tiểu luận xử lý ảnh số wavelets và quá trình đa phân giải

7.2.1 Chuỗi khai triển: Một tín hiệu hay hàm fx có thể thường được phân tích tốt nhất là tổ hợp tuyếntính của hàm khai triển Trong đó k là chỉ số nguyên của tổng hữu hạn hay vô hạn, ak l

Tiểu luận xử lý ảnh số: wavelets và quá trình đa phân giải.

Sự duyệt trước.

Trong chương này chúng ta khảo sát biến đổi wavelets cơ sở từ một quan điểm về

đa phân giải Mặc dù chúng có thể được trình bày dưới nhiều cách, đơn giản nhất nó là cảviệc thực hiện phép toán và làm sang tỏ về mặc tính chất vật lý Chúng ta bắt đầu bằngmột mô tả chung của kỹ thuật xử lý ảnh rằng tác dụng của việc trình bày rõ ràng củanguyên lý đa phân giải Mục tiêu của chúng ta là giới thiệu về khái niệm nguyên lý cơbản của đa phân giải trong phạm vi của quá trình xử lý ảnh và đồng thời cung cấp mộtbản tóm tắt tiến độ diễn biến của hệ thống và những ứng dụng của nó Phần lớn nội dungcủa chương này là nói về sự phát triển của bộ công cụ đa phân giải cho quá trình biểudiễn và xử lý hình ảnh Để giải thích cho tính chất có ích của bộ công cụ này, ví dụ phép

đo khoản cách từ bức ảnh mã hóa đến việc triệt nhiễu và nhận dạng cạnh được cung cấp.Trong chương tới, wavelaets sẻ được sử dụng cho nén ảnh, một ứng dụng đáng được chú

ý mà chúng ta có được

Kiến thức nền.

Khi chúng ta nhìn những bức ảnh, thông thường chúng ta trông thấy sự kết nối cácmiền của việc dệt các vật giống nhau và các mức xám này được biên dịch từ các đốitượng Nếu các đối tượng này có kích thước nhỏ và độ tương phản thấp, chúng ta thườngxem xét chúng ở những mức phân giải cao Nếu đối tượng là cả nhỏ hoặc lớn, có độ phângiải cao hay thấp là hiện tại đồng thời xảy ra, nó có thể là thuận lợi cho việc nghiên cứucủa chúng ta ở một số mức phân giải Điều này, là sự thúc đẩy cơ bản cho qua trình xử lý

đa phân giải

Từ một điểm nhìn toán học, bức ảnh là một mảng 2 chiều của giá trị cường độ vớitính thống kê cục bộ hay thay đổi điều này là kết quả từ những tổ hợp khác nhau của cácđặc trưng bất ngờ và các miền tương phản đồng nhất

Hình 7.1 Một bức ảnh tự nhiên và những biến thiên histogram của nó.

7.1.1 Tháp ảnh:

Một cách có hiệu lực, nhưng một cấu trúc đơn giản cho việc biểu diễn ảnh tạinhiều hơn một độ phân giải là hình tháp ảnh Phát minh đầu tiền cho máy nhìn và nhữngứng dụng nén ảnh, một bức ảnh đa mức hình tháp là sự tập hợp của việc sắp xếp giảmdần độ phân giải các bức ảnh như một hình tháp Ở nền của hình tháp là một biểu diễnmức phân giải cao của bức ảnh được tạo thành, tiếp tục là các mức phân giải thấp hơn.Khi càng lên cao của hình tháp thì cả kích thước và độ phân giải đều giảm Ở nền J là cókích thước 2J x 2J hoặc NxN, trong đó N=log2N, các mức j ở giữa là 2j x 2j, trong đó0<j<J Ở đỉnh của hình tháp là J+1 mức phân giải từ 2Jx2J đến 20x20, nhưng quan trọnghình tháp là bị cắt cụt cho P+1 mức, khi j=J-P,… ,J-2,J-1,J và 1<P<J Điều này là, chúng

ta thường giới hạn chính bản thân chúng cho thu gọn P độ phân giải xấp xỉ của bức ảnhban đầu; một 1x1 hoặc một pixel xấp xỉ của 512x512 ảnh Tổng số của các yếu tố trongmột tháp P+1 mức với P>0 là

Ví dụ về một cấu trúc bức ảnh hình tháp và hệ thống xử lý tách các mức

Hình 7.2 cấu trúc tháp ảnh và hệ thống sơ đồ khối cho việc tạo ra nó.

