TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO CHỌN LỌC

------

3.1 Vận dụng các thao tác tƣ duy vào giải toán 3.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp

Trong quá trình giải toán, phân tích bài toán là ta dựa vào các dữ kiện, yêu cầu của đề bài để hình thành giả thiết, kết luận nhằm tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Đây là bước tiếp cận tìm lời giải. Vì vậy, để giúp học sinh có thể thực hiện tốt bước phân tích này thì người giáo viên cần phải chú ý các kỹ năng sau:

* Đưa bài toán tổng quát vào bài toán cụ thể.

Trong chương trình toán HHKG ở phổ thông, sau khi học sinh học về một nội dung hay kiến thức nào đó thì sẽ đƣợc vận dụng ngay vào các ví dụ hay bài tập cụ thể. Thông thường các kiến thức mới sẽ được thể hiện dưới dạng mệnh đề hay định lý. Vì vậy, điều quan trọng là làm nhƣ thế nào để ta có thể vận dụng tốt các mệnh đề, định lý ấy vào từng bài toán cụ thể. Câu hỏi thường gặp nhất trong các bài toán HHKG có dạng: “Chứng minh rằng vấn đề A”.

Để chứng minh đƣợc vấn đề A, thì ta cần phải tìm đầy đủ những giả thiết mà dữ kiện đề bài đã cho và vấn đề A cần chứng minh chính là kết luận của những giả thiết đó. Đề thực hiện việc chứng minh, ta cần thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Xem A có là kết luận của một mệnh đề hay định lý nào đó mà ta đã đƣợc học.

- Bước 2: Sau khi đã xác định được mệnh đề (hay định lý) thì ta xem trong giả thiết cần bao nhiêu điều kiện, điều kiện nào đã đƣợc cho sẵn trong bài toán thì ta nêu ra. Những điều kiện còn lại, ta xem có phải đó là kết luận của một mệnh đề nào khác nữa hay không. Ta tiếp tục thực hiện lại các thao tác trên cho đến khi kiểm tra đầy đủ tất cả các điều kiện có trong giả thiết.

Sơ đồ minh họa quá trình thực hiện:

Theo sơ đồ trên, thì ta cần phải có ba điều kiện i) ii) và iii) để có đƣợc kết luận A. Điều kiện ii) thì ta đã có sẵn trong giả thiết còn i) và iii) ta cần tiếp tục xem xét. Lúc này i) chính là kết luận của 1) và 2); iii) là kết luận của x) và y). Quan sát lại bài toán thì điều kiện x), y) và 1) đã có. Và ta lại phát hiện ra 2) chính là kết luận của a), b) và c). Đó chính là quá trình thực hiện của ta với những dữ kiện đã có.

Ví dụ: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm







 ) (

) (

P b

P

a , sao cho a, b cắt nhau

Bước 2: Chứng minh



 ) //(

) //(

Q b

Q a

Bước 3: Kết luận (P) // (Q)

Việc phân tích tìm lời giải nhƣ trên đƣợc gọi là phân tích đi lên – phân tích hướng từ kết luận. Đây là kiểu tư duy đặc trưng của môn hình học với câu hỏi:

“Chứng minh rằng…”.

Tùy vào từng yêu cầu của mỗi bài toán mà ta có nhiều dạng toán có thể áp dụng phương pháp này

* Phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau.

Xét bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCcó cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. CMR:

SC(AHB) và tính thể tích khối chóp S.ABHtheo a.

Dựa vào các dữ kiện đề bài đã cho, thì ta có thể tính thể tích khối chóp S.ABH theo hai cách nhƣ sau:

+ Cách 1:

I O

A C

B S

H

* Tính thể tích khối chóp S.ABH.

Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông SOC ta đƣợc:

3 33

3 11 3

) 3 2 (

2 2 2

2 2

2

SO a

a a a

OC SC

SO





 















Trong tam giác SIC lại có:

IH.SC = SO.IC = 2SISC . 4

11

. a

SC IC IH  SO 



Ta có: ( )

8 . 11

2.

