Tóm tắt công thức Xác suất thống kê

Thuộc bộ môn Xác suất thống kê

Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê

I Phần Xác Suất

1 Xác suất cổ điển

 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

 A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

 Ta có

o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B)

o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

o P A( ) 1 P A( )

 Công thức xác suất có điều kiện: ( / ) ( )

( )

P AB

P A B

P B

( )

P AB

P B A

P A

 Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)

 A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An)

 Ta có

o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B)

o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C)

 Công thức Bernoulli: ( ; ; )B k n p C p q n k k n k , với p=P(A): xác suất để biến cố A

xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p

 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes

o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân

hoạch của 

i j

n



 



o Công thức xác suất đầy đủ:

1

n

i

P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A



o Công thức Bayes:

( ) ( / ) ( / )

( )

i

P A P B A

P B

 với P B( )P A P B A( 1) ( / 1)P A( 2) ( /P B A2)  P A( n) ( /P B A n)

2 Biến ngẫu nhiên

a Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Luật phân phối xác suất

với p i P X( x i),i1, n

Ta có:

1

1

n i i

p





f(

i

i

a x b

 

X x1 x2 … xn

P p1 p2 … pn

 Hàm phân phối xác suất

i

x x



 Mode

0 0

ModXx  p max{p i i: 1, }n

 Median

0,5

MedX

i e

i e

i

x x e

e

x x

p

x











 Kỳ vọng

1

n

i



1

n

i



 Phương sai

VarX E X  EX

1

n

i



b Biến ngẫu nhiên liên tục

 f(x) là hàm mật độ xác suất của X ( ) 1





  f x dx ,

b

a

 Hàm phân phối xác suất

x X



 Mode

0

ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0

 Median

e

x



 Kỳ vọng

EX x f x dx ( )





( ( )) ( ) ( )





 

 Phương sai

VarX E X  EX với EX2 x f x dx2 ( )





c Tính chất

-E C( )C Var C, ( ) , C là một hằng số 0

-E kX( )kEX Var kX, ( )k VarX2

-E aX( bY)aEX bEY

- Nếu X, Y độc lập thì E XY( )EX EY Var aX , ( bY)a VarX2 b VarY2

-( )X  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX

3 Luật phân phối xác suất

a Phân phối Chuẩn (X ~N  ( ; 2))

 X    , EX=ModX=MedX=( )  , 2

VarX 

 Hàm mđxs

2 2

( ) 2

1 ( , , )

2

x





 





 Với    0, 1:

2

2

1 ( )

2

x





 P(aXb) (b ) (a )

2

2 0

1 ( )

2

t x





 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc

Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES

Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính

2

2 0

1 ( )

2

t x





 

2

2

1 ( )

2





 

t x

Shift 3 2 x ) =

Shift 3 1 x ) =

Shift 1 7 2 x ) =

Shift 1 7 1 x ) =

Lưu ý: F x( )0,5 ( )x

b Phân phối Poisson (X ~P  ( ))

 X    , ( ) EXVarX .ModX=k-1k

!

k

k

 

  

c Phân phối Nhị thức (X ~B n p ( ; ))

 X  ( ) {0 n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k(n1)p 1 k (n1)p

 P(X=k)=C k n p q k n k , q    p 0 k n k,  

 Nếu (n30; 0,1  p0,9;np5,nq5) thì X ~B n p( ; )N( ; 2) với

,

 P(X=k) 1 f(k ), 0 kn k, 

 P(aX<b) (b ) (a )

 Nếu (n30,  p np5) thì X ~B n p( ; )P( ) với  np

!

k

k

 

 Nếu (n30, p 0,9,nq5)

n k

n k



 

  với  nq

d Phân phối Siêu bội (X ~H N N( ; A; ))n

 X( ) {max{0;n(NN A)} min{n;N }}A

 EX=np, VarX=npq

1

N n N



 với

A

N p N

 , q=1-p

k n k

N N N n N

C





  

 Nếu N 20

n  thìX ~H N N( ; A; )n B n p( ; ) với

A

N p N

(X=k) C k n k n k, ( ), 1

P  p q   k X    q p







Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông

dụng:

n30, np<5 p0,1

 =np

N>20n p= N A

N , q=1-p

n30, np5, nq5

0,1<p<0,9

1



với  np,  npq

Siêu bội: X~H(N;NA;n)

n N

C C

P X k

C





Poisson: X~P( )

!

k

k



Nhị thức: X~B(n;p)

n

P X k C p q 

Chuẩn: X~N( ; 2)

2 2

( ) 2

1

2

x





 







Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)

