tiểu luận xử lý ảnh số nâng cao hình ảnh trong miền tần số

Tiểu luận xử lý ảnh số Nâng cao hình ảnh trong miền tần số 4.1 Mở đầu 4.2 Giới thiệu về biến đổi Fourier và miền tần số 4.2.1 Biến đổi Fourier 1 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi 4.2.2 Biến đổi Fourier 2 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi 4.2.3 lọc trong miền tần số 4.2.4 Tương ứng giữa các bộ lọc trong miền không gian và miền tần số 4.3 Bộ lọc làm mịn trong miền tần số 4.3.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng 4.3.2 Bộ lọc thông thấp Butterworth 4.3.3 Bộ lọc thông thấp Gaussians 4.3.4 Bổ sung ví dụ về bộ lọc thông thấp 4.4 Bộ lọc làm sắc nét trong miền tần số 4.4.1 Bộ lọc thông cao lý tưởng 4.4.2 Bộ lọc thông cao Butterworth 4.4.3 Bộ lọc thông cao Gaussians 4.4.4 Toán tử laplace trong miền tần số 4.4.5 mặt nạ Unsharp, lọc nâng cao và nhấn mạnh về bộ lọc tần số cao 4.5 Lọc Homomorphic 4.6 Phần bổ sung 4.6.1 Một số thuộc tính bổ sung của biến đổi Fourier 2 chiều 4.6.2 Tính toán Fourier ngược sử dụng thuật toán chuyển đổi chuyển tiếp 4.6.3 Thông tin thêm về chu kỳ: sự cần thiết bởi đệm 4.6.4 Phép nhân chập và các định lý tương quan 4.6.5 Tóm tắt các tính chất của biến đổi Fourier 2 chiều 4.6.6 Biến đổi Fourier nhanh 4.6.7 Một số ý kiến về thiết kế bộ lọc 4.1 Mở đầu: Với nỗ lực đáng kể đã được thể hiện trong các chương trước về kỹ thuật nâng cao hình ảnh trong miền không gian, và với một sự hiểu biết nhất định về lĩnh vực này, làm thể nào để biến đổi Fourier trong miền tần số để xử lý nâng cao hình ảnh. Một sự hiểu biết vững chắc về các vấn đề này ,chúng ta có thể thực hiện mà không cần phải trở thành một chuyên gia về xử lý tín hiệu . Chìa khóa nằm ở việc tập trung vào các nguyên tắc cơ bản và sự phù hợp của chúng để xử lý hình ảnh kỹ thuật số. Các ký hiệu , thường là một nguyên nhân làm cho người mới bắt đầu cảm thấy khó khăn, nhưng sẽ được làm sáng tỏ trong chương này bằng cách nhấn mạnh mối liên hệ giữa đặc điểm hình ảnh và các công cụ toán học được sử dụng để thay thế cho các ký hiệu .Chương này chủ yếu giúp người đọc phát triển một sự hiểu biết cơ bản về biến đổi Fourier trong miền tần số, và họ áp dụng như thế nào để nâng cao hình ảnh . Sau đó, trong chương 5, 8, 10, và 11, chúng ta thảo luận về các ứng dụng khác của biến đổi Fourier . Chúng ta bắt đầu các cuộc thảo luận với một phác thảo ngắn gọn về nguồn gốc của biến đổi Fourier và tác động của nó trên vô số các ứng dụng của toán học , khoa học và kỹ thuật. Tiếp theo, chúng ta cung cấp một số định nghĩa về biến đổi Fourier trong miền tần số và thiết lập các ký hiệu, lý do tại sao những công cụ này rất hữu ích cho việc nâng cao hình ảnh . Tiếp theo nữa là phần giới thiệu vấn đề làm mịn và kỹ thuật lọc sắc nét đã được thảo luận trong Chương 3 ,và tất cả bộ lọc được thực hiện trong miền tần số. Sau khi thảo luận về công dụng của biến đổi Fourier để nâng cao hình ảnh , chúng ta kết luận chương này với việc thảo luận về các vấn đề liên quan khác đến việc thực hiện các biến đổi Fourier trong việc xử lý hình ảnh . Giới thiệu Nhà toán học người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier sinh vào năm 1768 tại thị trấn Auxerre, nằm giữa Paris và Dijon . Sự đóng góp đáng nhớ nhất của ông trong một cuốn hồi ký vào năm 1807 và được công bố vào năm 1822, đó là