rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán hình học không gian

Ví dụ: Khi nhắc đến một hình tứ diện, thì thông qua nhận thức cảm tính dựa vào các định nghĩa và tính chất đã học, ta sẽ suy nghĩ ngay đến một khối đa diện có bốn mặt và đều là hình tam

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

ThS Nguyễn Văn Sáng Nguyễn Phú Hào

MSSV: 1100096

Lớp:SP Toán – Tin K36

MỤC LỤC

  

PHẦN MỞ ĐẦU……….…… 1

Chương 1: TƯ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC 3

1.1 Khái niệm về tư duy……….……… 3

1.2 Đặc điểm của tư duy……….……… 3

1.2.1 Tính có vấn đề của tư duy……….………3

1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy…….……… 4

1.2.3 Tính trừu tượng hóa và khái quát hóa của tư duy……….…….5

1.2.4 Tính quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ….………5

1.2.5 Tư duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính………….……… 5

1.3 Các giai đoạn của một quá trình tư duy……….……… 6

1.4 Các thao tác của tư duy….……… ………9

1.4.1 Phân tích – Tổng hợp……….……… 9

1.4.2 So sánh……….………10

1.4.3 Trừu tượng hóa – khái quát hóa ……….……….10

1.5 Các sản phẩm của tư duy……….………… 11

1.6 Vai trò của tư duy trong học tập toán học……….……….12

Chương 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI……… ……… 14

2.1 Quan hệ song song……….………14

2.1.1 Đường thẳng và mặt phẳng.………14

2.1.2 Hai đường thẳng song song………….………15

2.1.3 Đường thẳng song song mặt phẳng……….………16

2.1.4 Hai mặt phẳng song song……….…… 17

2.2 Quan hệ vuông góc……….……… 17

2.2.1 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng……….………… 17

2.2.2 Đường vuông góc và đường xiên……….………… 18

2.2.3 Hai mặt phẳng vuông góc……….….… 21

2.3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc với đường thẳng và mặt phẳng……….……….23

2.4 Thể tích khối đa diện….………24

2.5 Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp……….………….25

Chương 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN……… 27 3.1 Vận dụng các thao tác tư duy vào giải toán……….……… 27 3.2 Áp dụng các thao các tư duy vào bài toán cụ thể………….……… 40 Chương 4: TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CHỌN LỌC………49 PHẦN KẾT LUẬN……… 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO……….80

LỜI CẢM ƠN

  

Sau bốn năm đại học đã để lại trong tôi vô vàng những kỷ niệm về trường lớp,

về thầy cô và bạn bè Quá trình học tập và làm việc trong môi trường đại học năng động đã giúp cho tôi rất nhiều trong quá việc tự hoàn thiện bản thân từ tri thức đến nhân cách sống Và hôm nay, bài Luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành,

có thể nó sẽ chưa được hoàn hảo tuyệt đối nhưng tôi vẫn cảm thấy tự hào Bởi vì, đây là kết tinh của công sức cũng như lòng nhiệt huyết không phải chỉ riêng cá nhân tôi mà còn có sự giúp đỡ của thầy, cô và bạn bè đã dành cho tôi trong suốt khoảng thời gian qua Vì vậy, hôm nay tôi muốn gửi lời cảm ơn đến:

- Mẹ của tôi – người phụ nữ mà tôi yêu quý nhất luôn động viên tôi học tập, cũng như hỗ trợ tôi về mọi mặt

- Thạc sĩ Nguyễn Văn Sáng – thầy đã ra sức hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này

- Cố vấn học tập – Cô Châu Xuân Phương, tuy cô chỉ mới thực hiện cố vấn trong thời gian gần đây Nhưng cô đã rất quan tâm chia sẻ và giúp đỡ tập thể lớp Sư Phạm Toán – Tin k36 trong những học kì cuối này

Và cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tập thể quý thầy, cô trong bộ môn Toán nói riêng và khoa sư phạm nói chung đã nhiệt tình truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong suốt khoảng thời gian đào tạo vừa qua

Do kiến thức cũng như kinh nghiệm của bản thân vẫn còn nhiều hạn chế nên trong quá trình thực hiện có thể sẽ còn mắc phải một số sai sót Vì vậy, rất mong quý thầy, cô cũng như bạn đọc có thể đóng góp ý kiến nhằm giúp cho đề tài được hoàn thiện hơn

Cần thơ, ngày 05 tháng 05 năm 2014

mà còn phải vận dụng chúng một cách hợp lý

Trong chương trình học phổ thông nói chung và đối với môn toán nói riêng thì hình học không gian vẫn là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh Giữa hình học phẳng và hình học không gian có nhiều đặc điểm giống nhau nhưng cũng có một số tính chất khác nhau nên có thể làm cho các em nhầm lẫn Bên cạnh

đó, lại có thêm nhiều định nghĩa, khái niệm mới mà các em chưa từng biết đến.Vì vậy, để các em có thể tiếp thu và ghi nhớ áp dụng vào bài tập sẽ gặp rất nhiều khó khăn Đồng thời, việc tìm ra cách truyền đạt mảng kiến thức này sao cho dễ hiểu cũng là vấn đề không nhỏ đối với một số giáo viên

Trong các kì thi quốc gia những năm gần đây, những bài toán về hình học không gian thường được đưa vào để đánh giá chất lượng của các em Đặc biệt là các bài toán về tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách giữa hai đường thẳng hay mặt phẳng,… Nhưng để các em có thể giải quyết được thì đây là một vấn đề không

hề dễ dàng

Với những lý do như vậy nên tôi quyết thực hiện bài luận văn của mình với đề

tài mang tên là: “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH

THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” Với luận văn

này tôi muốn thống kê lại một số phương pháp để giải các bài toán hình học không gian cơ bản Đồng thời, phân tích một số bài toán theo các thao tác của tư duy nhằm giúp các em có thể tiếp thu kiến thức theo một hướng mới Bên cạnh đó, trong luận này, tôi có tổng hợp lại một số bài tập về dạng toán tính thể tích cơ bản và nâng cao

