tiểu luận xử lý ảnh số nâng cao hình ảnh trong miền tần số

4.6.7 Một số ý kiến về thiết kế bộ lọc4.1 Mở đầu: Với nỗ lực đáng kể đã được thể hiện trong các chương trước về kỹ thuậtnâng cao hình ảnh trong miền không gian, và với một sự hiểu biết n

Tiểu luận xử lý ảnh số Nâng cao hình ảnh trong miền tần số

4.1 Mở đầu

4.2 Giới thiệu về biến đổi Fourier và miền tần số

4.2.1 Biến đổi Fourier 1 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi

4.2.2 Biến đổi Fourier 2 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi

4.4.1 Bộ lọc thông cao lý tưởng

4.4.2 Bộ lọc thông cao Butterworth

4.4.3 Bộ lọc thông cao Gaussians

4.4.4 Toán tử laplace trong miền tần số

4.4.5 mặt nạ Unsharp, lọc nâng cao và nhấn mạnh về bộ lọc tần số cao 4.5 Lọc Homomorphic

4.6 Phần bổ sung

4.6.1 Một số thuộc tính bổ sung của biến đổi Fourier 2 chiều

4.6.2 Tính toán Fourier ngược sử dụng thuật toán chuyển đổi chuyển

tiếp 4.6.3 Thông tin thêm về chu kỳ: sự cần thiết bởi đệm

4.6.4 Phép nhân chập và các định lý tương quan

4.6.5 Tóm tắt các tính chất của biến đổi Fourier 2 chiều

4.6.6 Biến đổi Fourier nhanh

4.6.7 Một số ý kiến về thiết kế bộ lọc

4.1 Mở đầu:

Với nỗ lực đáng kể đã được thể hiện trong các chương trước về kỹ thuậtnâng cao hình ảnh trong miền không gian, và với một sự hiểu biết nhất định về lĩnhvực này, làm thể nào để biến đổi Fourier trong miền tần số để xử lý nâng cao hìnhảnh Một sự hiểu biết vững chắc về các vấn đề này ,chúng ta có thể thực hiện màkhông cần phải trở thành một chuyên gia về xử lý tín hiệu Chìa khóa nằm ở việctập trung vào các nguyên tắc cơ bản và sự phù hợp của chúng để xử lý hình ảnh kỹthuật số Các ký hiệu , thường là một nguyên nhân làm cho người mới bắt đầu cảmthấy khó khăn, nhưng sẽ được làm sáng tỏ trong chương này bằng cách nhấn mạnhmối liên hệ giữa đặc điểm hình ảnh và các công cụ toán học được sử dụng để thaythế cho các ký hiệu Chương này chủ yếu giúp người đọc phát triển một sự hiểubiết cơ bản về biến đổi Fourier trong miền tần số, và họ áp dụng như thế nào đểnâng cao hình ảnh Sau đó, trong chương 5, 8, 10, và 11, chúng ta thảo luận về cácứng dụng khác của biến đổi Fourier

Chúng ta bắt đầu các cuộc thảo luận với một phác thảo ngắn gọn về nguồngốc của biến đổi Fourier và tác động của nó trên vô số các ứng dụng của toán học ,khoa học và kỹ thuật Tiếp theo, chúng ta cung cấp một số định nghĩa về biến đổiFourier trong miền tần số và thiết lập các ký hiệu, lý do tại sao những công cụ nàyrất hữu ích cho việc nâng cao hình ảnh Tiếp theo nữa là phần giới thiệu vấn đềlàm mịn và kỹ thuật lọc sắc nét đã được thảo luận trong Chương 3 ,và tất cả bộ lọcđược thực hiện trong miền tần số Sau khi thảo luận về công dụng của biến đổiFourier để nâng cao hình ảnh , chúng ta kết luận chương này với việc thảo luận vềcác vấn đề liên quan khác đến việc thực hiện các biến đổi Fourier trong việc xử lýhình ảnh

Giới thiệu

Nhà toán học người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier sinh vào năm 1768tại thị trấn Auxerre, nằm giữa Paris và Dijon Sự đóng góp đáng nhớ nhất của ông

trong một cuốn hồi ký vào năm 1807 và được công bố vào năm 1822, đó là cuốn

sách La Théorie Analitique de la Chaleur ( Lý thuyết phân tích nhiệt ) Cuốn

sách này đã được dịch sang tiếng Anh 55 năm sau đó bởi Freeman (1878) Về cơbản , đóng góp của Fourier trong này nói rằng bất kỳ một hàm cụ thể có chu kỳ lặplại có thể được thể hiện dưới dạng tổng của sin và/hoặc cosines với các tần số khácnhau, nhân với một hệ số khác nhau ( chúng ta hay gọi là một chuỗi Fourier ) Nókhông quan trọng là hàm phức tạp hay không, miễn là nó có chu kỳ và đáp ứngmột số điều kiện về toán học, nó có thể được đại diện bởi một hàm như vậy Cuốnsách này hiện đang dùng cho các cấp học, nhưng khái niệm của nó lần đầu tiênxuất hiện đã mang tính cách mạng mà các nhà toán học trên toàn thế giới phải mấthơn một thế kỷ để "điều chỉnh Ngay cả hàm không có chu kỳ (nhưng có diện tíchmặt cong là hữu hạn) có thể được biểu diễn tách rời của sin và/hoặc cos nhân vớimột hàm Trong trường hợp này, việc xây dựng là biến đổi Fourier , và tiện ích của

nó thậm chí còn lớn hơn chuỗi Fourier trong hầu hết các vấn đề thực tế Cả haicùng mang đặc điểm quan trọng là một hàm biểu diễn bằng một chuỗi biến đổiFourier, có thể được xây dựng lại ( phục hồi ) hoàn toàn thông qua một quá trìnhngược lại, không bị mất thông tin Đây là một trong những đặc điểm quan trọngnhất bởi vì chúng cho phép chúng ta làm việc trong " miền Fourier " và sau đó trở

về miền ban đầu của các hàm mà không bị mất bất kỳ thông tin nào Việc áp dụngcác ý tưởng ban đầu của Fourier là trong lĩnh vực khuếch tán nhiệt , nơi lần đầutiên họ đã có thể cho phép xây dựng các phương trình vi phân đại diện cho dòngnhiệt Trong suốt thế kỷ qua, và đặc biệt là trong 50 năm qua , toàn bộ các ngànhcông nghiệp và lĩnh vực khoa học đã phát triển mạnh mẽ như là kết quả những ýtưởng của Fourier Sự ra đời của tính toán kỹ thuật số và "khám phá" thuật toánbiến đổi Fourier nhanh ( FFT ) trong những năm 1950 ( sẽ nói thêm về thuật toánnày) cách mạng hóa lĩnh vực xử lý tín hiệu số Hai công nghệ cốt lõi cho phép điềuchế thời gian thực đầu tiên và giải thích ý nghĩa của một loạt các phép toán xử lýtín hiệu quan trọng của con người và đặc biệt là ngành công nghiệp, từ màn hình y

tế và máy quét để truyền tải thông tin điện tử một cách hiện đại Chúng ta sẽnghiên cứu với các hàm( hình ảnh) trong khoảng thời gian hữu hạn , do đó biến đổiFourier là công cụ mà chúng ta cần quan tâm trong các phần sau đây sẽ giới thiệu

về các biến đổi Fourier và miền tần số Nó cho thấy rằng kỹ thuật biến đổi Fouriercung cấp các tính chất có ý nghĩa và thiết thực để nghiên cứu và thực hiện một loạtcác phương pháp tiếp việc xử lý nâng cao hình ảnh Trong một số trường hợp, cácphương pháp tiếp cận tương tự như những tính chất chúng ta đã xây dựng trongChương 3

4.2 Giới thiệu về Biến đổi Fourier và miền tần số

Phần này giới thiệu các biến đổi Fourier trong một và hai chiều Tập trungchủ yếu trên một công thức riêng biệt của biến đổi liên tục và một số thuộc tính củanó

4.2.1 Biến đổi Fourier 1 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi

Biến đổi Fourier, F(u), với một biến duy nhất của hàm liên tục, f(x), đượcxác định bởi phương trình:

trong đó j =  1 Ngược lại, cho F(u), chúng ta có thể tính được f(x) bằng cách sửdụng định nghĩa của Biến đổi Fourier ngược

Hai phương trình trên bao gồm các biến đổi Fourier Nó chỉ ra một thực tếquan trọng được đề cập trong phần trước rằng một hàm có thể được phục hồi từbiến đổi của nó Những phương trình này dễ dàng mở rộng đến hai biến, u và v:

Quan tâm của chúng ta là trong các hàm riêng biệt, vì vậy chúng ta sẽ khôngdừng lại ở các phương trình này Trong một số trường hợp, người đọc có thể tìmthấy chúng dễ dàng hơn để thao tác tương đương như hàm rời rạc trong việc chứngminh giá trị của biến đổi Fourier hai chiều Biến đổi Fourier của hàm một biến, f(x)với x = 0,1, 2, , M-1 , được cho bởi phương trình

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là nền tảng cho hầu hết các thuật toán trongchương này Tương tự như vậy, cho F(u), chúng ta có thể có được những hàm ban

Một tính chất quan trọng của các cặp biến đổi rời rạc là không giống nhưtrường hợp tiếp theo, chúng ta không cần phải quan tâm về sự tồn tại của DFT haynghịch đảo của nó Biến đổi rời rạc và biến đổi Fourier nghịch đảo luôn luôn tồntại Chúng ta sẽ nhận được một tính chất, cho thấy sự tồn tại của hai chức năng Tấtnhiên, khi đó luôn luôn có những câu hỏi về những gì sẽ xảy ra nếu f(x) có giá trị

vô hạn , nhưng trong cuốn sách này, chúng ta chỉ xử lý với số lượng hữu hạn.Những điều kiện được áp dụng trực tiếp vào các hàm hai chiều ( và cao hơn) Vìvậy, để xử lý hình ảnh kỹ thuật số, sự tồn tại của một trong hai biến đổi rời rạchoặc nghịch đảo của nó không phải là một vấn đề lớn Các khái niệm về lĩnh vựctần số , đã đề cập nhiều lần trong chương này và trong Chương 3, lấy trực tiếp từcông thức Euler :

Thay biểu thức này vào phương trình (pt) (4.2-5), và sử dụng cos (-θ) ) = cos (θ) ) ,chúng ta có:

Với u = 0,1,2 , , M ~ 1, chúng ta thấy rằng mỗi đoạn của biến đổi Fourier [ đó là,giá trị của F(u) với mỗi giá trị của u bao gồm tổng của tất cả các giá trị hàm f(x) ].Các giá trị của f(x), được nhân lần lượt với sin và cos của các tần số khác nhau Miền (giá trị của u) mà ở đó có giá trị thích hợp của F(u) được gọi là miền tần số,

vì u sẽ xác định tần số của các thành phần có sự thay đổi (Các biến x cũng đã ảnhhưởng đến tần số , nhưng chúng được lược bỏ và tất cả đều có những đóng gópnhư nhau với mỗi giá trị của u) Sử dụng các thuật ngữ miền tần số và các thànhphần tần số thực sự là không khác nhau từ định nghĩa miền thời gian và các thànhphần thời gian , mà chúng ta sẽ sử dụng để thể hiện các tên miền và các giá trị củaf(x) nếu x là một biến thời gian Một so sánh tương tự là các biến đổi Fourier vớimột lăng kính thủy tinh , lăng kính là một thiết bị vật lý tách ánh sáng thành cácthành phần màu sắc khác nhau, mỗi ánh sáng phụ thuộc vào bước sóng (hoặc tầnsố) của nó Biến đổi Fourier có thể được xem như một " lăng kính toán học " màtách một hàm thành các thành phần khác nhau , cũng dựa trên điều kiện tần số Khichúng ta xem xét ánh sáng , chúng ta nói về quang phổ của nó hoặc điều kiện vềtần số, tương tự như vậy , biến đổi Fourier cho phép chúng ta mô tả một hàm vớimiền tần số của nó Đây là một khái niệm tốt nhât nằm ở trung tâm của bộ lọctuyến tính Nói chung, chúng ta thấy từ pt(4.2-5) hoặc pt(4.2-8) mà các thành phầncủa biến đổi Fourier là số lượng phức tạp Trong việc phân tích các hàm phức tạp ,chúng ta thấy nó thuận tiện đôi khi F(u) được thể hiện trong tọa độ cực :

khi

được gọi là độ lớn hoặc phổ của biến đổi Fourier, và

được gọi là góc pha hoặc phổ của sự thay đổi Trong các pt(4.2-10) và (4.2-11),R(u) và I(u) là phần thực và phần ảo của F(u) Về vấn đề nâng cao hình ảnh chúng

ta quan tâm chủ yếu với tính chất của quang phổ Một đại lượng được sử dụngtrong chương này là phổ năng lượng, định nghĩa là phổ Fourier:

Trước khi tiếp tục, xem xét một ví dụ biến đổi Fourier một chiều sẽ rất cóích Hình 4.2(a) biểu diễn một hàm và hình 4.2(b) cho thấy phổ Fourier của nó Cảhai f (x) và F ( u ) là các hàm rời rạc , nhưng các điểm ở các ô được liên kết để làmcho chúng được theo dõi dễ dàng hơn Trong ví dụ này , M = 1024, A = 1, và K chỉ

có 8 điểm Cũng lưu ý rằng phổ trung tâm tại u = 0 Như trình bày trong phần sau,điều này được thực hiện bằng cách trước khi biến đổi nhân f(x) với (-1)x Hai hìnhtiếp theo mô tả về cơ bản là giống nhau, nhưng với K = 16 điểm Các điểm quantrọng cần lưu ý là (1): chiều cao của phổ tăng gấp đôi như khu vực dưới đườngcong khi x tăng gấp đôi, và (2): số lượng điểm không ở trong phổ trong cùng mộtkhoảng thời gian tăng gấp đôi khi chiều dài của hàm tăng gấp đôi Bản chất củabiến đổi cặp Fourier là hữu ích nhất trong việc giải thích kết quả xử lý hình ảnhtrong miền tần số