Cả bức ảnh ban đầu, cái tại vị trí gốc của tháp, và cả độ phân giải xấp xỉ đượcgiảm của nó có thể được xử lý và được vận dụng trực tiếp bằng tay Mức dự đoán thặng

dư ở ngõ ra j là được sử dụng để xây dựng mức thặng dư dự đoán của tháp Những thápchứa một độ phân giải thấp của bức ảnh ban đầu tại mức J-P và thông tin cho việc xâydựng của độ phân giải cao P tại các mức khác Thông tin tại mức j là khác nhau giữa mứcxấp xỉ j của tháp xấp xỉ tương ứng và một ước lượng của việc xấp xỉ nền trên dự đoánmức j-1 Sự khác nhau có thể mã hóa và sử dụng cho việc lưu trữ và truyền tải nhiều hiệuquả hơn là xấp xỉ

Lượng xấp xỉ và dự đoán thặng dư tháp là tính được trong các cách lặp lại một mứchình tháp P+1 là được xây dựng từ việc thực hiện tính toán trong biểu đồ khối P lần.Trong suốt lần đầu lặp lại hoặc vượt qua , j=J và bức ảnh ban đầu 2Jx2J là được sử dụngtại bức ảnh đầu vào J Kết quả này là việc xấp xỉ mức J-1 và kết quả dự đoán thặng dưmức J Cho đi qua j=J-1, J-2, …, J-P+1, sự lặp lại trước mức j-1 xấp xỉ ngõ ra được sửdụng ở ngõ vào Mỗi khi cho qua là gồm có 3 bước:

1 Tính toán mức phân giải thặng dư xấp xỉ của bác ảnh ngõ vào

7.1.2 Mã hóa hăng con:

Một kỹ thuật xử lý ảnh quan trọng khác với ràng buộc cho phân tích đa phân giải

là mã hóa băng con Trong mã hóa băng con, 1 bức ảnh được phân tích thành 1 tập củacác băng giới hạn thành phần, gọi là băng con, những cái có thể được tập hợp để xâydựng lại bức ảnh ban đầu mà không bị lỗi Ban đầu nó được phát triển cho xử lý âm thanh

và nén ảnh, mỗi băng con là một nguồn bởi bộ lọc thông dải tín hiệu vào Do vậy băngthông của băng con tạo thành nhỏ hơn bức ảnh ban đầu, băng con có thể giảm được mẫu

mà không mất thông tin Việc tái tạo bức ảnh ban đầu là trọn vẹn bởi upsampling, lọc vàtổng của các băng con riêng lẽ

Một biểu diễn của một mã hóa băng con 2 băng và hệ thống giải mã

Hình 7.4 một băng lọc hai băng cho mã hóa và giải mã băng con và thông số phổ của nó

Ngõ vào của hệ thống là một chiều, giới hạn băng, tín hiệu thời gian rời rạc x(n)cho n=0, 1, 2, 3, …; chuỗi ngõ ra, X(n), là mẫu in trong suốt quá trình phân tích của x(n)thành y0(n) và y1(n) với bộ lọc phân tích h0(n) và h1(n), và quá trình tái tổ hợp sau đó với

bộ lọc tổng hợp cái mà với các thông số ngược lại với H0 và H1 Bộ lọc H0 là lọc thôngthấp cái mà ngõ ra là xấp xỉ của x(n) , bộ lọc H1 là lọc thông cao cái mà ngõ ra là tần sốcao hay chi tiết của x(n) Tất cả quá trình lọc thực hiện trong miền thời gian bởi sự quấncác ngõ vào của mỗi bộ lọc với đáp ứng xung của nó đáp ứng của nó cho một hàm xung

đơn vị xi(n) chúng ta mong muốn sẻ chọn được h0(n),h1(n),g0(n),g1(n) sao cho ngõ vào cóthể được tái cấu trúc hoàn thiện, có nghĩa là x(n)=X(n).

Biến đổi Z, một tổng quát của biến đổi F rời rạc, là một ý tưởng cho quá trình họcthời gian rời rạc, biến đổi Z của chuỗi x(n) với n=0,1,2, là

Trong đó z là biến phức Sự quan tâm của chúng ta trong họ biến đổi Z từ dể với việc xử

lý tốc độ mãu thay đổi downsampling bởi một chỉ số của 2 trong miền thời gian tươngứng phép toán đơn trong miền Z

Trong đó dấu tương đương cho thấy sự biển hiện ở bên trái và phải từ 1 biến đổi Z trongcách tương tự, upsampling bởi chỉ số 2 được định nghĩa

