cực nhất, chủ thể tƣ duy phải tiến hành phân tích tổng hợp, so sánh, khái quát…hay còn là các thao tác của tƣ duy. 1.4 Các thao tác tƣ duy 1.4.1 Phân tích – Tổng hợp Khi một đối tƣợng có nhiều thành phần, bộ phận. Trong đó, mỗi bộ phận có mối quan hệ khác nhau. Thì để giúp cho việc nhận thức dễ dàng và toàn diện hơn thì ta cần phân tích, nghĩa là phân chia đối tƣợng thành những bộ phận, những thuộc tính, các quan hệ khác nhau theo một hƣớng nhất định.Sau đó, kết hợp lại các kết quả đã nhận thức ở từng bộ phận thành một chính thể thống nhất thì ta gọi đây là thao tác phân tích và tổng hợp. Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết với nhau, phân tích đƣợc tiến hành trên cơ sở tổng hợp và tổng hợp đƣợc thực hiện trên kết quả của phân tích. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA  (ABCD). Chứng minh: BD  (SAC). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 9 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG S D A C B Phân tích: Để chứng minh BD  (SAC), ta cần chứng minh BD vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (SAC). Lúc này, dựa vào giả thiết ta nhận ra rằng hai đƣờng thẳng cần tìm chứa trong mặt phẳng (SAC) chính là SA và AC. Nhƣ ta đã biết, do ABCD là hình vuông  AC  BD (1) Theo giả thiết SA  (ABCD), BD  (ABCD)  SA  BD (2) Tổng hợp kết quả từ (1) và (2) ta đƣợc: BD  (SAC). (đpcm) 1.4.2 So sánh So sánh là sự xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất của sự vật hiện tƣợng. So sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tƣ duy. Nhờ có sự so sánh các sự vật hiện tƣợng với nhau mà ta có thể lĩnh hội tất cả tính đa dạng độc đáo và phức tạp của chúng. Bên cạnh đó, so sánh cũng có mối quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. Phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật sau đó so sánh rồi tổng hợp lại xem có gì giống nhau hay khác nhau. 1.4.3 Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa Trừu tƣợng hóa: Là quá trình gạt bỏ khỏi đối tƣợng những bộ phận, thuộc tính quan hệ không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tƣ duy. Ví dụ: Khi nhắc đến một hình trụ, thì hình ảnh thực tế xuất hiện ngay trong suy nghĩ của ta sẽ là một cái ống hay một hộp sữa bò, v.v… GVHD: Nguyễn Văn Sáng 10 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Khái quát hóa: Là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tƣợng khác nhau trên cơ sở có một số thuộc tính giống nhau nào đó. Ví dụ: Chứng minh đƣờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trƣờng hợp: d d d b b M a P P a) a P b) c) Sau khi đã chứng minh đƣợc, ta có thể khái quát lên: Cách để chứng minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng nhƣ sau: - Bƣớc 1: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đƣờng thẳng a sao cho d  a. - Bƣớc 2: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đƣờng thẳng b sao cho d  b. - Bƣớc 3: Hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau tại M. - Bƣớc 4: Kết luận d  (P). Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ qua lại với nhau. Muốn khái quát hóa thì ta phải trừu tƣợng hóa những dấu hiệu không bản chất. Khái quát hóa chính là sự tổng hợp ở mức độ cao. Vì vậy, để phát triển năng lực trừu tƣợng hóa và khái quát hóa, ta cần phải rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp. Tóm lại: Trong quá trình tƣ duy, các thao tác tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhau, chúng thống nhất với nhau theo một hƣớng nhất định để giải quyết các nhiệm vụ của tƣ duy. Việc thực hiện các thao tác tƣ duy có thể không tuân theo một thứ tự nhất định và cũng không nhất thiết phải sử dụng tất cả các thao tác trong một quá trình tƣ duy. 1.5 Các sản phẩm của tƣ duy 1.5.1 Khái niệm GVHD: Nguyễn Văn Sáng 11 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Những tri thức đã đƣợc khái quát hóa ở một loạt các sự vật có cùng chung những dấu hiệu, bản chất nhất định gọi là khái niệm. Quá trình tƣ duy ở trình độ nào đó sẽ giúp con ngƣời nhận thức đƣợc một số lƣợng khái niệm ở một mức độ nhất định. Vì vậy, cùng một khái niệm có ngƣời hiểu rộng, có ngƣời hiểu hẹp. Ví dụ: Với định nghĩa “ Một đƣờng thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng đó.” Đối với ngƣời bình thƣờng, họ sẽ nghĩ ngay đến hình ảnh một đƣờng thẳng vuông góc với vô số đƣờng thẳng chứa trong một mặt phẳng. Nhƣng đối với ngƣời có quá trình tƣ duy ở mức độ cao hơn, họ sẽ suy nghĩ đến việc để chứng minh mặt phẳng vuông góc với một đƣờng thẳng, thì ta phải làm nhƣ thế nào?... Tìm một đƣờng thẳng chứa trong mặt phẳng, vuông góc với đƣờng thẳng kia hay là tìm cách để chứng mình toàn bộ đƣờng thẳng thuộc mặt phẳng đó đều vuông góc với đƣờng thẳng đã cho. 1.5.2 Phán đoán Phán đoán là sự khẳng định hay phủ định về các sự vật hiện tƣợng hoặc những mối quan hệ nào đó giữa các sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực. Ví dụ: Có một và chỉ một đƣờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trƣớc. Phán đoán có thể là một nhận định đơn giản hay phức tạp. Nhƣng nó có thể đúng cũng có thể sai. Vì vậy, kinh nghiệm càng phong phú, toàn diện thì việc thực hiện các thao tác tƣ duy càng hợp lý, độ chính xác của phán đoán càng cao. 1.6 Vai trò của tƣ duy trong học tập toán học Tƣ duy giúp ta khái quát đƣợc một phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và nắm đƣợc mối quan hệ giữa nhiều lĩnh vực khác nhau. Mở rộng giới hạn của nhận thức. Một trong những mục đích rèn luyện các thao tác của tƣ duy đó là học tập toán học. Tƣ duy trong toán học có thể chia ra hai cấp độ: - Tái tạo: là năng lực học toán, gồm bai giai đoạn: tiếp thu kiến thức, nhận dạng kiến thức đã học và thể hiện các mối quan hệ. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 12 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Sáng tạo: là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tìm những kết quả mới, những phƣơng pháp giải quyết vấn đề mới không theo bất kì một khuôn mẫu nào. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 13 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Chƣơng 2 PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƢỜNG GẶP TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI. ---------2.1 Quan hệ song song 2.1.1 Đƣờng thẳng và mặt phẳng a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dạng 1) * Phương pháp giải: Muốn tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, đƣờng thẳng đi qua hai điểm chúng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng. * Chú ý: Muốn tìm điểm chung của hai mặt phẳng, ta tìm hai đƣờng thẳng đồng phẳng lần lƣợt chứa trong hai mặt phẳng đó. Khi đó, giao điểm ( nếu có) của hai đƣờng thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng. b) Tìm giao điểm của một đƣờng thẳng và một mặt phẳng * Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm của đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P), ta đƣa về dạng xác định giao điểm M của đƣờng thẳng a và đƣờng thẳng b thuộc mặt phẳng (P), thì khi đó M cũng chính là giao điểm của đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P). * Chú ý: Nếu đƣờng thẳng b chƣa có sẵn, thì ta cần tìm một mặt phẳng (Q) chứa đƣờng thẳng a. Lúc này, đƣờng thẳng b chính là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q). c) Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đƣờng thẳng đồng quy * Phương pháp giải: - Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. - Muốn chứn minh ba đƣờng thẳng đồng quy, ta chứng mình giao điểm của hai đƣờng thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến chính là đƣờng thẳng thứ ba. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 14 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG d) Tìm tập hợp giao điểm của hai đƣờng thẳng di động * Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm M của hai đƣờng thẳng d và d’ di động. Ta tìm hai mặt phẳng cố định lần lƣợt chứa d và d’. Khi đó, điểm M sẽ di động trên giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó. * Chú ý: Nếu d di động nhƣng luôn đi qua một điểm A cố định nào đó và cắt đƣờng thẳng d” cố định không đi qua A. Thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A, d”). e) Tìm thiết diện do một mặt phẳng cắt hình chóp (hoặc tứ diện) Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của các mặt hình chóp với mặt phẳng (P). * Phương pháp: Ta xác định lần lƣợt các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp bằng cách: - Tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp từ các điểm chung có sẵn (có thể là mặt trung gian). - Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta đƣợc điểm chúng mới của mặt phẳng (P) với các mặt khác. Từ đó xác định đƣợc giao tuyến mới với các mặt còn lại. Cứ tiếp tục thực hiện nhƣ vậy cho tới khi các giao tuyến khép kín thì ta đƣợc thiết diện cần tìm. 2.1.2 Hai đƣờng thẳng song song a) Chứng minh hai đƣờng thẳng song song * Phương pháp giải: - Chứng minh hai đƣờng thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phƣơng pháp chứng minh song song nhƣ: định lý đảo của đinh lý Thales, tính chất đƣờng trung bình,…. - Chứng minh hai đƣờng thẳng đó cùng song song với đƣờng thẳng thứ ba. - Áp dụng tính chất về giao tuyến: Hai mặt phẳng phân biệt lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đƣờng thẳng đó (hoặc trùng đƣờng thẳng đó). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có chứa hai đƣờng thẳng song song (dạng 2) * Phương pháp giải: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 15 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. - Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phƣơng của giao tuyến (nghĩa là chứng minh giao tuyến song song với một trong hai đƣờng thẳng chứa trong hai mặt phẳng cần tìm giao tuyến). - Giao tuyến là đƣờng thẳng đi qua điểm chung và song song với đƣờng thẳng đó. * Chú ý: Để tìm thiết diện của hình chóp, ta có thể kết hợp cả hai cách tìm giao tuyến ở dạng 1 và dạng 2. c) Tính góc giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau * Phương pháp giải: Để tính góc giữa hai đƣờng thẳng a, b chéo nhau ta thực hiện các bƣớc sau: - Tìm một điểm M nào đó. - Dựng hai đƣờng thẳng a’, b’ qua M sao cho a’ // a và b’ // b. - Góc giữa a, b cũng chính là góc giữa a’, b’ (góc nhỏ hơn hoặc bằng 90o). - Áp dụng công thức tỷ số lƣợng giác trong tam giác vuông hoặc định lý hàm số cosin trong tam giác thƣờng để tính góc giữa a’ và b’. 2.1.3 Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng a) Chứng minh một đƣờng thẳng song song với một mặt phẳng * Phương pháp giải: Muốn chứng minh đƣờng thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta chứng minh đƣờng thẳng d không thuộc mặt phẳng (P) và d song song với d’ chứa trong (P). * Chú ý: Nếu d’ không có sẵn. Ta cần tìm một mặt phẳng (Q) chứa d, khi đó d’ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). b) Chứng minh hai đƣờng thẳng song song. Tìm giao tuyến cắt bởi một mặt phẳng song song với một đƣờng thẳng (dạng 3) * Phương pháp giải: - Áp dụng định lý: Cho đƣờng thẳng d song song mặt phẳng (P). Nếu một mặt phẳng (Q) chứa d, cắt (P) theo giao tuyến d’, thì d song song d’. - Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một (hoặc hai) đƣờng thẳng cho trƣớc theo phƣơng pháp đã biết. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 16 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG 2.1.4 Hai mặt phẳng song song a) Chứng minh hai mặt phẳng song song * Phương pháp giải: - Ta chứng minh một mặt phẳng chứa hai đƣờng thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng kia. - Ta chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba. * Chú ý: Từ đây, ta có đƣợc tính chất: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, đƣờng thẳng d chứa trong mặt phẳng (Q). Khi đó, d song song với (P). Đây là cách thứ hai để ta chứng minh đƣờng thẳng song song với mặt phẳng. b) Xác định giao tuyến, thiết diện tạo bởi hai mặt phẳng song song * Phương pháp giải: - Định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau. Định lý này thƣờng đƣợc sử dụng để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi phẳng song song với một mặt phẳng cho trƣớc. 2.2 Quan hệ vuông góc 2.2.1 Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Định nghĩa: Đƣờng thẳng d đƣợc gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đƣờng chứa trong (P). Kí hiệu: d  (P) hay (P)  d. a) Chứng minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau * Phương pháp giải: + Muốn chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta sử dụng một trong hai cách sau: - Chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc với hai đƣờng thẳng b và c cắt nhau thuộc (P). - Chứng minh đƣờng thẳng a song song với đƣờng thẳng b, mà b vuông góc với mặt phẳng (P). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 17 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG + Muốn chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc đƣờng thẳng b: Ta chứng minh a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng b. * Chú ý: Nếu a và b cắt nhau, ta có thể dùng các phƣơng pháp chứng minh đã học trong hình học phẳng. b) Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng * Phương pháp giải: Muốn xác định góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P), ta thực hiện các bƣớc sau: - Xác định giao điểm M của a và (P). - Trên đƣờng thẳng a chọn một điểm A (khác M). Dựng AH vuông góc với mặt phẳng (P) (H thuộc (P)). - Khi đó, góc giữa đƣờng thẳng a với mặt phẳng (P) chính là góc AMH. c) Tìm thiết diện qua một điểm cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc Cho khối đa diện (S), xác định thiết diện của (S) tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua điểm M (cho trƣớc) và vuông góc với đƣờng thẳng d (cho trƣớc). Nếu có hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau (hoặc chéo nhau) cùng vuông góc với d thì: - Mặt phẳng (P) song song (hoặc chứa) a. - Mặt phẳng (P) song song (hoặc chứa) b. Dựng mặt phẳng (P): dựng hai đƣờng thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d, trong đó có ít nhất một đƣờng thẳng đi qua M. Khi đó, mặt phẳng (P) đƣợc xác định bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau đó. Xác định thiết diện bằng một trong các cách đã đƣợc trình bày ở trên. 2.2.2 Đƣờng vuông góc và đƣờng xiên a) Dựng đƣờng thẳng qua điểm M cho trƣớc và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trƣớc Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng * Phương pháp giải: Muốn dựng một đƣờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P), ta thực hiện các bƣớc sau: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 18 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Chọn một đƣờng thẳng d chứa trong (P)., rồi dựng mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với d. - Xác định giao tuyến d’ của hai mặt phẳng (P) và (Q). - Dựng MH vuông góc với d’ tại H. Khi đó, MH chính là đƣờng thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P), độ dài MH cũng chính là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). * Chú ý: - Cần chọn d sao cho mặt phẳng (Q) dễ xác định (nếu chƣa có sẵn). - Nếu đã có một đƣờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta dựng Ax song song với a, khi đó Ax chính là đƣờng thẳng cần tìm. - Nếu AB song song với mặt phẳng (P) thì d(A,(P)) = d(B,(P)). - Nếu AB cắt (P) tại I thì d ( A, ( P)) IA  . d ( B, ( P)) IB b) Tìm tập hợp các hình chiếu của một điểm cố định trên một đƣờng thẳng di động * Phương pháp: Muốn tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm A cố định trên đƣờng thẳng d di động luôn đi qua O, chứa trong mặt phẳng (P) cố định. Ta thực hiện các bƣớc sau: - Dựng đƣờng thẳng AH vuông góc mặt phẳng (P) (H thuộc (P)). Khi đó, theo định lý ba đƣờng vuông góc ta đƣợc HM vuông góc với d. - Trong mặt phẳng (P), có góc HMO bằng 90o. Nên M thuộc đƣờng trong đƣờng kính OH chứa trong (P). c) Tìm tập hợp các hình chiếu của một điểm cố định trên mặt phẳng di động * Phương pháp: Muốn tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc M của một điểm cố định A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đƣờng thẳng d cố định, ta thực hiện các bƣớc sau: - Tìm một mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với d. - Xác định giao tuyến d’ của hai mặt phẳng (P) và (Q). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 19 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Dựng AM vuông góc với d’ (M thuộc d’). Điểm M cũng chính là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) - Gọi E là giao điểm của đƣờng thẳng d với mặt phẳng (Q). Khi đó, trong mặt phẳng (Q) góc AME bằng 90o, nên M sẽ thuộc đƣờng trong đƣờng kính AE. d) Đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng chéo nhau Để xác định đoạn vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng a và b chéo nhau, ta có hai dạng nhƣ sau: + Dạng 1: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Cho đƣờng thẳng a chứa trong mặt (P), đƣờng thẳng b chứa trong mặt phẳng (Q). Khi đó, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng a, b cũng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). * Phương pháp giải: Ta thực hiện các bƣớc sau: - Dựng mặt phẳng (P) đi qua chứa a và (P) song song với b. - Chọn điểm M trên b, dựng MH vuông góc với (P) tại H. - Từ H kẻ đƣờng thẳng song song với b và cắt a tại E. - Dựng EF // MH cắt b tại F. Khi đó, EF chính là đoạn vuông góc chúng của a, b. + Dạng 2: Hai đƣờng thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau. * Phương pháp giải: - Dựng mặt phẳng (P) đi qua a và vuông góc với b. - Xác định giao điểm F của đƣờng thẳng b và mặt phẳng (P). - Trong mặt phẳng (P), dựng EF vuông góc với a tại E. Khi đó, EF chính là đoạn vuông góc chung của a, b. e) Ứng dụng trục đƣờng tròn Định nghĩa: Trục đƣờng tròn là đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đƣờng tròn tại tâm của đƣờng tròn. Dựa vào tính chất của trục đƣờng tròn, ta có thể chứng minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng hay tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. - Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Điểm M cách đều ba điểm A, B, C. Khi đó, MO chính là trục của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 20 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và hai điểm M, N sao cho MA, MB, MC bằng nhau; NA, NB, NC bằng nhau. Thì MN chính là trục đƣờng tròn tâm O, đi qua ba điểm A, B, C. Khi đó, MN vuông góc với (ABC) tại tâm O của đƣờng tròn. 2.2.3. Hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o. a) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng + Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. * Phương pháp giải: - Cách 1: Muốn chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q), ta tìm một đƣờng thẳng d chứa trong (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q). - Cách 2: Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90o. + Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). * Phương pháp giải: - Cách 1: Chứng d vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (P). - Cách 2: Chứng minh d song song với đƣờng thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (P). - Cách 3: Chứng minh d là trục đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với A, B, C thuộc mặt phẳng (P). - Cách 4: Áp dụng định lý: “Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đƣờng thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).” - Cách 5: Áp dụng định lý: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba”. b) Xác định mặt phẳng chứa một đƣờng thẳng và vuông góc với một mặt phẳng GVHD: Nguyễn Văn Sáng 21 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Cho đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P) không vuông góc nhau. Xác định mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). * Phương pháp giải: Chọn một điểm M thuộc đƣờng thẳng d. Từ điểm M dựng đƣờng thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, mặt phẳng tạo bởi hai đƣờng thẳng a, b chính là mặt phẳng (Q) cần tìm. * Chú ý: Nếu d vuông góc với (P), thì (Q) sẽ song song (hoặc chứa) đƣờng thẳng d. c) Góc giữa hai mặt phẳng * Phương pháp giải: Muốn xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta thực hiện các bƣớc sau: - Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q). - Dựng đoạn thẳng AB vuông góc với mặt (P) (hoặc (Q)), sao cho hai đầu mút A, B chứa trong hai mặt phẳng (P) và (Q). - Dựng hình chiếu vuông góc H của A (hoặc B) lên đƣờng thẳng d. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng chính là góc AHB. * Chú ý: - Nếu có sẵn đƣờng thẳng d’ vuông góc với d và cắt hai mặt phẳng (P), (Q) lần lƣợt tại A, B. Thì ta dựng hình chiếu vuông góc H của A (hoặc B) lên d. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng chính là góc AHB. - Nếu có sẵn hai đƣờng thẳng a, b lần lƣợt vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa a và b. - Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lƣợt chứa hai tam giác cân MAB và NAB (có chung cạnh đáy AB) thì góc giữa hai mặt phẳng chính là góc MIN với I là trung điểm của AB. d) Xác định mặt phân giác của hai mặt phẳng * Phương pháp giải: Muốn tìm mặt phân giác của nhị diện, ta có các cách sau: + Cách 1: - Tìm một góc phẳng xOy của hai mặt phẳng (P) và (Q). - Dựng giao tuyến d của (P) và (Q); đƣờng phân giác Oz của góc xOy. - Khi đó, mặt phẳng tạo bởi đƣờng thẳng d và Oz chính là mặt phẳng phân giác cần tìm. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 22 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG + Cách 2: - Tìm điểm A cách đều hai mặt (P) và (Q). - Dựng giao tuyến d của (P) và (Q). - Khi đó, mặt phẳng đi qua A và d chính là mặt phẳng phân giác cần tìm. 2.3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc với đƣờng thẳng và mặt phẳng * Cho hai đƣờng thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đƣờng thẳng này thì cũng vuông góc với đƣờng thẳng kia. b a P a // b    ( P)  b ( P)  a  * Hai đƣờng thẳng phân biệt cũng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. a  ( P)  b  ( P)   a // b a  b  * Cho hai măt phẳng song song. Đƣờng thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. a Q P ( P) //( Q)   a  (Q) a  ( P)  * Hai mặt phẳng phân biết cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 23 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG ( P)  a   (Q)  a   ( P) //( Q) ( P)  (Q) * Cho đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đƣờng thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a. a b P a //( P)  ba b  ( P) * Nếu một đƣờng thẳng và một mặt phẳng (không chứa đƣờng thẳng đó) cùng vuông góc với một đƣờng thẳng khác thì song song với nhau. ab   ( P)  b   a //( P) a  ( P) * Định lý ba đƣờng vuông góc. A a H M P - Cho AH  (P), a  (P), M  a. Ta có: a  AM  a  HM - Điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của A trên (P). HM gọi là hình chiếu vuông góc của AM trên (P). 2.4 Thể tích khối đa diện 2.4.1 Thể tích khối lăng trụ Công thức: V = S.h Trong đó: V là thể tích. S là diện tích mặt đáy. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 24 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG h là chiều cao. 2.4.2 Thể tích hình hộp chữ nhật Công thức: V = a.b.c Trong đó: a, b, c lần lƣợt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao. 2.4.3 Thể tích hình lập phƣơng Công thức: V = a3. Trong đó: a là cạnh của hình lập phƣơng. 2.4.4 Thể tích khối chóp 1 3 Công thức: V  S.h Trong đó: V là thể tích. S là diện tích đáy. H là chiều cao. 2.4.5 Tỷ số thể tích của một tứ diện Cho tứ diện S.ABC, gọi A’, B’, C’ là các điểm lần lƣợt nằm trên SA, SB, SC. Với A’, B’, C’ khác S. Khi đó, ta có tỷ số: VS . ABC SA SB SC .  . . VS . A'B 'C ' SA' SB' SC ' 2.5 Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp * Phương pháp giải: + Dạng 1: Cho hình chóp đều S.ABC. Để xác định mặt cầu ngoại tiếp, ta thực hiện các bƣớc sau: - Tìm tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Dựng trục SH của đƣờng tròn ngoại tiếp. - Trong mặt phẳng (SAH) dựng đƣờng trung trực d của đoạn thẳng SA, d đi qua trung điểm M. - Đƣờng thẳng d cắt SH tại N. Khi đó, N chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính là SN. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 25 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG + Dạng 2: Cho hình chóp S.ABC, có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Muốn tìm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta thực hiện các bƣớc sau: - Tìm tâm O của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Dựng trục d của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Trong mặt phẳng (d, SA), dựng đƣờng trung trực của SA, cắt d tại I. Khi đó, IA = IB = IC (tính chất trục), IA = IS (tính chất đƣờng trung trực). Nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính SI. + Dạng 3: Tìm một đoạn thẳng, sao cho các đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng đó dƣới một góc vuông. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 26 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Chƣơng 3 RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. ---------3.1 Vận dụng các thao tác tƣ duy vào giải toán 3.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp Trong quá trình giải toán, phân tích bài toán là ta dựa vào các dữ kiện, yêu cầu của đề bài để hình thành giả thiết, kết luận nhằm tìm ra hƣớng giải quyết vấn đề. Đây là bƣớc tiếp cận tìm lời giải. Vì vậy, để giúp học sinh có thể thực hiện tốt bƣớc phân tích này thì ngƣời giáo viên cần phải chú ý các kỹ năng sau: * Đưa bài toán tổng quát vào bài toán cụ thể. Trong chƣơng trình toán HHKG ở phổ thông, sau khi học sinh học về một nội dung hay kiến thức nào đó thì sẽ đƣợc vận dụng ngay vào các ví dụ hay bài tập cụ thể. Thông thƣờng các kiến thức mới sẽ đƣợc thể hiện dƣới dạng mệnh đề hay định lý. Vì vậy, điều quan trọng là làm nhƣ thế nào để ta có thể vận dụng tốt các mệnh đề, định lý ấy vào từng bài toán cụ thể. Câu hỏi thƣờng gặp nhất trong các bài toán HHKG có dạng: “Chứng minh rằng vấn đề A”. Để chứng minh đƣợc vấn đề A, thì ta cần phải tìm đầy đủ những giả thiết mà dữ kiện đề bài đã cho và vấn đề A cần chứng minh chính là kết luận của những giả thiết đó. Đề thực hiện việc chứng minh, ta cần thực hiện các bƣớc sau: - Bƣớc 1: Xem A có là kết luận của một mệnh đề hay định lý nào đó mà ta đã đƣợc học. - Bƣớc 2: Sau khi đã xác định đƣợc mệnh đề (hay định lý) thì ta xem trong giả thiết cần bao nhiêu điều kiện, điều kiện nào đã đƣợc cho sẵn trong bài toán thì ta nêu ra. Những điều kiện còn lại, ta xem có phải đó là kết luận của một mệnh đề nào khác nữa hay không. Ta tiếp tục thực hiện lại các thao tác trên cho đến khi kiểm tra đầy đủ tất cả các điều kiện có trong giả thiết. Sơ đồ minh họa quá trình thực hiện: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 27 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Theo sơ đồ trên, thì ta cần phải có ba điều kiện i) ii) và iii) để có đƣợc kết luận A. Điều kiện ii) thì ta đã có sẵn trong giả thiết còn i) và iii) ta cần tiếp tục xem xét. Lúc này i) chính là kết luận của 1) và 2); iii) là kết luận của x) và y). Quan sát lại bài toán thì điều kiện x), y) và 1) đã có. Và ta lại phát hiện ra 2) chính là kết luận của a), b) và c). Đó chính là quá trình thực hiện của ta với những dữ kiện đã có. Ví dụ: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song ta thực hiện các bƣớc sau: a  ( P ) , sao cho a, b cắt nhau b  ( P) Bƣớc 1: Tìm  a //( Q) b //( Q) Bƣớc 2: Chứng minh  Bƣớc 3: Kết luận (P) // (Q) Việc phân tích tìm lời giải nhƣ trên đƣợc gọi là phân tích đi lên – phân tích hƣớng từ kết luận. Đây là kiểu tƣ duy đặc trƣng của môn hình học với câu hỏi: “Chứng minh rằng…”. Tùy vào từng yêu cầu của mỗi bài toán mà ta có nhiều dạng toán có thể áp dụng phƣơng pháp này * Phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Xét bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. CMR: SC  (AHB) và tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Dựa vào các dữ kiện đề bài đã cho, thì ta có thể tính thể tích khối chóp S.ABH theo hai cách nhƣ sau: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 28 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG + Cách 1: S H A C O I B * Tính thể tích khối chóp S.ABH. Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông SOC ta đƣợc: 2 a 3 11a 2   SO  SC  OC  (2a)    3  3  2  SO  2 2 2 a 33 3 Trong tam giác SIC lại có: IH.SC = SO.IC = 2SISC  IH  1 2 Ta có: S ABH  . AB.IH  SO.IC a 11  . SC 4 a 2 11 (ðvdt) 8 Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông IHC ta có: 2 2  a 3   a 11  a2     HC  IC  IH      16  2   4  2 2  HC  a . 4 2  SH  SC  HC  2a  a 7a  . 4 4 Vậy thể tích khối tứ diện S.ABH là: 1 1 a 2 11 7a 7a 3 11 V  .S ABH .SH  . .  (đvtt) 3 3 8 4 96 + Cách 2: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 29 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG S H A C O I K B * Tính thể tích khối chóp S.ABH. Do S.ABC là hình chóp tam giác đều, O là tâm của tam giác ABC. Nên: SO  (ABCD). Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông SOC ta đƣợc: 2 a 3 11a 2   SO  SC  OC  (2a)    3  3  2 2  SO  2 2 a 33 3 Diện tích tam giác ABC: S ABC 1 1 a 3 a2 3  . AK .BC  . .a  (đvdt). 2 2 2 4 Thể tích hình chóp S.ABC là: 1 1 a 33 a 2 3 a 3 11 V  .SO.S ABC  . .  (đvtt). 3 3 3 4 12 Áp dụng công thức tỷ số thể tích ta có: VS . ABH SA SB SH SH .  . .  VS . ABC SA SB SC SC Trong tam giác SBC, dựng đƣờng cao SI. Ta có: sin ISC   cos BSC  IC 1  . SC 4 SH 7  . SB 8 7 a 3 11 7a 3 11  (đvtt). 8 12 96 Vậy thể tích khối chóp S.ABH là: VS . ABH  . Nhận xét: Để tính thể tích của khối chóp S.ABH, ta có thể tính trực tiếp hoặc áp dụng công thức tỷ số thể tích để tính. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 30 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Một bài toán có thể có nhiều cách giải, nhƣng ta cần phải biết lựa chọn hƣớng đi nào tối ƣu nhất để giải đƣợc bài toán một cách dễ dàng. Tùy vào từng điều kiện và yêu cầu đề bài, mà ta có những phƣơng pháp khác nhau. Có thể cách này sẽ tối ƣu với bài toán này, nhƣng với bài toán kia thì lại khá rắc rối, gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải quyết hoặc cần thực hiện công việc hơn. Vì vậy, ta cần lựa chọn phƣơng pháp sao cho phù hợp. Rõ ràng, ta dễ dàng nhận ra rằng cách thứ hai phải thực hiện việc tính toán nhiều hơn cách thứ nhất. Theo giả thiết thì đề bài đã yêu cầu chứng minh SC  (ABH), nên khi tính thể tích, ta sẽ dựa vào yếu tố vừa chứng minh xong để có thể tính dễ dàng hơn. Việc phân tích bài toán theo nhiều chiều hƣớng khác nhau để tìm ra lời giải tối ƣu giúp cho ta có thể huy động đƣợc nhiều tri thức, củng cố các kiến thức từng học, góp phần bồi dƣỡng sự linh hoạt cho tƣ duy, vận dụng tốt các kiến thức, đồng thời khai thác kiến thức với vai trò là công cụ để hình thành kiến thức mới. * Loại trừ các yếu tố không hợp lý. Rèn luyện khả năng loại trừ các yếu tố không hợp lý là ta chỉ phân tích những yếu tố liên quan đến yêu cầu của bài toán để khẳng định hƣớng đi cho quá trình giải toán. Hạn chế tối thiểu việc phân tích sai để tránh gây ra nhiều khó khăn trong việc giải. Ví dụ: Xét bài toán 2: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD; M là điểm trên đoạn DC sao cho DC = 3DM. Chứng minh rằng MG // (SBC).” S S C C B K D B G G M M I A D a) GVHD: Nguyễn Văn Sáng I A b) 31 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Để chứng minh MG // (SBC), ta cần chứng minh MG song song với một đƣờng thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng (SBC). Theo nhƣ giả thiết bài toán cho, học sinh sẽ có thể nhầm và vẽ hình giống nhƣ hình a). Nhận xét: MG sẽ cắt SA tại H (nghi vấn). Khi đó: (SAD) và (SBC) có chung điểm S và lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng AD, CB song song với nhau. Vì vậy, ta sẽ phải chứng minh MH // BC  MG // AD (vô lý). Với cách làm nhƣ trên là lỗi thƣờng gặp nhất đối với học sinh.Từ đó ta sẽ loại đƣợc yếu tố là MG cắt SA, do đƣờng thẳng này không đồng phẳng. Từ đó, ta sẽ phân tích theo một hƣớng khác theo hình b) là: MI, CB đồng phẳng nên gọi K là giao điểm của chúng. Do G là trọng tâm  DM IG 1 IM 1  ; DC = 3DM    GS 2 MC MK 2 Suy ra: MG // SK, với SK  (SBC) Vậy: MG // (SBC). Do đó, khi đƣa ra một hƣớng giải ta cần xác định rõ trọng tâm, dữ kiện rơi vào giả thiết nào, để có thể thực hiện đúng với yêu cầu đề ra. Bên cạnh đó, nó còn phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm cũng nhƣ khả năng trừu tƣợng hình vẽ của ngƣời giải toán. Rèn luyện khả năng loại trừ các yếu tố không hợp lý sẽ giúp cho ta có thể rèn luyện khả năng suy luận logic, đặt nghi vấn hợp lý và hạn chế thấp nhất khả năng phân tích sai đƣờng. * Tạo thêm các yếu tố phụ. Một bài toán không phải lúc nào cũng có đầy đủ các yếu tố để ta có thể giải đƣợc, mà đôi khi đòi hỏi ta phải biết xây dựng thêm các yếu tố phụ nhƣ: chọn tâm, lấy trung điểm, dựng đƣờng cao, trung tuyến,… nhằm giúp việc giải quyết trở nên dễ dàng dàng hơn. Để tìm ra các yếu tố phụ này thì ta cần phải rèn luyện trong suốt quá trình học toán ở phổ thông. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 32 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng BC  AD. Nhƣ ta đã biết, để chứng minh BC vuông góc với AD thì ta cần chứng minh BC vuông góc một mặt phẳng nào đó chứa AD. Theo giả thiết đề bài thì ta thấy BC không thể nào vuông góc với hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Vì vậy, ta đoán ra đƣợc, BC sẽ vuông góc với một mặt phẳng khác. Mà AB = AC, nên tam giác ABC cân tại. Khi đó, ta sẽ nghĩ ngay đến việc dựng đƣờng cao AH. Lúc này, H cũng chính là trung điểm của BC (do tính chất của tam giác cân). Lại có, DB = DC nên DH là trung tuyến cũng là đƣờng cao trong tam giác cân DBC. Từ đó, ta sẽ đƣợc AH  BC; DH  BC  BC  (ADH)  BC  AD. Việc rèn luyện khả năng tạo yếu tố phụ ta cần chú ý: - Tập hợp tất cả các yếu tố, giả thiết đã có. - Liên tƣởng, nghĩ đến những mối quan hệ, kiến thức liên quan đã từng đƣợc học. - Từ các đó ta xây dựng các yếu tố đã liên tƣởng đến. - Phân tích bài toán theo yếu tố vừa mới xây dựng. - Giải quyết bài toán. - Nếu vẫn chƣa thể giải đƣợc ta sẽ tiếp tục tạo thêm các yếu tố phụ (hoặc tạo ra các yếu tố phụ khác). Xét bài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N di động lần lƣợt trên đoạn AB và CD sao cho MA ND  . Chứng minh rằng MN luôn song song với một MB NC mặt phẳng cố định. D N E A C M B GVHD: Nguyễn Văn Sáng 33 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Tập hợp các giả thiết đã có: M  AB MA ND và   MB NC  N  DC - Xuất hiện liên tƣởng. Muốn chứng minh MN song song với một mặt phẳng thì ta cần chứng minh MN thuộc một mặt phẳng nào đó cũng song song với mặt phẳng cần tìm. Do tỷ lệ không thay đổi, thì mặt phẳng chứa MN cũng sẽ có một đƣờng thẳng nào đó với tỷ lệ cũng không đổi. - Xây dựng các yếu tố liên tƣởng. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và song song với BC. Kẻ ME // AD (E thuộc BD). Vì AD  (P)  ME // (P). - Phân tích bài toán với yếu tố mới vừa xây dựng. Do ME // AD  Mà MA ED  MB EB MA ND ED ND     EN // BC. MB NC EB NC Vì BC // (P)  EN // (P). - Kết luận: Mặt phẳng (MNE) chứa hai đƣờng thẳng ME và NE cùng song song với (P). Nên (MNE) // (P)  MN // (P). AD và BC cố định nên (P) cố định. Vậy MN luôn song song với mặt phẳng (P) cố định. Việc có thể xây dựng đƣợc các yếu tố phụ hợp lý, đòi hỏi ngƣời giải cần phải nắm vững kiến thức và liên hệ kiên thức tốt. Và quan trọng là những yếu tố phụ thƣờng tập trung vào các tính chất đặc biết: trung điểm, đƣờng cao, đƣờng trung tuyến, song song, vuông góc,…. 3.1.2 Phát triển năng lực so sánh Một định lý hay mệnh đề có thể phát nhiều dƣới nhiều cách, một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau và nhiều bài toán tuy khác nhau nhƣng lại có GVHD: Nguyễn Văn Sáng 34 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG thể có chung một phƣơng pháp giải do chúng có cùng bản chất. Nên phát triển năng lực so sánh có thể sẽ giúp cho học sinh tăng khả năng sáng tạo và nhạy bén trong việc giải toán. Cho các bài toán sau: Bài toán 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Goi D, E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, A’B’, A’C’. Chứng minh DF // (BCC’B’). Bài toán 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Goi D, E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, A’B’, A’C’. Chứng minh (DEF) // (BCC’B’). Bài toán 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Goi D, E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, A’B’, A’C’. Xác định thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng (DEF) Nhận xét: - Bài toán 4: Ta chứng minh một đƣờng thẳng song song với một - Bài toán 5: Ta chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, mặt phẳng. nghĩa là ta cần tìm một đƣờng thẳng thuộc mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia. - Bài toán 6: Ta nhận thấy bài toán 6 chính là tổng hợp từ hai bài toán 4 và 5, ta cần chứng minh (DEF) // (BCC’B’), rồi dựa vào tính chất của đƣờng thẳng song song để suy ra thiết diện cần tìm. So sánh sẽ giúp ta nhận ra điểm giống nhau và khác nhau giữa các bài toán nhằm giúp ngƣời giải có thể xác định đƣợc các dạng bài giống nhau để khái quát thành bài toán tổng quát cũng nhƣ hình thành phƣơng pháp giải chung. Công việc so sánh đòi hỏi ngƣời giải phải có kinh nghiệm và kiến thức đầy đủ về các loại bài toán mới có thể đƣa về bài toán tổng quát và rút ra phƣơng pháp giải. Đặc biệt, ta cần chú ý đến hình vẽ. Vì chúng có thể giúp ta nhận diện ra những điểm giống và khác nhau nhanh nhất ngoài những ngôn ngữ diễn đạt trong bài toán. Nhƣ hai hình vẽ bên dƣới: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 35 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG D' O A' O C' B' D D C C I I A A B B Nếu nhạy bén, ta sẽ nhận ra ngay hình chóp bên phải chính là đƣợc cắt ra bởi hình lập phƣơng bên trái. Để có thể giúp cho học sinh có thể phát triển đƣợc năng lực so sánh này thì ngƣời giáo viên cần hƣớng học sinh đến việc thực hiện phân tích những đặc điểm của các bài toán khác nhau. Sau đó rút ra những điểm giống và khác để có thể đƣa các bài toán cùng loại với nhau về một dạng bài tập. Tổng quát lên phƣơng pháp giải chung. 3.1.3 Phát triển năng lực trừu tƣợng hóa và khái quát hóa a) Năng lực trừu tƣợng hóa Để học tốt môn HHKG đòi hỏi ngƣời học sinh cần phải có khả năng suy luận logic. Ngoài ra, yếu tố góp phần không nhỏ trong quá trình giải quyết đƣợc bài toán đó chính là hình vẽ minh họa. Công việc vẽ hình đƣa từ không gian lên mặt phẳng để thể hiện các mối quan hệ giữa các đối tƣợng với nhau đôi lúc sẽ gây khó khăn cho ngƣời thực hiện. Nếu ngƣời giải chƣa nắm vững đƣợc kỹ năng vẽ hình thì rất có thể hình vẽ sẽ bị sai và dẫn đến việc phân tích - giải quyết vấn đề không đúng với yêu cầu đề ra. Về cơ bản, khả năng trừu tƣợng trong hình học không gian thể hiện ở sự nhận biết đƣợc các hình vẽ ở nhiều góc độ khác nhau nhƣ: - Quan hệ liên thuộc. - Nét thấy và nét khuất. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 36 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Để có thể biểu diễn HHKG lên hình học phẳng thì ta thƣờng dùng nhất là phép chiếu song song. Nhƣng khi đó, các đặc điểm về góc, độ dài,….sẽ không đƣợc bảo tồn nên rất khó tri giác đƣợc chính xác. Ví dụ: S A C B Trong hình chóp S.ABC trên, nếu không đánh dấu góc vuông, thì ta sẽ khó có thể nhận ra rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A. B' C' A' N B C M A Hay đối với hình lăng trụ ABC.A’B’C’, thì ta sẽ không biết đƣợc là MN có cắt đƣờng thẳng BB’ đƣợc hay không. Vì vậy, khi vẽ hình ta cần phải chú ý một số vấn đề sau: - Quan hệ song song đƣợc bào toàn trong không gian. Nên khi vẽ ta thực hiện nhƣ trong hình học phẳng. Đặc biệt là song song và bằng nhau thì ta đƣợc vẽ song song và bằng nhau. Nhƣng hai đoạn thẳng bằng nhau thì ta không thể vẽ bằng nhau đƣợc nhƣ: tam giác cân, hình thang cân,…. - Tỷ số đơn đƣợc bảo toàn trông không gian. Vì vậy, trung điểm, trọng tâm hay tỷ số giữa các đoạn thẳng ta cần vẽ chính xác. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 37 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Sự tiếp xúc giữa đƣờng thẳng và đƣờng tròn đƣợc bảo toàn trong không gian. Nhƣ đƣờng tròn nội tiếp tam giác, tứ giác…. Sẽ đƣợc vẽ tiếp xúc với các cạnh của đa giác tại điểm giữa của các cạnh. b) Năng lực khái quát hóa Khả năng khái quát hóa sẽ giúp cho học sinh có thể kết hợp nhiều đối tƣợng riêng lẻ khác nhau có cùng bản chất nào đó để có thể hoạt động trên cùng một lớp đối tƣợng. Để có thể khái quát đƣợc thì trƣớc tiên ta cần phải phân tích và so sánh để phát hiện ra những điểm chung về bản chất, thuộc tính, quy trình,….của nhóm đối tƣợng mà ta cần khái quát. Xét bài toán 7: Cho tứ diện ABCD đáy là tam giác BCD vuông tại C, có cạnh bên AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Chứng minh (ABC)  (BCD). A D B C Đối với bài toán cơ bản này, thì việc chứng minh sẽ dễ dàng: CD  CB    CD  ( ABC ) CD  AB  CD  ( BCD )  (ABC)  (BCD) Sau khi chứng minh xong, ngƣời giáo viên mở rộng cho học sinh với câu hỏi: “Hai mặt phẳng sẽ vuông góc với nhau khi nào?” Khi đó, học sinh sẽ xem lại cách giải. Từ đó phân tích ra đƣợc, hai mặt phẳng sẽ vuông góc nhau, khi mặt phẳng này chứa một đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Sau đó tiếp tục quy về bài toán “Chứng minh đƣờng thẳng vuông góc mặt phẳng”. Lúc này, học sinh nhận ra rằng bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau, cũng chính là bài toán chứng minh một đƣờng thẳng vuông góc GVHD: Nguyễn Văn Sáng 38 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG với một mặt phẳng. Nhận ra đƣợc điểm chung, từ đó giúp học sinh khái quát lên cách giải cho hai dạng toán chứng minh ở trên. Xét bài toán 8: “Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B. Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với A’B tại H. Chứng minh (P)  (A’BC). A' C' B' H A C B Tƣơng tự nhƣ bài toán 7. Để chứng minh đƣợc mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (A’BC), thì ta cần tìm một đƣờng thẳng nào đó chứa trong (P) và vuông góc với (A’BC). - Bƣớc 1: Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với A’B tại H. Nên AH thuộc mặt phẳng (P). - Bƣớc 2: Chứng minh AH  (A’BC). BC  AB    BC  ( A' AB ) BC  AA'  AH  BC (1) AH  ( A' AB ) Mà: AH  A' B (giả thiết) (2) Từ (1) và (2) ta đƣợc AH  (A’BC) Lại có: AH  (P). - Bƣớc 3: Kết luận: (P)  (A’BC). Trong quá trình giảng dạy, để có thể phát triển khả năng khái quát hóa cho học sinh thì ngƣời giáo viên cần chú ý hai vấn đề sau: - Thay đổi giả thiết, kết luận (ngoại viên) giữ lại bản chất (nội hàm) của bài toán (hoặc một vài đối tƣợng nào đó). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 39 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Đƣa ra câu hỏi khái quát. Điều này giúp cho học sinh hợp nhất đƣợc những cái chung đã phân tích và so sánh đƣợc. 3.2 Áp dụng các thao tác tƣ duy vào bài toán cụ thể 3.2.1 Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh góc vuông bằng a, cạnh bên SC = a 7 và vuông góc với mặt đáy. Tính 7 khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng BC và SA. Giải S H M B C N A Dựng AM  BC, vì tam giác ABC vuông cân tại A. Nên đƣờng cao AM cũng là đƣờng trung tuyến.  MB = MC và AM = a 2 . 2 Dựng AN // BC, CN // AM  CN  AN và BC // (SAN). Suy ra: d(BC, SA) = d(BC, (SAN)) = d(C, (SAN)). Vẽ CH  SN  CH  (SAN). Áp dụng hệ thực lƣợng trong tam giác vuông SCN ta có: 1 1 1 2 7 9    2  2  2 2 2 2 CH CN CS a a a  CH  a 3 Vậy d(BC,SA) = a . 3 Các thao tác tư duy có thể rèn luyện cho học sinh trong bài toán trên: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 40 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG a) Phân tích Nhận thấy BC và SA là hai đƣờng thẳng chéo nhau, nên ta có thể tính khoảng cách bằng phƣơng pháp: - Tìm đoạn vuông góc chung. - Tìm một mặt phẳng chứa SA và song song với BC, quy về bài toán tính khoảng cách từ đƣờng thẳng tới mặt phẳng (hoặc ngƣợc lại). - Tìm hai mặt phẳng lần lƣợt chứa SA và BC, sau đó quy về bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Dựa vào dữ kiện đề bài cho, ta thấy việc xây dựng đoạn vuông góc chung sẽ gặp nhiều khó khăn. Mặt khác, để tìm đƣợc hai mặt phẳng song song chứa SA, BC trong tứ diện cũng không dễ dàng. Vì vậy, ta sẽ thực hiện theo hƣớng thứ hai, tìm một phẳng chứa SA và song song BC. b) Khái quát hóa Từ bai toán trên, ta có thể khái quát lên bài toán tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau mà trong đó có một đƣờng thẳng song song với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng kia. c) Tổng hợp Ta có BC // AN, AN chứa trong mặt phẳng (SAN). Nên BC // (SAN). Suy ra: khoảng cách từ BC đến mặt phẳng (SAN) cũng chính là khoảng cách giữa BC và SA. Mặt khác: CH  SN  CH  (SAN). Mà C thuộc BC. Do đó: CH chính là khoảng cách giữa SA và BC cần tìm. 3.2.2 Bài toán 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó. Giải GVHD: Nguyễn Văn Sáng 41 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG C A B I M J A' C' B' Nhận xét: Mặt phẳng (MB’C) chia khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ thành hai khối chóp C.MABB’ và B’.MA’C’C. + Gọi I là trung điểm AB, ta có: CI  AB (Vì ABC là tam giác đều). CI  AA' (Vì AA’ vuông góc mặt phẳng (ABC)).  CI  ( AA' B' B)  (MABB ' )  CI  a 3 là chiều cao của khối chóp C.MABB’. (1) 2 + Tƣơng tự, gọi J là trung điểm của A’C’, ta có: B’J = a 3 là chiều cao của khối chóp B’.MAC’C. (2) 2 Lại có:  MABB’ là hình thang vuông có đáy nhỏ là MA = AA' , đáy lớn BB’ và 2 chiều cao AB  MA’C’C là hình thang vuông có đáy nhỏ MA’ = AA' , đáy lớn CC’ 2 bằng BB’ và chiều cao A’C’ bằng AB.  S MABB '  S MA'C 'C . (3) Từ (1), (2) và (3)  VC .MABB '  VB '.MAC 'C  VC .MABB ' 1 VB '.MA'C 'C Các thao tác tư duy có thể rèn luyện cho học sinh trong bài toán trên: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 42 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG a) Phân tích Cho I là trung điểm AB. Khi đó: CI  AB; CI  AA’. Nên: CI chính là đƣờng cao của khối chóp C.MABB’. Đồng thời CI cũng là đƣờng cao của tam giác đều ABC. Suy ra: CI = a 3 . 2 Vì hai đáy là hai tam giác đều ABC và A’B’C’ nên sẽ có tính chất giống nhau. Nên ta có thể chứng minh tƣơng tự với J là trung điểm A’C’  B’J là đƣờng cao của khối chóp B’.MAC’C và bằng a 3 . 2 b) Khái quát hóa Đây là dạng toán tính tỷ số thể tích hai khối đa diện nhỏ tạo bởi một mặt phẳng cắt một khối đa diện lớn. Cụ thể trong bài toán này là tỷ số giữa hai hình chóp. Để tính đƣợc thể tích ta cần xác định đƣợc chiều cao và diện tích đáy. c) Tổng hợp Ta có: CI = B’J = a 3 . 2 Hai hình thang MABB’ và MA’C’C có cũng đáy lớn BB’, hai đáy nhỏ MA và MA’ bằng nhau, hai đƣờng cao AB và A’C’ cũng bằng nhau. Nên diện tích của chúng bằng nhau. Suy ra: Thể tích của hai khối chóp C.MABB’ và B’.MA’C’C bằng nhau. Nên tỷ số thể tích sẽ bằng 1. 3.1.3 Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA  (ABCD). Gọi H, K lần lƣợt là hai điểm nằm trên SB, SD, sao cho SH SK  . SB SC Chứng minh rằng HK  SC. Giải GVHD: Nguyễn Văn Sáng 43 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG S K H D A C B Ta có: BD  AC (đƣờng chéo của hình vuông) (1) SA  ( ABCD )    BD  SA. (2) BD  ( ABCD ) Từ (1) và (2)  BD  (SAC)  BD  SC. Mà: SH SK   HK // BC. (định lý đảo Thales) SB SC Suy ra: HK  SC. Các thao tác tư duy có thể rèn luyện cho học sinh trong bài toán trên: a) Phân tích Nhận thấy HK và SC là hai đƣờng thẳng chéo nhau. Nên để chứng minh, ta cần tìm một mặt phẳng chứa đƣờng thẳng này và vuông góc với đƣờng thẳng kia. Nếu H, K lần lƣợt di dộng trên SB, SD và vẫn giữ nguyên tỷ số SH SK  SB SD thì HK luôn vuông góc với SC. Hơn thế nữa là HK luôn luôn vuông góc với mặt phẳng (SAC). b) Khái quát hóa Từ bài toán trên, ta có thể khái quát lên dạng toán chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau: ta chứng minh đƣờng thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng kia. c) Tổng hợp Giả thiết: SH SK  . Áp dụng định lý Thales đảo, ta đƣợc: HK // BC. SB SC Mặt khác: AC  BC. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 44 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Nên: AC  HK. 3.2.4 Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Cạnh bên SA = a 3 vuông góc với mặt đáy. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng AB và SC, tính độ dài của nó. Giải S K H D A E C B Dựng AH  SD; HK // CD; KE //AH. KE là đoạn vuông góc chung cần dựng của AB và SC. Thật vây, ta có: AB  SA    AB  ( SAD )  AB  AH ; AB  AD  Mà: KE // AH  AB  KE Lại có: (1) CD  SA    CD  ( SAD )  CD  AH CD  AD  Mà: AH  SD  AH  (SCD)  AH  SC; Do: KE // AH  KE  SC. (2) Từ (1) và (2)  KE chính là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Áp dụng hệ thức lƣợng trong tam giác vuông SAD, ta có: 1 1 1 1 1 4    2  2  2 2 2 2 AH SA AD 3a a 3a  AH  a 3 . 2 Mà AH // KE; HK // AE  AHKE là hình bình hành  KE = AH = GVHD: Nguyễn Văn Sáng 45 a 3 . 2 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Các thao tác tư duy có thể rèn luyện cho học sinh trong bài toán trên: a) Phân tích Dễ dàng nhận ra AB // (SCD). Nên khoảng cách giữa AB và SC bằng khoảng cách từ AB tới (SCD) và bằng khoảng cách từ A đến (SCD). Ta dựng AH, từ đó ta có thể dự đoán đƣợc đoạn vuông góc chung sẽ song song với AH. Từ các yếu tố đã có, ta có thể xây dựng đoạn vuông góc chung bằng cách kẻ lần lƣợt các đoạn thẳng song song: HK // CD và KE // AH. b) So sánh Nhận thấy d(AB, SC); d(AB, (SCD)); d(A,(SCD)) có cùng tính chất với nhau và cùng có chung kết quả là AH. Do đó: để tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AB và SC, ta sẽ tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) công việc thực hiện sẽ dễ dàng hơn. c) Tổng hợp Ta dựng AH  SD; HK // CD; KE //AH. Do AB  (SAD) nên AB  AH  AH  CD và KE  AB. Nên: AH  (SCD)  AH  SC  KE  SC. KE là đoạn vuông góc chung của AB và SC. 3.2.4 Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 3 , AC = a 2 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABC). Giải S M A C B Ta có: (SBM)  (ABC) = BM. (1) GVHD: Nguyễn Văn Sáng 46 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG AC  BM  AM  BM. (2) Lại có: BM  SA (Do SA  (ABC); BM  (ABC)). Nên: BM  (SAC)  BM  SM. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABC) cũng là góc giữa hai đƣờng thẳng SM và AM bằng SMA. Áp dụng định lý Pythago trong tam giác SAM vuông tại A ta đƣợc: SM  SA  AM 2 2  Mặt khác: cos SMA  2   a 2 a 14   a 3   .  2  2  2 AM 7  . SM 7 Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABC) là: 7 . 7 Các thao tác tư duy có thể rèn luyện cho học sinh trong bài toán trên: a) Phân tích Để xác định góc giữa hai mặt phẳng. Ta xác định giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Sau đó, tìm hai đƣờng thẳng lần lƣợt chứa trong hai mặt phẳng sao cho chúng cùng vuông góc với giao tuyến. Khi đó, góc giữa hai đƣờng thẳng vừa tìm đƣợc cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng cần tìm. b) So sánh Bài toán yêu cầu xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABC). Dựa vào các giả thiết, ta có thể đƣa về bài toán tƣơng tự: Xác định góc giữa SM và mặt phẳng (ABC) hay xác định góc giữa hai đƣờng thẳng SM và AC… c) Khái quát hóa Từ bài toán trên ta có thể khái quát cách xác định góc giữa hai mặt phẳng. Ta xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng, rồi tìm hai đƣờng thẳng lần lƣợt chứa trong hai mặt phẳng đó, cùng vuông góc với giao tuyến. d) Tổng hợp Theo giả thiết thì (SBM)  (ABC) = BM. BM  AM; BM  SM. Kết luận: Góc giữa (SBM) và (ABC) chính là góc giữa AM và SM. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 47 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Chƣơng 4 TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CHỌN LỌC ---------Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  2 AD và các mặt chéo SAC , SBD  là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD và d C, SAB  . * Gợi ý phân tích: Vì C thuộc đƣờng thẳng CD, mà CD song song với mặt phẳng (SAB) nên để tính khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB), ta tính khoảng cách từ CD đến mp (SAB). Mà khoảng cách từ CD đến mp (SAB) chính là khoảng từ trung điểm CD đến mặt phẳng (SAB). Giải S I D K C O A H B Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: S  (SAC )  (SBD) O  AC  AC  ( SAC )   O  ( SAC )  ( SBD ) O  BD  BD  ( SBD )   (SAC )  (SBD)  SO Lại có: SAC là tam giác đều, O là trung điểm AC (O là giao điểm 2 đƣờng chéo của hình chữ nhật ABCD). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 48 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Nên: SO  AC (trong tam giác đều, đƣờng trung tuyến cũng là đƣờng cao). Tƣơng tự với tam giác SBD đều, ta cũng đƣợc: SO  BD Mà: AC  ( ABCD ) BD  ( ABCD )   AC  BD  O   SO  ( ABCD )  SO  AC   SO  BD 1 3 Vậy: VS . ABCD  .SO.S ABCD + Tính S ABCD Áp dụng định lý Pythago trong tam giác ABD vuông tại A, ta đƣợc: AB 2  AD 2  DB 2  (2 AD ) 2  AD 2  DB 2  5 AD 2  a 2  AD  a 5 5  AB  2a 5 5 Nên: S ABCD  AB. AD  2a 5 a 5 2a 2 .  (đvdt) 5 5 5 Mặt khác: Trong tam giác SAC đều cạnh a. Suy ra đƣờng trung tuyến SO  a 3 2 1 a 3 2a 2 a 3 3 .  (đvtt) 3 2 5 15 Vậy: VS . ABCD  . + Tính d(C,(SAB)) Gọi H, K lần lƣợt là trung điểm AB, DC. Ta có: DC // AB   DC  ( SAB )  DC //( SAB ) AB  ( SAB )   Mà: K  DC . Nên: d(C,(SAB)) = d(K,(SAB)) GVHD: Nguyễn Văn Sáng 49 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Trong tam giác SHK ta dựng đƣờng cao KI. KI  SH    d ( K , ( SAB )  KI SH  ( SAB ) Lại có: 1 1 S SHK  .SO.HK  KI .SH 2 2 SO.HK  KI  SH + Tính SH Tam giác SAB cân tại S, nên SH  AB (trung tuyến SH cũng là đƣờng cao). H là trung điểm AB  HB  1 a 5 AB  2 5 Áp dụng định lý Pythago trong tam giác SHB vuông tại H, ta đƣợc: SB 2  SH 2  HB 2 a 5   a  SH    5   2 a 5   SH  a    5   2 4a  SH 2  5 2a 5  SH  5 2 2 2 2 2 a 3 a 5 . 5 a 3. Suy ra: KI  2 4 2a 5 5 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = BC = a, cạnh bên AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AM, B’C. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 50 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG * Gợi ý phân tích: Đây là bài toán tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AM và B’C chéo nhau. Mà trong đó AM chứa trong mặt phẳng (AME) // B’C. Giải B' A' C' E A B M C Tam giác ABC vuông tại B  S ABC   V ABC . A'B 'C '  AA'.S ABC  1 a2 AB.BC  (đvdt) 2 2 a2 a3 2 .a 2 = (đvtt). 2 2 Gọi E là trung điểm của BB’. Khi đó, mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AM, B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng (AME). Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AME). Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME). Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên: 1 1 1 1    2 2 2 h BA BM BE 2 1 1 4 2 7  2  2  2  2  2 h a a a a a 7 h 7 Vậy khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng B’C và AM bằng GVHD: Nguyễn Văn Sáng 51 a 7 . 7 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và BC=a. Đƣờng thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 và mặt phẳng (C’AB) tạo với đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Giải C B A C' B' A' Theo giả thiết ta có: AB  AC (ABC vuông tai A)  AB  AA' ( ABC . A' B' C ' là lãng tru ðýng )   AB  ( AA' C ' C ) AC  AA'  A   AC , AA'  ( AA' C ' C ) Mà: AC '  ( AA' C' C)  AB  AC ' . Nên: AC’ là hình chiếu của B’C lên (AA’C’C)  Góc tạo bởi BC’ với (AA’C’C) chính là BC ' A  30 o Lại có: ( ABC )  ( ABC ' )  AB   AC  AB ( gt )   Góc tạo bởi (ABC) và (ABC’) là góc giữa AC và AC’  AC '  AB (cmt )   CAC ' 60 o Trong tam giác ACC’ vuông tại C, ta có: AC AC  cos 60 o  AC ' AC ' AC 1    AC '  2 AC (1) AC ' 2 cos CAC '  Trong tam giác ABC’ vuông tại A, ta có: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 52 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG tan AC ' B   AB AB  tan 30o  AC ' AC ' AB 3   AC '  3 AB (2) AC ' 3 Từ (1) và (2) suy ra: 2 AC  3 AB  AC  3 AB 2 Mặt khác, trong tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythago ta đƣợc: AC 2  AB 2  BC 2 2  3    AB   AB 2  BC 2  2   7 2a 7 AB 2  a 2  AB  4 7  AC  a 21 . 7 Trong tam giác ACC’, lại có: CC ' CC '  tan 60 o  AC AC a 21 3a 7  CC '  . tan 60 o  CC '  7 7 tan CAC '  Vậy: 1 AB. AC .CC ' 2 1 2a 7 a 21 3a 7  . . 2 7 7 7 3 3a 21  49 V ABC . A'B 'C '  S ABC .CC '  Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên 2a, đáy là ABC vuông tại A, AB=a, AC  a 3 . Hình chiếu của A’ trên mp(ABC) trùng với trung điểm BC. Tính thể tích hình chóp A’.ABC và cosin góc giữa hai đƣờng thẳng AA’, B’C’ theo a. * Gợi ý phân tích: Để tính góc giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau, ta sẽ tìm một đƣờng thẳng khác song song với một trong hai đƣờng thẳng kia và cắt đƣờng thẳng còn lại. Cụ thể là tính góc giữa hai đƣờng thẳng AA’ và B’C’. Ta đƣa về bài toán tính góc giữa AA’ và AN với AN // B’C’. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 53 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Giải C' B' A' M C B A N + Tính V A'. ABC ? Gọi M là trung điểm BC. Theo giả thiết thì M là hính chiếu của A’ lên (ABC).  A' M  ( ABC ) Mà: AM  (ABC )  AM  A' M . Áp dụng định lý Pythago trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: AB 2  AC 2  BC 2    a2  a 3 2  BC 2  4a 2  BC 2  BC  2a  AM  1 1 BC  .2a  a (AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền) 2 2 Trong tam giác AMA’ vuông tại A, áp dụng định lý Pythago, ta đƣợc: AA' 2  AM 2  A' M 2  2a   a 2  A' M 2 2  A' M 2  3a 2  A' M  a 3 Vậy thể tích của A’.ABC là: V A'. ABC  1 1 1 1 a3 A' M .S ABC  . A' M . AB. AC  .a 3. a. a 3  (đvtt) 3 3 2 6 2 + Tính cosin góc giữa hai đƣờng thẳng AA’ và BC. Ta có: B’C’//BC (ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ) Nên góc giữa B’C’ với Â’ cũng là góc giữa BC và AA’. Dựng đƣờng thẳng d đi qua A và song song BC. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 54 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Trên d lấy điểm N sao cho CN // AM Nhận xét: ANCM là hình bình hành (AN // CM, CN //AM)  AN  CM  1 1 BC  2a  a 2 2 Lại có: AN // BC AN  AA'     Góc giữa BC với AA’ là A' AN A Mặt khác: AN // BM    ABMN là hình bình hành AN  BM  a   AB  MN  a Mà: A' M  ( ABC ) ( gt )   A' M  MN MN  ( ABC )  Áp dụng định lý Pythago trong tam giác A’MN vuông tại M, ta có: A' N 2  A' M 2  MN 2   2  A' N 2  a 3  a 2  A' N 2  4a 2  A' N  2a Trong tam giác A’AN, áp dụng định lý cosin ta đƣợc: A' N 2  AA' 2  AN 2  2. AA'.AN . cos( AA' , AN )  2a   2a   a 2  2.2a.a. cos( AA' , AN ) 2 2  4a 2 . cos( AA' , AN )  a 2 1  cos( AA' , AN )  4 Vậy cosin góc giữa hai đƣờng thẳng AA’ và B’C’ là 1 . 4 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB  a 3 , mp(SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích hình chóp S.BMDN và cosin góc giữa hai đƣờng thẳng SM, DN theo a. * Gợi ý phân tích: Tƣơng tự bài toán 4. Giải GVHD: Nguyễn Văn Sáng 55 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG S A D E H M B C N * Tính thể tích hình chóp S.BMDN. Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH  (ABCD). Do đó: SH là đƣờng cao của hình chóp S.BMDN. Ta có: SA2  SB 2  a 2  3a 2  4a 2  AB 2 nên tam giác ABC vuông tại S. Suy ra: SM = AB . 2 a 3 . 2 Mà tam giác SAM đều. Suy ra SH = 1 2 Diện tích tứ giác BMDN là: S BMDN  .S BMDN  2a 2 1 3 Thể tích khối chóp SBMDN là: V  .SH .S BMDN  a3 3 (đvtt) 3 * Tính cosin góc giữa hai đƣờng thẳng SM và DN. Kẻ ME // DN (E AD) Suy ra: AE = a . 2 Đặt  là góc giữa hai đƣờng thẳng SM và DN. Ta có: (SM,ME) =  . Theo định lý ba đƣờng vuông góc ta có: SA  AE. Suy ra: SE = SA 2  AE 2  a 5 ; 2 ME = AM 2  AE 2  Tam giác SME cân tại E nên SME =  và cos   GVHD: Nguyễn Văn Sáng 56 a 2 a 5 2  a 5 2 5 . 5 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền BC = 2a. (i) Tính thể tích khối lăng trụ đó. (ii) Tìm côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng (CA’B’) và (ABC). * Gợi ý phân tích: Giao tuyến của (CA’B’) và (ABC) sẽ song song với AB và đi qua C. Ta tìm hai đƣờng thẳng lần lƣợt chứa trong hai mặt phẳng (CA’B’) và (ABC) cùng vuông góc với giao tuyến đó. Giải A' B' C' A B C + Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Áp dụng định lý Pythago trong tam giác ABC vuông cân tại A. Ta có: AB 2  AC 2  BC 2  2 AB 2  (2a) 2  AB  a 2  AC  a 2 . 1 2 1 2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC  . AB. AC  .a 2.a 2  a 2 (ðvdt). Thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC . A'B 'C '  AA'.S ABC  a.a 2  a 3 (đvtt) + Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (CA’B’). Ta có: AA’  (ABC) (do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng). A' B' // AB    A' B' //( ABC ) . AB  ( ABC )  AC là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (ABC).  Góc giữa (ABC) và (CA’B’) là góc giữa AC và A’C. Đặt (AC,A’C) =  . GVHD: Nguyễn Văn Sáng 57 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Trong tam giác ACA’ vuông tại A, áp dụng định lý Pythago, ta đƣợc:   A' C 2  AC 2  AA' 2  a 2 2  a 2  3a 2  A' C  a 3. Mặt khác, trong tam giác ACA’ ta lại có: cos   AC a 2 6   . A' C a 3 3 Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CA’B’) là 6 . 3 Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60o. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF. Giải S M F I E D C O B A Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của AM và SO trong mặt phẳng (SAC).  EF qua I và song song với BD.  BD  AC , nên BD  (SAC )  BD  SO Vì:   EF  (SAC)  EF  AM và I là trọng tâm của tam giác SAC và cũng là trong tâm của tam giác SBD. 2 a 2 a 2 2  .  EI = FI = .OD = . 3 2 3 3 GVHD: Nguyễn Văn Sáng 58 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG SCO là góc tạo bởi cạnh bên SC và đáy (ABC): SCO = 600. * SA = SC và SCO = 600 nên SAC là tam giác đều cạnh AC = a 2 .  AM  a 2. 3 a 6 SC AC a 2 và SM = .    2 2 2 2 2 a 2 12 a 2 3  6 3 1 2 Vì EF  AM nên S AEMF  . AM .EF  AM .EI  * EF  (SAC) và SM  (SAC)  SM  EF . (1) * SAC là tam giác đều nên SM  AM. (2) Từ (1) và (2) suy ra: SM  (AEMF)  SM là đƣờng cao của hình chóp S.AEMF. 1 a 2 a2 3 a3 6 (đvtt) .  3 2 3 18 1 3 Vậy thể tích của S.AEMF là: V  .SM .S AEMF  . Bài 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD , d SA, DM  và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD . Biết rằng mặt phẳng ( SDM  tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 600. * Gợi ý phân tích: SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) chứa DM. Nên ta sẽ dựng đoạn vuông góc chung trong mặt phẳng (ABCD). Giải S I D A O B M C + Tính thể tích khối chóp S.ABCD và d(SA,DM). Ta có: ABCD là hình vuông, M là trung điểm BC.  MA = MD   AMD cân tại M. Dựng đƣờng cao AH. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 59 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Do A là hình chiếu của S lên (ABCD) Nên: AH là hình chiếu của SH lên (ABCD). ( SDM )  ( ABCD )  DM   Lại có: AH  DM   SH  DM  Mặt khác: góc giữa (SDM) và (ABCD) là SHA = 60o AH  DM   d(SA,DM) = AH. AH  SA  Xét hai tam giác AHD và DCM Ta có: AHD  DCM  90 o Góc HAD và MDC bằng nhau  AHD và DCM đồng dạng (g-g)  AH AD  DC DM  AH  AD.DC  DM a.a a a2    2 2  2a 5 5 Trong tam giác SAH vuông tại A, ta có: tan SHA = 2a 5 2a 15 SA . 3= .  SA  AH . tan SHA  SA  5 5 AH 1 3 Suy ra: VS . ABCD  SA.S ABCD = 1 2a 15 2 2a 3 15 . .a = (đvtt). 3 5 15 + Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có tam giác BCD vuông cân tại C. Nên O chính là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Dựng trục đƣờng tròn tâm O cắt SC tại I. Khi đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD. Vì: IS = IC (OI là đƣờng trung bình của tam giác SAC. IB = ID (hai tam giác SBC và SDC bằng nhau có SC chung) IC = IB (tính chất đƣờng trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SBC) GVHD: Nguyễn Văn Sáng 60 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Nên: IS = IB = IC = ID 2   1 1  2a 15  1    a 2 = .SC = SA 2  AC 2  2 2  5  2 2  a 110 . 