MỞ ĐẦU Hàng năm trong các đề thi môn toán của kỳ thi vào lớp 10- THPT phần rút gọn biểu thức thường chiếm từ 1,5 điểm đến 2điểm.. P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” với
Trang 1Chuyên đề : Rút gọn biểu thức
A MỞ ĐẦU
Hàng năm trong các đề thi môn toán của kỳ thi vào lớp 10- THPT phần rút gọn biểu thức thường chiếm từ 1,5 điểm đến 2điểm Có những bài rất dễ, rất cơ bản
nhưng các em học sinh vẫn làm sai dẫn đến đạt được trọn vẹn số điểm rất khó Là một giáo viên toán được nhà trường phân công dạy lớp 9 tôi luôn trăn trở và suy nghĩ phải dạy ôn cho các em những gì và làm thế nào để các em học sinh của mình đạt kết quả tốt nhất Chính vì thế tôi cùng nhóm thầy cô dạy toán của trường THCS Vạn An
– T P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” với mục đích làm tài liệu
dạy ôn cho học sinh lớp 9, với mong muốn các em học sinh nắm chắc chuẩn kiến
thức, kỹ năng để hiểu và biết cách làm dạng bài “ Rút gọn biểu thức”
Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” được xây dựng dựa trên kiến thức cơ bản của
sách giáo khoa và phát triển dần theo mức độ có đầy đủ các dạng bài phù hợp với từng đối tượng học sinh Các ví dụ và bài tập đưa ra đều bám sát vào các đề thi vào lớp 10 –THPH của Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh trong những năm gần đây
B NỘI DUNG
*Kiến thức lý thuyết cần chú ý:
1 Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1 (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2
3 A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4 (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
5 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3
6 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
7 A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)
Trang 22 Các công thức biến đổi căn thức:
1 A có nghĩa khi A≥0
2 A 2 A
3 AB A. B ( Với A 0; B 0 )
4
B
A B
A
( Với A 0; B > 0 )
5 A2B A B ( Với B 0 )
6 A B = A2B ( Với A 0; B 0 )
A B = - A2B ( Với A < 0 ; B 0 )
B
B
A 1
( Với AB 0 và B 0 )
8 A B B
B
A
( Với B > 0 )
9
10
3 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu của một phân thức.
4 Các tính chất cơ bản của một phân thức Sử dụng các tính chất này ta
có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử
( hoặc mẫu) của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức về dạng rút gọn.
* Các dạng bài tập:
- Rút gọn biểu thức số
- Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết quả rút gọn đế:
+ Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;
+ Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với một số);
+ Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức;
+ Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến
2 2
C C A B
A A B
A B
(víi
A B A B
A B
(víi
Trang 3* DẠNG1 : RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
I.Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 20 45 3 18 72
b/ ( 28 2 3 7 ) 7 84
c/ 6 52 120
Giải:
a/ 20 45 3 18 72 = 2 2 5 3 2 5 3 3 2 2 6 2 2
= 2 5 3 5 9 2 6 2
= 2 3 5 ( 9 6 ) 2 15 2 5
b/ 28 2 3 7 7 84= 2 2 7 7 2 3 7 7 7 2 2 21
= 2 7 2 21 7 2 21
= 14 7 2 2 21 21
c/ 6 52 120 = 6 2 30 5 2 2 30
= 6 5 2 30 2 30 11
+ Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A 51 3 51 3
b/ 4 2 3
B
c/
C
2 2
Trang 4Giải:
a/ A 51 3 51 3
5 3 5 3 2 3 3
b/ 4 2 3
B
2 2
c/
C
2 3 2
2 3 4
1
+ Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 2 6 9
b/ 2 3 2 3 6
c/ 2 2
8
Giải:
a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 2 6 9
BĐVT ta có :
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP
Trang 5Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b/ 2 3 2 3 6
BĐVT ta có :
2
6
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c/ 2 2
8
BĐVT ta có :
2 5 4 2 5 4
8
