Kiểm định giả thiết
Bài 8.6. So sánh hai giá trị trung bìnhGiả sử ta có hai mẫu ngẫu nhiên ) .,,,(121 nXXXrút ra từ biến ngẫu nhiên X≈F1(x), ) .,,,(221 nYYYrút ra từ biến ngẫu nhiên Y≈F2(y)Bài toán đặt ra là: kiểm tra xem hai mẫu trên có phải được rút ra từ một phân phối hay không, tức là:)()()()(2121xFxFhayxFxF≠≡.Trong mục này ta xét bài toán đơn giản hơn là so sánh hai giá trị EX và EY.Ký hiệu DYDXEYEX====222121,,,σσµµGiả thiết H0: µ1=µ2, đối thiết H1: µ1≠µ2.1.Nếu 2221,σσ đã biếtTrong trường hợp này ta cần phải giả thiết hoặc X và Y có phân phối chuẩn hoặc mẫu n1, n2 đủ lớn (n1≥30, n2≥30). Lý luận tương tự ta được các miền tiêu chuẩn mức ý nghĩa α tương ứng như sau:≥==≠=+−)2/(||;::222121211210αµµµµσσuTSHvàHnnyx≥==>=+−)(;::222121211210αµµµµσσuTSHvàHnnyx−≤==<=+−)(;::222121211210αµµµµσσuTSHvàHnnyx1 Ví dụ 1. GS từ hai tập hợp chính có phân bố chuẩn X và Y ta lấy hai mẫu độc lập với cỡ mẫu tương ứng là n1=40 và n2=50. Trung bình mẫu tính được là 140,130==yx.GS E(X)=μ1(chưa biết) , biết V(X)=σ12=80.GS E(Y)=μ2(chưa biết) , biết V(Y)=σ22=100.Với mức ý nghĩa α=1%, kiểm định bài toán :- Giả thiết H0 : μ1=μ2- Đối thiết H1 : μ1≠μ2GiảiTa có 5501004080140130−==+−TVới α=1%, ta có uα/2=2.576.Vì |T|=5>2.576, nên ta bác bỏ giả thiết H0.Ví dụ 2. Với mức ý nghĩa α=5% hãy kiểm định giả thiết sau :a) - Giả thiết H0 : μ1=μ2 - Đối thiết H1 : μ1>μ2Với số liệu như sau :256;105;98;105;32;50222121======σσyxnnb) - Giả thiết H0 : μ1=μ2 - Đối thiết H1 : μ1<μ2Với số liệu như sau :64;36;25;20;35;25222121======σσyxnnGiảia) 203.2322565010598105==+−T2 Do T=2.203>uα=1.645, nên ta bác bỏ giả thiết H0.b) 77.2356425362520−==+−TDo T=-2.77<-uα=-1.645, nên ta bác bỏ giả thiết H0.2. Nếu 2221,σσ chưa biết nhưng mẫu lớn (n1>30, n2>30), trong trường hợp này ta vẫn vận dụng test thống kê như trong phần 1. trong đó các phương sai chưa biết 2221,σσ trong T được thay bởi các phương sai mẫu: 2221, SS. Như vậy test thống kê được dùng ở đây là: 222121nSnSyxT+−=Khi n1, n2>30 thì theo định lý giới hạn trung tâm, T có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn tắc cho dù X và Y không có phân bố chuẩn.Ví dụ 3. Người ta tiến hành một cuộc nghiên cứu về điểm trung bình của các vận động viên thể dục năm 1970 và năm 1995. Một mẫu gồm 35 VĐV của năm 1970 có số điểm trung bình là 267 với độ lệch tiêu chuẩn là 27. Một mẫu gồm 40 vận động viên của năm 1995 có số điểm trung bình là 255 với độ lệch tiêu chuẩn là 30. Kiểm định xem có sự khác nhau hay không giữa hai thế hệ vận động viên của năm 1970 và 1995? Mức ý nghĩa α=5%.GiảiBài toán kiểm định là: - Giả thiết H0 : μ1=μ23 - Đối thiết H1 : μ1≠μ2Ta có 823.14023035227255267==+−TDo T=1.823<uα/2=1.96, nên ta chấp nhận H0. Vậy không có cơ sở để khẳng định có sự khác nhau giữa hai thế hệ vận động viên.3.Nếu 2221,σσ chưa biết mẫu nhỏ (n1<30, n2<30)Trong trường hợp này ta phải giả thiết ).,();,(2221σµσµNYNX≈≈Các bước làm như sau:- Xuất phát từ hai mẫu đã cho ta tính 22,,,yxssyx.- Tính 21212212)12(2)11(.nnnnnnysnxsnyxt+−+−+−−=- Với α đã cho, tra bảng phân phối Student tìm được )2/(221α−+nnthoặc )(221α−+nnt. Các miền tiêu chuẩn như sau:{ })2/(;::221121021αµµµµ−+≥=≠=nnttSHvàH{ })(;::221121021αµµµµ−+≥=>=nnttSHvàH{ })(;::221121021αµµµµ−+−≤=<=nnttSHvàH4 Ví dụ 5. Cơ quan hàng không vụ trụ Mỹ (NASA) đã ký hợp đồng với 2 công ty A và B sản xuất thử pin dùng cho vệ tinh viễn thông.Dựa trên kết quả của các pin thử nghiệm, NASA sẽ quyết định chọn công ty nào làm nhà cung cấp pin cho vệ tinh viễn thông. Công ty A đã sản xuất thử được 10 chiếc, có tuổi thọ trung