Bài giảng xác suất thống kê ( 6.lý thuyết ước Lượng )

•Lý thuyết ước lượng•Các khái niệm:– Ước lượng điểm, khoảng– Độ tin cậy, mức ý nghĩa, sai số, khoảng ước lượng•Các bài toán ước lượng– Ước lượng trung bình– Ước lượng tỷ lệ– Ước lượng phương sai

Bài 6

ƯỚC LƯỢNG

Kiến thức liên quan

• Tính toán từ dữ liệu mẫu (dạng điểm, dạng tần số, dạng khoảng…)

• Định lý giới hạn trung tâm

• Luật phân phối của tham số đặc trưng mẫu

(trung bình mẫu, tỷ lệ mẫu, phương sai mẫu…)

Nội dung

• Lý thuyết ước lượng

• Các khái niệm:

– Ước lượng điểm, khoảng

– Độ tin cậy, mức ý nghĩa, sai số, khoảng ước lượng

• Các bài toán ước lượng

– Ước lượng trung bình

– Ước lượng tỷ lệ

– Ước lượng phương sai

Nhắc lại các ký hiệu và khái niệm

Ước lượng không chệch

• Một tham số thống kê mẫu được gọi là ước lượngkhông chệch của tham số tổng thể nếu kỳ vọng của nó

bằng với tham số tổng thể.

Ví dụ:

– = : là ước lượng không chệch của

– = : là ước lượng không chệch của

– = : là ước lượng không chệch của

• Để ước lượng trung bình , phương sai , tỷ lệ của

tổng thể, ta dùng ̅, , để ước lượng

• Trong các bài toán ước lượng và kiểm định, trường

hợp mẫu lớn, chưa biết , người ta thay bằng (vì

≈ khi lớn)

Ước lượng hiệu quả

• Nếu phân phối mẫu của hai tham số thống kê có cùng trung bình, tham số thống kê có phương sai nhỏ hơn sẽ ước

lượng hiệu quả hơn

• Ví dụ:

 Với một tổng thể có phân phối chuẩn: = =

⇒ à là các ước lượng không chệch của

 Tuy nhiên: <

⇒ ước lượng của phân phối trung bình mẫu hiệu quả hơn

ước lượng của phân phối trung vị mẫu

Giá trị tương ứng của thống kê hiệu quả này được gọi là

ước lượng có hiệu quả

Ước lượng không chệch

Chú ý:

khi tìm ước lượng điểm.

• Trong thực hành khó có thể có được cả hai tiêu chuẩn hiệu quả và không chệch.

Ước lượng điểm

• Ví dụ: công ty A có hàng ngàn công nhân

– Thăm dò 100 công nhân của công ty nhận thấy thu

nhập trung bình là 2,5 triệu đồng/tháng

– Sử dụng trung bình mẫu để ước lượng thu nhập trung bình của công nhân công ty A

– Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty

được ước lượng là 2,5 triệu đồng/tháng,

• Một ước lượng tham số của tổng thể được cho bởi một con số được gọi là ước lượng điểm của tham số tổng thể

Ước lượng khoảng

• Ví dụ: Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy tuổi

thọ trung bình là 1000 giờ

– Sử dụng tuổi thọ trung bình của 50 bóng đèn trên để ước lượng cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn do

công ty trên sản xuất với sai số là 100 giờ

– Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên sản xuất từ 900 giờ đến 1100 giờ

• Một ước lượng của tham số tổng thể được cho bởi hai con

số mà tham số tổng thể nằm trong khoảng hai số đó

được gọi là ước lượng khoảng của tham số tổng thể

Tóm tắt

• Nếu nói một độ dài nào đó là 5,28 m thì ta nói về

ước lượng điểm

• Nếu nói độ dài đó là 5,28  0,03 m , i.e độ dài đó nằm trong khoảng 5,25 và 5,31 m thì ta đã đưa ra một

ước lượng khoảng

• Giá trị 0,03 được gọi là sai số của phép ước lượng.

• Sai số của phép ước lượng, ký hiệu , thể hiện độ

chính xác của phép ước lượng đó.

• Sai số càng nhỏ, độ chính xác càng cao.

Khái niệm ước lượng

• Ước lượng (khoảng) là đi tìm một khoảng tin cậy, sao cho

xác suất (tức khả năng) tham số tổng thể nằm trong khoảng tin cậy này bằng độ tin cậy cho trước

• Ví dụ: với độ tin cậy 95%, ta cần tìm 1 khoảng tin cậy (min, max) nào đó: < μ < = 95%

• Ngược lại, sẽ có khả năng ta ước lượng sai (vì sao?)