Nếu chuỗi x(n) là downsampling và theo sao upsampling cho ra X(n)

đổi Z ngược:

Với sự giới thiệu vắn tắt biến đổi Z, quay lại với mã hóa băng con và hệ thống giải mãngõ ra của hệ thống là:

Trong đó, ví dụ, ngõ ra của bộ lọc h0(n) là định nghĩa bởi cặp biến đổi:

Với biến đổi F, phép nhân chập trong miền thời gian là tương đương với phépnhân trong miền Z

Đó là thành phần thứ 2, bởi công dụng của sự kiện có chứa z là độc lập-tượngtrưng cho sai số lấy mẫu cái mà được giới thiệu bởi quá trình downsampling-upsampling

Cho là ko có lỗi trong tái cấu trúc lại tín hiệu ngõ vào, chúng ta có đáp ứng:

Cả hai có thể được sáp nhập thành 1 matran

phân tích thành phần của matran Hm(z) là:

Chúng ta có thể chuyển vị và đảo:

Khi đó det(Hm(z)) được định nghĩa của Hm(z)

Bộ lọc phân tích và tổng hợp là sự điều biến chéo Có nghĩa là các bộ lọc đối lậptheo đường chéo trong khối xử lý Cho bộ lọc đáp ứng xung tuyến tính, định nghĩa củamatran hệ số là chỉ là trễ

Nếu a=-2 kết quả nhận được là:

Vì vậy, các bộ lọc tổng hợp là điều biến chéo của bộ lọc phân tích bắt đầu nhậnđược

Khi det(H)= - det(H) tạo ra G1(z)H1(z) có thể được định nghĩa tương tự như:

Nói về biến đổi Z ngược, chúng ta thấy rằng:

Trong đó, như thường lệ, hàm xung xi(n)=1 nếu n=0 và bằng 0 nếu n khác Vậycác chỉ số lẽ bị triệt tiêu

Chúng ta có thể thấy rằng:

Bảng các họ bộ lọc tái cấu trúc và mã hóa băng con anh với 2 chiều 4 băng lọc

7.1.3 Biến đổi Haar:

Thứ ba và cũng là phép toán liên quan tới hình ảnh cuối cùng với quan hệ chophân tích đa phân giải cái mà chúng ta thấy là biến đồi Haar Đây là một họ quan trọng từviệc chính các hàm cơ bản là cũ nhất và đơn giản nhất được biết đến wavelets trực chuẩn.Biến đổi Haar chính nó là cả có thể phân tích và cân đối và có thể biểu diễn trong dạngmatran:

Hàng thứ I của matran biến đổi NxN chứa các giá trị hi(z) cho z=0/N, 1/N, 2/N,

…,(N-1)/N Nếu N=4, cho ví dụ, k,q và p nhận các giá trị

Và matran biến đổi H4 là:

Trong ví dụ tuong tự, matran biến đổi 2x2 là:

Chính những hàm cơ bản được định nghĩa chỉ đề cập 2 bộ lọc FIR cái mà sẻ làmthỏa mãn mẫu đầu tiên QMF của bộ lọc được định rõ trong hàng 1 cột 1 của table Các hệ

số của bộ lọc phân tích QMF tương ứng, h0(n) và h1(n) là các giá trị của hàng đầu tiên vàthứ nhì của matran H2

Ví dụ: hình 7.8 cho thấy nền đa phân giải sử dụng hàm Haar cơ bản khác với cấu trúchình tháp ở hình 7.3 sự biểu diễn này, được gọi là biến đổi wavelets rời rạc và được giảithích ở chương sau, chứa những số lượng pixel như bức ảnh ban đầu.

1 Thống kê cục bộ của nó là hằng số tương đối và dể dàng mô hình hóa

2 Một số giá trị của nó là 0 Trường hợp này được gọi là nén ảnh

3 Cả phân giải thô và mịn xấp xỉ của bức ảnh gốc có thể trích từ nó

Trong ứng dụng cơ sở dữ liệu, các đặc tính của chúng được tạo ra dể dàng cho xử dụng

và xử lý ở chất lượng thấp của bức ảnh trong suốt quá trình nghiên cứu và sau này

Cuối cùng chúng ta chú ý rằng hình 7.8 chứa một sự gần giống nhau cho cả mã hóa băngcon và tháp Laplacian ở kết quả trước, những bức ảnh đc chiw nhỏ ở hình 7.8 gọi là tỉ lệtạo ra cấu trúc cơ bản của chúng Bức ảnh xấp xỉ ở hình 7.8 là của kích thước 64x64,128x128, 256x256 512x512 là tái cấu trúc của bức ảnh ban đầu

