Nó đã được giải thích trong phần 4.2.4, dựa trên các định lý chập, phép nhân trong miền tần số là tương đương với phép chập trong miền không gian, và ngược lại. Khi làm việc với các biến rời rạc và biến đổi Fourier, chúng ta cần phải ghi nhớ những chu kỳ của các hàm khác liên quan (Mục 4.6.1). Mặc dù nó có thể không trực quan, chu kỳ này là một sản phẩm phụ của cách thức toán học mà các cặp biến đổi Fourier rời rạc được xác định. Chu kỳ là một phần của quá trình này, và nó không thể bỏ qua.
Hình 4.36 minh họa tầm quan trọng của chu kỳ. Cột bên trái của hình cho thấy tính chập sử dụng phiên bản 1 chiều của phương trình. (4,2-30):
Chúng ta biết từ định lý chập giới thiệu trong phần 4.2 [xem phương trình. (4,2-31)] mà chúng ta có thể có được chính xác kết quả đưa ra trong phương trình. (4,6-20) bằng cách lấy Fourier nghịch đảo của F(u)H(u). Tuy nhiên, chúng ta cũng biết từ các cuộc thảo luận trên trong phần này là biến đổi Fourier rời rạc với chu kỳ hàm đầu vào tự động . Nói cách khác, bằng cách sử dụng DFT cho phép chúng ta thực hiện phép chập trong miền tần số, nhưng các hàm được coi là có tính tuần hoàn, thời gian bằng với chiều dài của các hàm.
Chúng ta có thể kiểm tra những tác động của chu kỳ này với sự trợ giúp của cột bên phải của hình 4.36. Hình 4.36 (f) giống như hình 4.36 ( a) , nhưng với chu kỳ hàm mở rộng vô hạn theo cả hai hướng ( phần mở rộng được thể hiện nét đứt) . Cũng áp dụng như Hình. 4,36 ( g ) đến (i ) . Bây giờ chúng ta thực hiện chập bởi h ( x - m ) thông qua f( m ) . Như trước đây độ trượt được thực hiện bằng cách thay đổi x. Tuy nhiên , bây giờ các phần mở rộng được lặp lại của h(x - m ) giới thiệu các giá trị mà không có trong tính toán của chúng ta ở phía bên trái của hình . 4.36
Trong miền tần số quá trình tính toán biến đổi Fourier của các hàm ở hình. 4.36 (a) và (b). Theo định lý chập, thực hiện hai biến đổi, phép nhân và các phép biến đổi Fourier ngược. hình 4.36 (j) kết quả sẽ là 400 điểm bao gồm các tính chập thể hiện ở dạng rắn. Minh hoạ đơn giản này cho thấy xử lý các vấn đề về chu kỳ không đúng cách sẽ cho kết quả không chính xác nếu hàm chập thu được sử dụng
a f b g c h d i e j Hình 4.36 Hình trái: phép chập của hai hàm riêng biệt. Hình phải: phép chập của các hàm tương tự, tính theo chu kỳ của DFT.
biến đổi Fourier. Kết quả sẽ có dữ liệu sai khi bắt đầu và có dữ liệu bị mất khi kết thúc.
Giải pháp cho vấn đề này không phức tạp. Giả sử f và h chứa 2 điểm tương ứng A và B. Chúng ta thêm zero vào cả 2 hàm nên chúng có chu kỳ xác định, được ký hiệu là P.
Chúng ta thấy rằng, nếu không chọn P≥ A+B-1 thì chu kỳ của phép chập sẽ chồng chéo lên nhau. Chúng ta đã thấy trong hình 4.36, kết quả của hiện tượng này, là liên quan đến lỗi vòng lặp. Nếu P = A+B-1, chu kỳ sẽ là lân cận. Nếu P > A+B-1, chu kỳ sẽ được tách ra, với mức độ tách bằng với sự chênh lệch giữa P và A+B-1. Kết quả thu được sau khi mở rộng hàm trong hình 4.36(a) và (b) được biểu thị ở hình 4.37(a) và (b).
Sự mở rộng của các khái niệm đến các hàm 2 chiều cũng theo lập luận tương tự như vậy. Giả sử chúng ta có 2 hình ảnh f(x,y) và h(x,y) có kích thước tương ứng là A×B và C×D.
Và
Hình 4.37 kết quả của phép chập với các hàm mở rộng. So sánh hình 4.37(e) và 4.36(e)
Dãy có tính chu kỳ được tạo ra bằng cách mở rộng f(x,y) và h(x,y) như sau:
a b c
Hình 4.38 Minh họa sự cần thiết của hàm đệm: (a) kết quả của việc thực hiện phép chập 2 chiều mà không có đệm, (b) hàm đệm phù hợp, (c) kết quả phép chập đúng.
Hình 4.39 Lọc thông thấp có đệm trong miền không gian (chỉ biểu diễn phần thực)
Hình 4.40 kết quả của lọc với đệm. Hình này được đưa về kích thước gốc do cần lấy một số thong tin giá trị ở đường bao.
Hình 4.40 cho thấy kết quả của lọc với hàm đệm theo hướng đã đề cập ở trên. Dễ dàng để thấy hiệu quả dung đệm khi so sánh hình 4.12(a) với 4.40. Trong trường hợp này rõ ràng ¾ hình không hiển thị, nên khi cắt về hình gốc cho ra kết quả được lọc như mong muốn. Chúng ta tin chắc khi sử dụng đệm thì hình đã được cắt sẽ không bị lỗi viền xung quanh (wraparound error).