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
+ Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 2 3 và 10
b/ 2003 2005 và 2 2004
c/ 5 3 và 3 5
Giải:
a/ 2 3 và 10
Ta có: 2 32 2 3 2 6 5 2 6 5 24
Và 102 10 5 5 5 25
Vì 24 < 25 => 24 < 25=> 5 24 5 25
Hay 2 3 2 102 2 3 10
Trang 6b/ 2003 2005 và 2 2004
Ta có: 2003 20052 2003 2005 2 2003.2005
4008 2 2004 1 2004 1 4008 2 2004 2 1
Và 2 20042 4.2004 2.2004 2 2004 2
Vì
4008 2 2004 1 4008 2 2004
c/ 5 3 và 3 5
Ta có: 5 3 5 3 2 75
Và 2
3 5 3 5 45
Vì 75 > 45 => 75 45 75 45 5 3 3 5
*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1
Nhận xét biểu thức trong căn Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số, tìm cách để đưa về các số có căn bậc hai đúng
hoặc đưa về hằng đẳng thức
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân chia hai căn thức bậc hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn thức ở mẫu…
II Bài tập:
1 Thực hiện phép tính:
a/ 12 75 27 : 15 ;
b/ 252 700 1008 448;
c/ 2 8 3 5 7 2 72 5 20 2 2
2
A A
Trang 72 Rút gọn các biểu thức sau:
a/ 2 3 1 3;
b/ 3 2 2 6 4 2 ;
c/ 2 3 : 2 3 2 2 3 .
3.So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi )
a/ 3 5 và 2 2 6;
b/ 7 1
2 21 và 4 1
9 5; c/ 14 13 và 2 3 11.
4.Cho A 11 96 và 2 2
B
Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, hãy so sánh A và B.
5 Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 2 2 5 2 3 2 5 2 20 2 33 ;
b/ 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10;
1 2 2 3 99 100
*DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ
I Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Cho biểu thức 1 1 : 1
a M
với a >0 và a 1
a/ Rút gọn biểu thức M
b/ So sánh giá trị của M với 1
Trang 8Giải: Đkxđ: a >0 và a 1
:
a M
1
1 :
1
1 1
1
a
a a
a a
a a
a a
a a a
a a
a
1 1
1 1
1
1
1
b/ Ta có
a a
a
M 1 1 1 , vì a > 0 => a 0 => 1 0
a nên 1 1 1
a
Vậy M < 1
* Ví dụ 2: Cho biểu thức
x x
x x x
x x
x
P
2
2 2
2 2
1
3 1
1
a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa
b/ Rút gọn biểu thức P
c/ Tính giá trị của P với x 3 2 2
Giải:
a/ Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
0 2
1
0 2
0 1
0
x
x x
3 1 3
1
x x x
x
b/ Đkxđ : x 1 ;x 2 ;x 3
x x
x x x
x x
x
P
2
2 2
2 2
1
3 1
1
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
2
2 2
2 2
1 2
1
2 1 3
1 1
1
x x x
x x
x
x
x
x
2
2 2
2 1
2 1 3
1 1
x
x x
x x
x
x
x
x
2
2 3
2 1 3
1 1
x
x x
x x x
x
x
2 1 1
c/ Thay 2
1 2 2 2
x
x
P 2
, ta có:
1 2 2 1
2
1 2 2 1
2
1 2 2
2 2
1 2
1
* Nhận xét về phương pháp giải:
Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ trong dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không
Trang 9Tại sao vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp Ta đã trục căn thức
ở mỗi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng
* Ví dụ 3: Cho biểu thức
9
11 3 3
1 3
2
2
x
x x
x x
x
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A < 2
c/ Tìm x nguyên để A nguyên
Giải:
a/ Đkxđ: x 3
3 3 3
3 3 3 3
9
3
3 3
11 3 3 3
6 2 3
3
11 3 3 1 3
2
3 3
11 3 3
1 3
2 9
11 3 3
1 3
2
2
2 2
2
x
x x
x
x x x
x
x
x
x x
x x
x x x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
A
b/ Ta có
3
3
x
x
A , A < 2 tức là
(*) 0 3
6 0
3
6 2 3
0 3
3 2 3 0 2 3
3 2 3 3
x
x x
x x
x
x x x
x x
x
Dễ thấy x + 6 > x – 3 vì vậy Bất phương trình (*) có nghiệm khi
0 3 0 6
x x
6 x 3
Vậy với 6 x 3thì A < 2
3
9 3
9 3 3
3
U x
x x
x
x
Mà U( 9 ) 1 ; 3 ; 9 nên ta có:
x – 3 = - 1 <= > x = 2 ( tm đkxđ )
x – 3 = 1 < => x = 4 ( tm đkxđ )
x – 3 = - 3 <= > x = 0 ( tm đkxđ )
x – 3 = 3 < = > x = 6 ( tm đkxđ )
x – 3 = - 9 <=> x = - 6 ( tm đkxđ )
x – 3 = 9 <= > x = 12 ( tm đkxđ )
Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên
* Ví dụ 4: Cho biểu thức
x
x x
x
x x
x
B
1
1 1 1
1
a/ Rút gọn B;
Trang 10b/ Tìm x để B = 3.
