bài giảng xác suất thống kê toán chương 8 kiểm định giả thiết thống kê

CHƯƠNG 8 Kiểm đònh giả thiết thống kê (3LT + 3BT) 1. Khái niệm Giả thiết thống kê (giả thiết) là các phát biểu liên quan đến các số đặc trưng của ĐLNN, quy luật phân phối của ĐLNN, tính độc lập của các ĐLNN… Kiểm đònh là dựa vào một mẫu cụ thể, thực hiện một số thủ tục để đưa ra quyết đònh chấp nhận hoặc bác bỏ giả thiết thống kê. Giả thiết cần kiểm đònh ký hiệu H o . Giả thiết phải chấp nhận nếu bác bỏ H o ký hiệu là H 1 . Vì quyết đònh đưa ra chỉ dựa trên một mẫu cụ thể nên quyết đònh có thể bò sai. Ta gọi sai lầm loại I là quyết đònh bác bỏ H o trong khi H o đúng, sai lầm loại II là quyết đònh chấp nhận H o trong khi H o sai. Xác suất mắc sai lầm loại I gọi là mức ý nghóa, ký hiệu α. Để tiến hành thủ tục kiểm đònh, trước tiên người ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm đònh như sau: Xét ĐLNN X và các giả thiết H o , H 1 . Xét mẫu ngẫu nhiên X 1 , X 2 , …, X n . Tiêu chuẩn kiểm đònh là một thống kê G = G(X 1 , X 2 , …, X n ) được chọn sao cho khi H o đúng thì quy luật phân phối xác suất của ĐLNN G được xác đònh. Với mức ý nghóa α, chọn miền bác bỏ H o là W α sao cho: P(G∈W α /H o ) = α Sau khi lấy mẫu cụ thể, hàm G có giá trò kiểm đònh g. Quy tắc quyết đònh như sau: * g∈W α : bác bỏ H o . * g∉W α : chấp nhận H o . 2. Kiểm đònh số đặc trưng tổng thể 2.1 Kiểm đònh trung bình tổng thể 2.1.1 Kiểm đònh hai phía (H 1 : µ µµ µ ≠ ≠≠ ≠ µ µµ µ o ) Cho trước một mẫu cụ thể kích thước n, xét phát biểu cho rằng giá trò µ o là trung bình tổng thể µ với mức ý nghóa α. Để xem phát biểu trên có chấp nhận được hay không, ta cần kiểm đònh giả thiết: H o : µ = µ o với H 1 : µ ≠ µ o TH1,2,3 n > 30 hoặc "n ≤ ≤≤ ≤ 30, biết σ σσ σ 2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Khi một trong các trường hợp trên xảy ra thì với mẫu ngẫu nhiên kích thước n, X / n − µ σ có phân phối Chuẩn Chính Tắc hay được xấp xỉ với phân phối Chuẩn Chính Tắc. Trường hợp chưa biết σ thì thay bởi S. Phân tích vấn đề theo cách I Giả đònh H o đúng, tức là µ = µ o . Lúc này ĐLNN − µ σ o X / n có phân phối Chuẩn Chính Tắc, vì vậy biến cố − µ σ o X / n ≤ z α/2 xảy ra với xác suất 1–α. Với α từ 5% trở xuống, ta cho rằng biến cố − µ σ o X / n ≤ z α/2 chắc chắn xảy ra trong thực tế, tức là với mẫu cụ thể kích thước n nào cũng phải có − µ σ o x / n ≤ z α/2 . Nếu với một mẫu cụ thể kích thước n, ta thấy − µ σ o x / n > z α/2 thì đây là điều vô lý, chứng tỏ giả đònh µ = µ o sai. Vậy nếu dấu hiệu này xảy ra ta quyết đònh bác bỏ giả thiết H o . Khi − µ σ o X / n có phân phối Chuẩn Chính Tắc thì biến cố − µ σ o X / n > z α/2 vẫn có thể xảy ra với xác suất α. Vậy lập luận để dẫn đến điều vô lý nêu trên có thể bò sai với xác suất α, tức là quyết đònh bác bỏ giả thiết H o có thể gặp sai lầm với xác suất α. Phân tích vấn đề theo cách II Kết quả của việc ước lượng µ với độ tin cậy 1–α cho thấy biến cố µ∈[ X – ε , X + ε ], viết cách khác là  X – µ≤ ε , xảy ra với xác suất 1– α . Giả đònh H o đúng, tức là µ = µ o , thì biến cố  X – µ o ≤ ε phải xảy ra với xác suất 1– α . Với α từ 5% trở xuống, ta cho rằng biến cố  X – µ o ≤ ε chắc chắn xảy ra trong thực