• Các bài toán ước lượng

– Ước lượng trung bình

– Ước lượng tỷ lệ

– Ước lượng phương sai

Ước lượng trung bình tổng thể

• Định lý: Nếu tổng thể có phân phối chuẩn, thì BNN

=

Trong đó, ( – 1): phân phối T với bậc tự do ( – 1)

• Khi bậc tự do nhỏ, phân phối T tương đối khác so với

phân phối chuẩn

• Khi bậc tự do lớn (~ 30 trở lên): phân phối T rất gần

với phân phối chuẩn

Phân phối T (phân phối Student)

Phân phối Student (phân phối T)

• Phân phối T do nhà thống kê người Anh

William S Gosset đưa ra vào năm 1908, khi

đang làm cho hãng bia Guiness (thống kê để chọn bia ngon)

• Do nguyên tắc giữ bí mật của hãng bia, ông lấy bút danh là Student.

Ước lượng trung bình tổng thể

• Mục tiêu: ước lượng với độ tin cậy 1

 1 là khả năng ∈ khoảng tin cậy mà ta đưa ra.

 Dùng ̅ để ước lượng (vì ̅ là ước lượng ko chệch của )

• Ta cần tìm khoảng tin cậy ( ̅ , ̅ + ):

̅ < < ̅ + = 1

• Ví dụ: Độ tin cậy 1 = 95% nghĩa là

– Có 95% khả năng thuộc khoảng tin cậy mà ta đưa ra – Ngược lại, có = 5% khả năng ta ước lượng sai

Ước lượng khoảng tin cậy trung bình tổng thể

1 Mẫu lớn ≥ :

• Biết : Sử dụng phân phối chuẩn =

/ ∼ 0,1Với độ tin cậy 1- :

– Khoảng tin cậy đối xứng của : ̅ < < ̅ +Trong đó = ⁄

– Khoảng tin cậy bên trái của : < ̅ + với =– Khoảng tin cậy bên phải của : > ̅ với =

• Chưa biết : thay bằng (vẫn dùng pp chuẩn)

(tương tự trường hợp biết )

Ước lượng khoảng tin cậy trung bình tổng thể

– Khoảng tin cậy đối xứng của :

̅ ( , ⁄ ) < < ̅ + ( , ⁄ )

– Khoảng tin cậy bên trái của : < ̅ + ( , )

– Khoảng tin cậy bên phải của : > ̅ ( , )

Hai xu hướng thống kê

Tóm tắt bài toán ước lượng trung bình tổng thể

Giá trị tới hạn (khi dùng pp chuẩn N(0,1))

Mod ↓ Inverse Normal

Tính bằng casio

Mod ↓ Normal CD

Ví dụ: mẫu lớn

Độ đo các đường kính của một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 vòng bi do một máy sản xuất trong một tuần có đường kính trung bình là 0,824 cm và độ

Hãy tìm khoảng tin cậy đường kính trung bình

của tất cả các vòng bi với độ tin cậy 96%.

• Ta cần tìm khoảng tin cậy: ̅ < < ̅ +

• Vì kích thước mẫu lớn ( > 30), nên ta dùng PP chuẩn

• Giá trị tới hạn = 2.05

• Sai số biên: = = 0.00862cm

• Khoảng tin cậy: ̅ , ̅ + = (0.8154,0.8326)

• Kết luận: với số liệu mẫu trên và độ tin cậy 96%, đường kínhtrung bình của tất cả các vòng bi do máy sản xuất được ướclượng trong khoảng từ 0.8154cm đến 0.8326cm

Ví dụ: mẫu bé, biết

Trọng lượng của những vỉ thuốc do một công ty dược sản

xuất có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 0.038mg Một mẫu ngẫu nhiên gồm 10 vỉ thuốc có trọng lượng trung bình

là 4.87mg Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy củatrọng lượng trung bình các vỉ thuốc do công ty sản xuất

Ví dụ: mẫu bé, không biết

Một mẫu gồm 10 độ đo đường kính của một quả cầu, có đường kính trung bình là 4,38 cm và độ lệch chuẩn mẫu là0,06 cm Biết rằng đường kính của một quả cầu có phân

phối chuẩn, hãy tìm khoảng tin cậy của đường kính tất cả

các quả cầu với độ tin cậy 95%

Ước lượng khoảng tin cậy trung bình tổng thể

Các dạng toán của ước lượng trung bình tổng thể:

