công thức xác suất thống kê

Tóm tắt XSTK - 1 - 2013 KHÁI NIỆM CƠ BẢN XÁC SUẤT Công thức Siêu bội P(X=k) = − −− − − −− − k n k M N M n N C .C C Công thức Nhị thức P(X=k) = k n C .p k (1 – p) n–k Công thức cộng P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) ▪ P(A) = 1 − P( A ) ▪ P(A 1 +A 2 +…+A n ) = P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n ) (A i ) xung khắc từng đôi. ▪ P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC) Ghi nhớ A B A.B + + = A.B A+B+ = Công thức nhân P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) ▪ P(A/B) = P(A.B) P(B) = P(A).P(B / A) P(B) ▪ P(A/B) = P(A) P(B) (B = A + … ) ▪ P(A/B) P(B/A) P(A) P(B) = ▪ P(A 1 .A 2 ) = P(A 1 ).P(A 2 ) (A i ) đ.lập t.phần. ▪ P(A.B.C) = P(A).P(B/A).P(C/A.B) Công thức Xác suất đầy đủ (A i ) đầy đủ và xung khắc từng đôi. P(B) = / ∑ ∑∑ ∑ n i i i =1 P(B A ).P(A ) P(B.C) = / / ∑ ∑∑ ∑ n i i i =1 P(B A .C).P(A C) Công thức Bayes (A i ) đầy đủ và xung khắc từng đôi. P(A i /B) = i i P(A ).P(B / A ) P(B) ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU ▪ Bảng phân phối theo thành ph ần X (p i bằng tổng p ij theo dòng) ⇒ E(X), Var(X), σ X X x 1 x m p p 1 p m ▪ Bảng phân phối theo thành ph ần Y (q j bằng tổng p ij theo cột) ⇒ E(Y), Var(Y), σ Y Y y 1 y n q q 1 q n Bảng phân phối đồng thời Y X y 1 y n x 1 p 11 p 1n Σ= p 1 x m p m1 p mn Σ= p m Σ= q 1 Σ= q n p ij ≥ 0, ΣΣp ij = 1 p i > 0, Σp i = 1 q j > 0, Σq j = 1 ▪ Bảng phân phối theo X có điều kiện Y=y j (cột j chia cho tổng cột j) ⇒ E(X /y j ), Var(X /y j ) X /y j x 1 x m p /y j p 1j /q j p mj /q j ▪ Bảng phân phối theo Y có điều kiện X=x i (dòng i chia cho tổng dòng i) ⇒ E(Y /x i ), Var(Y /x i ) Y /x i y 1 y n q /x i q i1 /p i q in /p i Hiệp phương sai: đo độ phụ thuộc giữa X, Y Cov(X, Y) = m n i j ij i 1 j 1 x y p = = = == = = = ∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑ – E(X).E(Y) ▪ X, Y độc lập ⇔ p ij = p i .q j ∀(i, j) ⇒ Cov(X, Y) = 0 ▪ Var(aX ± bY) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y) ± 2abCov(X, Y) Hệ số tương quan: đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. XY ρ ρρ ρ = X Y Cov(X,Y) .σ σ σ σσ σ σ σ ▪  XY ρ  ≤ 1, XY ρ > 0 ⇒ X, Y đồng biến ▪  XY ρ  = 1 ⇔ P(Y = aX+b) = 1 (hầu hết) Tóm tắt XSTK - 2 - 2013 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN p i > 0 p 1 + p 2 + + p n = 1 X x 1 x 2 x n p p 1 p 2 p n Mod(X) = x o ⇔ P(X = x o ) = x max P(X = x) ⇔ f(x o ) = x max f(x) E(X) = ∑ n i i i=1 x p E(c) = c E(cX) = cE(X) E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X.Y) = E(X).E(Y) X, Y độc lập Var(X) = E(X 2 ) − −− − [E(X)] 2 σ(X)= Var(X) =        − −− −               ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ 2 n n 2 i i i i i=1 i=1 x p x p Var(c) = 0 Var(cX) = c 2 Var(X) Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) X, Y độc lập Phân phối Chuẩn X ~ N(µ, σ σσ σ 2 ) Hàm mật độ: f(x) = 2 x /2 1 e 2 µ σ σ π − −− −        − −− −               E(X) = µ Var(X) = σ σσ σ 2 Mod(X) = µ Hàm Laplace: Φ(x)= 2 x z /2 0 1 e dz 2 − π ∫ ▪ Φ(–x) = –Φ(x) =NORMSDIST(x)–0,5 ▪ x ≥ 4 ⇒ Φ(x) ≈ 0,5 ▪ Φ(a) > Φ(b) ⇔ a > b ▪ z α = a ⇔ α = 0,5 – Φ(a) X Chuẩn ⇔ X − µ σ ~ N(0; 1) ▪ P(X < x) = 0,5 + Φ( X − µ σ ) ▪ P(X > x) = 0,5 – Φ( X − µ σ ) ▪ P(a < X < b) = Φ( b − µ σ ) – Φ( a − µ σ ) ▪ P(X – µ< a) = 2Φ(a / σ) a 1 N(µ 1 , σ 1 2 ) + a 2 N(µ 2 , σ 2 2 ) = N(a 1 µ 1 + a 1 µ 1 , a 1 2 σ 1 2 + a 2 2 σ 2 2 ) Phân phối Nhị thức X ~ B(n, p) P(X=k) = k k n-k n C .p q =BINOMDIST(k; n; p; 0) P(X ≤ k) =BINOMDIST(k; n; p; 1) E(X) = np Var(X) = npq Mod(X) ∈ ∈∈ ∈ [(n+1)p–1, (n+1)p] ▪ n đủ lớn, p không quá gần 0 hay 1: B(n, p) ≈ N(np, npq) ▪ n đủ lớn, p gần 0: B(n, p) ≈ P(np) Tổng các phân phối Nhị thức độc lập: B(n 1 , p) + B(n 2 , p) = B(n 1 + n 2 , p) Phân phối Poisson X ~ P(λ λλ λ) P(X=k) = − k e k! λ λλ λ λ λλ λ =POISSON(k; λ; 0) P(X ≤ k) =POISSON(k; λ; 1) E(X) = λ λλ λ Var(X) = λ λλ λ Mod(X) ∈ ∈∈ ∈ [λ λλ λ–1, λ λλ λ] ▪ λ ≥ 10: P(λ λλ λ) ≈ N(λ λλ λ; λ λλ λ) Tổng các phân phối Poisson độc lập: P(λ 1 ) + P(λ 2 ) = P(λ 1 + λ 2 ) Phân phối Siêu bội X ~ H(N, M, n) P k = − − k n k M N M n N C .C C =HYPGEOMDIST(k; n; M; N) E(X) = np Var(X) = npq − − N n N 1 Mod(X) = + + + ++ + + +               + ++ +        (n 1)(M 1) N 2 ▪ n đủ nhỏ so với N: H(N, M, n) ≈ B(n, M/N) Phân phối Chi bình k bậc tự do χ χχ χ 2 ~ χ χχ χ 2 (k) E( χ χχ χ 2 (k)) = k Var( χ χχ χ 2 (k)) = 2k χ 2 (k) α =CHIINV(α; k) Phân phối Student k bậc tự do T ~ T(k) E(T) = 0 Var(T(k) ) = k k 2 − −− − t(k) α =TINV(2*α; k) ▪ k ≥ 30: χ χχ χ 2 (k) ≈ N(0; 1) T(k) ≈ N(0; 1) Tóm tắt XSTK - 3 - 2013 THỐNG KÊ TOÁN µ trung bình tổng thể. σ 2 phương sai tổng thể. p tỷ lệ tổng thể. X trung bình mẫu ngẫu nhiên. S 2 phương sai mẫu ngẫu nhiên. F tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên. x trung bình mẫu. s 2 phương sai mẫu. f tỷ lệ mẫu. n kích thước mẫu. ε εε ε độ chính xác. z α αα α phân vị mức α của phân phối Chuẩn chuẩn tắc. P(Z > z α αα α ) = α αα α =NORMSINV(1–α) z α αα α = Φ –1 (0,5 – α αα α) P(  Z   > Z α αα α ) = α αα α ⇒ ⇒⇒ ⇒ Z α αα α = z α αα α/2 t α αα α (n) phân vị mức α của phân phối Student với n bậc tự do. P(T > t α αα α ) = α αα α =TINV(2*α; n) P(  T   > T α αα α ) = α αα α ⇒ ⇒⇒ ⇒ T α αα α = t α αα α/2 χ χχ χ 2 α αα α (n) phân vị mức α của phân phối Chi bình với n bậc tự do. P( χ χχ χ 2 > χ χχ χ 2 α αα α ) = α αα α =CHIINV(α; n) Số liệu dạng điểm không có tần số x = n i i 1 1 x n = == = ∑ ∑∑ ∑ s 2 = 2 n n 2 i i i 1 i 1 1 1 x x n 1 n = = = == = = =               − −− −               − −− −                      ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ Số liệu dạng khoảng có tần số x i = (a i + b i )/2 ⇒ s ố liệu dạng điểm có tần số. Số liệu dạng điểm có tần số n = k i i 1 n = == = ∑ ∑∑ ∑ x = k i i i 1 1 n x n = == = ∑ ∑∑ ∑ s 2 = 2 k k 2 i i i i i 1 i 1 1 1 n x n x n 1 n = = = == = = =               − −− −               − −− −                      ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ Bảng số liệu hai chiều Số liệu X theo điểm: Cộng tần số theo dòng. Số liệu Y theo điểm: Cộng tần số theo cột. Số liệu X biết Y=y j : Lấy cột j. Số liệu Y biết X=x i : Lấy dòng i. Y X y 1 y h x 