để quý thầy cô cũng như các em học sinh ở các trường phổ thông có thêm một nguồn tài liệu tham khảo

2 Những chữ viết tắt được sử dụng trong luận văn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Đối tượng nghiên cứu

Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh trong nhà trường trung học phổ thông

b) Phạm vi nghiên cứu

- SGK hình học 11 + 12: cơ bản và nâng cao

- Sách giáo viên

- Các sách về phương pháp và lí luận dạy học môn toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết:

- Các nội dung về tư duy trong giáo trình lí luận dạy học toán

- Các kiến thức liên quan đến hình học không gian lớp 11 và 12

- Các dạng toán có áp dụng thao tác tư duy để giải

- Các phương pháp giải toán cơ bản

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm bốn chương:

- Chương 1: Tư duy trong học tập toán học

- Chương 2: Phân loại một số dạng toán hình học không gian thường gặp trong chương trình phổ thông và phương pháp giải

- Chương 3: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán hình học không gian

- Chương 4: Tổng hợp một số bài toán hình học không gian cơ bản và nâng cao chọn lọc

Chương 1

TƯ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC

- -1.1 Khái niệm về tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật bên trong của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

Tư duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới

về chất so với cảm giác, tri giác Có nghĩa là tư duy phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong, những mối liên hệ, quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng

Ví dụ: Khi nhắc đến một hình tứ diện, thì thông qua nhận thức cảm tính dựa vào các định nghĩa và tính chất đã học, ta sẽ suy nghĩ ngay đến một khối đa diện có bốn mặt và đều là hình tam giác,… Bên cạnh đó, tư duy sẽ cho ta biết được tính chất của trọng tâm, góc tạo bởi các cạnh bên với mặt đáy, thể tích sẽ được tính như thế nào….? Đó là những bản chất bên trong của một hình tứ diện

Tuy rằng tư duy phản ánh những thuộc tính bản chất bên trong của sự vật, hiện tượng nhưng không phải bao giờ tư duy cũng đi đến cái đúng, mà tư duy cũng có thể đi đến cái sai Vì vậy, ta cần biết kết hợp cái hiện tượng bên ngoài và cái bản chất bên trong cùng với chiến thuật và phương pháp tư duy cụ thể

Tư duy phản ánh khái quát, phản ánh những cái chưa biết, nhờ nó mà ta mới có khả năng giải quyết các vấn đề do thực tiễn đề ra

1.2 Đặc điểm của tư duy

Khi hoàn cảnh có vấn đề xuất hiện sẽ kích thích tư duy, nhưng không phải bất cứ hoàn cảnh có vấn đề nào cũng có hoạt động tư duy Vì vậy, để kích thích tư duy thì hoàn cảnh có vẫn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, xác định được cái gì đã biết, cái gì cần tìm và mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm như thế nào để có thể chuyển thành nhiệm vụ của tư duy, giải quyết vấn đề đó

Ví dụ: Trong bài “Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song” của chương trình toán hình học 11 cơ bản có bài toán sau: “Cho hình chóp

S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Với những kiến thức đã biết, khi gặp bài toán này các em sẽ tìm xem có

thể xác định được điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) hay không? Để từ

đó tìm ra được giao tuyến Nhưng trong tình huống này, các em sẽ phải lúng túng

Vì trong giả thiết bài toán, ta chỉ có thể tìm được một giao điểm là S, ngoài ra ta không thể tìm được thêm một giao điểm nào khác Do đó, ta không thể tìm giao tuyến theo cách thông thường được Lúc này, đã xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề

Khi đó, học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề Đó chính là hệ quả của định lý 2 mà các em vừa học

1.2.2 Tính gián tiếp của tư duy

Tư duy có khả năng phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián tiếp thông qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,…

Nhờ phản ánh gián tiếp của tư duy đã giúp con người nhận thức thế giới một cách sâu sắc và mở rộng khả năng hiểu biết của con người, của chủ thể tư duy

Ví dụ: Ứng dụng công nghệ thông tin trong công tác giảng dạy thông qua các phần mềm toán học để có thể dễ dàng minh họa và hướng dẫn cho học sinh cách tìm thiết diện của khối đa diện bị cắt bời một mặt phẳng, hình chóp cụt, hình trụ, hình nón,…

1.2.3 Tính trừu tượng hóa và khái quát của tư duy

Tư duy không chỉ phản ánh sự vật, hiện tượng một cách riêng lẻ cụ thể,

mà còn có khả năng phản ánh sự vật, hiện tượng một cách khái quát Có nghĩa là tư duy có khả năng trừu suất khỏi đối tượng những thuộc tính không bản chất mà chỉ giữ lại những dấu hiệu bản chất chung nhất đặc trưng cho nhiều sự vật hiện tượng cùng loại

Nhờ vào đặc tính khái quát của tư duy mà ta có thể phân loại được sự vật

đó thuộc thuộc nhóm sự vật, hiện tượng nào và có đặc tính gì…

Ví dụ: Trong mặt phẳng, có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c, thì ta kết luận a và b song song nhau Vậy, tính chất này có còn

đúng không gian hay không?

