bài giảng xác suất thống kê toán chương 7 ước lượng các số đặc trưng tổng thể

CHƯƠNG Ước lượng số đặc trưng tổng thể * Không thể tính số đặc trưng tổng thể Từ mẫu cụ thể, ta ước lượng đặc trưng tổng thể θ cách tuyên bố θ θo (ước lượng điểm) tuyên bố θ thuộc khoảng (ước lượng khoảng) Ước lượng điểm Ta tuyên bố số đặc trưng ứng với mẫu cụ thể số đặc trưng tương ứng tổng thể 1.1 Ước lượng điểm trung bình tổng thể µ Trung bình tổng thể µ ước lượng trung bình mẫu ngẫu nhiên X Công thức ước lượng có tính chất: Không chệch: Kỳ vọng sai số ước lượng 0, tức E( X – µ) = Hiệu quả: Phương sai ( X – µ) nhỏ công thức ước lượng µ Vững: X gần µ kích thước mẫu lớn 1.2 Ước lượng điểm phương sai tổng thể σ2 Phương sai tổng thể σ2 ước lượng phương sai mẫu ngẫu nhiên S2 Công thức ước lượng điểm không chệch, vững 1.3 Ước lượng điểm tỷ lệ tổng thể p Tỷ lệ tổng thể p ước lượng với tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F Công thức ước lượng điểm không chệch Ví dụ Đo chiều cao (m) 50 rừng ta có bảng: Chiều cao Số lượng 6,25–6,75 6,75–7,25 7,25–7,75 7,75–8,25 11 Chiều cao Số lượng 8,25–8,75 18 8,75–9,25 9,25–9,75 9,75–10,2 Ứớc lượng chiều cao trung bình, độ lệch chuẩn tỷ lệ cao từ 7,75m đến 8,75m Ước lượng khoảng Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2, , Xn Chọn thống ˆ ˆ kê θ1 , θ2 , tức lập hàm n-biến X1, X2, , Xn Số ˆ ˆ đặc trưng tổng thể θ xem thuộc khoảng [ θ1 , θ2 ] (khoảng tin cậy) với xác suất 1–α 1–α gọi độ tin cậy Với độ tin cậy 1–α từ 95% trở lên, ta cho ˆ ˆ biến cố θ1 ≤ θ ≤ θ2 chắn xảy thực tế Ghi Ta xét khoảng ước lượng phía 2.1 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể µ Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn độ tin cậy 1–α Ta chọn khoảng ngẫu nhiên dạng ( X − ε, X + ε) để ước lượng µ ε gọi độ xác ước lượng Để tìm khoảng ngẫu nhiên ước lượng µ, ta cần xác định công thức tính độ xác ε TH1 n ≥ 30 biết phương sai tổng thể σ2 X −µ Xét Z = Nếu X có phân phối Chuẩn Z σ/ n có phân phối Chuẩn Chính tắc Nếu chưa biết quy luật phân phối X từ giả thiết n ≥ 30, ta xấp xỉ Z với phân phối Chuẩn Chính tắc Ta có: P( X – ε < µ < X + ε) = 1−α ⇔ P( X – µ < ε) = 1−α ⇔ P( X −µ> ε) = α ⇔ P( X−µ > σ/ n ⇔ P(Z > ε ε σ/ n ) = α ⇔ P(Z> ) + P(Z < − ε ε σ/ n )=α )=α σ/ n σ/ n ε ε ⇔ 2P(Z > ) = α ⇔ P(Z > ) = α/2 σ/ n σ/ n ε phân vị mức Đẳng thức cuối chứng tỏ σ/ n α/2 phân phối Chuẩn Chính tắc Vậy: ε = zα/2 ⇒ ε = zα / σ σ/ n n Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính giá trị ε tìm khoảng tin cậy ( x −ε, x +ε) với độ tin cậy 1–α để ước lượng µ TH2 n < 30, biết phương sai tổng thể σ2 X có phân phối Chuẩn X −µ Lúc có phân phối Chuẩn Chính tắc σ/ n Vậy tất lập luận công thức nêu áp dụng TH3 n ≥ 30 chưa biết phương sai tổng thể σ2 X −µ Lúc có phân phối Student bậc tự S/ n (n–1) Theo giả thiết n ≥ 30, phân phối Student xấp xỉ với phân phối Chuẩn Chính tắc; nữa, S xấp xỉ s Vậy tất lập luận công thức nêu áp dụng được, miễn thay σ s tính ε ứng với mẫu cụ thể TH4 n ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể σ2, X có phân phối Chuẩn X −µ Lúc có phân phối Student bậc tự S/ n (n–1) Tất lập luận áp dụng cho phân phối Student Công thức tính độ xác ε ứng với mẫu cụ thể lúc công thức biết thay σ s thay zα/2 tα/2(n–1) 2.