1 2

a ðvdt IH

AB SABH  

Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông IHC ta có:

16 4

11 2

3 2 2 2

2 2

2 a a a

IH IC

HC  





















4. HC a



4 . 7

2 4a a

a HC SC

SH     



Vậy thể tích khối tứ diện S.ABH là:

96 11 7 4 .7 8 . 11 3 . 1 3.

1 a2 a a3

SH S

V  ABH   (đvtt)

+ Cách 2:

O I K

A C

B S

H

* Tính thể tích khối chóp S.ABH.

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều, O là tâm của tam giác ABC.

Nên: SO(ABCD).

Áp dụng định lý Pythago trong tam giác vuông SOC ta đƣợc:

3 33

3 11 3

) 3 2 (

2 2 2

2 2

2

SO a

a a a

OC SC

SO





 















Diện tích tam giác ABC:

4 . 3 2 . 3 2 . 1 2.

1 a2

a a BC AK

SABC    (đvdt).

Thể tích hình chóp S.ABC là:

12 11 4

. 3 3 . 33 3 . 1

3.

1 a a2 a3

S SO

V  ABC   (đvtt).

Áp dụng công thức tỷ số thể tích ta có:

SC SH SC SH SB SB SA SA V

V

ABC S

ABH

S  . . 

.

. .

Trong tam giác SBC, dựng đường cao SI.

Ta có:

4

sin   1

SC ISC IC .

8

cos   7

 SB

BSC SH .

Vậy thể tích khối chóp S.ABH là:

96 11 7 12 . 11 8

7 3 3

.

a

VSABH  a  (đvtt).

Nhận xét: Để tính thể tích của khối chóp S.ABH, ta có thể tính trực tiếp hoặc áp dụng công thức tỷ số thể tích để tính.

Một bài toán có thể có nhiều cách giải, nhƣng ta cần phải biết lựa chọn hướng đi nào tối ưu nhất để giải được bài toán một cách dễ dàng. Tùy vào từng điều kiện và yêu cầu đề bài, mà ta có những phương pháp khác nhau. Có thể cách này sẽ tối ƣu với bài toán này, nhƣng với bài toán kia thì lại khá rắc rối, gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải quyết hoặc cần thực hiện công việc hơn. Vì vậy, ta cần lựa chọn phương pháp sao cho phù hợp.

Rõ ràng, ta dễ dàng nhận ra rằng cách thứ hai phải thực hiện việc tính toán nhiều hơn cách thứ nhất. Theo giả thiết thì đề bài đã yêu cầu chứng minh SC(ABH), nên khi tính thể tích, ta sẽ dựa vào yếu tố vừa chứng minh xong để có thể tính dễ dàng hơn.

Việc phân tích bài toán theo nhiều chiều hướng khác nhau để tìm ra lời giải tối ƣu giúp cho ta có thể huy động đƣợc nhiều tri thức, củng cố các kiến thức từng học, góp phần bồi dƣỡng sự linh hoạt cho tƣ duy, vận dụng tốt các kiến thức, đồng thời khai thác kiến thức với vai trò là công cụ để hình thành kiến thức mới.

* Loại trừ các yếu tố không hợp lý.

Rèn luyện khả năng loại trừ các yếu tố không hợp lý là ta chỉ phân tích những yếu tố liên quan đến yêu cầu của bài toán để khẳng định hướng đi cho quá trình giải toán. Hạn chế tối thiểu việc phân tích sai để tránh gây ra nhiều khó khăn trong việc giải.

Ví dụ: Xét bài toán 2: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD; M là điểm trên đoạn DC sao cho DC

= 3DM. Chứng minh rằng MG // (SBC).”

I A

C B

D

S

M

G

I

C

B

A S

M D K G

Để chứng minh MG // (SBC), ta cần chứng minh MG song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng (SBC).