1.2.4 Tính quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Ngôn ngữ là hình thức biểu đạt những sản phẩm của tư duy như: khái niệm, tính chất, ý nghĩa… Mặt khác, ngôn ngữ là một mặt không thể tách rời của tư duy, không có ngôn ngữ thì không có tư duy và ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là một chuỗi âm thanh vô nghĩa, không có nội dung Hay nói cách khác, ngôn ngữ chính là phương tiện của tư duy

Tư duy và ngôn ngữ có mối quan giữa nội dung và hình thức với nhau

1.2.5 Tư duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Tuy tư duy có mức độ nhận thức cao hơn hẳn về chất so với nhận thức cảm tính, nhưng tư duy không tách rời nhận thức cảm tính

Để giải một bài toán trước hết ta dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay giả thuyết, đi đến nhận xét, kiểm tra bằng những hoạt động tư duy để đi đến kết

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Chứng minh: ABMN là

SC M

, Ta nhận thấy hình thang ABMN sẽ có hai đáy là AB và MN

Do điểm M là trung điểm SC

Nên ta dễ dàng đoán ra đƣợc N cũng chính là trung điểm của SD

1.3 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy

1.3.1 Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy

Tƣ duy là một hành động trí tuệ, là một quá trình giải quyết một nhiệm

vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn Quá trình đó đƣợc thực hiện bởi các thao tác trí tuệ nhất định, nó đƣợc diễn ra theo các giai đoạn biễu diễn bởi sơ đồ sau:

1.3.2 Nhận thức vấn đề

Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề là một điều kiện quan trọng của tư duy Khi đó, ta cần nhận thức được vấn đề tức là xác định được vấn đề cần giải quyết ở đây là gì? Chính vấn đề được xác định này quyết định toán bộ những việc giải quyết sau đó: những dữ kiện ban đầu thành nhiệm vụ và việc biểu đạt vấn đề dưới dạng nhiệm vụ giải quyết sau đó của quá trình tư duy

Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình tư duy

1.3.3 Xuất hiện các liên tưởng – huy động các tri thức, kinh nghiệm

Xuất hiện trong đầu những tri thức, kinh nghiệm, những liên tưởng nhất định có liên quan đến vấn đề đã được xác định

Tùy thuộc vào từng nhiệm vụ mà ta cần phải huy động những tri thức, kinh nghiệm,… phù hợp

1.3.4 Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Các tri thức, kinh nghiệm và liên tưởng ban đầu còn mang tính chất rộng rãi, bao trùm và chưa thực sát với nhiệm vụ Nên quá trình sàng lọc này sẽ hình thành giả thuyết nghĩa là cách giải quyết phù hợp với nhiệm vụ của tư duy

1.3.5 Kiểm tra giả thuyết

Chính sự đa dạng của giả thuyết mà ta cần phải kiểm tra xem giả thuyết

giả thuyết và đi đến giải quyết vấn đề, ngược lại nếu giả thuyết sai thì bác bỏ, xây dựng giả thuyết mới, rồi kiểm tra lại

Chính giai đoạn này có thể xuất nhiệm vụ mới, hoạt động tư duy mới

- Bỏ sót một số dữ kiện của bài toán

- Dựa vào bài toán điều kiện thừa

- Cứng nhắc, khuôn mẫu của tư duy

Xét bài toán: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các

đoạn AB, AD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF)

+ Nhận thức vấn đề:

C là điểm chung

+ Xuất hiện liên tưởng

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF), ta có hai cách:

- Tìm hai giao điểm của hai mặt phẳng (BCD) và (CEF)

- Tìm một giao điểm và hai đường thẳng chứa trong hai mặt

phẳng (BCD) và (CEF) song song với nhau

+ Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Ta thấy cách thứ hai sẽ dễ dàng hơn vì dễ nhận ra EF chính là đường trung bình của tam giác ABD Nên EF // BD Với điều kiện, C là giao điểm chung Thì ta

sẽ nhanh chóng xác định được giao tuyến hơn cách thứ nhất là tìm thêm một giao điểm thứ hai

Ta dựng đường thẳng d đi qua C và d // BD, d // EF

+ Kiểm tra giả thuyết

E, F lần lượt là trung điểm của AB, AD

)(

BCD BD

CEF EF

(2) Lại có: C là điểm chung (3)

// EF (cách thứ 2)

Sau khi kiểm tra giả thiết, ta sẽ trình bày lại với lời giải

Giai đoạn sàng lọc, liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt động tư duy tích cực nhất, chủ thể tư duy phải tiến hành phân tích tổng hợp, so sánh, khái quát…hay còn là các thao tác của tư duy

1.4 Các thao tác tư duy

1.4.1 Phân tích – Tổng hợp

Khi một đối tượng có nhiều thành phần, bộ phận Trong đó, mỗi bộ phận

có mối quan hệ khác nhau Thì để giúp cho việc nhận thức dễ dàng và toàn diện hơn thì ta cần phân tích, nghĩa là phân chia đối tượng thành những bộ phận, những thuộc tính, các quan hệ khác nhau theo một hướng nhất định.Sau đó, kết hợp lại các kết quả đã nhận thức ở từng bộ phận thành một chính thể thống nhất thì ta gọi đây là thao tác phân tích và tổng hợp

Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết với nhau, phân tích được tiến hành trên cơ sở tổng hợp và tổng hợp được thực hiện trên kết quả của phân tích

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên

SA(ABCD) Chứng minh: BD(SAC)

B S

Phân tích:

đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (SAC)

Lúc này, dựa vào giả thiết ta nhận ra rằng hai đường thẳng cần tìm chứa

trong mặt phẳng (SAC) chính là SA và AC

1.4.2 So sánh

So sánh là sự xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất của sự vật hiện tượng

So sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tư duy Nhờ có sự so sánh các

sự vật hiện tượng với nhau mà ta có thể lĩnh hội tất cả tính đa dạng độc đáo và phức tạp của chúng

Bên cạnh đó, so sánh cũng có mối quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp Phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật sau đó so sánh rồi tổng hợp lại xem có gì giống nhau hay khác nhau

1.4.3 Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trừu tượng hóa: Là quá trình gạt bỏ khỏi đối tượng những bộ phận, thuộc tính quan hệ không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy

Ví dụ: Khi nhắc đến một hình trụ, thì hình ảnh thực tế xuất hiện ngay trong suy nghĩ của ta sẽ là một cái ống hay một hộp sữa bò, v.v…

Khái quát hóa: Là quá trình dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau trên cơ sở có một số thuộc tính giống nhau nào đó

Ví dụ: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) trong

a) b) c)

Sau khi đã chứng minh được, ta có thể khái quát lên: Cách để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng như sau:

- Bước 1: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đường thẳng a sao cho da

- Bước 2: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đường thẳng b sao cho db

- Bước 3: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M

Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ qua lại với nhau Muốn khái quát hóa thì ta phải trừu tượng hóa những dấu hiệu không bản chất Khái quát hóa chính là sự tổng hợp ở mức độ cao Vì vậy, để phát triển năng lực trừu tượng hóa và khái quát hóa, ta cần phải rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp

Tóm lại: Trong quá trình tư duy, các thao tác tư duy có quan hệ mật thiết với

nhau, chúng thống nhất với nhau theo một hướng nhất định để giải quyết các nhiệm

vụ của tư duy Việc thực hiện các thao tác tư duy có thể không tuân theo một thứ tự nhất định và cũng không nhất thiết phải sử dụng tất cả các thao tác trong một quá trình tư duy

1.5 Các sản phẩm của tư duy

Những tri thức đã được khái quát hóa ở một loạt các sự vật có cùng chung những dấu hiệu, bản chất nhất định gọi là khái niệm Quá trình tư duy ở trình

độ nào đó sẽ giúp con người nhận thức được một số lượng khái niệm ở một mức độ nhất định Vì vậy, cùng một khái niệm có người hiểu rộng, có người hiểu hẹp

Ví dụ: Với định nghĩa “ Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.” Đối với người bình thường, họ sẽ nghĩ ngay đến hình ảnh một đường thẳng vuông góc với

vô số đường thẳng chứa trong một mặt phẳng Nhưng đối với người có quá trình tư duy ở mức độ cao hơn, họ sẽ suy nghĩ đến việc để chứng minh mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng, thì ta phải làm như thế nào? Tìm một đường thẳng chứa trong mặt phẳng, vuông góc với đường thẳng kia hay là tìm cách để chứng mình toàn bộ đường thẳng thuộc mặt phẳng đó đều vuông góc với đường thẳng đã cho

1.6 Vai trò của tư duy trong học tập toán học

Tư duy giúp ta khái quát được một phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và nắm được mối quan hệ giữa nhiều lĩnh vực khác nhau Mở rộng giới hạn của nhận thức

Một trong những mục đích rèn luyện các thao tác của tư duy đó là học tập toán học Tư duy trong toán học có thể chia ra hai cấp độ:

- Tái tạo: là năng lực học toán, gồm bai giai đoạn: tiếp thu kiến thức, nhận dạng kiến thức đã học và thể hiện các mối quan hệ

- Sáng tạo: là năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tìm những kết quả mới, những phương pháp giải quyết vấn đề mới không theo bất kì một khuôn mẫu nào

Chương 2 PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- -

2.1 Quan hệ song song

2.1.1 Đường thẳng và mặt phẳng

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (dạng 1)

* Phương pháp giải: Muốn tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, đường thẳng đi

qua hai điểm chúng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng

* Chú ý: Muốn tìm điểm chung của hai mặt phẳng, ta tìm hai đường thẳng đồng

phẳng lần lượt chứa trong hai mặt phẳng đó Khi đó, giao điểm ( nếu có) của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng

b) Tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng

* Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P), ta đưa về dạng xác định giao điểm M của đường thẳng a và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P), thì khi đó M cũng chính là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng

(P)

* Chú ý: Nếu đường thẳng b chưa có sẵn, thì ta cần tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a Lúc này, đường thẳng b chính là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)

c) Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy

d) Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động

* Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm M của hai đường thẳng d và d’ di động

Ta tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d’ Khi đó, điểm M sẽ di động trên

giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó

* Chú ý: Nếu d di động nhưng luôn đi qua một điểm A cố định nào đó và cắt đường thẳng d” cố định không đi qua A Thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A, d”)

e) Tìm thiết diện do một mặt phẳng cắt hình chóp (hoặc tứ diện)

Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của các mặt hình chóp với mặt phẳng (P)

* Phương pháp: Ta xác định lần lượt các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt

của hình chóp bằng cách:

- Tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp từ các

điểm chung có sẵn (có thể là mặt trung gian)

- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta được điểm

chúng mới của mặt phẳng (P) với các mặt khác Từ đó xác định được giao tuyến

mới với các mặt còn lại Cứ tiếp tục thực hiện như vậy cho tới khi các giao tuyến khép kín thì ta được thiết diện cần tìm

2.1.2 Hai đường thẳng song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

* Phương pháp giải:

- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song như: định lý đảo của đinh lý Thales, tính chất đường trung bình,…

- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

- Áp dụng tính chất về giao tuyến: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng đường thẳng đó)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song (dạng 2)

- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

- Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (nghĩa là chứng minh giao tuyến song song với một trong hai đường thẳng chứa trong hai mặt phẳng cần tìm giao tuyến)

- Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với đường thẳng

đó

* Chú ý: Để tìm thiết diện của hình chóp, ta có thể kết hợp cả hai cách tìm giao

tuyến ở dạng 1 và dạng 2

c) Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

* Phương pháp giải: Để tính góc giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau ta thực hiện

các bước sau:

- Tìm một điểm M nào đó

- Dựng hai đường thẳng a’, b’ qua M sao cho a’ // a và b’ // b

- Áp dụng công thức tỷ số lượng giác trong tam giác vuông hoặc định lý hàm

số cosin trong tam giác thường để tính góc giữa a’ và b’

2.1.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng

a) Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng

* Phương pháp giải: Muốn chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng d không thuộc mặt phẳng (P) và d song song với d’

chứa trong (P)

* Chú ý: Nếu d’ không có sẵn Ta cần tìm một mặt phẳng (Q) chứa d, khi đó d’

chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

b) Chứng minh hai đường thẳng song song Tìm giao tuyến cắt bởi một mặt phẳng song song với một đường thẳng (dạng 3)

2.1.4 Hai mặt phẳng song song

a) Chứng minh hai mặt phẳng song song

* Phương pháp giải:

- Ta chứng minh một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng kia

- Ta chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba

* Chú ý: Từ đây, ta có được tính chất: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với

nhau, đường thẳng d chứa trong mặt phẳng (Q) Khi đó, d song song với (P) Đây là

cách thứ hai để ta chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

b) Xác định giao tuyến, thiết diện tạo bởi hai mặt phẳng song song

* Phương pháp giải:

- Định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau Định lý này thường được sử dụng để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi phẳng song song với một mặt phẳng cho trước

2.2 Quan hệ vuông góc

2.2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d

a) Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng Hai đường thẳng vuông góc với nhau

* Phương pháp giải:

+ Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta sử dụng

một trong hai cách sau:

- Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c cắt nhau thuộc (P)

- Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b, mà b vuông góc với mặt phẳng (P)

+ Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc đường thẳng b: Ta chứng minh

a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b

* Chú ý: Nếu a và b cắt nhau, ta có thể dùng các phương pháp chứng minh đã học

trong hình học phẳng

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

* Phương pháp giải: Muốn xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta

thực hiện các bước sau:

- Xác định giao điểm M của a và (P)

- Trên đường thẳng a chọn một điểm A (khác M) Dựng AH vuông góc với mặt phẳng (P) (H thuộc (P))

- Khi đó, góc giữa đường thẳng a với mặt phẳng (P) chính là góc AMH

c) Tìm thiết diện qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước

Cho khối đa diện (S), xác định thiết diện của (S) tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua điểm M (cho trước) và vuông góc với đường thẳng d (cho trước)

Nếu có hai đường thẳng a và b cắt nhau (hoặc chéo nhau) cùng vuông góc với

d thì:

- Mặt phẳng (P) song song (hoặc chứa) a

- Mặt phẳng (P) song song (hoặc chứa) b

Dựng mặt phẳng (P): dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d, trong đó có ít nhất một đường thẳng đi qua M Khi đó, mặt phẳng (P) được xác định

bởi hai đường thẳng cắt nhau đó

Xác định thiết diện bằng một trong các cách đã được trình bày ở trên

- Chọn một đường thẳng d chứa trong (P)., rồi dựng mặt phẳng (Q) đi qua M

và vuông góc với d

- Xác định giao tuyến d’ của hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Dựng MH vuông góc với d’ tại H Khi đó, MH chính là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P), độ dài MH cũng chính là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

* Chú ý:

- Cần chọn d sao cho mặt phẳng (Q) dễ xác định (nếu chưa có sẵn)

- Nếu đã có một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta dựng Ax song song với a, khi đó Ax chính là đường thẳng cần tìm

- Nếu AB song song với mặt phẳng (P) thì d(A,(P)) = d(B,(P))

- Nếu AB cắt (P) tại I thì

IB

IA P

B d

P A d



))(,(

))(,(

b) Tìm tập hợp các hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động

* Phương pháp: Muốn tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm A cố định trên

đường thẳng d di động luôn đi qua O, chứa trong mặt phẳng (P) cố định Ta thực

* Phương pháp: Muốn tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc M của một điểm cố

định A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định, ta thực

hiện các bước sau:

- Tìm một mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với d

- Xác định giao tuyến d’ của hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Dựng AM vuông góc với d’ (M thuộc d’) Điểm M cũng chính là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P)

- Gọi E là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Q) Khi đó, trong mặt

, nên M sẽ thuộc đường trong đường kính AE

d) Đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau

Để xác định đoạn vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

chéo nhau, ta có hai dạng như sau:

+ Dạng 1: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau Cho đường thẳng a chứa trong mặt (P), đường thẳng b chứa trong mặt phẳng (Q) Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b cũng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

* Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau:

- Dựng mặt phẳng (P) đi qua chứa a và (P) song song với b

- Chọn điểm M trên b, dựng MH vuông góc với (P) tại H

- Từ H kẻ đường thẳng song song với b và cắt a tại E

- Dựng EF // MH cắt b tại F

Khi đó, EF chính là đoạn vuông góc chúng của a, b

+ Dạng 2: Hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau

* Phương pháp giải:

- Dựng mặt phẳng (P) đi qua a và vuông góc với b

- Xác định giao điểm F của đường thẳng b và mặt phẳng (P)

- Trong mặt phẳng (P), dựng EF vuông góc với a tại E

Khi đó, EF chính là đoạn vuông góc chung của a, b

e) Ứng dụng trục đường tròn

Định nghĩa: Trục đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn Dựa vào tính chất của trục đường tròn, ta có thể chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng hay tính khoảng cách

từ một điểm đến mặt phẳng

- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M cách đều ba điểm A,

B, C Khi đó, MO chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên MO

vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC))

- Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và hai điểm M, N sao cho MA, MB,

MC bằng nhau; NA, NB, NC bằng nhau Thì MN chính là trục đường tròn tâm O, đi

qua ba điểm A, B, C Khi đó, MN vuông góc với (ABC) tại tâm O của đường tròn

- Cách 1: Muốn chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng

(Q), ta tìm một đường thẳng d chứa trong (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q)

và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).”

