A) Kiến thức cơ bản 1) Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = 1 2 b x x a + = và P = 1 2 . c x x a = 2 ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 1 2 1, c x x a = = b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 1 2 1, c x x a = = 3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai : 2 0x Sx P + = B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao 1, Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ? a) 2 13 40 0x x + = b) 2 5 7 1 0x x + + = c) 2 3 5 1 0x x + = Giải a) Theo hệ thức Vi ét có S = 1 2 13 b x x a + = = 1 P = 1 2 . 40 c x x a = = Vì P > 0 nên 2 nghiệm x 1 và x 2 cùng dấu S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng b) Theo hệ thức Vi ét có P = 1 2 1 . 0 5 c x x a = = > nên 2 nghiệm cùng dấu S = 1 2 7 0 5 b x x a + = = < nên 2 nghiệm cùng dấu âm c) P = 1 2 1 . 0 3 c x x a = = < nên 2 nghiệm trái dấu S = 1 2 5 0 3 b x x a + = = < Bài tập 2 Cho phơng trình 2 2 10 0x x m = (1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ? Giải Ta có a = 1 > 0 , c = - m 2 < 0 với mọi m 0 Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = 2 1 2 ,x x m = < 0 . Do đó 1 x và 2 x trái dấu S = 1 2 10x x+ = nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn Bài tập 3 (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 2000) Cho phơng trình 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = (1) (với m là tham số) a) Giải phơng trình trên với m = 2 b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Tìm m để biểu thức 3 3 1 2 2 1 x x A x x = + ữ ữ đạt giá trị lớn nhất 2 Giải a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc 2 4 0 1 4.( 4) 17 0 x x = = = > Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1 17 2 1 17 2 x x + = = b)Xét 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1 2 4 4 2 4 ac m m m m m m m = + = + = + + = + Có 2 2 1 1 3 3 3 0 1 1 1 0 2 2 4 4 4 m m P P m + < ữ ữ Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu m c, Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Từ kết quả phần b có x 1 , x 2 0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x 1 , x 2 tính theo m và 3 1 2 2 1 ( ) 0;( ) 0 x x x x > < Đặt 3 1 2 ( ) x a x = Với a > 0 3 2 1 1 ( ) x x a = Có A = -a + 1 a mang giá trị âm A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất Có A = a + 2 1 1a a a + = áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và 1 a ( vì a > 0 và 1 0 a > ) Ta có: 3 1 1 ( ) : 2 . 1 ( ) : 2 1 1 2 a a a a a a a a + + + Vậy A 2 <=> A - 2 nên A có GTLN là - 2 2 2 2 1 * 2 2 1 2 . 1 2 2 1 0 2 1 0 ( 1) 0 1 A a a a a a a a a a a a a a = + = = = + = + = = = ( thoả mãn điều kiện a > 0 ) Với a = 1 thì 3 1 1 1 2 2 2 ( ) 1 1 x x x x x x = = = Theo kết quả 1 2 x x = có 1 2 2 2 0 b S x x x x a = + = + = = ( 1) 0 1 0 1 m m m = = = * Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2 2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm Bài tập 4: Cho phơng trình : 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m b) Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: a ) Ta có a = 1 > 0 4 2 2 2 2 2 ( 2) 1 7 ( ) 4 4 1 7 7 ( ) 0 2 4 4 c m m m m m m m = + = + = + + = < a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m Theo hệ thức Vi ét P = 2 1 2 . 2 0 c x x m m a = = + < do đó 2 nghiệm trái dấu b) Ta có 2 2 ( 1) 2( 2)m m m = + = 2 2 2 2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = + 2 2 4 5 2 4 11 3 3( 2 ) 3 3 3 9 9 m m m m = + = + + ữ 2 2 11 11 3( ) 3 3 3 m = + Vậy Min ( ) 2 2 1 2 11 3 x x + = khi m = 2 3 Bài tập 5: Cho phơng trình 2 2 2 ( 2) 7 0x m x m + + = Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia Giải : Ta có a = 2 > 0 Phong trình có 2 nghiệm trái dấu 2 7 0 7 7m m + < < < Với điều kiện này giả sử x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo đề ra ta có 5 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x x x + = + 2 , 2 2 ( 2) (5 3)m m = + + 6 . phơng trình ta đợc 2 4 0 1 4 .( 4) 17 0 x x = = = > Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1 17 2 1 17 2 x x + = = b)Xét 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1 2 4 4 2 4 ac m m m m. 2 2 2 2 ( 2) 1 7 ( ) 4 4 1 7 7 ( ) 0 2 4 4 c m m m m m m m = + = + = + + = < a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m Theo hệ thức Vi ét P =. 2 2 ( 1) 2( 2)m m m = + = 2 2 2 2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = + 2 2 4 5 2 4 11 3 3( 2 ) 3 3 3 9 9 m m m m = + = + + ữ 2 2 11 11 3( ) 3 3 3 m = + Vậy Min ( ) 2 2 1