Bộ lọc thông thấp đơn giản nhất chúng ta có thể hình dung là một bộ lọc "cắt" tất cả các thành phần tần số cao của biến đổi Fourier ở một khoảng cách lớn hơn một khoảng cách xác định D0 từ gốc (trung tâm) của biến đổi. Một bộ lọc như vậy được gọi là một bộ lọc thông thấp lý tưởng hai chiều (2-D) (ILPF) và có hàm truyền
Với D0 là một số không âm được chỉ định, và D(u, v) là khoảng cách từ điểm (u, v) đến trung tâm của phổ hình chữ nhật. Nếu hình ảnh trong câu hỏi là kích thước M x N, chúng ta biết rằng biến đổi của nó cũng có kích thước này, do đó, tâm của phổ hình chữ nhật là (u,v) - (M / 2, N / 2) do thực tế biến đổi đã được tập trung, như đã thảo luận trong kết nối với các pt(4.2-21). Trong trường hợp này, khoảng cách từ bất kỳ điểm nào (u, v) đến tâm ( gốc) của biến đổi Fourier được cho bởi
A b c
Hình 4.10 (a) biểu đồ 3D hàm truyền của một bộ lọc thông thấp lý tưởng, (b) hình ảnh hiển thị của bộ lọc, (c) đồ thị của bộ lọc.
Hình 4.10 (a) biểu đồ 3-D của H(u,v) , và hình 4.10(b) ảnh biến đổi của hàm H(u,v). Tên của bộ lọc lý tưởng cho thấy rằng tất cả các tần số trong một vòng tròn bán kính D0 được thông qua mà không bị suy hao, trong khi tất cả các tần số bên ngoài vòng tròn này là hoàn toàn bị suy giảm. Các bộ lọc thông thấp xem xét trong chương này có tâm đối xứng là gốc. Điều này có nghĩa là một mặt cắt ngang mở rộng như một hàm của khoảng cách từ nguồn gốc dọc theo một đường xuyên tâm là đủ để xác định các bộ lọc, như hình 4.10(c) cho thấy. Hàm hoàn chỉnh của bộ lọc có thể được hình dung bằng cách quay mặt cắt ngang 360° so với gốc.
Đối với một bộ lọc thông thấp lý tưởng, điểm chuyển tiếp giữa H(u,v) = 1 và H(u, v) = 0 được gọi là tần số cắt. Trong trường hợp của hình 4.10, ví dụ, tần số cắt là D0, Các tần số cắt sắc nét của một bộ lọc thông thấp lý tưởng không thể được thực hiện với các thành phần điện tử, mặc dù chúng chắc chắn có thể được thực hiện với một máy tính. Các bộ lọc thông thấp giới thiệu trong phần này được so sánh bằng cách nghiên cứu công dụng của chúng như một hàm của tần số cắt tương tự. Một cách để thiết lập một bộ tiêu chuẩn tần số cắt dùng để tính toán vòng tròn kèm theo một lượng nhất định của tổng công suất hình ảnh PT. Số lượng này được lấy bằng cách tổng hợp các thành phần của phổ điện tại mỗi điểm (u,v), cho u = 0, 1, 2, ..., M - 1 và v = 0,1,2, ..., N - 1, có nghĩa là.
trong đó P(u,v) được đưa ra trong pt(4.2-20). Nếu như đã được biến đổi, một vòng tròn bán kính r tâm là gốc của hình chữ nhật bao quanh bởi phần trăm tần số phổ, khi đó
a b
Hình 4.11 (a) hình ảnh kích thước 500 x 500 pixel (điểm ảnh) và (b) phổ Fourier của nó. Các vòng tròn chồng nhau có giá trị bán kính 5, 15, 30, 80, và 230 điểm ảnh. Tương ứng 92.0, 94.6, 96.4, 98.0, và 99.5% công suất phổ
Hình 4.11 (a) các mô hình thử nghiệm, chúng ta sử dụng trong hình 3.35 để minh họa làm mờ trong miền không gian. Phổ Fourier của các hình ảnh này được thể hiện trong hình 4.11(b). Các vòng tròn chồng nhau có bán kính 5, 15, 30. 80, và 230 pixel (các vòng tròn có bán kính 5 pixel là không dễ nhìn thấy). Những vòng tròn kèm theo phần trăm của công suất phổ tương ứng α = 92.0, 94.6, 96.4, 98, và
99,5%. Với 92% tổng năng lượng được bao bọc bởi một vòng tròn tương đối nhỏ với bán kính 5 pixel.
Hình 4.12 cho thấy kết quả của việc áp dụng các bộ lọc thông thấp lý tưởng với tần số cắt ở bán kính của hình 4.11(b) . Hình 4.12(b) hầu như ko dùng được đối với tất cả các mục đích thực tế , trừ khi mục tiêu làm mờ trong trường hợp này là để loại bỏ tất cả các chi tiết trong hình ảnh, ngoại trừ " các vết màu '' đại diện cho các đối tượng lớn nhất . Mờ trong hình ảnh này là một dấu hiệu rõ ràng rằng hầu hết các thông tin chi tiết sắc nét trong hình ảnh được chứa trong 8% năng lượng bị loại bỏ bởi các bộ lọc.
a b Hình 4.12 (a) hình ảnh gốc, (b) - (f) Kết quả của bộ lọc thông thấp lý tưởng c d với tần số cắt thiết lập theo giá trị bán kính 5. 15, 30, 80, 230 pixel, như thể e f hiện trong hình 4.11 (h). tương ứng với khả năng loại bỏ bằng các bộ lọc
này là 8.5, 4.3, 6.2, và 0,5%
Các thuộc tính làm mờ của ILPF có thể được giải thích bằng cách tham khảo các định lý chập được thảo luận trong phần 4.2.4. Các biến đổi Fourier của ảnh gốc f (x, y) và các hình ảnh bị mờ g (x, y) trong miền tần số có liên quan với nhau theo phương trình
H(u,v) là hàm lọc , F và G là các biến đổi Fourier của hai hình ảnh được đề cập đến. Định lý chập nói rằng quá trình tương ứng trong miền không gian là
trong đó h(x,y) là biến đổi Fourier nghịch đảo của bộ lọc H(u, v).
Giả sử sau đó f(x, y) là một hình ảnh đơn giản bao gồm năm điểm sáng trên một nền đen, như hình 4.13(c). Những điểm sáng có thể được xem như là xấp xỉ , có năng lượng phụ thuộc vào cường độ của các điểm. Sau đó, chập của h(x,y) và f(x,y) chỉ đơn giản là một quá trình " sao chép " h(x,y) tại vị trí của mỗi xung , như đã nêu trong mục 4.2.4. Kết quả của hoạt động này , thể hiện ở hình 4.13(d) , giải thích làm thế nào các điểm ban đầu bị mờ như một hệ quả của f(x,y) với bộ lọc làm mờ của hàm h( x, y).
a b c
Hình 4.14 (a) đồ thị góc nhìn của một hàm truyền với bộ lọc thông thấp Butterworth, (b) hình ảnh hiển thị bộ lọc , (c) đồ thị bộ lọc với bậc từ 1 đến 4