5.lý thuyết mẫu ( xác xuất thống kê cho sinh viên )

•Giới thiệu về suy luận thống kê•Tính toán trên dữ liệu mẫu cụ thể, để tìm các tham số,…)x̅,độ lệch chuẩn mẫuđặc trưng mẫu (trung bình mẫu• Tìm hiểu về luật phân phối của– Trung bình mẫu– Tỉ lệ mẫu– Phương sai mẫu

Bài 5

LÝ THUYẾT MẪU

Mục tiêu buổi học

• Giới thiệu về suy luận thống kê

• Tính toán trên dữ liệu mẫu cụ thể, để tìm các tham số

đặc trưng mẫu (trung bình mẫu ̅, độ lệch chuẩn mẫu

Khái niệm và ký hiệu

• Tổng thể (population): tập hợp tất cả những phần tử

mà ta quan tâm.

– Kích thước tổng thể: (thường rất lớn)

– Ví dụ:

• Tập hợp tất cả những người đi bầu trong cuộc bầu cử sắp tới

• Tập hợp tất cả những bóng đèn do nhà máy sản xuất trong tháng.

• Mẫu (sample): 1 tập con bất kỳ của tổng thể.

– Kích thước mẫu: ( ≪ )

– Ví dụ:

• Phỏng vấn ngẫu nhiên 1000 người trước khi cuộc bầu cử diễn ra

(mục đích: tham dò dư luận về khả năng của các ứng viên)

• Chọn ngẫu nhiên 100 bóng đèn để kiểm tra chất lượng.

How & what for?

Sampling Lấy mẫu

Inference Suy luậnMục đích: từ thông tin của mẫu suy ra thông tin về tổng thể.

Quá trình này được gọi là suy luận thống kê (inference).

Ví dụ về việc lấy mẫu

Muốn tìm chiều cao trung bình của 12000 thanh niên của một khu vực

 Không thể khảo sát chiều cao của tất cả 12000 thanh niên

• Tính chiều cao trung bình ̅ của 100 thanh niên này

 Từ trung bình mẫu ̅, ta suy ra thông tin về trung bình tổng thể (chiều cao của 12000 thanh niên trong khu vực)

Tại sao phải lấy mẫu ?

• Không thể khảo sát tất cả từng phần tử của tổng thể.

Ví dụ: kiểm tra các hộp sữa của một lô hàng.

• Bị giới hạn về thời gian và chi phí

Ví dụ: khảo sát trước mỗi kỳ bầu cử tổng thống Mỹ.

• Ta có thể suy ra được các kết quả thống kê khá chính xác

nếu lấy mẫu hợp lí.

Lấy mẫu như thế nào là hợp lý?

• Lấy mẫu ngẫu nhiên : mỗi phần tử trong tổng thể có cơ

hội được chọn như nhau.

• Kích thước mẫu đủ lớn : n càng lớn, thông tin suy luận

về tổng thể càng đáng tin cậy và có ý nghĩa

• Vấn đề: {value of infomation} vs {time & cost} → balance

Ví dụ: Khảo sát chiều cao

• Chọn mẫu ngẫu nhiên: n = 100 sinh viên → trung bình mẫu

̅ = 165cm (chiều cao trung bình của 100 sv)

• Gọi là trung bình tổng thể (chiều cao của tất cả sinh viên)

• Bằng tính toán, ta tìm được 1 con số sao cho

̅ < < ̅ + = 95%

Ví dụ, nếu =10cm, thì có đến 95% khả năng trung bình

tổng thể nằm trong khoảng ̅ ± , tức 155 , 175

• 95% được gọi là độ tin cậy , được ký hiệu là 1

• ̅ , ̅ + được gọi là khoảng ước lượng

• Tăng : hoặc ta có độ tin cậy lớn hơn, hoặc ta có khoảng ước

lượng nhỏ hơn (thông tin có giá trị hơn).

– Mỗi mẫu cụ thể có một giá trị trung bình ̅.