tế, tức là với mẫu cụ thể kích thước n nào ta cũng phải có  x – µ o ≤ ε . Nếu với một mẫu cụ thể kích thước n, ta thấy  x – µ o  > ε thì đây là điều vô lý, chứng tỏ giả đònh µ = µ o sai. Vậy nếu dấu hiệu này xảy ra ta quyết đònh bác bỏ giả thiết H o . Ta có:  x – µ o  > ε = z α/2 n σ ⇔ − µ σ o x / n > z α/2 Vì độ tin cậy là 1–α nên ngay khi H o đúng, biến cố  X – µ o  > ε vẫn có thể xảy ra với xác suất α. Vậy lập luận để dẫn đến điều vô lý nêu trên có thể bò sai với xác suất α, tức là quyết đònh bác bỏ giả thiết H o có thể gặp sai lầm với xác suất α. Các phân tích trên gợi ý cho ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm đònh: G = − µ σ o X / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi S) Miền bác bỏ H o : W α = (–∞, –z α/2 )∩(z α/2 , +∞) TH4 n ≤ ≤≤ ≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể σ σσ σ 2 , tổng thể có phân phối Chuẩn Lúc này − µ X S / n có phân phối Student n–1 bậc tự do. Tất cả lập luận bên trên đều áp dụng được, miễn là thay z α/2 bởi t(n–1) α/2 . Vậy ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm đònh: G = − µ o X S / n Miền bác bỏ H o : W α = (–∞, –t α/2 )∩(t α/2 , +∞) Tóm tắt – Kiểm đònh hai phía trung bình tổng thể (H 1 : µ µµ µ ≠ ≠≠ ≠ µ µµ µ o ) Cho trước một mẫu cụ thể và mức ý nghóa α. Tính giá trò kiểm đònh (KĐ) và tra giá trò tới hạn (TH). Nếu giá trò kiểm đònh có trò tuyệt đối lớn hơn giá trò tới hạn thì bác bỏ H o (KĐ > TH). Công thức tính giá trò kiểm đònh: − µ σ o x / n (Nếu chưa biết σ thì thay bởi s) Giá trò tới hạn được tra theo hai trường hợp: n > 30 hoặc "n ≤ ≤≤ ≤ 30, biết σ σσ σ 2 và tổng thể có phân phối Chuẩn" Giá trò tới hạn: z α/2 n ≤ ≤≤ ≤ 30, chưa biết σ σσ σ 2 và tổng thể có phân phối Chuẩn Giá trò tới hạn: t(n–1) α/2 [...]... =–NORMSINV(1–0,05) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ < TH thoả, quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1 Tỷ lệ người hút thuốt có giảm sau khi vận động tuyên truyền (với mức ý nghóa 5%) b) Ta cần kiểm đònh giả thiết: Ho: p = po "Tỷ lệ người hút thuốt chỉ còn 2%" H1: p ≠ po "Tỷ lệ người hút thuốt không phải chỉ còn 2%" Ta có: n = 80 0 f = 24 /80 0 Giá trò kiểm đònh: KĐ = po = 2% f − po po (1 − po ) / n = 2,0203... trên Ta cần kiểm đònh giả thiết: Ho: p = po "Tỷ lệ sinh viên trên 35 tuổi là 2%" H1: p ≠ po "Tỷ lệ sinh viên trên 35 tuổi không phải là 2%" Ta có: n = 80 0 f = 24 /80 0 Giá trò kiểm đònh: KĐ = po = 2% f − po po (1 − po ) / n = 2,0203 Giá trò tới hạn: 1–α = 95% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1 Tỷ... không ? Ta cần kiểm đònh giả thiết: H o: µ = µ o "Các chi tiết sản xuất đúng chuẩn" H 1: µ ≠ µ o "Các chi tiết sản xuất không đúng chuẩn" µo = 3,02 s = 0,275 Ta có: n = 25 x = 3,14 x − µo Giá trò kiểm đònh: KĐ = = 2, 181 8 s/ n Giá trò tới hạn: 1–α = 95% ⇒ TH = t(n–1)α/2 = t(24)0,025 = 2,0639 =TINV(0,025*2; 24) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1 Các... nghóa 5%, hãy cho biết: a) Việc vận động tuyên truyền có làm giảm tỷ lệ người hút thuốt không? b) Nếu tuyên bố tỷ lệ người hút thuốt trong khu dân cư này chỉ còn 2% thì có chấp nhận được không? a) Ta cần kiểm đònh giả thiết: Ho: p = po "Tỷ lệ người hút thuốt không