- Cách 5: Áp dụng định lý: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba”

b) Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) không vuông góc nhau Xác định mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P)

* Phương pháp giải: Chọn một điểm M thuộc đường thẳng d Từ điểm M dựng

đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (P) Khi đó, mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng a, b chính là mặt phẳng (Q) cần tìm

* Chú ý: Nếu d vuông góc với (P), thì (Q) sẽ song song (hoặc chứa) đường thẳng d

c) Góc giữa hai mặt phẳng

* Phương pháp giải: Muốn xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta thực

hiện các bước sau:

- Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Dựng đoạn thẳng AB vuông góc với mặt (P) (hoặc (Q)), sao cho hai đầu mút

A, B chứa trong hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Dựng hình chiếu vuông góc H của A (hoặc B) lên đường thẳng d Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng chính là góc AHB

* Chú ý:

- Nếu có sẵn đường thẳng d’ vuông góc với d và cắt hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt tại A, B Thì ta dựng hình chiếu vuông góc H của A (hoặc B) lên d Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng chính là góc AHB

- Nếu có sẵn hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P),

(Q) thì góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa a và b

- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB (có chung cạnh đáy AB) thì góc giữa hai mặt phẳng chính là góc MIN với I là trung điểm của AB

d) Xác định mặt phân giác của hai mặt phẳng

* Phương pháp giải: Muốn tìm mặt phân giác của nhị diện, ta có các cách sau:

+ Cách 1:

- Tìm một góc phẳng xOy của hai mặt phẳng (P) và (Q)

- Dựng giao tuyến d của (P) và (Q); đường phân giác Oz của góc xOy

- Khi đó, mặt phẳng tạo bởi đường thẳng d và Oz chính là mặt phẳng

phân giác cần tìm

+ Cách 2:

- Tìm điểm A cách đều hai mặt (P) và (Q)

- Dựng giao tuyến d của (P) và (Q)

- Khi đó, mặt phẳng đi qua A và d chính là mặt phẳng phân giác cần tìm

2.3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc với đường thẳng và mặt phẳng

* Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

b a

* Hai đường thẳng phân biệt cũng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

b a

P b

P a

//

) (

) (

)//(

)(

Q a P

a

Q P

( ) //( )

) ( ) (

) (

) (

Q P Q

P

a Q

a P

P

P b

P a

* Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song với nhau

) (

)

P a

b P

b a

H A

.'' '

.

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

C A S

- Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Dựng trục SH của đường tròn ngoại tiếp

- Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường trung trực d của đoạn thẳng SA, d

đi qua trung điểm M

- Đường thẳng d cắt SH tại N Khi đó, N chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp

+ Dạng 2: Cho hình chóp S.ABC, có cạnh bên SA vuông góc với đáy Muốn

tìm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ta thực hiện các bước sau:

- Tìm tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Trong mặt phẳng (d, SA), dựng đường trung trực của SA, cắt d tại I Khi

đó, IA = IB = IC (tính chất trục), IA = IS (tính chất đường trung trực) Nên I chính

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính SI

+ Dạng 3: Tìm một đoạn thẳng, sao cho các đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng

đó dưới một góc vuông

Chương 3 RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH

THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

- -

3.1 Vận dụng các thao tác tư duy vào giải toán

3.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp

Trong quá trình giải toán, phân tích bài toán là ta dựa vào các dữ kiện, yêu cầu của đề bài để hình thành giả thiết, kết luận nhằm tìm ra hướng giải quyết vấn đề Đây là bước tiếp cận tìm lời giải Vì vậy, để giúp học sinh có thể thực hiện tốt bước phân tích này thì người giáo viên cần phải chú ý các kỹ năng sau:

* Đưa bài toán tổng quát vào bài toán cụ thể

Trong chương trình toán HHKG ở phổ thông, sau khi học sinh học về một nội dung hay kiến thức nào đó thì sẽ được vận dụng ngay vào các ví dụ hay bài tập cụ thể Thông thường các kiến thức mới sẽ được thể hiện dưới dạng mệnh đề hay định lý Vì vậy, điều quan trọng là làm như thế nào để ta có thể vận dụng tốt các mệnh đề, định lý ấy vào từng bài toán cụ thể Câu hỏi thường gặp nhất trong các

bài toán HHKG có dạng: “Chứng minh rằng vấn đề A”

Để chứng minh được vấn đề A, thì ta cần phải tìm đầy đủ những giả thiết

mà dữ kiện đề bài đã cho và vấn đề A cần chứng minh chính là kết luận của những

giả thiết đó Đề thực hiện việc chứng minh, ta cần thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Xem A có là kết luận của một mệnh đề hay định lý nào

đó mà ta đã được học

- Bước 2: Sau khi đã xác định được mệnh đề (hay định lý) thì ta xem trong giả thiết cần bao nhiêu điều kiện, điều kiện nào đã được cho sẵn trong bài toán thì ta nêu ra Những điều kiện còn lại, ta xem có phải đó là kết luận của một mệnh đề nào khác nữa hay không Ta tiếp tục thực hiện lại các thao tác trên cho đến khi kiểm tra đầy đủ tất cả các điều kiện có trong giả thiết