• Cho biết độ tin cậy 1- , kích thước mẫu n

Tìm khoảng tin cậy

• Cho biết độ chính xác , kích thước mẫu n

Tìm độ tin cậy

1-• Cho biết độ tin cậy 1- , độ chính xác

Tìm kích thước mẫu

Nhận xét:

Như vậy trong 3 tham số: n, và 1- , nếu biết được 2 tham

số thì có thể suy ra tham số còn lại

a Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng thu nhập trung bình

của công nhân công ty A

b Nếu độ chính xác là 40 ngàn đồng thì độ tin cậy là bao

nhiêu?

Ví dụ

Tại một hội chợ việc làm cho sinh viên sắp tốt nghiệp Chọnngẫu nhiên 256 sinh viên dự tuyển vào một công ty Các sinhviên này đã được phỏng vấn và được đánh giá theo thangđiểm 0 – 5 Kết quả điểm trung bình của các sinh viên trên là3.92 và độ lệch chuẩn là 1.57

a Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng điểm trung bình của

tất cả sinh viên dự tuyển vào công ty trên

b Nếu độ chính xác là 0.2 thì độ tin cậy là bao nhiêu?

Với độ tin cậy 90%, hãy khoảng tin cậy của mức tiêu hao

nhiên liệu trung bình của loại xe trên

Cho biết mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe trên

có PP chuẩn

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số giờ tự học trong tuầntính trung bình của sinh viên ở trường này.

Ví dụ

Một mẫu thăm dò ý kiến của 100 cử tri được chọn ngẫu

nhiên tại một quận cho thấy có 55% trong số này ủng hộ ứng

cử viên A

Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ các cử tri ủng hộ ứng

cử viên A tại một quận?

Ví dụ

Tổng thể: số cử tri đi bầu cử tại một quận

Gọi p là tỷ lệ cử tri bầu cho ứng cử viên A tại một quận

f là tỷ lệ cử tri bầu cho ứng cử viên A trong 100 cử tri đượcchọn từ quận

n=100 >30

f = 55%

1- = 95%

Tìm p ϵ 1, 2 sao cho P(p1≤p≤p2)= 1 = 95%

Ước lượng tỷ lệ

• ọ là tỷ lệ các phần tử có tính chất A trên tổng thể có PP nhịthức - tỷ lệ các phần tử có tính chất A trên mẫu ngẫu nhiên

• Vì F là ước lượng ko chệch của p nên dùng F để ước lượng p.Căn cứ vào tỷ lệ mẫu F hãy đưa ra 2 số p1, p2 sao cho

Ước lượng tỷ lệ

p 1 p 2

Đặt = ⁄

Vậy để ước lượng p ta cần tìm khoảng ước lượng ( , + ):

< < + = 1với = ⁄ ( ) là độ chính xác của phép ước lượng

Tóm tắt bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể

• Lưu ý: Bài toán ước lượng tỷ lệ chỉ xét trong trường

hợp mẫu lớn

Bài toán ước lượng

Chú ý: Khi cỡ mẫu càng lớn -> độ chính xác càng cao ( → 0) và độ tin cậy càng lớn ((1- ) → 1)

Ví dụ

Hãy ước lượng tỷ lệ cử tri tại địa phương này ủng hộ ứng cử viên A với độ tin cậy:

a) 95%

b) 9 8%

Giải ví dụ

• : tỷ lệ các cử tri bầu cho ứng cử viên A tại địa phương

• = 80%: tỷ lệ cử tri bầu cho ứng cử viên A trong 100 người

được khảo sát.

• Khoảng tin cậy của : ±

• Kích thước mẫu: = 100 > 30: dùng pp Chuẩn

a) Ứng với độ tin cậy 95%, giá trị tới hạn =1.96

• Sai số = ( ) ≈ 7.84%

• Khoảng tin cậy: 72.16% < < 87.84%

b) Ứng với độ tin cậy 98%, giá trị tới hạn = 2.32

• Sai số = ( ) ≈ 9,3%

• Khoảng tin cậy: 70.7% < < 89.3%

Ví dụ

Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước lượng thị phần của sản phẩm nội địa đối với mặt hàng bánh kẹo Kết quả điều tra mẫu ngẫu

Với độ tin cậy 95%

a) Tìm độ chính xác của phép ước lượng

b) Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng hàng nội địa.