đổi" H1: p < po "Tỷ lệ người hút thuốt có giảm" Ta có: n = 80 0 f = 24 /80 0 Giá trò kiểm đònh: KĐ = po = 5% f − po po (1 − po ) / n = –2,5955... mức ý nghóa α cho trước, ta cần kiểm đònh: Ho: p = po với H1: p ≠ po F−p được xấp xỉ Theo giả thiết n đủ lớn, p(1 − p) / n bởi phân phối Chuẩn Chính Tắc Giả đònh Ho đúng, tức là p = po, F − po po (1 − po ) / n có phân phối Chuẩn Chính Tắc Vì vậy, với mẫu cụ thể kích thước n, nếu F − po > zα/2 thì ta quyết đònh bác bỏ giả thiết po (1 − po ) / n Ho Vậy ta chọn: Tiêu chuẩn kiểm đònh: G = F − po po (1 −... kiểm đònh giả thiết: H o: p = p o "Tỷ lệ sản phẩm có chất lượng cao không đổi" H1: p > po "Tỷ lệ sản phẩm có chất lượng cao có tăng sau khi cải tiến sản xuất" Ta có: n = 400 f = 215/400 Giá trò kiểm đònh: KĐ = po = 45% f − po po (1 − po ) / n = 3,5176 Giá trò tới hạn: α = 5% ⇒ TH = zα = z0,05 = 1,6449 =NORMSINV(1–0,05) Điều kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả. .. kiện bác bỏ Ho là KĐ > TH thoả, quyết đònh bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận giả thiết H1 Tỷ lệ người hút thuốt không phải chỉ còn 2% (với mức ý nghóa 5%) 2.3 Kiểm đònh phương sai tổng thể Ta chỉ xét trường hợp tổng thể là ĐLNN có phân phối Chuẩn 2.3.1 Kiểm đònh hai phía (H1 : σ 2 ≠ σo2) Từ dữ liệu của một mẫu cụ thể, với mức ý nghóa α cho trước, ta cần kiểm đònh: Ho: σ2 = σo2 với H1: σ2 ≠ σo2 ... xuất chuồng thì tính được trọng lượng trung bình là 1 ,87 Kg và phương sai là 0,25 Hãy cho nhận xét về phương pháp chăn nuôi mới với mức ý nghóa 5% Do gà tăng trọng nên ta kiểm đònh giả thiết: H o: µ = µ o "Phương pháp chăn nuôi mới không làm gà tăng trọng" H1: µ > µo "Phương pháp chăn nuôi mới làm gà tăng trọng" Ta có: n = 25 0,5 x = 1 ,87 Giá trò kiểm đònh: KĐ = µo = 1,7 x − 1,7 s/ n = 1,7 s2 = 0,25... mẫu cụ thể và mức ý nghóa α Tính giá trò kiểm đònh (KĐ) và tra giá trò tới hạn (TH) Nếu giá trò kiểm đònh nhỏ hơn giá trò tới hạn thì bác bỏ giả thiết Ho (KĐ < TH) f − po Công thức tính giá trò kiểm đònh: po (1 − po ) / n Giá trò tới hạn: –zα Ví dụ Tỷ lệ người hút thuốt trong một khu dân cư trước đây là 5% Sau khi vận động tuyên truyền, người ta gặp ngẫu nhiên 80 0 lượt người thì thấy có 24 người vẫn... người ta kiểm tra mức sử dụng nguyên liệu của 25 sản phẩm thì thu được bảng sau: Mức NL (Kg) 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số sản phẩm 4 5 6 7 3 Với mức ý nghóa 5%, hãy cho nhận xét về mức tiêu hao nguyên liệu trung bình Do lượng tiêu hao nguyên liệu trung bình giảm nên ta kiểm đònh giả thiết: Ho: µ = µo "Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình không thay đổi" H1: µ < µo "Mức tiêu hao nguyên liệu trung bình có giảm" . CHƯƠNG 8 Kiểm đònh giả thiết thống kê (3LT + 3BT) 1. Khái niệm Giả thiết thống kê (giả thiết) là các phát biểu liên quan đến các số đặc. các ĐLNN… Kiểm đònh là dựa vào một mẫu cụ thể, thực hiện một số thủ tục để đưa ra quyết đònh chấp nhận hoặc bác bỏ giả thiết thống kê. Giả thiết cần kiểm đònh ký hiệu H o . Giả thiết phải. có thể xảy ra với xác suất α. Vậy lập luận để dẫn đến điều vô lý nêu trên có thể bò sai với xác suất α, tức là quyết đònh bác bỏ giả thiết H o có thể gặp sai lầm với xác suất α.