Tom tat cong thuc xác suất thống kê

Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: Khi đó c.. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu - Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [

X x1 x2 … xn

Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê

I Phần Xác Suất

1 Xác suất cổ điển







Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…

+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

Ta có

o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B)

o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)

+P(C).P( A)  1

P( A)

o

Công thức xác suất có điều kiện: P( A / B)  P( AB) , P(B / A) 

P( AB)

Công thức nhân xác suất:

P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)

P( A)







A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.

….An)=P(A1).P(A2).….P( An)

Ta có

o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B)

o A, B, C độc lập với nhau 

P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C)

Công thức Bernoulli: B(k; n; p)  C k p k q n k , với p=P(A): xác suất để biến cố

A

xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p

Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes

o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép

phân



 A i A j     i  j; i, j  1,

n

hoạch của    A1  A2   A n

 



o Công thức xác suất đầy đủ:

n

P(B)  

P( A i ).P(B / A i ) P( A1).P(B / A1)  P( A2 ).P(B / A2 )   P( A n ).P(B /

A n )

i1

o Công thức

Bayes:P( A / B)  P(A i ).P(B /

với P(B)  P( A1).P(B / A1)  P( A2 ).P(B / A2 )  

P( A n ).P(B / A n ) Biến ngẫu nhiên

a Biến ngẫu nhiên rời rạc

2

 Luật phân phối xác suất

với p i  P( X  x i ), i 

1, n.

Ta có:

n

p i  1 và

af(

x i

b

P{a  f(X) 

b}=

p i

 Hàm phân phối xác suất

F X (x)  P(X  x)  

p i

x i  x

Mode



ModX  x0 

p0  max{ p i : i  1, n}

Median



 

p i  0, 5

P( X  x e )  0, 5 x x

MedX  x 



 i e

e

x i  xe

P( X  x )  0,

5

 Kỳ vọng

n

EX  

(x i p i ) x1 p1  x2 p2   x n

p n

E( ( X ))  ( ( x i ) p i  )  (x1) p1   (x2 ) p2    ( x n ) p n

i1

Phương sai

VarX  E( X 2 )  (EX )2

n



với E( X 2 )  (x2 p ) x2 p  x2 p  

i

1 Bi

ến ng

ẫu nhi

ên liê

n tục



b

 f(x) là hàm mật độ xác suất của X  f (x)dx  1

,

 

b

P{a  X  b}   f ( x).dx

a

Hàm phân phối xác suất

x

F X (x)  P( X  x)   f (t)dt

  Mode







ModX  x0  Hàm mật độ xác

suất f(x) của X đạt cực đại tại x0

Median



x e

MedX  x  F (x ) 

1

1



 

 Kỳ vọng





EX  x f (x)dx

 



E( ( X ))    ( x) f

(x)dx

 

Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES

Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính

x

t 2

1



(x)   e 2

dt

0

2

x

t 2

1



F (x)   e 2

dt



2

Shift 3 2 x ) =

Shift 3 1 x ) =

Shift 1 7 2 x ) =

Shift 1 7 1 x ) =

 Phương sai





VarX  E( X 2 )  (EX )2 với EX2

 x2 f (





c Tính chất

- E(C)  C, Var(C)  0 , C là một hằng số.

- E(kX )  kEX , Var(kX )  k 2VarX

- E(aX  bY )  aEX  bEY

- Nếu X, Y độc lập thì E( XY )  EX EY , Var(aX  bY )  a2VarX 

b2VarY

-  ( X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và

EX

Luật phân phối xác suất

3

Phân phối Chuẩn ( X ~ N (;2 ))

a

X ()   , EX=ModX=MedX=  , VarX 

 2



( x  )2



Hàm mđxs f (x, , )



2  Với   0, 

 1:

o 2

x2

e

2

f (x)



(Hàm Gauss) 2

t 2

x

P(a  X  b)   ( b   )   ( a  ) với

 (x)  

e 2 dt (Hàm

Laplace)