cuốn sách La Théorie Analitique de la Chaleur ( Lý thuyết phân tích nhiệt ). Cuốn sách này đã được dịch sang tiếng Anh 55 năm sau đó bởi Freeman (1878) . Về cơ bản , đóng góp của Fourier trong này nói rằng bất kỳ một hàm cụ thể có chu kỳ lặp lại có thể được thể hiện dưới dạng tổng của sin và/hoặc cosines với các tần số khác nhau, nhân với một hệ số khác nhau ( chúng ta hay gọi là một chuỗi Fourier ) . Nó không quan trọng là hàm phức tạp hay không, miễn là nó có chu kỳ và đáp ứng một số điều kiện về toán học, nó có thể được đại diện bởi một hàm như vậy. Cuốn sách này hiện đang dùng cho các cấp học, nhưng khái niệm của nó lần đầu tiên xuất hiện đã mang tính cách mạng mà các nhà toán học trên toàn thế giới phải mất hơn một thế kỷ để "điều chỉnh . Ngay cả hàm không có chu kỳ (nhưng có diện tích mặt cong là hữu hạn) có thể được biểu diễn tách rời của sin và/hoặc cos nhân với một hàm. Trong trường hợp này, việc xây dựng là biến đổi Fourier , và tiện ích của nó thậm chí còn lớn hơn chuỗi Fourier trong hầu hết các vấn đề thực tế . Cả hai cùng mang đặc điểm quan trọng là một hàm biểu diễn bằng một chuỗi biến đổi Fourier, có thể được xây dựng lại ( phục hồi ) hoàn toàn thông qua một quá trình ngược lại, không bị mất thông tin. Đây là một trong những đặc điểm quan trọng nhất bởi vì chúng cho phép chúng ta làm việc trong " miền Fourier " và sau đó trở về miền ban đầu của các hàm mà không bị mất bất kỳ thông tin nào. Việc áp dụng các ý tưởng ban đầu của Fourier là trong lĩnh vực khuếch tán nhiệt , nơi lần đầu tiên họ đã có thể cho phép xây dựng các phương trình vi phân đại diện cho dòng nhiệt. Trong suốt thế kỷ qua, và đặc biệt là trong 50 năm qua , toàn bộ các ngành công nghiệp và lĩnh vực khoa học đã phát triển mạnh mẽ như là kết quả những ý tưởng của Fourier . Sự ra đời của tính toán kỹ thuật số và "khám phá" thuật toán biến đổi Fourier nhanh ( FFT ) trong những năm 1950 ( sẽ nói thêm về thuật toán này) cách mạng hóa lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Hai công nghệ cốt lõi cho phép điều chế thời gian thực đầu tiên và giải thích ý nghĩa của một loạt các phép toán xử lý tín hiệu quan trọng của con người và đặc biệt là ngành công nghiệp, từ màn hình y tế và máy quét để truyền tải thông tin điện tử một cách hiện đại. Chúng ta sẽ nghiên cứu với các hàm( hình ảnh) trong khoảng thời gian hữu hạn , do đó biến đổi Fourier là công cụ mà chúng ta cần quan tâm. trong các phần sau đây sẽ giới thiệu về các biến đổi Fourier và miền tần số. Nó cho thấy rằng kỹ thuật biến đổi Fourier cung cấp các tính chất có ý nghĩa và thiết thực để nghiên cứu và thực hiện một loạt các phương pháp tiếp việc xử lý nâng cao hình ảnh . Trong một số trường hợp, các phương pháp tiếp cận tương tự như những tính chất chúng ta đã xây dựng trong Chương 3 . 4.2 Giới thiệu về Biến đổi Fourier và miền tần số Phần này giới thiệu các biến đổi Fourier trong một và hai chiều. Tập trung chủ yếu trên một công thức riêng biệt của biến đổi liên tục và một số thuộc tính của nó. 4.2.1 Biến đổi Fourier 1 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi Biến đổi Fourier, F(u), với một biến duy nhất của hàm liên tục, f(x), được xác định bởi phương trình: trong đó j = 1− . Ngược lại, cho F(u), chúng ta có thể tính được f(x) bằng cách sử dụng định nghĩa của Biến đổi Fourier ngược