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể p Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn độ tin cậy 1−α Ta tìm khoảng ngẫu nhiên dạng (F−ε, F+ε) để ước lượng p ε gọi độ xác ước lượng Cần xác định công thức tính độ xác ε F−p Xét n ≥ 30 Z = xấp xỉ với p(1 − p) / n phân phối Chuẩn Chính tắc Ta coù: P(F−ε < p < F+ε) = 1−α ⇔ P(F – p < ε) = 1–α ⇔ P(F – p > ε) = α F−p ε ⇔ P( > )=α p(1 − p) / n p(1 − p) / n ⇔ P(Z > ⇔ P(Z > ε )=α p(1 − p) / n ε ) = α/2 p(1 − p) / n Đẳng thức cuối chứng tỏ ε p(1 − p) / n phân vị mức α/2 phân phối Chuẩn Chính tắc Theo giả thiết n > 30, p xấp xỉ F Vậy: ε = zα / F(1 − F) / n Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính giá trị ε tìm khoảng tin cậy (f−ε, f+ε) với độ tin cậy 1−α để ước lượng p Tóm tắt – Khoảng tin cậy tỷ lệ tổng thể p Cho trước mẫu cụ thể kích thước n (n ≥ 30) độ tin cậy 1−α Tỷ lệ tổng thể p ước lượng thuộc khoảng tin cậy (f−ε, f+ε) Độ xác ε tính theo công thức: ε = zα / f(1 − f ) n Ví dụ Điều tra thu nhập hàng tháng 100 công nhân gặp ngẫu nhiên nhà máy thấy có 81 lần trả lời triệu đồng/tháng Ta có: n = 100 f = 81% a) Ước lượng tỷ lệ công nhân đạt mức thu nhập với độ tin cậy 96% 1−α = 96% ⇒ zα/2 = z0,02 = 2,0537 =NORMSINV(1–.02) ⇒ ε = zα / f (1 − f ) = 8,06% n Tỷ lệ công nhân đạt mức thu nhập triệu đồng/tháng từ 72,94% đến 89,06% (độ tin cậy 96%) b) Nếu muốn độ tin cậy đạt đến 98% độ xác phải điều tra thêm công nhân nữa? 1−α = 98% ⇒ zα/2 = z0,01 = 2,3263 =NORMSINV(1–.01) Từ công thức tính ε ta có: z  n =  α /  f (1 − f ) = 128,21 ≈ 129  ε  Phải điều tra thêm 129−100 = 29 công nhân c) Nếu lấy độ xác 7% dùng số liệu điều tra 100 công nhân độ tin cậy đạt bao nhiêu? n = 100 f = 81% ε = 7% Từ công thức tính ε ta coù: zα/2 = ε n ≈ 1,78 f (1 − f ) ⇒ α/2 = 0,5 – Φ(1,78) ⇒ α/2 = 0,0375 ⇒ 1–α = 92,5% Khi độ xác 7% độ tin cậy 92,5% 2.3 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể σ2 Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn độ tin cậy 1–α Ta tìm khoảng ngẫu nhiên dạng (a, b) để ước lượng σ2 Ta xét tổng thể có phân phối Chuẩn TH1 chưa biết trung bình tổng thể µ (n − 1)S2 có phân phối Chi Bình n–1 Lúc σ bậc tự Ta có: P(a < σ2 < b) = 1–α ⇔ P(σ2 > b) + P(σ2 < a) = α Để có đẳng thức trên, ta chọn P(σ2 > b) = α/2 P(σ2 < a) = α/2 Ta coù: P(σ2 > b) = α/2 (n − 1)S2 (n − 1)S2 ) = α/2 ⇔ P( < b σ (n − 1)S2 (n − 1)S2 ⇔ P( > ) = 1–α/2 b σ (n − 1)S2 Đẳng thức chứng tỏ phân vị b mức 1–α/2 phân phối Chi Bình n–1 bậc tự Vậy: (n − 1)S2 (n − 1)S2 = χ 1–α/2 ⇒ b = b χ 