– Các giá trị ̅ tạo thành phân phối của trung bình mẫu

n = Sample Size

• Ước lượng khoảng tin cậy của : ( ̅ < < ̅ + )

• Kiểm định giả thiết: = , > , < ?

Tỷ lệ mẫu (tỷ lệ cử tri ủng hộ ông Obama trong số 1000

người được hỏi): = = 60%

 Note: Ta hay dùng để suy ra thông tin về tỷ lệ tổng thể

Ví dụ:

• Ước lượng khoảng tin cậy của : ( < < + )

• Kiểm định giả thiết: = , < , > ?

Phương sai mẫu

• Phương sai mẫu ngẫu nhiên

• Các dạng biểu diễn mẫu thường gặp

• Các dạng biểu diễn mẫu thường gặp

Các dạng mẫu thường gặp

• Mẫu dạng điểm : còn gọi là bảng dữ liệu thô

• Mẫu dạng tần số : dữ liệu thô được tổ chức lại theo tần số xuất hiện.

• Mẫu dạng khoảng : dữ liệu thô được chia

thành các khoảng lớp và tần số tương ứng

Mẫu dạng điểm, ví dụ

• Dữ liệu về số chai champagne bán ra ở Pháp

từ năm 1962 đến 1969

a) Tính các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên có dạng

điểm trên?

b) Chuyển sang mẫu dạng tần số rồi tính các tham số đặc

trưng của mẫu.

Khi có các giá trị trùng nhau, ta gom dữ

liệu thô (dạng điểm) về dữ liệu dạng tần số

• : các giá trị cụ thể mẫu

• Tần số : số lần xuất hiện

Tham số đặc trưng – Công thức toán

Khoảng lớp: min ≤ ≤ max

Tâm lớp = trung bình khoảng lớp = ( min + max)/2

• Dùng để dại diện cho mỗi khoảng lớp

• Sự đại diện này không chính xác → dẫn đến sai số khi tính toán.

Tham số đặc trưng – Công thức toán

• Khoảng lớp: min, max

Ví dụ

Trong đợt khảo sát việc kinh doanh của một siêu thị trong một số ngày, ta thu được bảng thống kê số liệu về doanh số bán như sau:

Gọi X là doanh số bán trong

một ngày của siêu thị

Với mẫu đã cho hãy tính:

• Các dạng biểu diễn mẫu thường gặp

• Các dạng biểu diễn mẫu thường gặp

Nội dung

Định lý giới hạn trung tâm

2/9/2017

Định lý giới hạn trung tâm

• { , … , } là các BNN độc lập và có cùng luật phân phối với

tổng thể với trung bình và độ lệch chuẩn hữu hạn

Phân phối của trung bình mẫu

• Từ tổng thể chọn ra một mẫu ngẫu nhiên kích thước ,

ký hiệu {X , … , X }

• = : trung bình của mẫu ngẫu nhiên

• ̅ = : trung bình của một mẫu cụ thể

• Từ tổng thể, có vô số cách chọn các mẫu có kích thước

Mỗi mẫu có một giá trị trung bình ̅

• Các giá trị của trung bình mẫu cụ thể ̅ tạo nên phân phối

của trung bình mẫu ngẫu nhiên

Tính chất của trung bình mẫu

• Kỳ vọng của trung bình mẫu = trung bình tổng thể

=

• Phương sai của trung bình mẫu = phương sai tổng thể

chia cho kích thước mẫu

• càng lớn, càng nhỏ (tuy nhiên luôn không đổi) →các giá trị của ̅ càng tập trung gần =

Định lý về phân phối của trung bình mẫu

• Nếu tổng thể có phân phối chuẩn: ~ ( , )

thì trung bình mẫu cũng có phân phối chuẩn:

Giải ví dụ

• Gọi là chiều cao của sinh viên TPHCM (tổng thể)

• là chiều cao trung bình của một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 sinh viên

• Vì tổng thể có phân phối chuẩn ∼ ,

nên trung bình mẫu có pp chuẩn: ∼ ( , )

• Trong đó = = 172 , = = = 2

• > 174 = 1 < 174 ≈ 15.87%

Ví dụ

The contents of soft drink cans is distributed with mean378mL and standard deviation 7.2mL Find the likelihood that

a box of 36 cans has average contents less than 375mL

Tổng thể X: dung tích(mL) của các chai do công ty sản xuất,

với = 378mL, = 7.2mL: dung tích trung bình của 36 chai trong thùng

< 375 ≈ 0.62%

Ví dụ

500 vòng bi có trọng lượng trung bình là 150g và độ lệchchuẩn là 0,9g

Chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 vòng bi, giả sử trọnglượng vòng bi có phân phối chuẩn

Tìm xác suất để trung bình mẫu có trọng lượng:

a) Trong khoảng 149,8g và 149,9g

b) Lớn hơn 150,3g

Phân phối tỷ lệ mẫu

Ví dụ

Người ta phát hiện một máy sản xuất có 2% sản phẩm domáy này sản xuất ra bị hỏng Tính xác suất trong 400 sảnphẩm do máy này sản xuất ra có: không dưới 3% sản phẩm

Bài tập tương tự

Một công bố về kết quả bầu cử cho thấy một ứng cử viên đạt được 46% số phiếu bầu

a) Tìm xác suất trong 200 số phiếu bầu được chọn ngẫu

nhiên từ tổng số phiếu bầu có đa số phiếu bầu dành cho ứng viên này (tức là có số phiếu lớn hơn 50%)

b) Tìm xác suất trong 1000 số phiếu bầu được chọn

ngẫu nhiên từ tổng số phiếu bầu có đa số phiếu bầu dành cho ứng viên này

Bài tập tương tự

Tỷ lệ thanh niên đã tốt nghiệp trung học phổ thông của quận A là 75% Trong đợt tuyển quân đi nghĩa vụ quân sự năm nay, quận A đã gọi ngẫu nhiên 325 thanh niên Tính xác suất để có 80 đến 84 thanh niên bị loại do chưa tốt nghiệp trung học phổ thông?

Phân phối của phương sai mẫu

Ví dụ áp dụng

Tuổi thọ của bóng đèn hình TV của một công ty sản xuấttuân theo luật PP chuẩn ( , ) (đơn vị : giờ) Chọnngẫu nhiên 10 bóng, tìm xác suất để độ lệch chuẩn mẫu:

a) Nhỏ hơn 50 giờ

b) Trong khoảng từ 50 đến 70 giờ

• = 10 (bóng), = 60 (giờ), S: độ lệch chuẩn mẫu

• Đặt = ( ) , thì ∼ ( 1)

• < 50 = < ( )× = < 6.25

≈ 0.2854

Ví dụ

Cho X~ ( , ) Từ tổng thể đặc trưng bởi BNN này, talấy một mẫu gồm 25 quan sát Gọi s2 là phương sai của mẫunày, tìm xác suất

a) P(S2>1200)

b) P(1200 ≤S2≤4300)

Ví dụ

• Ta có = ( ) , thì ∼ ( 1)

> 11.52 ≈ 0.985

Bài tập

Giả sử tỷ lệ sản phẩm tốt do nhà máy A sản xuất là 30% Khi đó, luật phân phối của tỷ lệ sản phẩm tốt trên một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 sản phẩm được chọn từ nhà máy này là

a Phân phối nhị thức với n=100, p=0.3

b Xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình là 30 và

A Phân phối chuẩn tắc (phân phối z)

B Phân phối Poisson

C Phân phối Student (phân phối t)

D Phân phối nhị thức

Bài tập

Giả sử điểm thi của sinh viên ở một trường đại học

là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng

là 7,2 điểm và độ lệch tiêu chuẩn là 1,2 điểm Khảo sát một mẫu ngẫu nhiên gồm 36 sinh viên Khi đó, trung bình mẫu là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng

và độ lệch tiêu chuẩn lần lượt là:

We are done!