7.2 Khai triển đa phân giải:

Phần trước giới thiệu 3 kỹ thuật dung cho xử lý ảnh nó là rất quan trọng trong việcphát triển một thuật toán gọi là phân tích đa phân giải MRA Trong MRA, hàm xác định

tỷ lệ được dung để tạo ra một chuỗi của xấp xỉ của một hàm hoặc ảnh Một sự khác biệtbởi thừa số của 2 từ xấp xỉ hàng xóm gầ nhất những hàm, được gọi là ưavelets, là được

sử dụng để mã hóa sự khác nhau trong thông tin giữa các xấp xỉ liền kề

7.2.1 Chuỗi khai triển:

Một tín hiệu hay hàm f(x) có thể thường được phân tích tốt nhất là tổ hợp tuyếntính của hàm khai triển

Trong đó k là chỉ số nguyên của tổng hữu hạn hay vô hạn, ak là các giá trị thực của

là cơ bản cho lớp của hàm cái mà có thể được làm rõ Hàm có thể là rỏ từ hàm khônggian cái mà được định nghĩa là:

như trên

hàm f(x) nó là:

Trong đó * được định nghĩa là toán tử lien hợp tùy thuộc vào sự trực giao củakhai triển 1 kết quả tính toán của 3 có thể xảy ra từ Problem 7.10 là 3 trường hợp sử dụngvector trong không gian 2 chiều Euclidean

Case 1: nếu hàm khai triển từ một hàm trực giao cơ bản cho V, nghĩa là:

Trong đó ak được tính như các sản phẩm nội bộ của hàm cơ bản và f(x)

Case 2: nếu hàm khai triển là không trực giao nhưng là trực giao với V, thì

Và hàm cơ sở và cả chúng được gọi là song trực giao Ak được tính và song trực giao cơbản và cả chính nó là

Case 3: nếu khai triển là một cơ bản cho V, nhưng đóng gói khai triển định nghĩa nhưbiểu thức 7.2-1, nó là một mở rộng với ở đó là nhiều hơn 1 được đặt của ak cho bất jyff(x) thuộc V Hàm khai triển và cả đối ngẫu của chúng được gọi là overcomplete haythừa.

Cho A>0, B< vô cùng, và tất cả f(x) thuộc V chia kết quả này bởi định chuẩn vuông củaf(x), chúng ta thấy rằng khung A và B là sản phẩm nội bộ bình thường của các hệ số khaitriển và hàm Kết quả tương tự như là 7.2-2 và có thể được dùng để tìm các hệ số khaitriểnn cho khung Nếu A=B, khai triển được gọi là khung kín và có thể được biểu diễn:

7.2.2 Hàm tỉ lệ:

Bây giờ xem xét cho việc thiết lập của hàm khai triển bao gồm của số nguyên lần

Với mọi j,k thuộc Z và thuộc L2(R) khi đó, k được định nghĩa là vị trí của

lập tất cả đo được, hàm nguyên vuông

Nếu chúng ta giới hạn j trong biểu thức 7.2-10 cho một giá trị rõ ràng, cho j=j0 kết

chúng ta định nghĩa không gian con là:

được viết là:

Nhiều nguồn hơn, chúng ta giải thích nội bộ subspace vượt quá k cho bất kỳ j như:

Chúng ta xem xét trong ví dụ, việc tăng j đê tăng kích thước của Vj, nhận thấy hàmvới lượng biến nhỏ hay thông số hữu hạn được khai báo trong subspace Điều này là kết

thành mỏng và riêng rẽ bởi thay đổi nhỏ trong x

EX 7.4

Xem như đơn vị cao và rộng là theo hàm tỉ lệ Haar

Hình 7.9a,b cho thấy 4 của nhiều hàm khai triển có thể được tạo ra bằng việc thaythế hình dạng xung hàm tỉ lệ trong biểu thức (7.2-10) Chú ý rằng khi j=1, là đối lập vớij=0, kết quả của hàm khai triển là thu hẹp và đóng lại cùng lúc

V0 bởi vì hàm khai triển V0 trong hình 7.9a và b là quá thô để biểu diến cho nó Hàmphân giải cao giống như những thứ thấy trong 7.9c và d là cần tìm Chúng có thể được sửdụng, như trong e, để biểu diễn cho hàm bởi 3giới hạn khai triển:

Kết thúc ví dụ này, hình 7.9f minh họa sự phân tích của như là một tổngcủa hàm khai triển V1 Trong một kiểu tương tự, bất kỳ hàm khai triển nào cũng có thểđược phân tích sử dụng:

Vì vậy, nếu f(x) là một bộ phận của V0, nó cũng là một bộ phận của V1 Điều này

có được là vì tất cả các hàm khai triển V0 nào cũng đề là bộ phận của V1 Chúng ta viếtrằng V0 là subspace của V1, hay V0 con V1

Hàm tỉ lệ đơn giản trong ví dụ trước là tuân theo 4 điều kiện cơ bản của phân tích

đa phân giải:

Điều kiện MRA 1: Hàm tỉ lệ phải trực giao để nó là một số nguyên

Điều này rất dể dàng nhận thấy trong trường hợp của hàm Haar, cho đến khi nó cómột giá trị của 1, nó là số nguyên là 0, vì vậy sản phẩm của 2 là 0 Hàm tỉ lệ Haar là đượcnói có chấp nhận sự thỏa thuận, điều này có nghĩa là 0 ở bất kỳ đâu bên ngoài khoản hữuhạn được gọi là chấp nhận trong trường hợp này nó chấp nhận là 1, nó là 0 ở bên ngoàinữa khoản mở [0,1) Nó nên được chú thích rằng điều kiện cho trực giao số nguyên trởthành khó thỏa mãn như chấp nhận của hàm tỉ lệ trở thành lớn hơn 1

Điều kiện MRA2: Nội bộ của subspace bởi hàm tỉ lệ ở tỉ số thấp là được đặt vào ngaybên trong chúng tại tỉ số cao

Có thể thấy trong hình 7.10, subspace đang chứa hàm phân giải cao mặc dù nócũng chứa tất cả các hàm phân giải thấp

Hơn nữa subspace thỏa mãn điều kiện trục giác rằng nếu f(x) thuộc V1, thì f(2x)

chứng tở rằng bất kỳ hàm nào với 1 đáp ứng tự động là điều kiện Nó là trái như một bàitập cho việc đọc để nhìn thấy rằng hàm đơn bằng nhau

là không có một hàm tỉ lệ nào cụ thể cho phân tích đaphân giải.

Điều kiện MRA3: Chỉ có một hàm cái mà chung cho tất cả V1 là f(x)=0

Nếu chúng ta xem xét hàm khai triển thô, chỉ có 1 hàm tương ứng là hàm khôngmang thông tin, nó là

Điều kiện MRA4: Bất kỳ một hàm nào cũng có thể tương ứng với độ chính xác tùy ý

Mặc dù nó không thể xáy ra cho khai triển một f(x) đặc biệt tại một độ phân giảithô tùy ý, như trường hợp cho hàm trong hình 7.9e tất cả kết quả đo được, hàm khả tíchvuông có thể biểu diễn trong một vô hạn như j dần ra vô cùng

Ngoài những điều kiện đó, hàm khai triển của subspace Vj có thể rõ ràng như mộttổng độ lớn của hàm khai triển của subspace Vj+1

7.2-10 và thay đổi biến an cho , cái này trở thành

vector tỉ lệ Những ký hiệu đan xen h(n) và h0(n) là thường được sử dụng trong tài liệu,nhưng chúng ta mong muốn tránh sự nhầm lẫn với những thảo luận ở trước của bộ lọcphân tích băng con Biểu thức 7.2-18 là cơ sở cho kỹ thuật phân tích đa phân giải và đượcgọi là phương trình của việc lọc, phương trình MRA, hoặc phương trình giãn nở Nó làtrạng thái của hàm khai triển của bất kỳ subspace nào có thể được xây dựng từ 2 mứcphân giải copy của chính chúng, đó là từ hàm khai triển của không gian phân giải cao tiếptheo Việc chọn của 1 subspace tham khảo, V0 là tùy ý

EX 7.5: Các hệ số hàm khai triển tỉ lệ cho hàm Haar của biểu thức 7.2-14 là

hàng đầu tiên của matran H2 trong biểu thức 7.1-18, vậy

Phân tích này là minh họa sinh động cho trong hình 7.9f, trong đó dấu

đơn giản tạo ra

7.2.3 Hàm wavelet:

Cho một hàm tỉ lệ thỏa mãn điều kiện MRA của phần trước, chúng ta định nghĩa

trong những khác nhau giữa bất kỳ 2 subspace tỉ lệ liền kề Vj và Vj+1 Vị trí là được minh

Cho mọi k thuộc Z rằng nội bộ của không gian Wj trong hình, như với hàm tỉ lệ, chúng taviết