Sơ đồ minh họa quá trình thực hiện:

Theo sơ đồ trên, thì ta cần phải có ba điều kiện i) ii) và iii) để có đƣợc

kết luận A Điều kiện ii) thì ta đã có sẵn trong giả thiết còn i) và iii) ta cần tiếp tục

xem xét Lúc này i) chính là kết luận của 1) và 2); iii) là kết luận của x) và y) Quan sát lại bài toán thì điều kiện x), y) và 1) đã có Và ta lại phát hiện ra 2) chính là kết luận của a), b) và c) Đó chính là quá trình thực hiện của ta với những dữ kiện đã có

Ví dụ: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song ta thực hiện

)(

P b

P a

, sao cho a, b cắt nhau

)//(

Q b

Q a

* Phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau

Xét bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a

Dựa vào các dữ kiện đề bài đã cho, thì ta có thể tính thể tích khối chóp

S.ABH theo hai cách nhƣ sau:

+ Cách 1:

O I

3

113

3)

2(

2 2

2 2

2 2

a SO

a a

a OC

Trong tam giác SIC lại có:

IH.SC = SO.IC = 2S ISC

.2

ðvdt

a IH AB

Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông IHC ta có:

164

112

2 2

IH IC

a

HC



4

7 4

2a a a HC

7.8

11.3

1

3

SH S

+ Cách 2:

O K I

3

113

3)

2(

2 2

2 2

2 2

a SO

a a

a OC

2

3.2

1

.2

a

a BC AK

Thể tích hình chóp S.ABC là:

12

114

3.3

33.3

1

3

S SO

Áp dụng công thức tỷ số thể tích ta có:

SC

SH SC

SH SB

SB SA

SA V

V

ABC S

11.8

.

a a

V S ABH   (đvtt)

Nhận xét: Để tính thể tích của khối chóp S.ABH, ta có thể tính trực tiếp hoặc áp dụng công thức tỷ số thể tích để tính

Một bài toán có thể có nhiều cách giải, nhưng ta cần phải biết lựa chọn hướng đi nào tối ưu nhất để giải được bài toán một cách dễ dàng Tùy vào từng điều kiện và yêu cầu đề bài, mà ta có những phương pháp khác nhau Có thể cách này sẽ tối ưu với bài toán này, nhưng với bài toán kia thì lại khá rắc rối, gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải quyết hoặc cần thực hiện công việc hơn Vì vậy, ta cần lựa chọn phương pháp sao cho phù hợp

Rõ ràng, ta dễ dàng nhận ra rằng cách thứ hai phải thực hiện việc tính toán nhiều hơn cách thứ nhất Theo giả thiết thì đề bài đã yêu cầu chứng minh

SC(ABH), nên khi tính thể tích, ta sẽ dựa vào yếu tố vừa chứng minh xong để có

thể tính dễ dàng hơn

Việc phân tích bài toán theo nhiều chiều hướng khác nhau để tìm ra lời giải tối ưu giúp cho ta có thể huy động được nhiều tri thức, củng cố các kiến thức từng học, góp phần bồi dưỡng sự linh hoạt cho tư duy, vận dụng tốt các kiến thức, đồng thời khai thác kiến thức với vai trò là công cụ để hình thành kiến thức mới

* Loại trừ các yếu tố không hợp lý

Rèn luyện khả năng loại trừ các yếu tố không hợp lý là ta chỉ phân tích những yếu tố liên quan đến yêu cầu của bài toán để khẳng định hướng đi cho quá trình giải toán Hạn chế tối thiểu việc phân tích sai để tránh gây ra nhiều khó khăn trong việc giải

Ví dụ: Xét bài toán 2: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SAD; M là điểm trên đoạn DC sao cho DC

G K

Để chứng minh MG // (SBC), ta cần chứng minh MG song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng (SBC)

Theo như giả thiết bài toán cho, học sinh sẽ có thể nhầm và vẽ hình giống như hình a)

Nhận xét: MG sẽ cắt SA tại H (nghi vấn)

Khi đó: (SAD) và (SBC) có chung điểm S và lần lượt chứa hai đường thẳng AD, CB song song với nhau

Với cách làm như trên là lỗi thường gặp nhất đối với học sinh.Từ đó ta sẽ

loại được yếu tố là MG cắt SA, do đường thẳng này không đồng phẳng

Từ đó, ta sẽ phân tích theo một hướng khác theo hình b) là: MI, CB đồng phẳng nên gọi K là giao điểm của chúng

Vậy: MG // (SBC)

Do đó, khi đưa ra một hướng giải ta cần xác định rõ trọng tâm, dữ kiện rơi vào giả thiết nào, để có thể thực hiện đúng với yêu cầu đề ra Bên cạnh đó, nó còn phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm cũng như khả năng trừu tượng hình vẽ của người giải toán

Rèn luyện khả năng loại trừ các yếu tố không hợp lý sẽ giúp cho ta có thể rèn luyện khả năng suy luận logic, đặt nghi vấn hợp lý và hạn chế thấp nhất khả năng phân tích sai đường

* Tạo thêm các yếu tố phụ

Một bài toán không phải lúc nào cũng có đầy đủ các yếu tố để ta có thể giải được, mà đôi khi đòi hỏi ta phải biết xây dựng thêm các yếu tố phụ như: chọn tâm, lấy trung điểm, dựng đường cao, trung tuyến,… nhằm giúp việc giải quyết trở nên dễ dàng dàng hơn Để tìm ra các yếu tố phụ này thì ta cần phải rèn luyện trong suốt quá trình học toán ở phổ thông