Trong trường hợp rời rạc, khi chúng ta viết f(k), nó được hiểu rằng chúng tađang sử dụng ký hiệu viết tắt mà nghĩa thực sự là f(x0 + kΔxx) Về các ký hiệuchúng ta đã sử dụng cho đến nay, f(x) được hiểu là

f(x) = f (x0 +xΔxx) (4.2-13)

khi thực hiện với các biến rời rạc Biến u có một giải thích tương tự, nhưng trình tự

luôn luôn bắt đầu ở tần số 0 Do đó, trình tự cho các giá trị của u là 0, Δxu, 2Δxu , ,

[M - l] Δxu F(u) được hiểu như sau:

cho u = 0, 1, 2 , M - 1 Đây là loại ký hiệu viết tắt giúp các phương trình đơn

giản hoá đáng kể và dễ dàng hơn nhiều Mối quan hệ nghịch đảo giữa một hàm và

biến đổi của nó minh họa trong hình 4.2, Δxx và Δxu tỉ lệ nghịch theo biểu thức

Mối quan hệ này rất có ích khi đó là một vấn đề trong việc xử lý các hình ảnh Ví

dụ, trong một ứng dụng của kính hiển vi điện tử các mẫu hình ảnh có thể cách nhau

1 micron , và có đặc điểm trong miền tần số (như các thành phần chu kỳ) là có thể

có những tác động liên quan đến cấu trúc của mẫu vật lý

4.2.2 Biến đổi Fourier 2 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi

Mở rộng của biến đổi Fourier rời rạc một chiều và nghịch đảo của nó là biếnđổi Fourier hai chiều là khá đơn giản Biến đổi Fourier rời rạc của một hàm (hìnhảnh) f(x, y) có diện tích MxN được cho bởi phương trình

Như trong trường hợp một chiều, biểu thức được tính toán cho các giá trị u = 0, 1,

2, , M - l, và cũng cho v = 0, 1, 2, , N - 1 Tương tự như vậy, cho F(u,v) chúng

ta có được f (x, y) thông qua Biến đổi Fourier ngược, thể hiện ở biểu thức

Với x = 0, 1, 2, , M - 1 và y = 0, 1, 2, , N – 1, pt(4.2-16) và pt(4.2-17) là cặpbiến đổi Fourier rời rạc (DFT) hai chiều Các biến u và v là biến số hoặc biến tần

số, và x và y là các biến không gian hoặc hình ảnh Như trong trường hợp mộtchiều, vị trí của các hằng số 1/MN là không quan trọng Đôi khi nó nằm ở phíatrước của biến đổi ngược Chúng ta xác định phổ Fourier, góc pha, và phổ nănglượng như trong phần trước:

và

trong đó R(u,v) và I(u,v) tương ứng là phần thực và phần ảo của F(u,v) Thực tế

tính chất của hàm mũ, nó được hiển thị (xem phần 4.6)

với ζ [.] biểu diễn biến đổi Fourier của các đối số Phương trình này nói rằng gốccủa biến đổi Fourier của f(x, y) (-1)x+y [có nghĩa là, F(0,0)] được đặt tại u = M / 2

và v = N/2 Nói cách khác, nhân f (x, y) với (-1)x+y sẽ làm thay đổi gốc của F(u,v)với tọa độ tần số (M/2, N/2) Chúng ta nói đến khu vực này của miền tần số nhưphổ hình chữ nhật Nó trải dài từ u = 0 đến u = M - 1, và từ v = 0 đến v = N - 1(nhớ rằng u và v là các số nguyên) Để đảm bảo rằng các tọa độ là số nguyên,chúng ta có M và N là số chẵn Khi thực hiện các biến đổi Fourier trong một máytính, các giới hạn là từ u = 1 đến M và v = 1 đến N Các trung tâm thực tế của biếnđổi sau đó sẽ có mặt tại u = (M / 2)+1 và v = (N / 2)+1 Giá trị của các biến số (u,v) = (0, 0) là từ biểu thức (4.2-16)

Và

Ý nghĩa

của cácbiến này

hệt nhaucho lờigiảithíchđượcđưa ratrongmục 4.2.1 cho các biến một chiều

Hình 4.3(a) cho thấy một hình chữ nhật màu trắng kích thước 20 x 40 điểmảnh chồng trên một nền đen có kích thước 512 x 512 điểm ảnh Hình ảnh này đãđược nhân (-1)x+y trước khi tính toán biến đổi Fourier để phổ được thể hiện tronghình 4.3(b) (Lưu ý vị trí, tên, gốc của các trục trong cả hai số Chúng ta tuân theoquy ước này trong tất cả các thảo luận về hình ảnh và phổ Fourier tương ứng củachúng ) Phổ đã được xử lý trước khi biểu diễn bằng cách sử dụng chuyển đổitrong pt(3.2-2) để tăng cường chi tiết mức xám Giá trị của c = 0,5 được sử dụngtrong việc chuyển đổi để giảm cường độ tổng thể

a b

Hình 4.3 (a) hình chữ nhật màu trắng kích thước 20 x 40 điểm ảnh chồng trên một

nền đen có kích thước 512 x 512 điểm ảnh (b) Phổ đã được xử lý trước khi biểudiễn bằng cách sử dụng chuyển đổi trong pt(3.2-2) So sánh với hình 4.2

4.2.3 lọc trong miền tần số

Như đã đề cập trong hai phần trước , miền tần số khác với miền không gianbởi giá trị của các biến đổi Fourier và biến tần số của nó (u,v) Trong phần này ,chúng ta chú trọng đến miền tần số , vì nó liên quan đến xử lý hình ảnh

Một số thuộc tính cơ bản của miền tần số

chúng ta bắt đầu bằng cách quan sát pt(4.2-16) mà mỗi điểm của F(u,v) cóchứa tất cả các giá trị của f(x,y) Một số báo cáo nói rằng có thể tìm ra được mốiquan hệ giữa các thành phần tần số của biến đổi Fourier và thuộc tính trong miềnkhông gian của một hình ảnh Chúng ta đã thấy trong phần trước rằng thành phầntần số thấp nhất khác nhau (u = v = 0) tương ứng với các mức xám trung bình củamột hình ảnh Trong hình ảnh của một căn phòng, ví dụ, những bức tường và sànnhà có thể tương ứng với các màu xám mịn Một minh họa sẽ giúp làm rõ những ýtưởng trên Hình 4.4(a) là một hình ảnh quét điện tử miscrocope của một mạch tíchhợp , phóng đại khoảng 2500 lần Bên cạnh việc xây dựng thú vị của itsell thiết bị ,

trắng nhô ra do nhiệt gây ra đã bị lỗi phổ của biến đổi Fourier trong hình 4.4(b)cho thấy thành phần nổi bật ở ±45o tương ứng với các cạnh được đề cập đến

Ví dụ này là điển hình của mối quan hệ giữa miền tần số và miền không gian Nhưchúng ta thấy trong chương này, cùng với các mối quan hệ giữa nội dung đã được

đề cập trước đó, thay đổi tần số và tốc độ của mức xám trong một hình ảnh , có thểdẫn đến một số kết quả nâng cao rất hữu ích

Cơ bản của lọc trong miền tần số

Lọc trong miền tần số là đơn giản Nó bao gồm các bước sau:

1 Nhân các hình ảnh đầu vào với (-1)x+y trước khi biến đổi Fourier, được chỉ

ra trong pt(4.2-21)

2 Tính F (u,v), các DFT của hình ảnh từ (1)

3 Nhân F(u, v) với một hàm lọc H(u,v)

4 Tính toán DFT ngược của (3)

5 Tính toán phần thực của kết quả (4)

6 Nhân kết quả của (5) với (-1)x+y

Lý do mà H (u, v) được gọi là một hàm lọc là bởi vì nó ngăn chặn tần số nhấtđịnh trong các biến đổi trong khi những thứ khác lại không thay đổi được Ở dạng

ab

Hình 4.4(a) ảnh SEM của

một mạch tích hợp hỏng, (b)Fourier quang phổ của (a).(Hình ảnh gốc được cungcấp bởi Tiến sĩ JMHudak, Viện Nghiên cứu vậtliệu Brockhouse, Đại học

Ontario, Canada.)

phương trình, cho f(x,y) đại diện cho hình ảnh đầu vào ở bước 1 và F(u, v) biến đổiFourier của nó Sau đó biến đổi Fourier của hình ảnh đầu ra được cho bởi

phép nhân của H và F liên quan đến hàm hai chiều và được xác định trên cơ sởbiến theo biến Đó là, các biến đầu tiên của H nhân các biến đầu tiên của F, biếnthứ hai của H nhân các biến thứ hai của F, và cứ tiếp tục như vậy Nhìn chung, cácthành phần với số lượng phức tạp, nhưng các bộ lọc mà chúng ta dùng trong cuốnsách này thường là có thế giải quyết Trong trường hợp này, mỗi thành phần của Hnhân cả hai phần thực và phần ảo của các thành phần tương ứng trong F Bộ lọcnhư vậy được gọi là bộ lọc dịch pha 0 Như tên của nó, các bộ lọc này không làmthay đổi đoạn của biến đổi, một thực tế là có thể được nhìn thấy trong pt(4.2-19)bằng cách cho rằng số nhân trong những phần thực và phần ảo sẽ bị hủy bỏ vìchúng có cùng giá trị Những hình ảnh được lọc thu được bằng cách lấy Fourierngược G (u, v):

Hình ảnh cuối cùng thu được bằng cách lấy phần thực của kết quả này và nhân

nó với (-1)x+y Biến đổi Fourier ngược, nói chung khá phức tạp Tuy nhiên , khi đã

có hình ảnh đầu vào và hàm lọc, các thành phần ảo của biến đổi ngược là 0, cácthành phần này được bỏ qua Quy trình lọc được tóm tắt trong hình 4.5 trong mộthình thức tổng quát hơn, bao gồm các giai đoạn trước và sau khi xử lý Ngoài quátrình nhân với (-1)x+y , còn có các quá trình khác bao gồm như cắt kích thước hìnhảnh đầu vào( cần thiết cho phù hợp biến đổi định tâm ) , mở rộng giá trị mức xám ,chuyển đổi dấu chấm trên đầu vào, và chuyển đổi sang một định dạng số nguyên 8-bit trên đầu ra Nhiều giai đoạn lọc trước và sau xử lý và các hàm khác là có thể

Có rất nhiều biến thể của chủ đề cơ bản này Điểm quan trọng cần lưu ý là quátrình lọc dựa trên sửa đổi biến đổi của một hình ảnh trong một cách nào đó thôngqua một chức năng lọc, rồi kéo ngược của kết quả để có được những hình ảnh đầu

ra được xử lý

Hình 4.5 Các bước cơ bản để lọc trong miền tần số.

Một số bộ lọc cơ bản và thuộc tính của nó

Tại thời điểm này, chúng ta đã thiết lập nền tảng cho việc lọc trong miền tần

số và bước đi tiếp theo là xem xét một số các bộ lọc cụ thể và xem cách chúng ảnhhưởng đến hình ảnh như thế nào Các cuộc thảo luận trước đó về pt(4.2-22) chochúng ta một chỉ dẫn hoàn hảo một ví dụ giới thiệu về các bộ lọc Theo pt(4.2-22),giá trị trung bình của một hình ảnh được cho bởi F(0,0) Nếu chúng ta đặt thuậtngữ này trong miền tần số và có những biến đổi nghịch đảo, thì kết quả của giá trịtrung bình của ảnh sẽ bằng không Giả định rằng các biến đổi đã thảo luận trongpt(4.2-21), chúng ta có thể thực hiện hành động này bằng cách nhân tất cả các giátrị của F(u,v) với một hàm lọc:

Tất cả các bộ lọc này là thiết lập F(0,0) bằng 0 và để lại tất cả các thành phần tần

số khác của biến đổi Fourier bị ảnh hưởng Hình ảnh điều chế (với giá trị trungbình 0) sau đó có thể thu được bằng cách lấy nghịch đảo biến đổi Fourier của H(u,v)F(u,v) , như được chỉ ra trong pt(4.2-28) Như đã nói ở trên, cả hai phần thực vàphần ảo của F (u, v) được nhân với hàm lọc f(u,v) Bộ lọc được thảo luận được gọi

là bộ lọc Notch ( bộ lọc lõm) bởi vì nó là một hàm thường xuyên có một lỗ ( khe )tại gốc Kết quả của việc xử lý hình ảnh trong hình 4.4(a) với bộ lọc này được thểhiện trong hình 4.6 Lưu ý giảm mức xám trung bình tổng thể do buộc các giá trịtrung bình bằng không Như trình bày trong mục 5.4.3 , bộ lọc sắc nét là công cụđặc biệt hữu ích khi nó có thể xác định hiệu ứng hình ảnh không gian cho cácthành phần miền tần số Tần số thấp trong biến đổi Fourier chịu trách nhiệm về sựxuất hiện mức xám của một hình ảnh trên khu vực trơn, trong khi tần số cao chịutrách nhiệm về các chi tiết , chẳng hạn như các cạnh và điểm mờ Những ý tưởngnày sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong các phần tiếp theo, nhưng nó sẽ là bài học