 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc

Lưu ý: F (x)  0, 5 

 (x)

Phân phối Poisson ( X ~ P( ))

b

 X ()   , EX  VarX   ModX=k 

 -1  k  k

P(X=k)=e   , k 



c Phân phối Nhị thức ( X ~ B(n; p))







X ()  {0 n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n 1) p

 1  k  (n 1) p

P(X=k)=C k p k q n k , q    p 0  k  n, k

 

n

Nếu (n  30; 0,1  p  0, 9; np  5, nq  5) thì X ~ B(n;

p)  N (; 2 )

với

  n p,  

npq P(X=k)  1 f ( k   ), 0  k  n, k

 

P(a  X<b)   ( b   )   ( a 

 )



 Nếu (n  30, p    np  5) thì X ~ B(n; p)  P( ) với  

P(X=k)  e   , k 



Nếu (n  30, p  0, 9, nq  5)



n k



P(X=k)  e  , k   với  

nq

(n  k )!

d Phân phối Siêu bội ( X ~ H (N ; N A;

n))

 X ()  {max{0; n  (N  N A )} min{n;N

A}}

EX=np, VarX=npq N  n với p  N A , q=1-p



ModX  k 

( N A  1)(n 1)  2

 1  k  (N A 1)(n  1)  2 .



N 

2

P(X=k)=

A

A ,

C N

A

 thì X ~ H (N ; N ; n)  B(n; p)

P(X=k)  C k p k q n k , k  X (), q  1

Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông

dụng:

Siêu bội: X~H(N;NA;n)

C k .C n k

N A N  N A

P( X  k )

n N

N>20n p= N N A , q=1-p

n  30, np<5

p0,1

Nhị thức: X~B(n;p)

k

P( X  k )

 

e 

k k n  k

P( X  k )  C n p

n 30, np  5 , nq  5

0,1<p<0,9

f ( k   ) P( X  k ) 

P(a  X  b)   ( b   )   ( a 

 )

với   np,  

npq

X  

Y



Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)

Chuẩn: X~ N (;

1

( x  )2





.e 2 2 2

f (x; ; )

Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể

Giá trị trung bình X  X1   X n

n

x  x1   x n

n

Sˆ2

 ( X1  X )   ( X n 

X )

(x  x )2

  (x 

x )2

sˆ2

S 2

 ( X1  X )   ( X n 

X )

(x  x )2

  (x 

x )2

s2

Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể

x1n1   x k n k n

Phương sai không hiệu chỉnh (x  x )2 n   (x  x )2

n sˆ2

 x 1 1 n k k

Phương sai hiệu chỉnh

2 2

s2

 (x1  x ) n1   (x k  x )

n k

x

n 1

x1 =



x k =

n1 =



n k =

Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES

Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var

Nhập số liệu

x1 Shift , n1 M+



x k Shift , n k M+

Nếu n i  1 thì chỉ

cần nhấn

x i M+

II Phần Thống Kê

1 Lý thuyết mẫu

a Các công thức cơ bản

b Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:

Khi đó

c Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu

- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a;b) hay (a;b] thì ta sử dụng giá

a  b

trị đại diện cho miền đó là để tính toán

2

Xóa màn hình hiển thị AC AC

Xác định:

 Kích thước mẫu (n)

 Giá trị trung bình

( x )

 Độ lệch chuẩn không

hiệu chỉnh ( sˆx )

 Độ lệch chuẩn hiệu

chỉnh ( s x )

Shift 1 3 = Shift 2 1 = Shift 2 2 = Shift 2 3 =

Shift 1 5 1 = Shift 1 5 2 = Shift 1 5 3 = Shift 1 5 4 =

2 Ước lượng khoảng

a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung

bình

Trường hợp 1 (  đã biết) Ước lượng đối xứng

 (z )  1    z   

z .



  x   ; x 

)

 2

 2

 2

 Ước lượng chệch trái.