Các dạng toán của Ước lượng tỷ lệ

1 Cho biết độ tin cậy 1- , kích thước mẫu n Tìm độ chính xác

Ví dụ:

Kiểm tra 200 sản phẩm của một xí nghiệp, ta thấy có 60 sản

phẩm loại A Nếu dùng mẫu này để ước lượng tỷ lệ p của các

sản phẩm loại A với độ tin cậy 90% thì độ chính xác của ước

lượng là bao nhiêu?

Các dạng toán của Ước lượng tỷ lệ

2 Cho biết độ chính xác , kích thước mẫu n Tìm độ tin cậy 1-

Từ = / ( ) ⇒ / = ε

( ) ⇒ ( )

1 - = 2 ( / )

Ví dụ:

Kiểm tra 200 sản phẩm của một xí nghiệp, ta thấy có 60 sản

phẩm loại A Biết độ chính xác của ước lượng là 0.08 Hãy tìm

độ tin cậy của ước lượng

Các dạng toán của Ước lượng tỷ lệ

3 Cho độ tin cậy 1- , độ chính xác Tìm kích thước mẫu n hay kích thước mẫu cần điều tra thêm (n-m) (với m là kích thước mẫuhiện có)

bao nhiêu sản phẩm nữa?

Nhận xét từ khoảng ước lượng

Ví dụ:

Tung một đồng xu 1000 lần, thấy có 536 lần xuất hiện mặt

ngửa Với độ tin cậy 95% ta tìm được khoảng ước lượng

50.5% < < 56.7%

• Nhận xét: có đến 95% khả năng tỉ lệ tổng thể nằm trongkhoảng từ 50.5% đến 56.7%

• Do đó nhiều khả năng, đây là một đồng xu không công bằng.

Chú ý

1 Với mẫu không hoàn lại, n khá lớn so với N (n > 0.1N) ta cần

có hệ số điều chỉnh: = / ( )

2 Khi kích thước của tổng thể là N, ta có thể tìm khoảng ước

lượng cho số phần tử có tính chất đang nghiên cứu của

tổng thể: (N( ) < < ( + ))

Giám đốc một ngân hàng muốn xác định số khách hàng gửi tiền tại ngân hàng được chi trả theo tuần Một mẫu ngẫu

nhiên 100 khách hàng có 30 người được chi trả theo tuần a) Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng được

chi trả theo tuần

b) Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng số khách hàng được

chi trả theo tuần

Ví dụ

Dùng khoảng ước lượng của p để ước lượng N

• = = tỷ lệ cá được đánh dấu trong hồ.

• = = = 15%: tỷ lệ cá được đánh dấu trong mẫu ngẫu nhiên gồm = 400 con cá.

• Với độ tin cậy 95%, sử dụng phân phối chuẩn để ước lượng p, sau đó ước lượng N.

Bài tập tương tự

Tại một hồ nuôi cá, lần đầu bắt lên 500 con đánh dấu rồi thả lạivào hồ Một thời gian sau bắt lên 400 con thấy có 20 con có dấu Hãy ước lượng số cá có trong hồ với độ tin cậy

a) 95%

b) 90%

Đánh giá sai số của bài toán ước lượng tỉ lệ

• Ví dụ:

Vì lý do tài chính, một tờ báo quyết định chỉ khảo sát 2000

cử tri về dự định của họ trong cuộc bầu cử sắp tới Với độtin cậy 95%, sai số tốt nhất khi ước lượng tỷ lệ cử tri bầu

cho ứng cử viên X là bao nhiêu?

• : tỉ lệ cử tri bầu cho ứng cử viên X

• : tỷ lệ cử tri bầu cho ứng cử viên X trong 2000 người được khảo sát

• Sai số khi ước lượng tỷ lệ :

Bài tập tương tự

Một nhà nghiên cứu muốn ước lượng tỷ lệ những con muỗi

mang virus sốt xuất huyết với sai số tối đa là 3% và độ tin

cậy 95% Hỏi ta cần khảo sát một mẫu có kích thước nhỏ

nhất là bao nhiêu?

Bài tập

Một nhà sản xuất que diêm tuyên bố rằng 80% những hộp diêm

do họ sản xuất có không ít hơn 50 que diêm

Để kiểm chứng điều này một khách hàng chọn ngẫu nhiên 250 hộp diêm và thấy rằng chỉ có 183 hộp có từ 50 que diêm trở lên.a) Tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ những hộp đạt tiêu chuẩn

mà NSX tuyên bố với độ tin cậy 98%

b) Với số liệu trên, bạn nhận xét gì về lời tuyên bố của NSX?