Giải: Đkxđ : x 0 và x 1
x
x x
x
x x
x
B
1
1 1 1
1
3
1
2 1 1
1
1 2
1
1 1
1
1
1 1
2
2
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x x
b/ Ta có B x 1 và B = 3, tức là x 1 3 x 4 x 16 ( t/m đkxđ)
Vậy với x = 16 thì B = 3
* Ví dụ 5: Cho biểu thức
3 3
: 1 1 2
1 1
xy y x
y y x x y x y x y x y x
A
a/ Rút gọn A;
b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Giải: Đkxđ : x > 0 , y > 0
xy y x
y y x x y x y x y x y x
A
x y
xy
y x xy y xy x y x xy
y x y x xy
y x
x y
xy
y x y x xy
y x
xy
y x y x
xy xy
y
b/ Ta có x y2 0 x y 2 xy 0
x y 2 xy.
16 16 2 2
xy
xy xy
y x
Vậy min A = 1 khi 4
16
x y xy
*MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN 2
Trang 11(Đõy là dạng toỏn cơ bản và cú tớnh tổng hợp cao)
khụng… nếu bài toỏn chưa cho)
biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cỏch hợp lý để làm xuất hiện nhõn tử chung.
+ Thường xuyờn để ý xem mẫu này cú là bội hoặc ước của mẫu khỏc khụng.
kết luận.
+ Tuõn thủ nghiờm ngặt cỏc phộp biến đổi phương trỡnh, bất phương trỡnh.
+ Kết hợp chặt chẽ với điều kiện của bài toỏn để nhận nghiệm, loại nghiệm và kết luận.
II Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức
2
x A
x
1) Rỳt gọn A
2) Tỡm x để A < –1
Bài 2: Cho biểu thức x 1 x x x x
A =
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0
Bài 4: Cho biểu thức 1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1
Trang 12Bµi 5: Rót gän biÓu thøc :
Trang 13D =
;
b)
;
c)
2
;
d)
x 1 2 x 2
H =
x 2 1
Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc 13
Trang 14Bài 7: Cho các biểu thức 2x 3 x 2
P =
x 2
Q =
x 2
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q
3
2 2
3 6
9 : 9
3 1
x
x x
x x
x
x x
x x B
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tỡm x để B > 0
c) Với x > 4 ; x 9 , Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1)
Bài 9: Cho biểu thức 3x 9x 3 1 1 1
x 1
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để 1
P là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 – 2 3
Bài 10: Cho biểu thức : x 2 x 3 x 2 x
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để 1 5
Bài 11: Cho 2x 5 x 1 x 10
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
với x 0 Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào biến số x
Bài 12: Cho biểu thức
1 1 1
1 :
1 1 1
1
ab
a ab ab
a ab
a ab ab
a
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M nếu a=2 3 và b=
3 1
1 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a b 4
C KẾT LUẬN
Trang 15Do thời gian có hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh đại trà, nên lượng bài tập còn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ,
do đó không tránh khỏi thiếu sót, rât mong các đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề của chúng tôi có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính thiết thực hơn!
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Vạn An, ngày 24 tháng 10 năm 2010.
Đ/c gmail: Thuyhanh72.BN@gmail.com.