Theo nhƣ giả thiết bài toán cho, học sinh sẽ có thể nhầm và vẽ hình giống nhƣ hình a).

Nhận xét: MG sẽ cắt SA tại H (nghi vấn).

Khi đó: (SAD) và (SBC) có chung điểm S và lần lượt chứa hai đường thẳng AD, CB song song với nhau.

Vì vậy, ta sẽ phải chứng minh MH // BC  MG // AD (vô lý).

Với cách làm như trên là lỗi thường gặp nhất đối với học sinh.Từ đó ta sẽ loại được yếu tố là MG cắt SA, do đường thẳng này không đồng phẳng.

Từ đó, ta sẽ phân tích theo một hướng khác theo hình b) là: MI, CB đồng phẳng nên gọi K là giao điểm của chúng.

Do G là trọng tâm

2

 1

GS

IG ; DC = 3DM

2

 1



 MK

IM MC DM

Suy ra: MG // SK, với SK  (SBC) Vậy: MG // (SBC).

Do đó, khi đưa ra một hướng giải ta cần xác định rõ trọng tâm, dữ kiện rơi vào giả thiết nào, để có thể thực hiện đúng với yêu cầu đề ra. Bên cạnh đó, nó còn phụ thuộc rất nhiều vào kinh nghiệm cũng như khả năng trừu tượng hình vẽ của người giải toán.

Rèn luyện khả năng loại trừ các yếu tố không hợp lý sẽ giúp cho ta có thể rèn luyện khả năng suy luận logic, đặt nghi vấn hợp lý và hạn chế thấp nhất khả năng phân tích sai đường.

* Tạo thêm các yếu tố phụ.

Một bài toán không phải lúc nào cũng có đầy đủ các yếu tố để ta có thể giải đƣợc, mà đôi khi đòi hỏi ta phải biết xây dựng thêm các yếu tố phụ nhƣ: chọn tâm, lấy trung điểm, dựng đường cao, trung tuyến,… nhằm giúp việc giải quyết trở nên dễ dàng dàng hơn. Để tìm ra các yếu tố phụ này thì ta cần phải rèn luyện trong suốt quá trình học toán ở phổ thông.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng BCAD.

Nhƣ ta đã biết, để chứng minh BC vuông góc với AD thì ta cần chứng minh BC vuông góc một mặt phẳng nào đó chứa AD. Theo giả thiết đề bài thì ta thấy BC không thể nào vuông góc với hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Vì vậy, ta đoán ra đƣợc, BC sẽ vuông góc với một mặt phẳng khác. Mà AB = AC, nên tam giác ABC cân tại. Khi đó, ta sẽ nghĩ ngay đến việc dựng đường cao AH. Lúc này, H cũng chính là trung điểm của BC (do tính chất của tam giác cân). Lại có, DB = DC nên DH là trung tuyến cũng là đường cao trong tam giác cân DBC. Từ đó, ta sẽ đƣợc AHBC; DHBC  BC (ADH)  BCAD.

Việc rèn luyện khả năng tạo yếu tố phụ ta cần chú ý:

- Tập hợp tất cả các yếu tố, giả thiết đã có.

- Liên tưởng, nghĩ đến những mối quan hệ, kiến thức liên quan đã từng đƣợc học.

- Từ các đó ta xây dựng các yếu tố đã liên tưởng đến.

- Phân tích bài toán theo yếu tố vừa mới xây dựng.

- Giải quyết bài toán.

- Nếu vẫn chƣa thể giải đƣợc ta sẽ tiếp tục tạo thêm các yếu tố phụ (hoặc tạo ra các yếu tố phụ khác).

Xét bài toán 3: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N di động lần lƣợt trên đoạn AB và CD sao cho

NC ND MB

MA  . Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

A C

D

E

M

N

- Tập hợp các giả thiết đã có:







 DC N

AB M và

NC ND MB MA 

- Xuất hiện liên tưởng.