Hai phương trình trên bao gồm các biến đổi Fourier. Nó chỉ ra một thực tế quan trọng được đề cập trong phần trước rằng một hàm có thể được phục hồi từ biến đổi của nó. Những phương trình này dễ dàng mở rộng đến hai biến, u và v: và tương tự cho các biến đổi nghịch đảo, Quan tâm của chúng ta là trong các hàm riêng biệt, vì vậy chúng ta sẽ không dừng lại ở các phương trình này. Trong một số trường hợp, người đọc có thể tìm thấy chúng dễ dàng hơn để thao tác tương đương như hàm rời rạc trong việc chứng minh giá trị của biến đổi Fourier hai chiều. Biến đổi Fourier của hàm một biến, f(x) với x = 0,1, 2, , M-1 , được cho bởi phương trình Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là nền tảng cho hầu hết các thuật toán trong chương này. Tương tự như vậy, cho F(u), chúng ta có thể có được những hàm ban đầu bằng cách sử dụng DFT ngược: Một tính chất quan trọng của các cặp biến đổi rời rạc là không giống như trường hợp tiếp theo, chúng ta không cần phải quan tâm về sự tồn tại của DFT hay nghịch đảo của nó . Biến đổi rời rạc và biến đổi Fourier nghịch đảo luôn luôn tồn tại. Chúng ta sẽ nhận được một tính chất, cho thấy sự tồn tại của hai chức năng. Tất nhiên, khi đó luôn luôn có những câu hỏi về những gì sẽ xảy ra nếu f(x) có giá trị vô hạn , nhưng trong cuốn sách này, chúng ta chỉ xử lý với số lượng hữu hạn. Những điều kiện được áp dụng trực tiếp vào các hàm hai chiều ( và cao hơn). Vì vậy, để xử lý hình ảnh kỹ thuật số, sự tồn tại của một trong hai biến đổi rời rạc hoặc nghịch đảo của nó không phải là một vấn đề lớn. Các khái niệm về lĩnh vực tần số , đã đề cập nhiều lần trong chương này và trong Chương 3, lấy trực tiếp từ công thức Euler : Thay biểu thức này vào phương trình (pt) (4.2-5), và sử dụng cos (-θ) = cos (θ) , chúng ta có: Với u = 0,1,2 , , M ~ 1, chúng ta thấy rằng mỗi đoạn của biến đổi Fourier [ đó là, giá trị của F(u) với mỗi giá trị của u bao gồm tổng của tất cả các giá trị hàm f(x) ]. Các giá trị của f(x), được nhân lần lượt với sin và cos của các tần số khác nhau . Miền (giá trị của u) mà ở đó có giá trị thích hợp của F(u) được gọi là miền tần số, vì u sẽ xác định tần số của các thành phần có sự thay đổi. (Các biến x cũng đã ảnh hưởng đến tần số , nhưng chúng được lược bỏ và tất cả đều có những đóng góp như nhau với mỗi giá trị của u). Sử dụng các thuật ngữ miền tần số và các thành phần tần số thực sự là không khác nhau từ định nghĩa miền thời gian và các thành phần thời gian , mà chúng ta sẽ sử dụng để thể hiện các tên miền và các giá trị của f(x) nếu x là một biến thời gian. Một so sánh tương tự là các biến đổi Fourier với một lăng kính thủy tinh , lăng kính là một thiết bị vật lý tách ánh sáng thành các thành phần màu sắc khác nhau, mỗi ánh sáng phụ thuộc vào bước sóng (hoặc tần số) của nó. Biến đổi Fourier có thể được xem như một " lăng kính toán học " mà tách một hàm thành các thành phần khác nhau , cũng dựa trên điều kiện tần số. Khi chúng ta xem xét ánh sáng , chúng ta nói về quang phổ của nó hoặc điều kiện về tần số, tương tự như vậy , biến đổi Fourier cho phép chúng ta mô tả một hàm với miền tần số của nó. Đây là một khái niệm tốt nhât nằm ở trung tâm của bộ lọc tuyến tính . Nói chung, chúng ta thấy từ pt(4.2-5) hoặc pt(4.2-8) mà các thành phần của biến đổi Fourier là số lượng phức tạp .Trong việc phân tích