Và chú ý rằng nếu f(x) thuộc Wj

Tỉ lệ và hàm wavelet subspace trong hình 7.11 được tính bởi:

Trong đó là hợp của không gian Phần bù trực giao của Vj trong Vj+1 là Wj và tất cảcác thành phần của Vj là trực giao với thành phần của vWj, vậy

Cho mọi j,k,l thuộc Z

Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn không gian của tất cả các kích thước, hàm nguyênvuông như:

Hoặc

Cái này loại trừ hàm tỉ lệ và tương ứng với một hàm của chỉ wavelets Chú ý rằng nếuf(x) là thành phần của V1 nhưng không phải của V0 và khai triển sử dụng biểu thức 7.2-24chứa một xấp xỉ của f(x) sử dụng hàm tỉ lệ V0, wavelets từ vW0 có thể được mã hóa khácnhau giữa xấp xỉ này với hàm thực tế biểu thức 7.2-24 tới 7.2-26 có thể tổng quát hóa là:

Trong đó j0 là một tỉ lệ bắt đầu

Khi không gian wavelet thuộc về nội bộ không gian bởi hàm tỉ lệ phân giải cao tiếp theo,bất kỳ hàm wavelet, tương tự hàm tỉ lệ của chính nó được tính ở biểu thức 7.2-18, có thểđược biểu diễn như tổng trọng lượng của phép dịch, hàm tỉ lệ phân giải gấp đôi Điều nàychúng ta có thể viết

cho nội bộ wavelets là không gian trực giao trong hình 7.11, và chuyển đổi wavelet

chú ý rằng tương tự của kết quả này và biểu thức 7.1-23, mối qua hệ bao quát đáp ứngxung của mã hóa băng con trực giao và bộ lọc giải mã.

EX 7.6: trong ví dụ trước, vector tỉ lệ Haar được định nghĩa như

sử dụng biểu thức 7.2-29, tương ứng vector wavelet là

của matran H2 trong biểu thức 7.1-28 Thay những giá trị trong biểu thức 7.2-28, chúng ta

Haar là

Sử dụng với biểu thức 7.2-19 chúng ta có thể đưa ra mở rộng của tỉ lệ và wavelets Haar

biểu diễn chi tiết mịn hơn

được biểu diễn trong một ví dụ đơn giản mặc dù hàm không thể tương ứng chính xáctrong V0 biểu thức 7.2-22 cho thấy rằng nó có thể được khai triển sử dụng hàm khai triển

V0 và W0 Kết quả của khai triển là:

Khi

Và

Trong đó, fa(x) là một xấp xỉ của f(x) sử dụng hàm tỉ lệ V0, trong khi fd(x) là khác f(x) –

fa(x) như một tổng của wavelets W0 Hai khai triển, cái được cho trong hình 7.12e và f,chia f(x) trong một cách giống nhau để một bộ lọc thông thấp và một bộ lọc thông cao.Những tần số thấp của f(x) là được giữ trong fa(x) nó là giá trị của f(x) trong mỗi sốnguyên lần khoản cách trong khi chi tiết tần số cao được mã hóa trong fd(x)

7.3 Biến đổi wavelet một chiều:

Chúng ta có thể chính thức định nghĩa một số lien quan chặt chẽ với biến đổi wavelet:việc mở rộng chuỗi khai triển wavelet, biến đổi wavelet rời rạc, biến đổi wavelet lien tục.Tương ứng với chúng trong miền Fourier là khai triển chuỗi Fourier biến đổi Fourier rờirạc và tích phân biến đổi Fourier

7.3.1 Khai triển chuỗi wavelet:

Chúng ta bắt đầu bằng việc định nghĩa chuỗi khai triển wavelet của hàm f(x) thuộc L2(R)

có thể viết

chi tiết của các hệ số wavelet Điều này là bởi vì tổng đầu tiên trong biểu thức 7.3-1 sửdụng hàm tỉ lệ cho việc cung cấp một xấp xỉ của f(x) tại tỉ lệ j0 Với mỗi tỉ lệ phân giải

cao j>j0 trong tổng thứ 2, hàm phân giải hữu hạn là tổng của wavelets là được cộng choxấp xỉ cung cấp cho việc tăng số chi tiết Nếu hàm khai triển từ một trực giao cơ sở hoặckhung kín, điều này thường là một trường hợp, hệ số khai triển là được tính bởi biểu thức7.2-5 và 7.2-9 như:

Và:

thức sẻ được thay thế bởi hàm đối ngẫu của chúng

EX7.7: Cho hàm đơn như trên hình 7.13a

Sử dụng wavelets Haar và tỉ số đầu j0 =0 Biểu thức 7.3-2 và 7.3-3 có thể được sử dụng

để tính cho các hệ số khai triển:

Thay những giá trị trong biểu thức 7.3-1 chúng ta nhận được chuỗi khai triển wavelet

Số hạng đầu tiên trong khai triển này dùng c0(0) để đưa ra một subspace V0 xấp xỉ củahàm được khai triển xấp xỉ này là được cho thấy trong hình 7.13b và giá trị trung bìnhcủa hàm trực giao Số hạng thứ 2 sử dụng d0(0) để làm mịn xấp xỉ bởi việc cộng các mứccủa chi tiết từ subspace W0 Việc cọng chi tiết và kết quả V1 là được biểu diễn trong hình

7.13c và d tương ứng Mức khác của chi tiết là được cộng bởi cấc hệ số subspace W1

d1(0) và d1(1) Việc cộng chi tiết này được biểu diễn trong hình 7.13e và kết quả xấp xỉ V2

là ở 7.13f Chú ý rằng khai triển là bắt đầu cho hàm trực giao giống nhau Tại tỉ lệ caođược cộng, xấp xỉ trở thành miêu tả chính xác của hàm

7.3.2 biến đổi wavelet rời rạc:

Giống như khai triển chuỗi F, chuỗi khai triển wavelet của mục trước là hàm củabiến liên tục trong một chuỗi của các hệ số nếu hàm được khai triển là một chuỗi của các

số, như các mẫu của hàm liên tục f(x), kết quả các hệ số được gọi là biến đổi wavelet rờirạc (DWT) của f(x) Cho trường hợp, chuỗi khai triển định nghĩa trong biểu thức 7.3-1đến 7.3-3 trở thành biến đổi DWT

là 0, và lớn nhất là J-1 Chú ý rằng sợ suy luận trong mục 7.3.1 và minh họa trong ví dụ7.6, các hệ số được định nghĩa trong biểu thức 7.3-5 và 7.3-6 là thường được gọi là xấp xỉcủa các hệ số chi tiết

chuỗi khai triển wavelet trong mục trước chú ý rằng tích hợp trong chuỗi khai triểncos

4.2.1 có thể được cộng cho cả trước và biểu thức đảo hệ số này có thể được chứa luânphiên nhau vào trong phía trước hoặc nghịch đảo như 1/M Cuối cùng, nên nhớ rằng biểuthức 7.3-5 tới 7.3-7 là căn cứ cho trực giao nền và những khung kín Với trực giao nền 2chiều, số hạng và trong biểu thức 7.3-5 và 7.3-6 được thay thế với đối ngẫu củachúng và tương ứng

EX7.8: tính một biến đổi wavelet rời rạc một chiều:

Để minh họa việc sử dụng của biểu thức 7.3-5 tới 7.3-7 Cho hàm rời rạc của 4 điểm:f(0)=1; f(1)=4; f(2)=-3 và f(3)=0 Trong khi M=4, J=2 và với j0= 0, tổng được biểu diễnvượt quá x= 0,1,2,3; j=0,1 và k=0 với j=0 hoặc k=0 với j=1 Chúng ta sẻ sử dụng hàm tỉ

lệ và wavelet Haar và giả sử rằng 4 mẫu của f(x) là được phân bổ tràn của hàm cơ sở, ởđây là 1 Thay thế với 4 mẫu vào trong biểu thức 7.3-5 chúng ta tìm đươc:

nhau của hàm tỉ lệ Haar cho j=0 và k=0 Các giá trị tương ứng cho hàng đầu tiền củamatran biến đổi Haar H4 của mục 7.1.3 Tiếp tục thực hiện với biểu thức 7.3-6 và tương

Như vậy, biến đổi wavelet rời rạc của hàm 4 mẫu đơn sử dụng hàm tỉ kệ và wavelet Haar

, đó là kết quả khi bắt đầu tỉ lệ là 1 Vì vậy biểu thức7.3-5 và 7.3-6 định nghĩa là họ hàng của biến đổi khác trong tỉ lệ bắt đầu j0.