để bổ sung minh họa cho chúng ta về bộ lọc Notch với một ví dụ về các bộ lọctrong hai thể loại khác Một bộ lọc làm suy giảm tần số cao trong khi " đi qua '' tần

số thấp được gọi là một bộ lọc thông thấp Một bộ lọc có đặc tính ngược lại làđược gọi là một bộ lọc thông cao Chúng ta mong muốn một hình ảnh lọc thôngthấp để giảm chi tiết sắc nét hơn so với bản gốc bởi vì các tần số cao đã suy giảm.Tương tự như vậy , một hình ảnh của lọc thông cao sẽ có sự thay đổi mức xámtrong khu vực trơn tru và nhấn mạnh các chi tiết ( ví dụ như cạnh) về mức xám.Những hình ảnh này sẽ xuất hiện sắc nét hơn Hình 4.7 minh họa ảnh hưởng củalọc thông thấp và lọc thông cao của hình 4.4( a) Phần bên trái của hình cho thấycác bộ lọc và phần bên phải là kết quả của bộ lọc bằng cách sử dụng quy trình tómtắt trong hình 4.5 Sau khi thay đổi gốc của chúng đến trung tâm của phổ hình chữnhật bị chiếm bởi F(u,v) ,chúng đã được nhân với hàm biến đổi chính, như đượcnêu trong cuộc thảo luận của chúng ta tại các pt(4.2-27 ), pt(4.2-28), và hình 4.5 Lấy một phần thực của mỗi kết quả và nhân nó với (-1)x+y mang lại những hình ảnhbên phải Theo dự kiến, các hình ảnh trong hình 4.7(b) bị mờ , và hình ảnh tronghình 4.7 ( d ) là sắc nét , mịn màng bởi các mức xám của chi tiết nhỏ vì F(0,0) đãđược thiết lập về 0 Đây là điển hình của kết quả lọc thông cao , và một thủ tụctheo sau là thêm một thuật toán để các bộ lọc sẽ không hoàn toàn loại bỏ F(0,0).Kết quả của việc sử dụng thủ tục này được thể hiện trong hình 4.8 Việc cải thiệnhình 4.7(d) là điều hiển nhiên

a b

c d

Hình 4.7 (a) hàm lọc thông thấp hai chiều, (b) Kết quả hình ảnh lọc thông thấp của

hình 4.4(a), (c) hàm lọc thông cao hai chiều , (d) Kết quả hình ảnh lọc thông caocủa hình 4.4 (a)

Tương ứng giữa các bộ lọc trong miền không gian và tần số

Trong chương trước, chúng ta đã đề cập đến các hình thức cho các bộ lọctrong miền không gian khác nhau sử dụng phép toán “và / hoặc” chẳng hạn nhưtoán tử Laplace Trong phần này, chúng ta thiết lập một liên kết trực tiếp giữa một

số các bộ lọc trong miền không gian và miền tần số của chúng Mối quan hệ cơ bảnnhất giữa miền không gian và tần số được thành lập bởi một kết quả nổi tiếng được

Hình 4.8

Kết quả của hình ảnh lọc thông cao trong hình 4.4 (a) với các bộ lọc trong hình 4.7 (c) sửa đổi bằng cách thêm một hằng số của một nửa chiều cao bộ lọc với hàm lọc so sánh với hình 4.4(a)

gọi là định lý chập Người đọc đã quen thuộc với các khái niệm cơ bản và cơ chếchập trong miền không gian, đã được giới thiệu và minh họa trong phần 3.5

Quá trình mà chúng tôi di chuyển một mặt nạ từ

điểm ảnh đến điểm ảnh trong một hình ảnh, và tính

toán số lượng được xác định trước tại mỗi điểm ảnh

là nền tảng của quá trình chập Các phép chập rời rạc

của hai hàm f(x, y) và h(x, y) có diện tích MxN được

ký hiệu là f (x, y) * h (x, y) và được xác định bởi biểu thức

Với ngoại lệ là các hằng số hàng đầu, các dấu trừ, và các giới hạn của tổng , biểuthức này có dạng tương tự như pt(3,5-1) Các dấu trừ, đặc biệt, chỉ đơn giản có

nghĩa là hàm h được đưa về gốc Đây là điều vốn có trong định nghĩa của chập.Pt(4.2-30) nghĩa là thực hiện (1) đưa một hàm về gốc, (2) chuyển hàm bằng cáchthay đổi các giá trị của (x, y), và (3 ) tính toán một số giá trị của hàm trên tất cả cácgiá trị của m và n, cho mỗi lần thay đổi (x, y) Để cho F(u, v) và H(u, v) biểu thịbiến đổi Fourier của f(x, v) và h(x, y) tương ứng, một nửa của định lý chập chỉ đơngiản nói rằng f (x, y ) * h (x, y) và F(u, v)H(u, v) là một cặp biến đổi Fourier Kếtquả này được biểu diễn như sau

Mũi tên đôi được sử dụng để chỉ ra rằng những biểu thức bên trái (chập trong miềnkhông gian) có thể thu được bằng cách lấy Fourier nghịch đảo của biểu thức bênphải [giá trị của F(u,v)H(u,v) trong miền tần số ] Ngược lại, những biểu thức bênphải có thể thu được bằng cách lấy ra biến đổi Fourier của biểu thức bên trái Kếtquả tương tự là phép chập trong miền tần số là phép nhân trong miền không gian,

và ngược lại, đó là

Hai pt trên bao gồm toán bộ các định lý chập Điều quan trọng cần lưu ý rằngkhông có gì là phức tạp về những gì vừa được tuyên bố là Chúng ta cần một kháiniệm hơn trước khi hoàn tất mối quan hệ giữa miền không gian và tần số Một hàm

có biến số A, nằm ở tọa độ (x0, y0), được ký hiệu là Aδ (x – x0, y – y0) và được xácđịnh bởi biểu thức

Phương trình này nói rằng tổng của một hàm s(x,y) nhân với một xung đơn giản làgiá trị của hàm tại vị trí của xung Chúng ta chỉ ra rằng Aδ(x - x0, y - y0) cũng làhình ảnh có kích M x N Nó bao gồm tất cả các số 0, ngoại trừ tại tọa độ (x0, y0),trong đó giá trị của hình ảnh là A Bằng cách cho phép hoặc f hoặc h trong pt(4.2-30) là một hàm thúc, và sử dụng định nghĩa trong pt(4.2-33) Đặc biệt quan trọngvào lúc này là trường hợp của một xung đơn vị nằm ở gốc, được ký hiệu là δ(x, y).trong trường hợp này,

Trang bị những công cụ đơn giản, chúng ta đang thiết lập một biểu thức thú vị vàhữu ích giữa bộ lọc trong miền không gian và tần số Từ pt(4.2-16), chúng ta có thểtính toán biến đổi Fourier của một xung đơn vị tại gốc,

nơi mà các bước tiếp theo thứ hai là từ phương trình (4,2-34) Do đó, chúng ta thấyrằng biến đổi Fourier của một xung vào trên miền không gian là một hằng số thực(điều này có nghĩa là góc pha là không) Nếu xung được đặt ở những nơi khác,biến đổi sẽ có thành phần phức Độ lớn sẽ là như nhau, với bản dịch của xung đượcphản ánh trong một góc pha khác 0 trong sự thay đổi

Bây giờ giả sử chúng ta cho f(x,y) = δ(x,y) và thực hiện phép chập được địnhnghĩa trong pt(4.2-30) Sử dụng pt(4.2-34) một lần nữa cho chúng ta

bước cuối cùng từ pt(4,2-34) bằng cách cho rằng các biến trong phép tính tổng là

m và n Bằng cách kết hợp các kết quả của các 35) và 36) với 31), chúng ta có được

Chỉ sử dụng các thuộc tính của hàm thúc và định lý chập, chúng ta đã thiếtlập được các bộ lọc trong các miền không gian và miền tần số, biến đổi tạo thành

một cặp Fourier Như vậy, cho một bộ lọc trong miền tần số, chúng ta có thể cóđược những bộ lọc tương ứng trong miền không gian bằng cách biến đổi nghịchđảo Fourier của các hàm Điều ngược lại cũng đúng.