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB = AC, DB = DC Chứng minh rằng

BCAD

Như ta đã biết, để chứng minh BC vuông góc với AD thì ta cần chứng minh BC vuông góc một mặt phẳng nào đó chứa AD Theo giả thiết đề bài thì ta thấy BC không thể nào vuông góc với hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) Vì vậy, ta đoán ra được, BC sẽ vuông góc với một mặt phẳng khác Mà AB = AC, nên tam giác ABC cân tại Khi đó, ta sẽ nghĩ ngay đến việc dựng đường cao AH Lúc này, H cũng chính là trung điểm của BC (do tính chất của tam giác cân) Lại có, DB = DC nên DH là trung tuyến cũng là đường cao trong tam giác cân DBC Từ đó, ta sẽ

Việc rèn luyện khả năng tạo yếu tố phụ ta cần chú ý:

- Tập hợp tất cả các yếu tố, giả thiết đã có

- Liên tưởng, nghĩ đến những mối quan hệ, kiến thức liên quan đã từng được học

- Từ các đó ta xây dựng các yếu tố đã liên tưởng đến

- Phân tích bài toán theo yếu tố vừa mới xây dựng

- Giải quyết bài toán

- Nếu vẫn chưa thể giải được ta sẽ tiếp tục tạo thêm các yếu tố phụ (hoặc tạo ra các yếu tố phụ khác)

Xét bài toán 3: Cho tứ diện ABCD Hai điểm M, N di động lần lượt trên

đoạn AB và CD sao cho

NC

ND MB

mặt phẳng cố định

D

E M

N

AB M

và

NC

ND MB

MA



- Xuất hiện liên tưởng

Muốn chứng minh MN song song với một mặt phẳng thì ta cần chứng minh MN thuộc một mặt phẳng nào đó cũng song song với mặt phẳng cần tìm Do tỷ lệ không thay đổi, thì mặt phẳng chứa MN cũng sẽ có một đường thẳng

nào đó với tỷ lệ cũng không đổi

- Xây dựng các yếu tố liên tưởng

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và song song với BC

NC

ND EB

ED

EN // BC

Vì BC // (P)  EN // (P)

- Kết luận:

Mặt phẳng (MNE) chứa hai đường thẳng ME và NE cùng song song

AD và BC cố định nên (P) cố định

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng (P) cố định

Việc có thể xây dựng được các yếu tố phụ hợp lý, đòi hỏi người giải cần phải nắm vững kiến thức và liên hệ kiên thức tốt Và quan trọng là những yếu tố phụ thường tập trung vào các tính chất đặc biết: trung điểm, đường cao, đường trung tuyến, song song, vuông góc,…

3.1.2 Phát triển năng lực so sánh

Một định lý hay mệnh đề có thể phát nhiều dưới nhiều cách, một bài toán

có thể có nhiều cách giải khác nhau và nhiều bài toán tuy khác nhau nhưng lại có

thể có chung một phương pháp giải do chúng có cùng bản chất Nên phát triển năng lực so sánh có thể sẽ giúp cho học sinh tăng khả năng sáng tạo và nhạy bén trong việc giải toán

Cho các bài toán sau:

Bài toán 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Goi D, E, F lần lượt là trung

điểm của AB, A’B’, A’C’ Chứng minh DF // (BCC’B’)

Bài toán 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Goi D, E, F lần lượt là trung

điểm của AB, A’B’, A’C’ Chứng minh (DEF) // (BCC’B’)

Bài toán 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Goi D, E, F lần lượt là trung

điểm của AB, A’B’, A’C’ Xác định thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng (DEF)

Nhận xét:

mặt phẳng

nghĩa là ta cần tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia

toán 4 và 5, ta cần chứng minh (DEF) // (BCC’B’), rồi dựa vào tính chất của đường

thẳng song song để suy ra thiết diện cần tìm

So sánh sẽ giúp ta nhận ra điểm giống nhau và khác nhau giữa các bài toán nhằm giúp người giải có thể xác định được các dạng bài giống nhau để khái quát thành bài toán tổng quát cũng như hình thành phương pháp giải chung Công việc so sánh đòi hỏi người giải phải có kinh nghiệm và kiến thức đầy đủ về các loại bài toán mới có thể đưa về bài toán tổng quát và rút ra phương pháp giải

Đặc biệt, ta cần chú ý đến hình vẽ Vì chúng có thể giúp ta nhận diện ra những điểm giống và khác nhau nhanh nhất ngoài những ngôn ngữ diễn đạt trong bài toán Như hai hình vẽ bên dưới:

I O

3.1.3 Phát triển năng lực trừu tượng hóa và khái quát hóa

a) Năng lực trừu tượng hóa

Để học tốt môn HHKG đòi hỏi người học sinh cần phải có khả năng suy luận logic Ngoài ra, yếu tố góp phần không nhỏ trong quá trình giải quyết được bài toán đó chính là hình vẽ minh họa Công việc vẽ hình đưa từ không gian lên mặt phẳng để thể hiện các mối quan hệ giữa các đối tượng với nhau đôi lúc sẽ gây khó khăn cho người thực hiện Nếu người giải chưa nắm vững được kỹ năng vẽ hình thì rất có thể hình vẽ sẽ bị sai và dẫn đến việc phân tích - giải quyết vấn đề không đúng với yêu cầu đề ra

Về cơ bản, khả năng trừu tượng trong hình học không gian thể hiện ở sự nhận biết được các hình vẽ ở nhiều góc độ khác nhau như:

- Quan hệ liên thuộc

- Nét thấy và nét khuất