1 n 11 n 1h x k n k1 n kh Đổi biến x o : bằng x i có tần số lớn nhất h: tuỳ ý n = k i i 1 n = == = ∑ ∑∑ ∑ u = k i i i 1 1 n u n = == = ∑ ∑∑ ∑ x = x o + h u s 2 = 2 k 2 2 i i i 1 h n u nu n 1 = == =        − −− −        − −− −        ∑ ∑∑ ∑ Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể µ µ∈( x − ε, x + ε) với độ tin cậy 1–α. n ≥ ≥≥ ≥ 30 hoặc n < 30, biết σ 2 , tổng thể Chuẩn ε εε ε = /2 z n α αα α σ σσ σ (σ ≈ s) n < 30, chưa biết σ 2 , tổng thể Chuẩn ε εε ε = /2 s t(n 1) n α αα α − −− − Khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể p p∈(f – ε, f + ε) với độ tin cậy 1–α. ε εε ε = /2 f(1 f ) z n α αα α − −− − Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể σ 2 ∈(a, b) với độ tin cậy 1–α. Chưa biết µ a = 2 2 /2 (n 1)s (n 1) α αα α − −− − χ − χ −χ − χ − b = 2 2 1 /2 (n 1)s (n 1) −α −α−α −α − −− − χ − χ −χ − χ − Biết µ a = ( (( ( ) )) ) 2 1 2 2 n i i / x (n) = == = α αα α − µ − µ− µ − µ χ χχ χ ∑ ∑∑ ∑ b = ( (( ( ) )) ) 2 1 2 2 n i i 1 / x (n) = == = −α −α−α −α − µ − µ− µ − µ χ χχ χ ∑ ∑∑ ∑ Tóm tắt XSTK - 4 - 2013 Độ tin cậy 1–α ⇔ mức ý nghĩa α Giá trị kiểm định: z, t, χ 2 Loại kiểm định Giá trị kiểm định (KD) Giá trị tới hạn (TH) Bác bỏ H o H o : µ = µ o H 1 : µ ≠ µ o n ≥ 30 hay n < 30, biết σ 2 , Chuẩn: z α αα α/2 n < 30, chưa biết σ 2 , Chuẩn: t(n–1) α αα α/2 |KĐ| > TH H o : µ = µ o H 1 : µ > µ o n ≥ 30 hay n < 30, biết σ 2 , Chuẩn: z α αα α n < 30, chưa biết σ 2 , Chuẩn: t(n–1) α αα α KĐ > TH H o : µ = µ o H 1 : µ < µ o o x / n − µ − µ− µ − µ σ σσ σ (σ ≈ s) n ≥ 30 hay n < 30, biết σ 2 , Chuẩn: –z α αα α n < 30, chưa biết σ 2 , Chuẩn: –t(n–1) α αα α KĐ < TH H o : p = p o H 1 : p ≠ p o z α αα α/2 |KĐ| > TH H o : p = p o H 1 : p > p o z α αα α KĐ > TH H o : p = p o H 1 : p < p o − −− − − −− − o o o f p p (1 p ) / n –z α αα α KĐ < TH H o : σ 2 = σ o 2 H 1 : σ 2 ≠ σ o 2 χ χχ χ 2 (n–1) 1–α αα α/2 và χ χχ χ 2 (n–1) α αα α/2 KĐ > TH L hoặc KĐ < TH N H o : σ 2 = σ o 2 H 1 : σ 2 > σ o 2 χ χχ χ 2 (n–1) α αα α KĐ > TH H o : σ 2 = σ o 2 H 1 : σ 2 < σ o 2 2 2 o (n 1)s − −− − σ σσ σ χ χχ χ 2 (n–1) 1–α αα α KĐ < TH BẢNG KÊ SỐ z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2 z t /2 0 1 (z) e dt 2 − Φ = π ∫ • Φ(2,03) = 0,4788 • α = 0,025 ?z α 0,5 – 0,025 = 0,4750 ⇒ z α = 1,96 z α 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 P(Z > z α ) = α • α = 0,025 ?z α z α = 1,96 a 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,04 0,05 z a 2,576 2,326 2,17 2,054 1,96 1,881 1,751 1,645 . 1 - 2013 KHÁI NIỆM CƠ BẢN XÁC SUẤT Công thức Siêu bội P(X=k) = − −− − − −− − k n k M N M n N C .C C Công thức Nhị thức P(X=k) = k n C .p k (1 – p) n–k Công thức cộng P(A+B) = P(A) +. P(A).P(B/A).P(C/A.B) Công thức Xác suất đầy đủ (A i ) đầy đủ và xung khắc từng đôi. P(B) = / ∑ ∑∑ ∑ n i i i =1 P(B A ).P(A ) P(B.C) = / / ∑ ∑∑ ∑ n i i i =1 P(B A .C).P(A C) Công thức Bayes (A i ). P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC) Ghi nhớ A B A.B + + = A.B A+B+ = Công thức nhân P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) ▪ P(A/B) = P(A.B) P(B) = P(A).P(B / A) P(B)