Lưu ý rằng tất cả các hàm phát triển trước đó là có cùng kích thước , M x N.Chính vì vậy , trong thực tế, quy định cụ thể một bộ lọc trong miền tần số và sau

đó dùng các phép nghịch đảo để tính toán một bộ lọc trong miền không gian tươngđương với kích thước tương tự không thực sự tốt về các vấn đề từ một quan điểmtính toán Như đã thảo luận trong phần 4.6 , nếu cả hai bộ lọc có cùng kích thước ,

nó thường là hiệu quả hơn trong việc tính toán cho bộ lọc trong miền tần số Nhưng chúng ta sử dụng các bộ lọc nhỏ hơn trong miền không gian Đây chính làkết nối mà chúng ta đang quan tâm Lọc thường thấy trực quan hơn trong miền tần

số Tuy nhiên, bất cứ khi nào có thể, nó có thể tốt hơn để lọc trong miền khônggian sử dụng mặt nạ lọc Pt(4.2-37) nói với chúng ta rằng chúng ta có thể chỉ địnhcác bộ lọc trong miền tần số , và biến đổi ngược của chúng, và sau đó sử dụng cáckết quả của bộ lọc trong miền không gian như một hướng dẫn để xây dựng mặt nạ

bộ lọc trong miền không gian nhỏ hơn ( phương pháp tiếp cận chính thức hơn sẽđược thảo luận trong mục 4.6.7 ) Lưu ý trong các cuộc thảo luận sau đó biến đổiFourier và nghịch đảo của nó là quá trình tuyến tính ( vấn đề 4.2) , vì vậy các cuộcthảo luận dựa trên giới hạn lọc tuyến tính

Các bộ lọc dựa trên hàm Gaussian là đặc biệt quan trọng bởi vì hình dạngcủa chúng có thể dễ dàng xác định và bởi vì cả hai biến đổi Fourier thuận và ngượccủa hàm Gauss là các hàm thực Gaussian Chúng ta sẽ dừng các cuộc thảo luận ởmột biến để đơn giản hóa các ký hiệu Hàm hai chiều sẽ được thảo luận sau trongchương này

Cho H(u) được biểu diễn miền tần số, hàm của bộ lọc Gaussian cho bởiphương trình

Với δ là độ lệch chuẩn của đường cong Gauss Nó có thể được hiển thị (vấn đề 4.4)

ở bộ lọc tương ứng trong miền không gian là

Hai phương trình đại diện cho một kết quả quan trọng vì hai lý do: (1) chúng tạothành một cặp biến đổi Fourier, cả hai thành phần trong số đó là Gaussian và thànhphần thực Điều này tạo điều kiện đáng kể cho việc phân tích bởi vì chúng takhông cần phải quan tâm tới số phức Ngoài ra, đường cong Gauss là trực quan và

dễ thao tác (2) Các hàm tương hỗ với nhau Nói cách khác, khi H(u) có một giá trịrộng (giá trị lớn của δ, h(x) có một giá trị hẹp, và ngược lại Trong thực tế, khi δtiệm cận vô cùng, H(u) có xu hướng là hàm liên tục và h(x) có xu hướng hướng tớimột xung Hai thuộc tính giúp đáng kể trong việc phát triển một sự hiểu biết vữngchắc về các tính chất của bộ lọc trong cả hai miền không gian và miền tần số

a b

c d

Hình 4.9

(a) lọc thông thấp Gaussian trong miền tần số

(b) lọc thông cao Gaussian trong miền tần số

(c) lọc thông thấp tương ứng trong miền không gian

(d) lọc thông cao tương ứng trong miền không gian Mặt nạ lọc được sử dụng trongChương 3 của bộ lọc thông thấp và thông cao

Biểu đồ của bộ lọc Gaussian trong lĩnh vực tần số được hiển thị trong hình 4.9(a) Người đọc sẽ nhận ra hình dạng này của H(u) như một bộ lọc thông thấp.Tương ứng với bộ lọc thông thấp trong miền không gian được thể hiện trong hình4.9(c) Quan tâm của chúng ta là trong hình dạng chung mà chúng ta thường muốn

sử dụng như một hướng dẫn để xác định các hệ số của một bộ lọc nhỏ hơn trong

miền không gian Sự giống nhau rõ ràng giữa hai bộ lọc là tất cả các giá trị tíchcực trong cả hai miền Do đó, chúng ta đi đến kết luận rằng chúng ta có thể thựchiện lọc thông thấp trong miền không gian bằng cách sử dụng một mặt nạ với tất

cả các hệ số tích cực , giống như chúng ta đã làm trong phần 3.6.1 Hai trong sốcác mặt nạ từ phần được hiển thị trong hình 4.9(c) được dùng để tham khảo Mộtđặc điểm quan trọng là mối quan hệ tương hỗ thảo luận trong đoạn trước Trongmiền không gian này có nghĩa là một bộ lọc rộng lớn hơn , do đó hàm ý một mặt

nạ lớn hơn, như được minh họa trong ví dụ 3.9 Bộ lọc phức tạp hơn có thể đượcxây dựng từ hàm Gaussian cơ bản của pt(4.2-38)

Ví dụ, chúng ta có thể xây dựng một bộ lọc thông cao với một sự khác biệtcủa Gaussian như sau:

với A > B và δ1> δ2 Các bộ lọc tương ứng trong miền không gian là

Đồ thị của hai chức năng này được hiển thị trong hình 4.9(b) và (d) tươngứng Trong thực tế, nó khá thú vị để lưu ý rằng khi các biến có giá trị âm, chúngkhông bao giờ trở lại thành biến dương Ở hai trong số những mặt nạ, chúng ta sửdụng trong Chương 3 để lọc thông cao được hiển thị trong hình 4.9(d) Sự giốngnhau trong hình thức giữa các đường cong không gian và các bộ lọc là không thểnhầm lẫn