bình là 4.8 năm và độ lệch tiêu chuẩn là 1.1 năm. Công ty B sản xuất thử được 12 chiếc, với tuổi thọ trung bình 4.3 năm và độ lệch tiêu chuẩn là 0.9 năm.GS rằng tuổi thọ của pin do A và B cung cấp có phân bố chuẩn và phương sai như nhau. Với mức ý nghĩa α=1%, kiểm định xem có sự khác nhau về tuổi thọ trung bình của 2 loại pin hay không?GiảiBài toán kiểm định là:- Giả thiết H0 : μ1=μ2- Đối thiết H1 : μ1≠μ2Các số liệu đã cho như sau:Công ty A: 1.1;8.4;1011===sxn.Công ty B: 9.0;3.4;1222===syn.Phương sai chung của ước lượng là:99.0208.1921210)9.0)(112()1.1)(110(222===−+−+−s.Vậy 174.1426.05.0)(99.03.48.4121101===+−TTra bảng phân phối Student 1-0.005 phân vị với 20 bậc tự do ta được 2.845.Do |T|<2.845, nên ta không đủ cơ sở bác bỏ H0.5 4.Khoảng tin cậy cho hiệu số μ1-μ2:Khi bài toán kiểm định dẫn tới bác bỏ H0, ta dẫn tới bài toán tìm khoảng tin cậy cho hiệu số μ1-μ2. Trong trường hợp 2221,σσ đã biết, có thể chứng minh được rằng BNN 22212121)(nnyxTσσµµ+−−−=Có phân bố chuẩn tắc N(0, 1). Khi đó, khoảng tin cậy γ cho hiệu số μ1-μ2 là: 2221212/nnuyxσσα+±−Trong trường hợp 2221,σσ chưa biết nhưng mẫu lớn (n1, n2>30) ta thay 2221,σσ bởi 2221, SS và nhận được khoảng tin cậy xấp xỉ γ: 2221212/nSnSuyx+±−αVà không cần giả thiết 2 tập chính có phân bố chuẩn.5.Phương pháp so sánh từng cặp:Giả sử (X, Y) là một cặp gồm hai đại lượng ngẫu nhiên (nói chung phụ thuộc nhau), với E(X)=μ1, E(Y)=μ2.Chúng ta cần so sánh μ1 và μ2.Xét D=X-Y, khi đó ta đưa BT so sánh về BT kiểm định về giá trị TB.6 Bài 8.7. So sánh hai tỷ lệXét hai tập hợp chính I và II và một đặc tính A nào đó mà mỗi cá thể của hai tập chính đó thể có hay không. Ta muốn so sánh tỷ lệ cá thể có đặc tính A của tập chính I với tỷ lệ cá thể có đặc tính A của tập chính II. Giả sử ta có hai mẫu ngẫu nhiên ) .,,,(121 nXXX trong đó ∑==−=====111111,1)0(,)1(niiiiXmpqXPpXPVà mẫu ) .,,,(221 nYYYtrong đó∑==−=====212222,1)0(,)1(njjjjYmpqYPpYPGiả thiết H0: p1=p2 đối thiết H1: p1≠p2, p1>p2, p1<p2Vì EXi=p1, EYj=p2, DXi=p1(1-p1), DYj=p2(1-p2) nên so sánh hai xác suất p1, p2 chính là so sánh hai giá trị trung bình với phương sai chưa biết. Nếu H0 đúng thì DXi=DYj=σ2. Khi đó).()(21112nnYXD+=−σƯớc lượng của σ2)1.(21212121nnmmnnmm++++−ĐK áp dụng: m1+m2≥ 10 và n1+n2- m1-m2≥10.7 Với n1, n2 đủ lớn ta xấp xỉ phân phối )( YXVYXT−−=bởi phân phối xấp xỉ chuẩn N(0, 1).Từ đó ta nhận được các tiêu chuẩn mức α tương ứng như sau:.212121212121212211.nnnnnnmmnnnnmmnmnmu++−−+++−=Nếu H0: p1=p2, H1: p1≠p2 thì S={|u|≥u(α/2)}Nếu H0: p1=p2, H1: p1>p2 thì S={u≥u(α)}Nếu H0: p1=p2, H1: p1<p2 thì S={u≤-u(α)}Ví dụ 15. Công ty Coca-cola đang n/c cải tiến sản phẩm. Với công thức cũ khi cho 500 người dùng thử thì có 120 người ưa thích. Với công thức mới khi cho 1000 người khác dùng thử thì có 300 người ưa thích. Với mức ý nghĩa α=2%, kiểm định xem công thức mới đưa vào có làm tăng tỷ lệ người ưa thích hay không?GiảiH0: p1=p2, H1: p1>p2.4.25001000500010005001000120300500100050010001203005001201000300212121212121212211 .===++−−+++++−−+++−−xnnnnnnmmnnnnmmnmnmuuα=u0.02=2.054Do u>uα=2.054, nên ta bác bỏ H0.8 Giả sử X và Y là 2 BNN có phân bố chuẩn, ),(~211σµNX, ),(~222σµNY, Chúng ta cần so sánh μ1 và μ2 dựa trên 2 mẫu quan sát độc lập của X và Y.9 . |T|=5>2.576, nên ta bác bỏ giả thiết H0.Ví dụ 2. Với mức ý nghĩa α=5% hãy kiểm định giả thiết sau :a) - Giả thiết H0 : μ1=μ2 - Đối thiết H1 : μ1>μ2Với. nghĩa α=1%, kiểm định xem có sự khác nhau về tuổi thọ trung bình của 2 loại pin hay không?GiảiBài toán kiểm định là:- Giả thiết H0 : μ1=μ2- Đối thiết H1 :