2

2

1

2

y







II Phần Thống Kê

1 Lý thuyết mẫu

a Các công thức cơ bản

Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể

X

n

x

n



X

S

n

x

s

n

1





n X

S

n

1





n x

s

n

b Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:

Khi đó

Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể

Giá trị trung bình x n1 1 x n k k

x

n



Phương sai không hiệu chỉnh 2 ( 1 )2 1 ( )2

x

s

n

Phương sai hiệu chỉnh

2 ( 1 ) 1 ( )

1





x

s

n

c Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu

- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; )a b hay ( ; ] a b thì ta sử dụng giá

trị đại diện cho miền đó là

2

a b

để tính toán

Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES

Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1

Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var

Nhập số liệu

1

x Shift , n M+ 1



k

x Shift , n M+ k

Nếu n  thì chỉ cần i 1

nhấn

i

x M+

1

x =



k

x =

1

n =



k

n =

i

x x 1 x 2 … x k

i

n n 1 n 2 … n k

Xóa màn hình hiển thị AC AC

Xác định:

 Kích thước mẫu (n)

 Giá trị trung bình

(x)

 Độ lệch chuẩn không

hiệu chỉnh ( ˆs ) x

 Độ lệch chuẩn hiệu

chỉnh (s ) x

Shift 1 3 = Shift 2 1 = Shift 2 2 = Shift 2 3 =

Shift 1 5 1 = Shift 1 5 2 = Shift 1 5 3 = Shift 1 5 4 =

2 Ước lượng khoảng

a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình

Trường hợp 1 (  đã biết)

 Ước lượng đối xứng

1

2

n



 Ước lượng chệch trái

n



              

 Ước lượng chệch phải

n



             

Trường hợp 2 (  chưa biết, n 30)

 Ước lượng đối xứng

1

2

s

n



 Ước lượng chệch trái

n



             

 Ước lượng chệch phải

n



            

Trường hợp 3 (  chưa biết, n<30)

 Ước lượng đối xứng

s

n



 Ước lượng chệch trái

( 1; ) ( 1; )

n

 Ước lượng chệch phải

( 1; ) ( 1; )

n

b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ

 Ước lượng đối xứng

(1 ) 1

2

n



                 

 Ước lượng chệch trái

(1 )

n



 Ước lượng chệch phải

(1 )

n



c) Khoảng tin cậy cho phương sai

Trường hợp 1 ( chưa biết)

- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính)

 Ước lượng không chệch

2

2 ( 1; ) 2

1



n ,

1

2 ( 1;1 ) 2





 Ước lượng chệch trái

2 2

1



 Ước lượng chệch phải

2 2

2 ( 1; )

2



Trường hợp 2 ( đã biết)

1

k

i i i



 Ước lượng không chệch

2 2 ( ; ) 2

1



( ;1 ) 2



n



 Ước lượng chệch trái

2 2

1 ( ;1 )

1



n

n s

 Ước lượng chệch phải

2 2

2 ( ; )

2



n

3 Kiểm định tham số

a) Kiểm định giá trị trung bình

Trường hợp 1 (  đã biết)

 H o:   o,H1:   o

1

2

o x



- Nếu

2

z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

2

z z: Chấp nhận Ho

 H o:   o,H1:   o



- Nếu z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z z: Chấp nhận Ho

 H o:   o,H1:   o



- Nếu zz: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu zz: Chấp nhận Ho

Trường hợp 2 (  chưa biết, n 30)

 H o:   o,H1:   o

1

2

o x

s



- Nếu

2

z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

2

z z: Chấp nhận Ho

 H o:   o,H1:   o

s



- Nếu z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z z: Chấp nhận Ho

 H o:   o,H1:   o

s



- Nếu zz: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu zz: Chấp nhận Ho

Trường hợp 3 (  chưa biết, n<30)

 H o:   o,H1:   o

( 1; ) 2

2

o n

x

s





 



- Nếu

( 1; ) 2

n

t t 



 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

( 1; ) 2

n

t t 



 : Chấp nhận Ho

 H o:   o,H1:   o

(n 1; ), x o

s

 

 

- Nếu t t(n 1; ): Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu t t(n 1; ): Chấp nhận Ho

 H o:   o,H1:   o

(n 1; ), x o

s

 

 

- Nếu tt(n 1; ): Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu tt(n 1; ): Chấp nhận Ho b) Kiểm định tỉ lệ