Muốn chứng minh MN song song với một mặt phẳng thì ta cần chứng minh MN thuộc một mặt phẳng nào đó cũng song song với mặt phẳng cần tìm. Do tỷ lệ không thay đổi, thì mặt phẳng chứa MN cũng sẽ có một đường thẳng nào đó với tỷ lệ cũng không đổi.

- Xây dựng các yếu tố liên tưởng.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và song song với BC.

Kẻ ME // AD (E thuộc BD).

Vì AD(P)  ME // (P).

- Phân tích bài toán với yếu tố mới vừa xây dựng.

Do ME // AD 

EB ED MB MA 

Mà  

NC ND MB

MA  

NC ND EB

ED EN // BC.

Vì BC // (P)  EN // (P).

- Kết luận:

Mặt phẳng (MNE) chứa hai đường thẳng ME và NE cùng song song với (P). Nên (MNE) // (P)  MN // (P).

AD và BC cố định nên (P) cố định.

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng (P) cố định.

Việc có thể xây dựng được các yếu tố phụ hợp lý, đòi hỏi người giải cần phải nắm vững kiến thức và liên hệ kiên thức tốt. Và quan trọng là những yếu tố phụ thường tập trung vào các tính chất đặc biết: trung điểm, đường cao, đường trung tuyến, song song, vuông góc,….

3.1.2 Phát triển năng lực so sánh

Một định lý hay mệnh đề có thể phát nhiều dưới nhiều cách, một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau và nhiều bài toán tuy khác nhau nhƣng lại có

thể có chung một phương pháp giải do chúng có cùng bản chất. Nên phát triển năng lực so sánh có thể sẽ giúp cho học sinh tăng khả năng sáng tạo và nhạy bén trong việc giải toán.

Cho các bài toán sau:

Bài toán 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Goi D, E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, A’B’, A’C’. Chứng minh DF // (BCC’B’).

Bài toán 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Goi D, E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, A’B’, A’C’. Chứng minh (DEF) // (BCC’B’).

Bài toán 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Goi D, E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, A’B’, A’C’. Xác định thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng (DEF)

Nhận xét:

- Bài toán 4: Ta chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng.

- Bài toán 5: Ta chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, nghĩa là ta cần tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia.

- Bài toán 6: Ta nhận thấy bài toán 6 chính là tổng hợp từ hai bài toán 4 và 5, ta cần chứng minh (DEF) // (BCC’B’), rồi dựa vào tính chất của đường thẳng song song để suy ra thiết diện cần tìm.

So sánh sẽ giúp ta nhận ra điểm giống nhau và khác nhau giữa các bài toán nhằm giúp người giải có thể xác định được các dạng bài giống nhau để khái quát thành bài toán tổng quát cũng như hình thành phương pháp giải chung. Công việc so sánh đòi hỏi người giải phải có kinh nghiệm và kiến thức đầy đủ về các loại bài toán mới có thể đưa về bài toán tổng quát và rút ra phương pháp giải.

Đặc biệt, ta cần chú ý đến hình vẽ. Vì chúng có thể giúp ta nhận diện ra những điểm giống và khác nhau nhanh nhất ngoài những ngôn ngữ diễn đạt trong bài toán. Như hai hình vẽ bên dưới:

I O

B

C

A

B' D'

C'

A'

D

I O

B

C

A

D

Nếu nhạy bén, ta sẽ nhận ra ngay hình chóp bên phải chính là đƣợc cắt ra bởi hình lập phương bên trái.

Để có thể giúp cho học sinh có thể phát triển đƣợc năng lực so sánh này thì người giáo viên cần hướng học sinh đến việc thực hiện phân tích những đặc điểm của các bài toán khác nhau. Sau đó rút ra những điểm giống và khác để có thể đưa các bài toán cùng loại với nhau về một dạng bài tập. Tổng quát lên phương pháp giải chung.

