Nó được biểu diễn như sau
Biểu thức bên trong dấu ngoặc ở phía bên trái của pt (4.4-6) được công nhận là toán tử Laplace của f (x, y), được xác định trong pt (3.7-1), Vì vậy, chúng ta có kết quả quan trọng như sau
Nói một cách đơn giản rằng biến đổi Laplace có thể được thực hiện trong miền tần số bằng cách sử dụng các bộ lọc
Trong tất cả các toán tử lọc ở chương này, giả thiết hàm ban đầu là F(u,v) được thực hiện bằng cách nhân f(x, y) với (-1)x+y trước khi thực hiện các phép biến đổi của hình ảnh. Như đã thảo luận trước đó, nếu f (và F) có kích thước M x N, toán tử này dịch hàm truyền (u, v) = (0, 0),vào thời điểm (M / 2, N / 2) trong phổ hình chữ nhật. Như trước đây, các hàm lọc cũng cần phải được thay đổi
Toán tử laplace trong miền không gian thu được bằng cách tính toán nghịch đảo biến đổi Fourier của H (u, v) F (u, v):
Ngược lại, toán tử Laplace trong miền không gian sử dụng pt (3.7-1) và tính toán biến đổi Fourier có kết quả tương đương với phép nhân F(u,v) H(u,v).
Hàm lọc của toán tử Laplace trong miền không gian thu được bằng cách lấy nghịch đảo biến đổi Fourier của pt (4.4-9) có một số tính chất thú vị , như hình . 4.27 cho thấy . Hình 4.27(a) là một biểu đồ phối cảnh 3-D của pt (4.4-9). Hình 4.27(b) cho thấy H(u,v) như là một hình ảnh. Hình 4.27(c) là toán tử Laplace trong miền không gian , thu được bằng cách nhân H(u,v) với (-1)x+y , lấy biến đổi Fourier ngược , và nhân phần thực của kết quả với (-1)x+y. Hình 4.27(d) là một phần thu nhỏ hình gốc của hình 4.27(c) . Cuối cùng , hình. 4.27 (f ) cho thấy mặt nạ mà
chúng ta sử dụng trong Phần 3.7 để thực hiện các định nghĩa của toán tử Laplace rời rạc trong miền không gian , được đưa ra trong pt (3.7-4). lưu ý rằng, chúng ta bắt đầu với miền tần số , chúng ta đã được dẫn đến một miền không gian với dạng mặt nạ tương tự như hình 3.39 ( a)
Hình 4.27 (a) Biểu đồ 3-D của toán tử Laplace trong miền tần số, (b) Hình ảnh đại diện của (a), (c) Hình ảnh thu được từ biến đổi Laplace trong miền không gian của DFT nghịch đảo của (b). (d) Một phần thu nhỏ của hình gốc của (c). (f) mặt nạ của toán tử Laplace được sử dụng trong Phần 3.7.
Như trong pt (3.7-5), chúng ta tạo ra một hình ảnh nâng cao g(x, y) bằng cách trừ đi toán hạng Laplace từ hình gốc:
Toán tử Laplace bị trừ (chứ không phải thêm vào) từ hình gốc bởi vì các tín hiệu âm trong pt (4.4-8). Điều này phù hợp với việc xây dựng trong miền không gian được đưa ra trong pt (3.7-5).
Như trong miền không gian, nơi mà chúng ta thu được các hình ảnh nâng cao với một mặt nạ đơn, có thể thực hiện toàn bộ tính toán trong miền tần số với chỉ một bộ lọc, cho H(u,v) = [1 - + [(u -M / 2)2 + (a- N/ 2)2 ]]. Trong trường hợp này, hình ảnh nâng cao thu được với một thao tác đơn giản là biến đổi nghịch đảo: