Như đã nêu trong phần 4.1 , một trong những lý do chính mà các DFT trở thành công cụ quan trọng trong xử lý tín hiệu là sự phát triển của biến đổi Fourier nhanh ( FFT ) . Tính toán biến đổi Fourier một chiều của M điểm sử dụng pt (4.2- 5) yêu cầu về bậc của phép nhân /cộng với M2 . ví dụ M = 1024 , phương pháp brute-force sẽ cần khoảng 106 phép tính , trong khi các FFT sẽ cần khoảng 104
phép tính . Đây là một lợi thế tính toán của 100 đến 1. Với các vấn đề lớn hơn, tính toán dễ dàng hơn. Trong phần này, chúng ta xem xét cơ bản việc biến đổi của DFT dẫn đến FFT . Như đã trình bày trong mục 4.6.1 , biến đổi Fourier 2 chiều có thể thu được bằng cách thực hiện liên tiếp các thuật toán chuyển đổi 1 chiều .
Các thuật toán FFT phát triển trong phần này dựa trên phương pháp gọi là tăng gấp đôi liên tiếp. Để thuận tiện cho việc ký hiệu chúng ta thể hiện phương trình. (4.2-5) dưới dạng Với Và M được giả định có dạng
với n là một số nguyên dương. Do đó, M có thể viết
Với K cũng là một số nguyên dương, trừ hai pt(4.6-38) với pt(4.6-35)
Tuy nhiên, nó cũng có thể được biểu diễn như pt(4.6-36) vói W22ukK = WuxK , như vậy, pt(4.6-39) có thể được biểu diễn như sau
Định nghĩa Cho u = 0,1,2,…, K – 1, và Cho u = 0,1,2,…, K – 1, pt(4.6-40) rút gọn Bởi vì WuM+M = WuM , và W2u+MM = -Wu2M , pt(4.6-41) đến pt(4.6-43) cho Phân tích một cách cẩn thận pt(4,6-41) đến pt(4,6-44) nhận thấy một số tính chất thú vị của các biểu thức. Một biến đổi M điểm có thể được tính bằng cách chia các biểu thức ban đầu thành hai phần, như được chỉ ra trong các pt(4,6-43) và pt(4,6-44). Sau đó các giá trị kết quả của Feven(u) và Fodd(u) được thay vào pt(4,6- 43) để có được F (u) với u = 0,1,2, ..., (M / 2 - l). Nửa còn lại tính trực tiếp từ biểu thức. (4,6-44) mà không tính chất biến đổi bổ sung.
Tiếp tục lập luận này cho bất kỳ giá trị nguyên dương của n dẫn đến biểu thức đệ quy của phép nhân và bổ sung cần thiết để thực hiện FFT:
Và
Với m(0) = 0 và a(0) = 0 vì biến đổi đơn điểm không yêu cầu phép nhân hoặc cộng.