các hàm phức tạp , chúng ta thấy nó thuận tiện đôi khi F(u) được thể hiện trong tọa độ cực : khi được gọi là độ lớn hoặc phổ của biến đổi Fourier, và được gọi là góc pha hoặc phổ của sự thay đổi. Trong các pt(4.2-10) và (4.2-11), R(u) và I(u) là phần thực và phần ảo của F(u). Về vấn đề nâng cao hình ảnh chúng ta quan tâm chủ yếu với tính chất của quang phổ. Một đại lượng được sử dụng trong chương này là phổ năng lượng, định nghĩa là phổ Fourier: Trước khi tiếp tục, xem xét một ví dụ biến đổi Fourier một chiều sẽ rất có ích. Hình 4.2(a) biểu diễn một hàm và hình 4.2(b) cho thấy phổ Fourier của nó . Cả hai f (x) và F ( u ) là các hàm rời rạc , nhưng các điểm ở các ô được liên kết để làm cho chúng được theo dõi dễ dàng hơn. Trong ví dụ này , M = 1024, A = 1, và K chỉ có 8 điểm. Cũng lưu ý rằng phổ trung tâm tại u = 0 . Như trình bày trong phần sau, điều này được thực hiện bằng cách trước khi biến đổi nhân f(x) với (-1) x . Hai hình tiếp theo mô tả về cơ bản là giống nhau, nhưng với K = 16 điểm . Các điểm quan trọng cần lưu ý là (1): chiều cao của phổ tăng gấp đôi như khu vực dưới đường cong khi x tăng gấp đôi, và (2): số lượng điểm không ở trong phổ trong cùng một khoảng thời gian tăng gấp đôi khi chiều dài của hàm tăng gấp đôi. Bản chất của biến đổi cặp Fourier là hữu ích nhất trong việc giải thích kết quả xử lý hình ảnh trong miền tần số . Trong trường hợp rời rạc, khi chúng ta viết f(k), nó được hiểu rằng chúng ta đang sử dụng ký hiệu viết tắt mà nghĩa thực sự là f(x 0 + kΔx). Về các ký hiệu chúng ta đã sử dụng cho đến nay, f(x) được hiểu là f(x) = f (x 0 +xΔx) (4.2-13) khi thực hiện với các biến rời rạc. Biến u có một giải thích tương tự, nhưng trình tự luôn luôn bắt đầu ở tần số 0. Do đó, trình tự cho các giá trị của u là 0, Δu, 2Δu , , [M - l] Δu. F(u) được hiểu như sau: cho u = 0, 1, 2 , M - 1. Đây là loại ký hiệu viết tắt giúp các phương trình đơn giản hoá đáng kể và dễ dàng hơn nhiều. Mối quan hệ nghịch đảo giữa một hàm và biến đổi của nó minh họa trong hình 4.2, Δx và Δu tỉ lệ nghịch theo biểu thức Mối quan hệ này rất có ích khi đó là một vấn đề trong việc xử lý các hình ảnh. Ví dụ, trong một ứng dụng của kính hiển vi điện tử các mẫu hình ảnh có thể cách nhau 1 micron , và có đặc điểm trong miền tần số (như các thành phần chu kỳ) là có thể có những tác động liên quan đến cấu trúc của mẫu vật lý. 4.2.2 Biến đổi Fourier 2 chiều và nghịch đảo của phép biến đổi a b c d FIGURE 4.2 (a) chức năng riêng biệt của M điểm, và (b) phổ Fourier của nó, (c) Một chức năng rời rạc với gấp đôi số điểm khác không, và (d) phổ Fourier của nó. Mở rộng của biến đổi Fourier rời rạc một chiều và nghịch đảo của nó là biến đổi Fourier hai chiều là khá đơn giản. Biến đổi Fourier rời rạc của một hàm (hình ảnh) f(x, y) có diện tích MxN được cho bởi phương trình Như trong trường hợp một chiều, biểu thức được tính toán cho các giá trị u = 0, 1, 2, , M - l, và cũng cho v = 0, 1, 2, , N - 1. Tương tự như vậy, cho F(u,v) chúng ta có được f (x, y) thông qua Biến đổi Fourier ngược, thể hiện ở biểu thức Với x = 0, 1, 2, , M - 1 và y = 0, 1, 2, , N – 1, pt(4.2-16) và pt(4.2-17) là cặp biến đổi Fourier rời rạc (DFT) hai chiều. Các biến u và v là biến số hoặc biến tần số, và x và y là các biến không gian hoặc hình ảnh. Như trong trường hợp một chiều, vị trí của các