4.3 Làm mịn các bộ lọc trong miền tần số

Như đã trình bày trong phần 4.2.3, các cạnh sắc nét và hiệu ứng khác (nhưđiểm mờ) ở các mức xám của một hình ảnh ảnh hưởng đáng kể đến nội dung tần sốcao của biến đổi Fourier của nó Do đó làm mịn (mờ) được thực hiện trong miềntần số suy giảm một loạt các thuộc tính của các thành phần tần số cao trong cácbiến đổi của một hình ảnh nhất định "Mô hình" cơ bản của chúng ta dùng để lọctrong miền tần số được cho bởi pt(4.2-27), mà chúng ta nhắc lại ở đây cho thuậntiện:

có một tham số, được gọi là bậc bộ lọc Cho bậc có giá trị cao, bộ lọc Butterworth

có hình thức tương tự bộ lọc lý tưởng Đối với bậc có giá trị thấp hơn, lọcButterworth có một hình thức mịn tương tự như bộ lọc Gaussian Như vậy, bộ lọcButterworth có thể được xem như một sự chuyển tiếp giữa hai bộ lọc lý tưởng và

bộ lọc Gaussian

4.3.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Bộ lọc thông thấp đơn giản nhất chúng ta có thể hình dung là một bộ lọc

"cắt" tất cả các thành phần tần số cao của biến đổi Fourier ở một khoảng cách lớn

vậy được gọi là một bộ lọc thông thấp lý tưởng hai chiều (2-D) (ILPF) và có hàmtruyền

v) đến trung tâm của phổ hình chữ nhật Nếu hình ảnh trong câu hỏi là kích thước

M x N, chúng ta biết rằng biến đổi của nó cũng có kích thước này, do đó, tâm củaphổ hình chữ nhật là (u,v) - (M / 2, N / 2) do thực tế biến đổi đã được tập trung,như đã thảo luận trong kết nối với các pt(4.2-21) Trong trường hợp này, khoảngcách từ bất kỳ điểm nào (u, v) đến tâm ( gốc) của biến đổi Fourier được cho bởi

A b c

Hình 4.10 (a) biểu đồ 3D hàm truyền của một bộ lọc thông thấp lý tưởng, (b) hình

ảnh hiển thị của bộ lọc, (c) đồ thị của bộ lọc

Hình 4.10 (a) biểu đồ 3-D của H(u,v) , và hình 4.10(b) ảnh biến đổi của hàmH(u,v) Tên của bộ lọc lý tưởng cho thấy rằng tất cả các tần số trong một vòng trònbán kính D0 được thông qua mà không bị suy hao, trong khi tất cả các tần số bênngoài vòng tròn này là hoàn toàn bị suy giảm Các bộ lọc thông thấp xem xét trongchương này có tâm đối xứng là gốc Điều này có nghĩa là một mặt cắt ngang mởrộng như một hàm của khoảng cách từ nguồn gốc dọc theo một đường xuyên tâm

là đủ để xác định các bộ lọc, như hình 4.10(c) cho thấy Hàm hoàn chỉnh của bộlọc có thể được hình dung bằng cách quay mặt cắt ngang 360° so với gốc

Đối với một bộ lọc thông thấp lý tưởng, điểm chuyển tiếp giữa H(u,v) = 1 vàH(u, v) = 0 được gọi là tần số cắt Trong trường hợp của hình 4.10, ví dụ, tần số cắt

thực hiện với các thành phần điện tử, mặc dù chúng chắc chắn có thể được thựchiện với một máy tính Các bộ lọc thông thấp giới thiệu trong phần này được sosánh bằng cách nghiên cứu công dụng của chúng như một hàm của tần số cắttương tự Một cách để thiết lập một bộ tiêu chuẩn tần số cắt dùng để tính toán vòng

được lấy bằng cách tổng hợp các thành phần của phổ điện tại mỗi điểm (u,v), cho u

= 0, 1, 2, , M - 1 và v = 0,1,2, , N - 1, có nghĩa là

trong đó P(u,v) được đưa ra trong pt(4.2-20) Nếu như đã được biến đổi, một vòngtròn bán kính r tâm là gốc của hình chữ nhật bao quanh bởi phần trăm tần số phổ,khi đó

a b

Hình 4.11 (a) hình ảnh kích thước 500 x 500 pixel (điểm ảnh) và (b) phổ Fourier

của nó Các vòng tròn chồng nhau có giá trị bán kính 5, 15, 30, 80, và 230 điểmảnh Tương ứng 92.0, 94.6, 96.4, 98.0, và 99.5% công suất phổ

Hình 4.11 (a) các mô hình thử nghiệm, chúng ta sử dụng trong hình 3.35 đểminh họa làm mờ trong miền không gian Phổ Fourier của các hình ảnh này đượcthể hiện trong hình 4.11(b) Các vòng tròn chồng nhau có bán kính 5, 15, 30 80, và

230 pixel (các vòng tròn có bán kính 5 pixel là không dễ nhìn thấy) Những vòngtròn kèm theo phần trăm của công suất phổ tương ứng α = 92.0, 94.6, 96.4, 98, và

99,5% Với 92% tổng năng lượng được bao bọc bởi một vòng tròn tương đối nhỏvới bán kính 5 pixel.

Hình 4.12 cho thấy kết quả của việc áp dụng các bộ lọc thông thấp lý tưởngvới tần số cắt ở bán kính của hình 4.11(b) Hình 4.12(b) hầu như ko dùng được đốivới tất cả các mục đích thực tế , trừ khi mục tiêu làm mờ trong trường hợp này là

để loại bỏ tất cả các chi tiết trong hình ảnh, ngoại trừ " các vết màu '' đại diện chocác đối tượng lớn nhất Mờ trong hình ảnh này là một dấu hiệu rõ ràng rằng hầuhết các thông tin chi tiết sắc nét trong hình ảnh được chứa trong 8% năng lượng bịloại bỏ bởi các bộ lọc

a b Hình 4.12 (a) hình ảnh gốc, (b) - (f) Kết quả của bộ lọc thông thấp lý tưởng

c d với tần số cắt thiết lập theo giá trị bán kính 5 15, 30, 80, 230 pixel, như thể

e f hiện trong hình 4.11 (h) tương ứng với khả năng loại bỏ bằng các bộ lọc

trong đó h(x,y) là biến đổi Fourier nghịch đảo của bộ lọc H(u, v)

Giả sử sau đó f(x, y) là một hình ảnh đơn giản bao gồm năm điểm sáng trênmột nền đen, như hình 4.13(c) Những điểm sáng có thể được xem như là xấp xỉ ,

có năng lượng phụ thuộc vào cường độ của các điểm Sau đó, chập của h(x,y) vàf(x,y) chỉ đơn giản là một quá trình " sao chép " h(x,y) tại vị trí của mỗi xung , như

đã nêu trong mục 4.2.4 Kết quả của hoạt động này , thể hiện ở hình 4.13(d) , giảithích làm thế nào các điểm ban đầu bị mờ như một hệ quả của f(x,y) với bộ lọc làm

mờ của hàm h( x, y)

a b c

Hình 4.14 (a) đồ thị góc nhìn của một hàm truyền với bộ lọc thông thấp

Butterworth, (b) hình ảnh hiển thị bộ lọc , (c) đồ thị bộ lọc với bậc từ 1 đến 4

Hình 4.13 (a) ILPF với bán

kính 5 pixel trong miền tần

số

(b) tương ứng là bộ lọctrong miền không gian (c) Năm xung trong miềnkhông gian, mô phỏng cácgiá trị của năm điểm ảnh,(d) chập của (b) và (c) trongmiền không gian

trong đó D(u,v) được cho bởi pt(4.3-3) Một đồ thị góc nhìn, hình ảnh hiển thị , và

đồ thị của hàm BLPF được thể hiện trong hình 4.14

Không giống như các ILPF, hàm truyền BLPF không có sự gián đoạn giữatần số thông qua và tần số bị lọc Đối với các bộ lọc với hàm truyền mịn, xác địnhtần số cắt tại vị trí các điểm mà H (u, v) bị giảm xuống đến một phần nhất định củagiá trị tối đa của nó Trong trường hợp của phương trình (4,3-6) H (u, v) = 0,5(giảm 50% so với giá trị tối đa của 1) khi D(u,v) = D0.

