Hàm truyền của một bộ lọc thông thấp Butterworth (BLPF) theo bậc n, với tần số cắt ở khoảng cách từ D0 đến gốc, được định nghĩa là
a b c d
Hình 4.13 (a) ILPF với bán kính 5 pixel trong miền tần số.
(b) tương ứng là bộ lọc trong miền không gian
(c) Năm xung trong miền không gian, mô phỏng các giá trị của năm điểm ảnh, (d) chập của (b) và (c) trong miền không gian.
trong đó D(u,v) được cho bởi pt(4.3-3). Một đồ thị góc nhìn, hình ảnh hiển thị , và đồ thị của hàm BLPF được thể hiện trong hình 4.14.
Không giống như các ILPF, hàm truyền BLPF không có sự gián đoạn giữa tần số thông qua và tần số bị lọc. Đối với các bộ lọc với hàm truyền mịn, xác định tần số cắt tại vị trí các điểm mà H (u, v) bị giảm xuống đến một phần nhất định của giá trị tối đa của nó. Trong trường hợp của phương trình. (4,3-6). H (u, v) = 0,5 (giảm 50% so với giá trị tối đa của 1) khi D(u,v) = D0.
Hình 4.15 cho thấy kết quả của việc áp dụng BLPF của phương trình (4,3-6) đến Hình 4.15 (a). với n = 2 và D0 bằng với năm bán kính được biểu diễn ở hình 4.11 (b). Không giống như các kết quả thể hiện trong hình. 4.12 cho ILPF, chúng ta lưu ý ở đây là một chức năng của tăng tần số cắt, một thực tế do quá trình chuyển đổi làm mịn của bộ lọc giữa các tần số thấp và cao.
Một bộ lọc Butterworth bậc 1 không có tính vòng. Tính vòng nói chung là không thể nhận thấy trong các bộ lọc bậc 2, nhưng có thể trở thành một yếu tố quan trọng trong các bộ lọc bậc cao. Hình 4.16 cho thấy một so sánh thú vị giữa đại diện không gian của các bộ lọc thông thấp Butterworth (BLPFs) với các bậc khác nhau (với tần số cắt của 5 pixel). Các bộ lọc này đã được thu và hiển thị bằng cách sử dụng cùng một cách chúng tôi sử dụng để tạo ra hình 4.13 (b).
a b c d e f Hình 4.15 (a) hình ảnh gốc, (b) - (f) Kết quả của BLPFs bậc 2 với tần số cắt với bán kính 5. 15, 30, 80 và 230 pixel được biểu diễn ở hình 4.11(b).
a b c d
Hình 4.16 (a) - (d) miêu tả không gian của BLPFs bậc 1, 2, 5 và 20, và tương ứng là mức xám thông qua tâm của các bộ lọc (tất cả các bộ lọc có tần số cắt với bán kính 5 pixel).
tăng cường thêm với phép biến đổi gamma [xem pt (3.2-3)] được áp dụng cho những hình ảnh của hình 4.16 để làm nổi bật hơn nữa các thành phần ở xa gốc. Các BLPF bậc 1 [ hình. 4.16 (a)] không có giá trị âm. Bộ lọc bậc 2 có giá trị âm nhỏ. nhưng chắc chắn chúng ít rõ ràng hơn trong các ILPF. Một bộ lọc Butterworth bậc 20 đã thể hiện các thuộc tính của ILPF có thể được nhìn thấy bằng cách so sánh hình 4.16(d) và 4.13(b). Trong một giới hạn, cả hai bộ lọc giống hệt nhau. Nói chung, BLPFs bậc 2 là một sự kết hợp tốt giữa hiệu quả của lọc thông thấp và đặc tính vòng.