21−α / Tương tự: (n − 1)S2 (n − 1)S2 P(σ < a) = α/2 ⇔ P( > ) = α/2 a σ (n − 1)S2 Đẳng thức chứng tỏ phân vị a mức α/2 phân phối Chi Bình n–1 bậc tự Vậy: (n − 1)S2 (n − 1)S2 = χ α/2 ⇒ a = a χ2α / Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính giá trị a, b tìm khoảng tin cậy [a, b] với độ tin cậy 1–α để ước lượng σ2 TH2 biết trung bình tổng thể µ Lúc n ∑ (Xi − µ) 2 có phân phối Chi Bình n σ bậc tự Lập luận tương tự trên, ta chọn được: i =1 n a= ∑ (Xi − µ) i =1 χ2α / n b= ∑ (Xi − µ) i =1 χ21 −α / Tóm tắt – Khoảng tin cậy phương sai tổng thể σ Xét tổng thể ĐLNN có phân phối Chuẩn Cho trước mẫu cụ thể kích thước n độ tin cậy 1–α Phương sai tổng thể σ2 ước lượng thuộc khoảng tin cậy [a, b] a b tính theo công thức gồm hai trường hợp sau: Chưa biết trung bình tổng thể µ a= (n − 1)s2 vaø b = χ (n − 1)α / (n − 1)s2 χ (n − 1)1− α / Biết trung bình tổng thể µ n a= ∑( xi − µ i =1 ) χ (n)α / n vaø b = ∑( i =1 xi − µ ) χ (n)1 −α / Ví dụ Lượng nguyên liệu dùng để sản xuất sản phẩm A ĐLNN có phân phối Chuẩn Quan sát số sản phẩm ngẫu nhiên nhà máy ta có bảng sau: Nguyên Liệu (g) 19,0 19,5 20,0 20,5 Số sản phẩm 14 Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trường hợp: a) Biết lượng nguyên liệu tiêu hao để sản xuất sản phẩm trung bình 20g b) a) Chưa biết lượng tiêu hao nguyên liệu trung bình Do biết µ = 20 nên ta cần tính n ∑ ( xi − µ ) i =1 Do bảng số liệu có tần số nên ta lập bảng để tính n ∑ ( x i − µ ) theo công thức Σnixi2 – 2µΣnixi + nµ2: i =1 xi 19,0 19,5 20,0 ni 14 nixi 95 117 280 nixi2 1.805,00 2.281,50 5.600,00 20,5 61,5 1.260,75 Σ 28 553,5 10.947,25 n ( xi − µ ) = Σnixi2 – 2µΣnixi + nµ2 = 7,25 ∑ i =1 Theo giả thieát: n = 28 1−α = 95% 2 ⇒ χ (n)α/2 = χ (28)0,025 = 44,4608 =CHIINV(0,025; 28) 2 ⇒ χ (n)1–α/2 = χ (28)0,975 =15,3079 =CHIINV(0,975; 28) n ⇒ a= ∑ ( xi − µ ) i =1 χ (n)α / 2 0,1631 n b= ∑ ( xi − µ ) i =1 χ (n)1− α / 0,4736 Với độ tin cậy 95% 0,1631 ≤ σ2 ≤ 0,4736 b) Từ số liệu bảng ta tính được: s2 = [Σnixi2 – (Σnixi)2/n]/(n–1) = 0,2126 Theo giả thiết: n = 28 1−α = 95% 2 ⇒ χ (n–1)α/2 = χ (27)0,025 = 43,1945 =CHIIN(0,025; 27) 2 ⇒ χ (n–1)1–α/2 = χ (27)0,975 = 14,5734 =CHIIN(0,975; 27) (n − 1)s2 ⇒ a= χ (n − 1)α / 0,1329 (n − 1)s2 b= χ (n − 1)1−α / 0,3939 Với độ tin cậy 95% 0,1329 ≤ σ2 ≤ 0,3939 ...1 Ước lượng điểm Ta tuyên bố số đặc trưng ứng với mẫu cụ thể số đặc trưng tương ứng tổng thể 1.1 Ước lượng điểm trung bình tổng thể µ Trung bình tổng thể µ ước lượng trung bình... thức ước lượng điểm không chệch Ví dụ Đo chiều cao (m) 50 rừng ta có bảng: Chiều cao Số lượng 6,25–6 ,75 6 ,75 ? ?7, 25 7, 25? ?7, 75 7, 75–8,25 11 Chiều cao Số lượng 8,25–8 ,75 18 8 ,75 –9,25 9,25–9 ,75 9 ,75 –10,2... phương sai tổng thể σ2 Phương sai tổng thể σ2 ước lượng phương sai mẫu ngẫu nhiên S2 Công thức ước lượng điểm không chệch, vững 1.3 Ước lượng điểm tỷ lệ tổng thể p Tỷ lệ tổng thể p ước lượng với