 H o:p p o,H1:p p o

1

o

f p k





- Nếu

2

z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

2

z z: Chấp nhận Ho

 H o:p p o,H1:p p o

o

k





- Nếu z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z z: Chấp nhận Ho

 H o:p p o,H1:p p o

o

k





- Nếu zz: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu zz: Chấp nhận Ho

c) Kiểm định phương sai

Trường hợp 1 ( chưa biết)

- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s

 H o:   2 2o,H1:   2 2o

1 ( 1;1 ) 2

1



( 1; ) 2



2 2

2

o

n s



- Nếu

2

1

  



  



: Bác bỏ H0, chấp nhận H1

- Nếu      : Chấp nhận Ho 12 2 22

 H o:   2 2o,H1:   2 2o

2 2

2

o

n s

 



- Nếu    : Bác bỏ H2 12 0, chấp nhận H1

- Nếu    : Chấp nhận H2 12 o

 H o:   2 2o,H1:   2 2o

2 (n 1; )

2 2

2

o

n s

 



- Nếu    : Bác bỏ H2 22 0, chấp nhận H1

- Nếu    : Chấp nhận H2 22 o

4 Kiểm định so sánh tham số

a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình

Trường hợp 1 (  đã biết) 1, 2

 H o:   1 2,H1:   1 2

1

2

x x





- Nếu

2

zz: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

2

z z: Chấp nhận Ho

 H o:   1 2,H1:   1 2





- Nếu z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z z: Chấp nhận Ho

 H o:   1 2,H1:   1 2





- Nếu zz: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu zz: Chấp nhận Ho Trường hợp 2 (  chưa biết, 1, 2 n n1 230)

 H o:   1 2,H1:   1 2

1

2

x x

s s

n n





- Nếu

2

z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

2

z z: Chấp nhận Ho

 H o:   1 2,H1:   1 2

s s

n n





- Nếu z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z z: Chấp nhận Ho

 H o:   1 2,H1:   1 2

s s

n n





- Nếu zz: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu zz: Chấp nhận Ho

Trường hợp 3 (   chưa biết, 1 2 n n1, 230)

 H o:   1 2,H1:   1 2

1 2

2

,

n n

s



 





 , với

2

s

n n



- Nếu

1 2

2

n n

 

 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

1 2

2

n n

 

 : Chấp nhận Ho

 H o:   1 2,H1:   1 2

1 2

2

,

n n

s

  



 , với

2

s

n n



- Nếu

1 2

2

n n

 

  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

1 2

2

n n

 

  : Chấp nhận Ho

 H o:   1 2,H1:   1 2

1 2

2

,

n n

s

  



 , với

2

s

n n



- Nếu

1 2

2

n n

 

 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

1 2

2

n n

 

b) Kiểm định so sánh tỉ lệ





 H o:p1 p2,H1:p1 p2

1



- Nếu

2

z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu

2

z z: Chấp nhận Ho.

 H o:p1 p2,H1:p1 p2



- Nếu z z: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z z: Chấp nhận Ho

 H o:p1 p2,H1:p1 p2



- Nếu zz: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu zz: Chấp nhận Ho

c Kiểm định so sánh phương sai

-   chưa biết nên tính s1, 2 1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa cho

 H o:12  22,H1:12   22

-

2 1

2 2

s

s

2

f f

f f







: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu f1 f  f2: Chấp nhận Ho

 H o:12  22,H1:12  22

-

2 1

2 2

s

s

- Nếu f  f1: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu f1 f : Chấp nhận Ho

 H o:12  22,H1:12   22

-

2 1

2 2

s

- Nếu f  f2: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu f  f2: Chấp nhận Ho

5 Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu

a Hệ số tương quan mẫu: 1 1 1

r





Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: y x  ABx với

B







A

n





b Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:

Ta tính theo công thức thu gọn như sau:

r





Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: y x  ABx với

B







n y B n x A

n





i

x x 1 x 2 … x k i

y y 1 y 2 … y k

i

n n 1 n 2 … n k

c Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:

Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES

Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1

Khởi động gói Hồi quy

tuyến tính

Mode…(tìm)…REG Lin

Mode…(tìm)…STAT A+BX

Nhập số liệu

1

x , y Shift , 1 n M+ 1



k

x , y Shift , k n M+ k

1

i

n  thì chỉ cần nhấn i

x , y M+ i

1

x =



k

x =

1

y =



k

y =

1

n =



k

n =

Xác định:

 Hệ số tương quan

mẫu (r)

 Hệ số hằng: A

 Hệ số ẩn (x): B

Shift 2  3 =

Shift 2  1 = Shift 2  2 =

Shift 1 7 3 =

Shift 1 7 1 = Shift 1 7 2 =

Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì

không cần kích hoạt nữa

………