7.3.3 Biến đổi wavelet lien tục:

Một cách tự nhiên mở rộng của biến đổi wavelet rời rạc là biến đổi wavelet lientục (CWT), trong những biến đổi này một hàm lien tục với một hàm dư thừa cao của 2biến liên tục là sự tịnh tiến và tỉ lệ Kết quả biến đổi là dể dàng cho việc giải thích và tínhtoán giá trị trong phân tích thời gian – tần số Mặc dù sự quan tâm của chúng ta là trongcác bức ảnh rời rạc, nó được bao phủ ở đây cho tính tổng quát

Biến đổi wavelet lien tục của một hàm liên tục, bình phương khả tích f(x), tương đối chomột wavelet giá trị thời gian thực là:

Trong đó:

thể được sử dụng cho biến đổi wavelet liên tục ngược:

Trong đó

and Morlet 1984) Trong một trường hợp quan trọng, điều này đơn giản nghĩa rằng

Biểu thức trước là nhắc lại của bản sao rời rạc của chúng biểu thức 7.2-19, 7.3-1, 7.3-3,7.3-6, 7.3-7 Những điểm tương tự nên được chú ý:

1 Thông số tịnh tiến liên tục, , lấy không gian của thông số tịnh tiến nguyên, k

2 Thông số tỉ lệ liên tục,s, là ngược lại có họ hàng với thông số tỉ lệ nhị phân, 2j

7.3-9 Vì vậy, wavelets được sử dụng trong biến đổi liên tục là bị nén hay bị giảmtrong bề rộng khi 0<s<1 và mở rộng hoặc giãn ra khi s>1.tỉ lệ wavelet và kháiniệm nguyên thủy của chúng của tần số là có liên quan một cách trái ngược nhau

3 Biến đổi liên tục là tương tự cho một chuỗi khai triển [biểu thức 7.3-1] hoặc biến

hợp với biểu thức 7.2-26, kết thúc hoàn hảo là hàm tỉ lệ độc lập, vì vậy hàm làđược biểu diễn trong điều kiện của chỉ wavelets

4 Giống như biến đổi rời rạc, biến đổi liên tục có thể được biểu diễn bằng việc thiết

mỗi một hệ số từ biểu thức 7.3-8 là sản phẩm bên trong tích phân,

EX 7.9: The Mexican hat wavelet

Hình 7.14: biến đổi wavelet liên tục c và d và phổ Fourier b của a hàm một chiều liên tục:

Đặt tên của nó từ hình dạng đặc biệt của nó [xem hình 7.14 (a)] Nó là tỷ lệ thuậnvới hàm bậc hai của các hàm xác suất Gauss, có giá trị trung bình bằng không và được hỗ

ngược, nó không có một hàm tỉ lệ liên kết, và biến đổi được tính toán không cho kết quảtrong một phân tích trực giao, tính năng quan trọng nhất của nó là đối xứng của nó và sự

Biến đổi liên tục, hàm một chiều trong hình 7.14a là tổng của 2 Mexican hat wavelet:

Phổ Fourier của nó, được chỉ ra trong hình 7.14b, thể hiện việc không kết nối giữa

tỉ lệ wavelets và băng tần Fourier Phổ chứa 2 bề rộng băng tần(hoặc đỉnh), điều nàytương ứng với 2 hàm Gaussian giống như sự nhiễu loạn

7.14a tỉ đối cho Mexican hat wavelet Không giống như phổ Fourier trong hình 7.14b, nóchứa cả thông tin về không gian và tần số Chú ý, cho ví dụ, rằng khi s=1, biến đổi nhận

biến đổi cung cấp cho một đo đạc đối tượng của những điểm tương tự giữa f(x) vàwavelets cho nó được tính toán, nó là dể dàng để thấy có bao nhiêu điều nó cần được sửdụng cho đặc điểm nhận dạng Chúng ta thường cần wavelets để tính toán các đặc điểmcủa lợi ích Tương tự quan sát có thể được vẻ từ giản đồ mật độ trong hình 7.14d, đó là

và trắng Chú ý rằng biến đổi wavelet liên tục trở thành hàm một chiểu trong kết quả haichiều

7.4 Biến đổi wavelet nhanh:

Biến đổi wavelet nhanh (FWT) là phép thực hiện tính toán hiệu quả của biến đổiwavelet rời rạc, (DWT) rằng lợi dụng một cách ngạc nhiên nhưng may mắn mối quan hệgiữa các hệ số của biến đổi wavelet rời rạc tại các tỉ lệ lân cận Còn được gọi là tuật toánxương cá của Mallat (Mallat1989a,b), biến đổi wavelet nhanh tương tự như mã hóa băngcon 2 băng như ở mục 7.1.2

Xem xét lại các phương trình tính làm mịn đa phân giải:

Mở rộng quy mô x bởi 2j, dịch nó bởi k, và đặt m=2k+n cho bởi