hằng số 1/MN là không quan trọng. Đôi khi nó nằm ở phía trước của biến đổi ngược. Chúng ta xác định phổ Fourier, góc pha, và phổ năng lượng như trong phần trước: và trong đó R(u,v) và I(u,v) tương ứng là phần thực và phần ảo của F(u,v). Thực tế nhân hàm ảnh chụp đầu vào với (- 1) x+y trước khi tính toán biến đổi Fourier. Do tính chất của hàm mũ, nó được hiển thị (xem phần 4.6) với ζ [.] biểu diễn biến đổi Fourier của các đối số. Phương trình này nói rằng gốc của biến đổi Fourier của f(x, y) (-1) x+y [có nghĩa là, F(0,0)] được đặt tại u = M / 2 và v = N/2. Nói cách khác, nhân f (x, y) với (-1) x+y sẽ làm thay đổi gốc của F(u,v) với tọa độ tần số (M/2, N/2). Chúng ta nói đến khu vực này của miền tần số như phổ hình chữ nhật. Nó trải dài từ u = 0 đến u = M - 1, và từ v = 0 đến v = N - 1 (nhớ rằng u và v là các số nguyên). Để đảm bảo rằng các tọa độ là số nguyên, chúng ta có M và N là số chẵn. Khi thực hiện các biến đổi Fourier trong một máy tính, các giới hạn là từ u = 1 đến M và v = 1 đến N. Các trung tâm thực tế của biến đổi sau đó sẽ có mặt tại u = (M / 2)+1 và v = (N / 2)+1. Giá trị của các biến số (u, v) = (0, 0) là từ biểu thức. (4.2-16) mà chúng ta thấy là mức trung bình của f(x, y). Nói cách khác, nếu f(x, y) là một hình ảnh, giá trị biến đổi Fourier tại gốc là bằng mức xám trung bình của hình ảnh. Bởi vì cả hai tần số là số 0 tại gốc, F(0,0) đôi khi được gọi là thành phần dc của phổ. Thuật ngữ này là từ kỹ thuật điện, trong đó "dc" nghĩa là dòng (ví dụ, dòng của tần số 0), Nếu f (x, y) là phần thực, biến đổi Fourier của nó là liên hợp đối xứng, đó là, mà “*” nghĩa là liên hợp phức. Từ đó nói rằng phổ của biến đổi Fourier là đối xứng. Liên hợp đối xứng và các thảo luận trước đó thực sự đơn giản hóa các đặc tính kỹ thuật của các bộ lọc tròn đối xứng trong miền tần số, như trong phần sau. Cuối cùng, như trong trường hợp một chiều chúng ta có mối quan hệ sau đây giữa các biến trong miền không gian và tần số: Và [...]... diễn bằng cách sử dụng chuyển đổi trong pt(3.2-2) So sánh với hình 4.2 4.2.3 lọc trong miền tần số Như đã đề cập trong hai phần trước , miền tần số khác với miền không gian bởi giá trị của các biến đổi Fourier và biến tần số của nó (u,v) Trong phần này , chúng ta chú trọng đến miền tần số , vì nó liên quan đến xử lý hình ảnh Một số thuộc tính cơ bản của miền tần số chúng ta bắt đầu bằng cách quan... thuộc tính giúp đáng kể trong việc phát triển một sự hiểu biết vững chắc về các tính chất của bộ lọc trong cả hai miền không gian và miền tần số a b c d Hình 4.9 (a) lọc thông thấp Gaussian trong miền tần số (b) lọc thông cao Gaussian trong miền tần số (c) lọc thông thấp tương ứng trong miền không gian (d) lọc thông cao tương ứng trong miền không gian Mặt nạ lọc được sử dụng trong Chương 3 của bộ lọc... thể hiện trong hình 4.8 Việc cải thiện hình 4.7(d) là điều hiển nhiên a b c d Hình 4.7 (a) hàm lọc thông thấp hai chiều, (b) Kết quả hình ảnh lọc thông thấp của hình 4.4(a), (c) hàm lọc thông cao hai chiều , (d) Kết quả hình ảnh lọc thông cao của hình 4.4 (a) Tương ứng giữa các bộ lọc trong miền không gian và tần số Trong chương trước, chúng ta đã đề cập đến các hình thức cho các bộ lọc trong miền không... hiện trong miền tần số suy giảm một loạt các thuộc tính của các thành phần tần số cao trong các biến đổi của một hình