10 Bài 9: Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B và AB=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA  (ABCD) và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD) theo a. Giải S A H I D B C Gọi I là trung điểm của AD. Ta có: IA = ID = IC = a  CD  AC. Mặt khác: CD  SA. Suy ra: CD  SC nên tam giác SCD vuông tại C. Trong tam giác vuông SAB ta có: SH SA 2 SA 2 2a 2 2     . 2 2 2 2 2 SB SB 3 SA  AB 2a  a Gọi d1 và d2 lần lƣợt là khoảng cách từ B và H đến mặt phẳng (SCD) thì: d1 SH 2 2    d 2  d1 . d 2 SB 3 3 1 3 Ta có: VB.SCD  .d1 .S SCD  d1  1 2 3.VB.SCD SA.S BCD .  S SCD S SCD 1 2 * S BCD  . AB.BC  .a 2 . Áp dụng định lý Pythago lần lƣợt trong hai tam giác vuông ABC và ICD: AC  AB 2  BC 2  a 2  a 2  a 2 . CD  IC 2  ID 2  AB 2  ID 2  a 2  a 2  a 2. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 61 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Lại có: SC  SA 2  AC 2  a 2   a 2  2 2  2a. 1 2 * S SCD  .SC.CD  a 2 2. a 2 2 a 3 2 a 3 Suy ra: d1  .  d 2  .  . Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là: a . 3 Bài 10: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. * Gợi ý phân tích: Vì A’B chứa trong mp (BCD’) nên khoảng cách từ A đến (BCD’) ta tính khoảng cách từ A đến A’B. Giải D' C' A' B' H D C A B + Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’. Vì AA’  (ABCD)  AA’  AC hay tam giác A’AC vuông cân tại A. Mà: A’C = a  A’A = AC = a 2 . 2 Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B nên AB = BC = a . 2 Vậy thể tích khối tứ diện ABB’C’ là: 1 1 1 a3 2 V  . AB.S BB 'C '  . .BB '.B' C '.AB  . (đvtt) 3 3 2 48 + Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên A’B. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 62 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Ta có: BC  (ABB’A’)  BC  AH. Mà: AH  A’B  AH  (A’BC)  AH  (BCD’)  AH = d(A,(BCD’)). Xét tam giác vuông A’AB ta có: 1 1 1 2 4 6    2  2  2 2 2 2 AH A' A AB a a a  AH  a 6 . 6 Vậy khoảng cách từ A đến (BCD’) là: a 6 . 6 Bài 11: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. CMR: SC  (HAB) và tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Giải S H A C O I B + Chứng minh SC  (HAB) Hạ SO  (ABC). Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều. Nên O là tâm của tam giác đều ABC, suy ra: OC  AB, gọi I là giao điểm của OC và AB. Ta có: AB  SO   AB  ( SCI )  AB  SC AB  CI  (1) Lại có: AH  SC (2) Từ (1) và (2) suy ra: SC  (HAB) + Tính thể tích khối chóp S.ABH. Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông SOC ta đƣợc: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 63 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG 2 a 3 11a 2   SO  SC  OC  (2a)    3  3  2  SO  2 2 2 a 33 3 Trong tam giác SIC lại có: IH.SC = SO.IC = 2SISC  IH  1 2 Ta có: S ABH  . AB.IH  SO.IC a 11  . SC 4 a 2 11 (đvdt) 8 Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông IHC ta có: 2 2  a 3   a 11  a2     HC  IC  IH      16  2   4  2 2  HC  a . 4 2  SH  SC  HC  2a  a 7a  . 4 4 Vậy thể tích khối tứ diện S.ABH là: 1 1 a 2 11 7a 7a 3 11 V  .S ABH .SH  . .  (đvtt) 3 3 8 4 96 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. * Gợi ý phân tích: Để chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh đƣờng thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng kia Giải GVHD: Nguyễn Văn Sáng 64 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG S M A B H K D P N C + Chứng minh AM  BP. Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD đều nên SH  AD. Do (SAD)  (ABCD) nên SH  (ABCD). Mà BP  (ABCD)  SH  BP. (1) Xét hình vuông ABCD có tam giác CDH và tam giác BCP bằng nhau  CH  BP . (2) Từ (1) và (2) suy ra BP  (SHC). Vì MN // SC và AN // CH nên (AMN) // (SHC). Suy ra: BP  (AMN)  BP  AM. + Tính thể tích khối tứ diện CMNP. Kẻ MK  (ABCD), K  (ABCD). * MK = a 3 1 .SH = . 2 4 1 2 * S CNP  .CN .CP  a2 . 8 1 3 1 a 3 a2 a3 3 .  (đvtt) 3 4 8 96 Ta có: VCMNP  .MK .S CNP  . Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ . Có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). * Gợi ý phân tích: Tƣơng tự bài toán 10. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 65 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Giải M A' C' I B' K A C H B + Tính thể tích tứ diện IABC. Hạ HI  AC (H  AC)  HI  (ABC). * HI là đƣờng cao của tứ diện IABC.  HI //AA’  HI CI 2 2 4a    HI  AA'  . AA' CA' 3 3 3 Áp dụng định lý Pythago trong tam giác A’AC vuông tại A ta đƣợc: AC  A' C 2  AA' 2  (3a) 2  (2a) 2  a 5 Tƣơng tự, trong tam giác ABC vuông tại B BC  AC 2  AB 2  5a 2  a 2  2a . 1 2 1 2 * Diện tích tam giác ABC là: S ABC  . AB.BC  .a.2a  a 2 1 3 1 4a 2 4a 3 .a  (đvtt) 3 3 9 Vậy thể tích tứ diện IABC là: V  .HI .S ABC  . + Tính d(A,(IBC)). Hạ AK  A’B (K  A’B). Vì BC  (ABB’A’) nên AK  BC  AK  (IBC). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) là AK. Xét tam giác AA’B ta có: 2.S AA 'B AA'.AB 1 S AA 'B  . AK . A' B  AK   2 A' B A' B Áp dụng định lý Pythago trong tam giác A’AB vuông tại A ta có: A' B  A' A2  AB 2  4a 2  a 2  a 5 . GVHD: Nguyễn Văn Sáng 66 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG  AK  2a.a a 5  2a 5 . 5 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) là: 2a 5 . 5 Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600.Gọi I là trung điểm AD.Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải S A H B I D C K Theo giả thiết ta có: (SIB)  (ABCD) và (SIC)  (ABCD). Nên: SI  (ABCD)  SI là đƣờng cao của hình chóp S.ABCD. Kẻ IK  BC (K  BC)  BC  (SIK)  SKI = 600. Diện tích hình thang ABCD: S ABCD  ( DC  AB ). AD (a  2a).2a   3a 2 (ðvdt) . 2 2 Mặt khác: S ABCD  S ABI  S CDI  S IBC  1 1 AI . AB  .ID.IC  S IBC 2 2 1 1 3a 2  S IBC  3a 2  .a.2a  .a.a  2 2 2 1 2 Kẻ CH  AB  CH = AD và AH = BH = . AB . Xét tam giác vuông HBC ta có: CB  CH 2  HB 2  (2a) 2  a 2  a 5. 1 2 Lại có: S IBC  .IK .CB  IK  GVHD: Nguyễn Văn Sáng 2.S IBC 3a 5  . CB 5 67 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Trong tam giác SIK ta có: SI = IK.tanSKI = 3a 5 3a 15 . tan 60  . 5 5 1 1 3a 15 3a 3 15 2 Thể tích khối chóp S.ABCD là: V  .SI .S ABCD  . (đvtt) .3a  3 3 5 5 Bài 15: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AB  BC  CD  a, AD  2a . Các cạnh bên hình chóp đều tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD và d SB, CD  và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. Giải S M H A D O B C I K + Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Gọi O là trung điểm AD. Nhận xét: OA = OC (AOCB là hình bình hành) OB = OD (DOBC là hình bình hành).  OA = OB =OC = OD.  Hình thang ABCD là một nữa của lục giác đều. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 68 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG A D O B C K  O là hình chiếu của S lên AD  SO  AD  SO  (ABCD). * Trong tam giác SOA vuông tại O ta có: SO = OA.tan 600 = a 3 . * Diện tích hình thang ABCD là: S ABCD  3a 2 3 . 4 1 3 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V  .S ABCD .SO  9a 3 (đvtt) 4 + Tính d(SB,CD). Ta có: CD // OB  CD // (SOB)  d(SB,CD) = d(CD,(SOB)) .Kẻ BI vuông góc với CD (I  CD). Suy ra: BI là khoảng cách từ CD đến (SOB). Mặt khác: trong tam giác BCK đều cạnh a có BI là đƣờng cao  BI = a 3 . 2 Vậy d(SB,CD) = a 3 . 2 + Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Lại có: O là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp hình thang ABCD.  SO là trục đƣờng tròn. Gọi M là trung điểm SA. Trong mặt phẳng (SAO), kẻ đƣờng trung trực của SA cắt SO tại H. Khi đó, H là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Thật vậy: HS = HA (tam giác SHM bằng tam giác AHM). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 69 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG HA = HB = HC = HD (Tính chất của trục đƣờng tròn). Xét hai tam giác SOA và SMH có: SOA = SMH = 900. Góc S chung.  tam giác SOA đồng dạng SMH  SH SM SM .SA SA 2 SO 2  OA2 3a 2  a 2 2a 3   SH      . SA SO SO 2.SO 2.SO 3 2.a 3 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 2a 3 . 3 Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD= a 2 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB. * Gợi ý phân tích: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta tìm một đƣờng thẳng chứa trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. Giải S N A D M I H B C + Chứng minh (SAC)  (SMB). Xét tam giác ABM và BCA vuông có: AM AB 1   AB BC 2  tam giác ABM đồng dạng tam giác BCA. 0 0  ABM = BCA  ABM + BAC = BCA + BAC = 90  AIB = 90 .  MB  AC. (1) SA  (ABCD)  SA  MB. (2) GVHD: Nguyễn Văn Sáng 70 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Từ (1) và (2)  MB  (SAC)  (SMB)  (SAC). + Tính thể tích khối tứ diện ANIB Gọi H là trung điểm của AC  NH là đƣờng trung bình của SAC.  NH = SA a  và NH // SA nên NH  (ABI). 2 2 1 3 Do đó: V ANIB  .NH .S ABI . Trong tam giác ABM vuông tại A, áp dụng hệ thức lƣợng ta có: 1 1 1 1 1 2 3     2  2  2 2 2 2 2 AI AB AM AI a a a a 3  AI  3 Áp dụng Pythago trong tam giác vuông AIB ta có: 2 BI  a 3 a 6   AB  AI  a    3  3  2 2 2 Diện tích tam giác ABI là: S ABI  1 a2 2 . AI .BI  2 6 1 a a2 2 a3 2  Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là: V  . . . (đvtt) 3 2 6 36 Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi E, F lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCFE. Giải S F E H C A K B GVHD: Nguyễn Văn Sáng 71 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK. Do BC  AK; BC  SA  BC  AH. Do AH  SK; AH  BC  AH  (SBC). Áp dụng hệ thức lƣợng trong: - Tam giác SAK vuông tại A ta có: 1 1 1 1 1 19    2   . 2 2 2 2 AH SA AK 4a 12a 2 a 3    2     AH  2a 3 19 . - Tam giác SAB vuông tại A ta có: SE SA 2 4 SA  SE.SB    . SB SB 2 5 2 - Tam giác SAC vuông tại A ta có: SA 2  SF .SC  Suy ra: SF SA 2 4   . SC SC 2 5 S SEF 16 9 9a 2 19   S BCFE  S SBC  . S SBC 25 25 100 Vậy thể tích của khối chóp A.BCFE là: 1 1 2a 3 9a 2 19 3a 3 3 V  . AH .S BCFE  . .  . (đvtt) 3 3 19 100 50 Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đƣờng thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SA và BC theo a. *Gợi ý phân tích: Tƣơng tự bài toán 4. Giải GVHD: Nguyễn Văn Sáng 72 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG S C B K H D N A x + Tính thể tích khối chóp S.ABC Vì SH  (ABC) nên góc giữa SC và (ABC) là góc SCH bằng 600. Hạ CD  AB  AD = DB. Ta có: HA = 2HB  HB = 1 a a a a AB =  HD =   3 3 2 3 6 Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông CDH ta có: 2  a 3   a 2 a 7     CH  CD  HD   .  6 2 3   2 2 Trong tam giác vuông SHC có: SH = CH.tan600 = a 21 . 3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1 1 1 a 3 a 21 a 3 7 V  .S ABC .SH  . .CD. AB.SH  . .a.  (đvtt) 3 3 2 6 2 3 12 + Tính d(SA,BC). Kẻ Ax // BC, hạ HN  Ax  BC // (SAN).  