 (z )  0, 5    z    z 

 Ước lượng chệch phải.



 (z )  0, 5    z    z  

Trường hợp 2 (  chưa biết, n 

30 ) Ước lượng đối xứng

 (z )  1    z    z .

  x   ; x  )

s

 2

 2

 2

 Ước lượng chệch trái.

s

 (z )  0, 5    z  

 Ước lượng chệch phải.

s

 (z )  0, 5    z  

 z

  x 

 )

Trường hợp 3 (  chưa biết,

n<30) Ước lượng đối xứng.

1   

 t

s

  

t .)   x   ; x 

(n1; ) (n 1; )

 Ước lượng chệch trái.

s

1   

 t    t (n 1; ) .    ; x 

)

 Ước lượng chệch phải.

s

1   

 t    t (n 1; ) .   x   ; 

)

b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ

 Ước lượng đối xứng.

f (1 f )

  f   ; f 

)

 (z )  1    z   

z .



2

 2

 2

 Ước lượng chệch trái.

f (1 f )

 (z )  0, 5    z  

 z

 ; f 

)

 Ước lượng chệch phải.

f (1 f )

 (z )  0, 5    z  

c) Khoảng tin cậy cho phương sai

Trường hợp 1 (  chưa biết)

- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính)

 Ước lượng không chệch.

1     

 2

, 1   1   

 2

(n1; ) (n 1;1  )

(n  1)s2 (n  1)s2

 Ước lượng chệch trái.

2

 (0; (n

 1)s

1    

2

)

1 (n 1;1  ) 1

 Ước lượng chệch phải.

2

 ( (n

 1)s

1     

 2

;

)

2 (n1; ) 2

Trường hợp 2 (  đã biết)

k

- Tính (n  1)s2

 

n i (x i  )2

i

1 Ướ

c lượ

ng kh ôn

g ch ệc h



1     

 2

, 1   1   

 2

2

(n; ) 1 (n;1  )

(n  1)s2 (n  1)s2

 Ước lượng chệch trái.

2

 (0; (n

 1)s

1    

2

)

1 (n;1  ) 1

 Ước lượng chệch phải.

2

 ( (n

 1)s

1     

 2

;

)

2 (n; ) 2

3 Kiểm định tham số

a) Kiểm định giá trị trung

bình

Trường hợp 1 (  đã biết) H o :   o , H1 :  

o

 (z )  1    z , z  x   o

n



2

- Nếu



2

z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

2

z  z : Chấp nhận Ho

- Nếu

2

H

o

:







o ,

H

1 :







o



 (z )  0, 5    z , z  x 

o n



- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z   z : Chấp nhận Ho

H o :   o , H1 :   o



 (z )  0, 5    z , z  x 

o n



- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho

Trường hợp 2 (  chưa biết, n  30 )

 H o :   o , H1 :  

o

 (z )  1    z , z  x   o

n



2

- Nếu

 2

 z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

z

2

z  z : Chấp nhận Ho

- Nếu

2

H

o

:







o ,

H

1 :







o



 (z )  0, 5    z , z  x 

o n

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.

- Nếu z   z : Chấp nhận Ho

H o :   o , H1 :   o



 (z )  0, 5    z , z  x 

o n

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho

Trường hợp 3 (  chưa biết, n<30)

 H o :   o , H1 :  

o

  

x   o

n

(n 1; )

 t

- Nếu t  : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

(n 1; )2



t

- Nếu t  : Chấp nhận Ho

(n1; )

2

H o : 

 o ,

H1 :  

o



t  x 



o .

 

t (n 1; ) , n

s

- Nếu t   t ( n 1; ) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu t   t ( n 1; ) : Chấp nhận Ho

H o :   o , H1 :   o



t  x 



o .