Hình 4.15 cho thấy kết quả của việc áp dụng BLPF của phương trình (4,3-6)đến Hình 4.15 (a) với n = 2 và D0 bằng với năm bán kính được biểu diễn ở hình4.11 (b) Không giống như các kết quả thể hiện trong hình 4.12 cho ILPF, chúng

ta lưu ý ở đây là một chức năng của tăng tần số cắt, một thực tế do quá trìnhchuyển đổi làm mịn của bộ lọc giữa các tần số thấp và cao

Một bộ lọc Butterworth bậc 1 không có tính vòng Tính vòng nói chung làkhông thể nhận thấy trong các bộ lọc bậc 2, nhưng có thể trở thành một yếu tốquan trọng trong các bộ lọc bậc cao Hình 4.16 cho thấy một so sánh thú vị giữađại diện không gian của các bộ lọc thông thấp Butterworth (BLPFs) với các bậckhác nhau (với tần số cắt của 5 pixel) Các bộ lọc này đã được thu và hiển thị bằngcách sử dụng cùng một cách chúng tôi sử dụng để tạo ra hình 4.13 (b)

So sánh với hình 4.12.

a b c d

Hình 4.16 (a) - (d) miêu tả không gian của BLPFs bậc 1, 2, 5 và 20, và tương ứng

là mức xám thông qua tâm của các bộ lọc (tất cả các bộ lọc có tần số cắt với bánkính 5 pixel)

tăng cường thêm với phép biến đổi gamma [xem pt (3.2-3)] được áp dụngcho những hình ảnh của hình 4.16 để làm nổi bật hơn nữa các thành phần ở xa gốc.Các BLPF bậc 1 [ hình 4.16 (a)] không có giá trị âm Bộ lọc bậc 2 có giá trị âmnhỏ nhưng chắc chắn chúng ít rõ ràng hơn trong các ILPF Một bộ lọc Butterworthbậc 20 đã thể hiện các thuộc tính của ILPF có thể được nhìn thấy bằng cách sosánh hình 4.16(d) và 4.13(b) Trong một giới hạn, cả hai bộ lọc giống hệt nhau.Nói chung, BLPFs bậc 2 là một sự kết hợp tốt giữa hiệu quả của lọc thông thấp vàđặc tính vòng

4.3.3 Bộ lọc thông thấp Gaussians

Bộ lọc thông thấp gaussian (GLPFs) một chiều đã được giới thiệu trongphần 4.2.4 như một sự trợ giúp trong việc tìm kiếm một mối quan hệ quan trọnggiữa miền không gian và tần số Dạng của các bộ lọc 2 chiều trong được cho bởi

Như trong pt (4.3-3), D(u, v) là khoảng cách từ gốc của biến đổi Fourier, mà chúng

ta giả định đã được chuyển đến tâm của phổ hình chữ nhật sử dụng như đường biênđược nêu tại mục 4.2.3 Chúng ta không sử dụng các bộ lọc trước như trong mục4.2.4 để phù hợp với tất cả các bộ lọc khác thảo luận trong phần hiện tại, mà có giátrị 1 tại gốc Như trước đây, δ là độ rộng của các đường cong Gauss Trong phần

quen thuộc hơn về các ký hiệu Khi D0 là tần số cắt

Khi D(u,v) = D0 , giá trị của bộ lọc bị giảm đến 0,067 so với giá trị cực đại của nó

Như đã thảo luận tại mục 4.2.4, Fourier nghịch đảo của bộ lọc thông thấpGaussian cũng là chính nó Chúng ta đã thấy trong phần đó những lợi thế của thuộctính này như là một công cụ để phân tích Về hiệu suất, điều này cũng có nghĩa làmột bộ lọc Gaussian trong miền không gian, thu được bằng cách tính toán biến đổiFourier nghịch đảo của pt (4.3-7) hoặc pt (4.3-8) Biểu đồ ,hiển thị hình ảnh, và đồthị của một hàm GLPF được hiển thị trong hình 4.17

A b c

Hình 4.17 (a) biểu đồ hiển thị hàm truyền của GLPF, (b) hình ảnh hiển thị của bộ

lọc (c) đồ thị của phép biến đổi với các giá trị khác nhau của D0

Hình 4.18 cho thấy kết quả của việc áp dụng GLPF của pt (4.3-8) đến hình4.18 (a) , tương đương với D0 là năm bán kính được thể hiện ở hình 4.11(b) Nhưtrong trường hợp của BLPF (Hình 4.15) , chúng ta lưu ý rằng một biến đổi làm mờmột hàm của việc tăng tần số cắt Các GLPF đã không đạt được mịn như của BLPFbậc 2 với cùng một giá trị của tần số cắt, như có thể được nhìn thấy, ví dụ, bằngcách so sánh hình 4.15(c) và 4.18 ( c ) Tuy nhiên , nói chung kết quả là khá tươngđương, và chúng ta đảm bảo không có tính vòng trong trường hợp của GLPF Đây

là một đặc điểm quan trọng trong thực tế , đặc biệt là trong tình huống mà bất kỳhình ảnh nào (ví dụ trong hình ảnh y tế ) là không thể chấp nhận

4.3.4 Bổ sung ví dụ về bộ lọc thông thấp

Kết quả thu được của các bộ lọc thông thấp cho đến nay đều có hình ảnhchất lượng tốt để minh họa và so sánh hiệu ứng của các bộ lọc Trong phần nàychúng ta cho thấy một vài ứng dụng thực tế của bộ lọc thông thấp Ví dụ đầu tiên

là từ lĩnh vực nhận thức máy tính , với ứng dụng để nhận dạng ký tự ; thứ hai là từcác ngành công nghiệp in ấn và xuất bản; và thứ ba là liên quan đến xử lý hình ảnh

vệ tinh và hình ảnh trên không

Hình 4.19 thể hiện một mẫu văn bản có độ phân giải kém Chúng ta sẽ gặpmột văn bản như thế này , ví dụ, trong truyền fax , tài liệu sao chép , và ghi chéplịch sử Như văn bản xấu đi , mẫu này đặc biệt khó khăn như vết ố , nếp nhăn , vàphần bị rách Phần phóng đại hình 4.19 ( a) cho thấy các ký tự trong tài liệu này đã

đã thể hiện ở hình 4.11(b)

So sánh với hình 4.12 và4.15