Ước lượng phương sai

• ọ 2 là phương sai của tổng thể, S 2 – phương sai mẫu

• Mục tiêu: ước lượng 2 với độ tin cậy 1

 1 là khả năng σ2 ∈ khoảng ước lượng ta đưa ra.

 Dùng 2 để ước lượng 2 (vì s 2 là ước lượng ko chệch của 2 )

• Trường hợp chưa biết : Ta cần tìm ( )

Ước lượng phương sai

Ví dụ

Mức hao phí nguyên liệu của một loại sản phẩm X cho một đơn

vị sản phẩm tuân theo quy luật chuẩn Người ta cân thử 1 mẫu

25 sản phẩm loại này, kết quả cho trong bảng:

của mức hao phí nguyên liệu trên Trong hai trường hợp:

a) Biết =20 b) Không biết

b)(n 1)s = 1.66, χ

, = χ , = 36.415,χ

, = χ( , )=13.848

Khoảng tin cậy cho 2: ( .

. ; .

. )=(0.0456; 0.1199)Khoảng tin cậy cho : (0.2135; 0.3463) (g)

Ví dụ

Tại một siêu thị, thăm dò 30 khách hàng về số tiền dùng để mua hàng thì thấy số tiền trung bình là 180 ngàn đồng, độ lệch chuẩn mẫu là 14 ngàn đồng

chuẩn của số tiền khách hàng sử dụng

Cho biết số tiền khách hàng sử dụng để mua hàng có phân phối chuẩn

Ví dụ

khoảng tin cậy độ lệch chuẩn của tất cả các bóng đèn do

công ty này sản xuất, với độ tin cậy 95%

Cho biết tuổi thọ của bóng đèn do công ty này sản xuất

tuân theo PP chuẩn

Ước lượng tỷ lệ tổng thể

Ước lượng trung bình tổng thể

Ôn tập 1

Khảo sát doanh số bán của một siêu thị

trong một số ngày được chọn ngẫu nhiên,

ta thu được số liệu như bảng bên:

1 Hãy ước lượng doanh số bán trung

bình của siêu thị trong một ngày với

độ tin cậy 95%

2 Những ngày có doanh số bán trên 130

triệu đồng được gọi là ngày đắt hàng

Hãy ước lượng tỷ lệ những ngày đắt

hàng của siêu thị với độ tin cậy 90%

3 Hãy ước lượng doanh số trung bình

của một ngày đắt hàng với độ tin cậy

96% Cho biết doanh số bán hàng có

phân phối chuẩn

Doanh số (triệu đồng)

Số ngày

Ôn tập 2

Tại một địa phương, thăm dò 400 người dân về mức độ hài

lòng của người dân về các dịch vụ công, có 320 người khônghài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt

1 Với độ tin cậy 99%, hãy ước lượng tỷ lệ người dân địa

phương không hài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên

xe buýt

2 Nếu muốn độ chính xác của phép ước lượng là 3% thì độ

tin cậy là bao nhiêu?

3 Nếu muốn phép ước lượng có độ tin cậy là 90% và độ

chính xác là 3% thì cần thăm dò thêm bao nhiêu người

nữa?

Bài tập ôn tập

Trong một đợt kiểm tra

chất lượng của một hãng

sản xuất mì gói; người ta

chọn một mẫu ngẫu nhiên

một số gói mì và thu được

số liệu trọng lượng theo

Bài tập ôn tập

a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của gói mì thuộc

hãng sản xuất này với độ tin cậy là 95%

b) Những gói mì có trọng lượng từ 220 gam trở lên là

những sản phẩm đạt tiêu chuẩn Hãy ước lượng tỷ lệ gói mì đạt tiêu chuẩn do công ty này sản xuất với độ tin cậy 96%

c) Với số liệu của bảng trên, nếu muốn phép ước lượng

có độ chính xác 2 gam thì độ tin cậy của phép tối đa

ước lượng là bao nhiêu?

d) Với số liệu của bảng trên, nếu muốn phép ước lượng

có độ chính xác 2 gam và độ tin cậy 98% thì phải khảo

sát thêm bao nhiêu gói mì nữa?

e) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của những gói

mì không đạt tiêu chuẩn của hãng sản xuất này với độ tin cậy là 99%