d(SA,BC) = d(BC,(SAN)) = d(B,(SAN)). Vì AB = 3 3 AH  d(B,(SAN)) = . d(H,(SAN)). 2 2 Hạ HK  SN, ta có: AN  HN    AN  ( SHN )  AN  HK . (1) AN  SH  Lại có: HK  SN. (2) Từ (1) và (2) suy ra HK  (SAN).  d(H,(SAN)) = HK. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 73 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Áp dụng hệ thức lƣợng trong tam giác vuông SNH, ta có: 1 1 1 24    2 2 2 2 HK SH HN 7a  HK = a 7 a 42 .  24 12  d(B,(SAN)) = 3 a 42 . .HK  2 8 Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh góc vuông bằng a. Đƣờng thẳng BC’ tạo với mặt đáy góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng AA’ và BC’. * Gợi ý phân tích: Tƣơng tự bài toán 1. Giải C' B' A' 30 C B A + Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Vì CC’  (ABC) nên góc giữa BC’ và mặt đáy (ABC) là góc CBC’ bằng 300. Xét tam giác C’CB có: CC’ = BC.tan300 = a 2. 1 3  a 6 . 3 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 1 1 a 6 a3 6 V  S ABC .CC '  . AB. AC.CC '  .a 2 .  (đvtt) 2 2 3 6 + Tính d(AA’, BC’). Vì AA’ // CC’  AA’ // (BCC’B’). Do đó: d(AA’, BC’) = d(AA’, (BCC’B’)) = d(A, (BCC’B’)). Hạ AH  BC  AH  (BCC’B’), suy ra: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 74 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG d((A, (BCC’B’)) = AH = a 2 1 BC = . 2 2 Vậy khoảng cách giữa AA’ và BC’ là: a 2 . 2 Bài 20: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm M của cạnh SC. Tính tỷ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. Giải S N M D A O C B Theo giả thiết  mặt phẳng (P) cắt SD tại N, ta có: ( P)  ( SCD)  MN   AB  ( P), CD  ( SCD)  AB // CD   MN // AB // CD.  N là trung điểm của SD. Vậy mặt phẳng (P) cắt khối chóp theo thiết diện là hình thang ABMN. * VS . ANB SA SN SB 1  . .  VS . ADB SA SD SB 2 1 1  VS . ANB  .VS . ADB  .VSABCD . (1) 2 4 * VS .BMN SB SM SN 1  . .  . VS .BCD SB SC SD 4 1 1  VS .BMN  .VS .BCD  .VS . ABCD (2) 4 8 Từ (1) và (2) ta đƣợc: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 75 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG 3 VS . ABMN  VS . ANB  VS .BMN  .VS . ABCD . 8 5  3  V ABMNCD  1  .VS . ABCD  .VS . ABCD . 8  8 Vậy tỷ số thể tích cần tìm là: VS . ABMN 3  . V . ABMNDC 5 Bài 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và góc SBC bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a. * Gợi ý phân tích: Tƣơng tự bài toán 1. Giải S K B H C D A + Tính thể tích khối chóp S.ABC Dựng SH  BC, vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC). Xét tam giác SBH có: SH = SB.sin300 = a 3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1 1 V  .S ABC .SH  .BA.BC.SH  .3a.4a.a 3  2a 3 3 (đvtt) 3 6 6 +Tính d(B,(SAC)) Trong tam giác SBH ta có: BH = SB.sin300 = 3a Suy ra: HC = a  BC = 4.HC  d(B,(SAC)) = 4.d(H,(SAC)). GVHD: Nguyễn Văn Sáng 76 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Áp dụng định lý Pythago trong tam giác ABC ta đƣợc: AC  AB 2  BC 2  9a 2  16a 2  5a Kẻ HD  AC (1) HK  SD (2) Vì SH  (ABC)  SH  AC (3) và SH  HD. Từ (1) và (3) suy ra AC  (SHD)  AC  HK (4) Từ (2) và (4) suy ra HK  (SAC)  HK = d(H,(SAC)). Xét hai tam giác CHD và CAB, ta có: Góc C chung; ABC = HDC = 900. Nên tam giác CHD đồng dạng tam giác CAB.  DH CH AB.CH 3a   DH   BA CA CA 5 Trong tam giác SHD vuông tại H có HK là đƣờng cao nên ta có: 1 1 1 3a 7    HK  2 2 2 14 HK HS HD  d ( B, ( SAC ))  4.HK  6a 7 7 Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn 1 4 AC sao cho AH= AC. Gọi CM là đƣờng cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải S M A B H D C + Chứng minh M là trung điểm SA. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 77 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Ta có: AC = a 2 (đƣờng chéo hình vuông ABCD cạnh a).  AH = 1 a 2 3a 2 ; HC = AC  4 4 4 Áp dụng định lý Pythago trong tam giác SHA vuông tại H ta có: 2 a 2 a 14   SH  SA  AH  a    4  4  2 2 2 Tƣơng tự trong tam giác SHC vuông tại H ta có: 2 2  a 14   3a 2     SC  SH  HC     4  a 2 4     2 2 Vậy SC = AC nên suy ra tam giác SAC cân tại C, do đó đƣờng cao CM cũng chính là đƣờng trung tuyến. Suy ra: MA = MS. + Tính thể tích khối chóp S.MBC Áp dụng công thức tỷ số thể tích ta đƣợc: VS .MBC SM SB SC SM 1  . .   VS . ABC SA SB SC SA 2 1 1 1 1 a 14 a 3 14  VS .MBC  VS . ABC  . S ABC .SH  .a 2 .  2 2 3 12 4 48 GVHD: Nguyễn Văn Sáng 78 (dvtt ) SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG PHẦN KẾT LUẬN ---------► Kết quả đạt đƣợc. - Hệ thống đƣợc cơ sở lý thuyết của tƣ duy. - Phân tích đƣợc một số bài toán theo các thao tác của tƣ duy. Nền tảng cho việc áp dụng vào giảng dạy thực tế. - Thống kê đƣợc một số phƣơng pháp giải toán hình học không gian thƣờng gặp ở phổ thông. - Tổng hợp đƣợc một số bài tập về dạng toán tính thể tích thƣờng gặp trong các đề thi đại học – cao đẳng. - Tài liệu tham khảo bổ ích. ► Hạn chế. - Số lƣợng bài toán phân tích theo các thao tác của tƣ duy còn hạn chế. - Chƣa thực hiện đƣợc công việc thực nghiệm trong quá trình thực tập sƣ phạm. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 79 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG TÀI LIỆU THAM KHẢO ---------[1] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy,….SGK hình học 11, Nxb Giáo Dục, 2007. [2] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy,….SGK hình học 12, Nxb Giáo Dục, 2007. [3] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy,….SGV hình học 11, Nxb Giáo Dục, 2010. [4] Lê Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sƣ Phạm, 2004. [5] Nguyễn Phú Lộc, Giáo trình Lý luận dạy học toán học, Đại học Cần Thơ. [6] Nguyễn Phú Lộc, Giáo trình Xu hướng dạy học không truyền thống, Đại học Cần Thơ. [7] Nguyễn Phú Lộc, Giáo trình học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, Đại học Cần Thơ. [8] Nguyễn Đức Nghị, Phân loại toán hình học 11 theo chuyên đề, Nxb Giáo Dục, 2013. [9] Đoàn Quỳnh, Văn Nhƣ Cƣơng,….SGK hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo Dục, 2006. [10] Đoàn Quỳnh, Văn Nhƣ Cƣơng,….SGK hình học 12 nâng cao, Nxb Giáo Dục, 2006. [11] Đoàn Quỳnh, Văn Nhƣ Cƣơng,….SGV hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo Dục, 2010. [12] Lê Mậu Thảo, Lê Mậu An Bình, Phương pháp giải Toán hình học 12 nâng cao, Nxb Giáo Dục, 2008. GVHD: Nguyễn Văn Sáng 80 SVTH: Nguyễn Phú Hào [...]... ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính SI + Dạng 3: Tìm một đoạn thẳng, sao cho các đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng đó dƣới một góc vuông GVHD: Nguyễn Văn Sáng 26 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Chƣơng 3 RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - 3.1 Vận dụng các thao tác tƣ duy vào giải toán 3.1.1... hiện các mối quan hệ GVHD: Nguyễn Văn Sáng 12 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Sáng tạo: là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tìm những kết quả mới, những phƣơng pháp giải quyết vấn đề mới không theo bất kì một khuôn mẫu nào GVHD: Nguyễn Văn Sáng 13 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán. .. quyết các nhiệm vụ của tƣ duy Việc thực hiện các thao tác tƣ duy có thể không tuân theo một thứ tự nhất định và cũng không nhất thiết phải sử dụng tất cả các thao tác trong một quá trình tƣ duy 1.5 Các sản phẩm của tƣ duy 1.5.1 Khái niệm GVHD: Nguyễn Văn Sáng 11 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Những tri thức đã đƣợc khái quát hóa ở một loạt các. .. Sáng 30 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Một bài toán có thể có nhiều cách giải, nhƣng ta cần phải biết lựa chọn hƣớng đi nào tối ƣu nhất để giải đƣợc bài toán một cách dễ dàng Tùy vào từng điều kiện và yêu cầu đề bài, mà ta có những phƣơng pháp khác nhau Có thể cách này sẽ tối ƣu với bài toán này, nhƣng với bài toán kia thì lại khá rắc rối,... thẳng qua điểm M cho trƣớc và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trƣớc Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng * Phương pháp giải: Muốn dựng một đƣờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P), ta thực hiện các bƣớc sau: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 18 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Chọn một đƣờng thẳng d chứa trong (P)., rồi dựng mặt phẳng (Q) đi qua. .. còn lại, ta xem có phải đó là kết luận của một mệnh đề nào khác nữa hay không Ta tiếp tục thực hiện lại các thao tác trên cho đến khi kiểm tra đầy đủ tất cả các điều kiện có trong giả thiết Sơ đồ minh họa quá trình thực hiện: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 27 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Theo sơ đồ trên, thì ta cần phải có ba điều kiện i) ii) và iii)... ra nhiều khó khăn trong việc giải Ví dụ: Xét bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SAD; M là điểm trên đoạn DC sao cho DC = 3DM Chứng minh rằng MG // (SBC).” S S C C B K D B G G M M I A D a) GVHD: Nguyễn Văn Sáng I A b) 31 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG Để chứng minh MG // (SBC), ta cần... hay tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng - Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm O Điểm M cách đều ba điểm A, B, C Khi đó, MO chính là trục của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) GVHD: Nguyễn Văn Sáng 20 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG - Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng... chiếu vuông góc của A trên SC CMR: SC  (AHB) và tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Dựa vào các dữ kiện đề bài đã cho, thì ta có thể tính thể tích khối chóp S.ABH theo hai cách nhƣ sau: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 28 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG + Cách 1: S H A C O I B * Tính thể tích khối chóp S.ABH Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông... nhị diện, ta có các cách sau: + Cách 1: - Tìm một góc phẳng xOy của hai mặt phẳng (P) và (Q) - Dựng giao tuyến d của (P) và (Q); đƣờng phân giác Oz của góc xOy - Khi đó, mặt phẳng tạo bởi đƣờng thẳng d và Oz chính là mặt phẳng phân giác cần tìm GVHD: Nguyễn Văn Sáng 22 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG + Cách 2: - Tìm điểm A cách đều hai mặt ... Hào Rèn luyện thao tác tư cho học sinh thông qua toán HHKG Chƣơng 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ………………………… 27 3.1 Vận dụng thao tác. .. tư cho học sinh thông qua toán HHKG Chƣơng RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - 3.1 Vận dụng thao tác tƣ vào giải toán 3.1.1 Phát triển... VB '.MA'C 'C Các thao tác tư rèn luyện cho học sinh toán trên: GVHD: Nguyễn Văn Sáng 42 SVTH: Nguyễn Phú Hào Rèn luyện thao tác tư cho học sinh thông qua toán HHKG a) Phân tích Cho I trung điểm