3.1.3 Phát triển năng lực trừu tƣợng hóa và khái quát hóa a) Năng lực trừu tƣợng hóa

Để học tốt môn HHKG đòi hỏi người học sinh cần phải có khả năng suy luận logic. Ngoài ra, yếu tố góp phần không nhỏ trong quá trình giải quyết đƣợc bài toán đó chính là hình vẽ minh họa. Công việc vẽ hình đƣa từ không gian lên mặt phẳng để thể hiện các mối quan hệ giữa các đối tƣợng với nhau đôi lúc sẽ gây khó khăn cho người thực hiện. Nếu người giải chưa nắm vững được kỹ năng vẽ hình thì rất có thể hình vẽ sẽ bị sai và dẫn đến việc phân tích - giải quyết vấn đề không đúng với yêu cầu đề ra.

Về cơ bản, khả năng trừu tƣợng trong hình học không gian thể hiện ở sự nhận biết đƣợc các hình vẽ ở nhiều góc độ khác nhau nhƣ:

- Quan hệ liên thuộc.

- Nét thấy và nét khuất.

Để có thể biểu diễn HHKG lên hình học phẳng thì ta thường dùng nhất là phép chiếu song song. Nhƣng khi đó, các đặc điểm về góc, độ dài,….sẽ không đƣợc bảo tồn nên rất khó tri giác đƣợc chính xác.

Ví dụ:

A C

B S

Trong hình chóp S.ABC trên, nếu không đánh dấu góc vuông, thì ta sẽ khó có thể nhận ra rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

N

A

C

B' C'

A'

B

M

Hay đối với hình lăng trụ ABC.A’B’C’, thì ta sẽ không biết đƣợc là MN có cắt đường thẳng BB’ được hay không.

Vì vậy, khi vẽ hình ta cần phải chú ý một số vấn đề sau:

- Quan hệ song song đƣợc bào toàn trong không gian. Nên khi vẽ ta thực hiện nhƣ trong hình học phẳng. Đặc biệt là song song và bằng nhau thì ta đƣợc vẽ song song và bằng nhau. Nhƣng hai đoạn thẳng bằng nhau thì ta không thể vẽ bằng nhau đƣợc nhƣ: tam giác cân, hình thang cân,….

- Tỷ số đơn đƣợc bảo toàn trông không gian. Vì vậy, trung điểm, trọng tâm hay tỷ số giữa các đoạn thẳng ta cần vẽ chính xác.

- Sự tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn được bảo toàn trong không gian. Như đường tròn nội tiếp tam giác, tứ giác…. Sẽ được vẽ tiếp xúc với các cạnh của đa giác tại điểm giữa của các cạnh.

b) Năng lực khái quát hóa

Khả năng khái quát hóa sẽ giúp cho học sinh có thể kết hợp nhiều đối tƣợng riêng lẻ khác nhau có cùng bản chất nào đó để có thể hoạt động trên cùng một lớp đối tượng. Để có thể khái quát được thì trước tiên ta cần phải phân tích và so sánh để phát hiện ra những điểm chung về bản chất, thuộc tính, quy trình,….của nhóm đối tƣợng mà ta cần khái quát.

Xét bài toán 7: Cho tứ diện ABCD đáy là tam giác BCD vuông tại C, có cạnh bên AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Chứng minh (ABC)(BCD).

B

D

C A

Đối với bài toán cơ bản này, thì việc chứng minh sẽ dễ dàng:

) (

) (

BCD CD

ABC AB CD

CD CB CD













 (ABC)(BCD)

Sau khi chứng minh xong, người giáo viên mở rộng cho học sinh với câu hỏi: “Hai mặt phẳng sẽ vuông góc với nhau khi nào?”

Khi đó, học sinh sẽ xem lại cách giải. Từ đó phân tích ra đƣợc, hai mặt phẳng sẽ vuông góc nhau, khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Sau đó tiếp tục quy về bài toán “Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng”.

Lúc này, học sinh nhận ra rằng bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau, cũng chính là bài toán chứng minh một đường thẳng vuông góc