ảnh nhất định "Mô hình" cơ bản của chúng ta dùng để lọc trong miền tần số được cho bởi pt(4.2-27), mà chúng ta nhắc lại ở đây cho thuận tiện: Trong đó F(u, v) là biến đổi Fourier của ảnh Mục tiêu là chọn một hàm truyền phụ H(u, v) để giá trị của G(u,v) suy giảm các thành phần tần số cao. .. hai trong số những mặt nạ, chúng ta sử dụng trong Chương 3 để lọc thông cao được hiển thị trong hình 4.9(d) Sự giống nhau trong hình thức giữa các đường cong không gian và các bộ lọc là không thể nhầm lẫn 4.3 Làm mịn các bộ lọc trong miền tần số Như đã trình bày trong phần 4.2.3, các cạnh sắc nét và hiệu ứng khác (như điểm mờ) ở các mức xám của một hình ảnh ảnh hưởng đáng kể đến nội dung tần số cao. .. đến Ví dụ này là điển hình của mối quan hệ giữa miền tần số và miền không gian Như chúng ta thấy trong chương này, cùng với các mối quan hệ giữa nội dung đã được đề cập trước đó, thay đổi tần số và tốc độ của mức xám trong một hình ảnh , có thể dẫn đến một số kết quả nâng cao rất hữu ích a b Hình 4.4(a) ảnh SEM của một mạch tích hợp hỏng, (b) Fourier quang phổ của (a) (Hình ảnh gốc được cung cấp... lọc trong hai thể loại khác Một bộ lọc làm suy giảm tần số cao trong khi " đi qua '' tần số thấp được gọi là một bộ lọc thông thấp Một bộ lọc có đặc tính ngược lại là được gọi là một bộ lọc thông cao Chúng ta mong muốn một hình ảnh lọc thông thấp để giảm chi tiết sắc nét hơn so với bản gốc bởi vì các tần số cao đã suy giảm Tương tự như vậy , một hình ảnh của lọc thông cao sẽ có sự thay đổi mức xám trong. .. bày trong mục 5.4.3 , bộ lọc sắc nét là công cụ đặc biệt hữu ích khi nó có thể xác định hiệu ứng hình ảnh không gian cho các thành phần miền tần số Tần số thấp trong biến đổi Fourier chịu trách nhiệm về sự xuất hiện mức xám của một hình ảnh trên khu vực trơn, trong khi tần số cao chịu trách nhiệm về các chi tiết , chẳng hạn như các cạnh và điểm mờ Những ý tưởng này sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong. .. họa trong phần 3.5 Hình 4.8 Kết quả của hình ảnh lọc thông cao trong hình 4.4 (a) với các bộ lọc trong hình 4.7 (c) sửa đổi bằng cách thêm một hằng số của một nửa chiều cao bộ lọc với hàm lọc so sánh với hình 4.4(a) Quá trình mà chúng tôi di chuyển một mặt nạ từ điểm ảnh đến điểm ảnh trong một hình ảnh, và tính toán số lượng được xác định trước tại mỗi điểm ảnh là nền tảng của quá trình chập Các phép... thông cao Biểu đồ của bộ lọc Gaussian trong lĩnh vực tần số được hiển thị trong hình 4.9(a) Người đọc sẽ nhận ra hình dạng này của H(u) như một bộ lọc thông thấp Tương ứng với bộ lọc thông thấp trong miền không gian được thể hiện trong hình 4.9(c) Quan tâm của chúng ta là trong hình dạng chung mà chúng ta thường muốn sử dụng như một hướng dẫn để xác định các hệ số của một bộ lọc nhỏ hơn trong miền . Tiểu luận xử lý ảnh số Nâng cao hình ảnh trong miền tần số 4.1 Mở đầu 4.2 Giới thiệu về biến đổi Fourier và miền tần số 4.2.1 Biến đổi Fourier 1 chiều và. về kỹ thuật nâng cao hình ảnh trong miền không gian, và với một sự hiểu biết nhất định về lĩnh vực này, làm thể nào để biến đổi Fourier trong miền tần số để xử lý nâng cao hình ảnh. Một sự. nét trong miền tần số 4.4.1 Bộ lọc thông cao lý tưởng 4.4.2 Bộ lọc thông cao Butterworth 4.4.3 Bộ lọc thông cao Gaussians 4.4.4 Toán tử laplace trong miền tần số 4.4.5 mặt nạ Unsharp, lọc nâng cao