 

t (n 1; ) , s n

- Nếu t  t (n 1; ) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu t  t (n 1; ) : Chấp nhận Ho

b) Kiểm định tỉ lệ

 H o : p  p o , H1 : p 

p o

 (z )  1    z , f 

k

, z 

f  p o

n

-

Nếu

2

z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

2

z  z : Chấp nhận Ho

- Nếu

2

H

o

:

p



p o

,

H

1 :

p



p o



 (z )  0, 5    z , f 

k

, z 

f  p o

n

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.

- Nếu z   z : Chấp nhận Ho

H o : p  p o , H1 : p  p o



f  p o

 (z )  0, 5    z , f 

k

, z 

n

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho

c) Kiểm định phương sai

Trường hợp 1 (  chưa biết)

- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s

 H o :   2 2 ,o 2 2

  1   2

 2

,     2



2

,  2  (n

 1)s

1

(n1;1  ) 2 (n 1; )  2

2  22 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1.

- Nếu 

2  2

- Nếu 2

 2  2 : Chấp nhận Ho

2 2 , 2 2

 H o :   o

  1   1

  (n 1;1  ) ,   

2

o

- Nếu 2

 12 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1.

- Nếu 2  2 1: Chấp nhận Ho

2 2 , 2 2

 H o :   o

2  (n  1)s

2 2

  2 

 (n1; ) , 

2

o

- Nếu 2

 2 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1.2

- Nếu 2

 22 : Chấp nhận Ho.

4 Kiểm định so sánh tham số

a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình

Trường hợp 1 (  H o : 1  1, 2 , H2 đã biết)1 : 1 

2

 (z )  1    z ,

z 

x1  x2



2

 2

2 1  2  2



2n1 n2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.

2

z  z : Chấp nhận Ho

- Nếu

2

H

o

:



1





2 ,

H

1 :



1





2



x1  x2

 (z )  0, 5    z ,

n1 n2

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp

nhận H1

- Nếu z   z : Chấp nhận Ho

H o : 1  2 , H1 : 1  2



x1  x2

 (z )  0, 5    z ,

n1 n2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận

H1

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho

Trường hợp 2 ( 1, 2 chưa biết, n1 n2  30

)

 H o : 1  2 , H1 : 1 

2

 (z )  1    z ,

z 

x1  x2

2 2 1  2

n1

n2

 z : Bác bỏ

Ho, chấp nhận H1

- Nếu z

2

z  z : Chấp nhận Ho

- Nếu

2

H

o

:



1





2 ,

H

1 :



1





2



x1  x2

 (z )  0, 5    z ,

n1 n2

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp

nhận H1

- Nếu z   z : Chấp nhận Ho

H o : 1  2 , H1 : 1  2



x1  x2

 (z )  0, 5    z ,

n1 n2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho

Trường hợp 3 ( 1   2 chưa biết, n1, n2 

30 ) H o : 1  2 , H1 : 1 

  

 t

x1  x2 , với s2

 (n1  1).s1  (n2

 1).s2

, t





2 (n1n2  2; )

2 s2 ( 1

2

n1

n2

: Bác

bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu t  t (n 

1n2  2;

2 )

- Nếu t 

t (n1n2  2;  : Chấp nhận Ho.

2 )

 H o : 1  2 , H1 : 1 

 (n1  1).s1  (n2

 1).s2

 

t (n 2; )1n2 , t  n1  n2 

2

s2 ( 1

 1 )

: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu t   t (n 

1n2  2;

2 )

- Nếu t   t  : Chấp nhận Ho

(n1n2  2;

2 )

 H o : 1  2 , H1 : 1 

 (n1  1).s1  (n2

 1).s2

 

t (n 2; )1n2 , t  n1  n2 

2

s2 ( 1

 1 )

: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu t  t (n 

1n2  2;

2 )

- Nếu t  t  : Chấp nhận Ho

(n1n2  2;

2 ) b) Kiểm định so sánh tỉ lệ

f  k1 , f 

k2 , f

 k1 

k2

1 n1 2 n2 n1 

n2

 H o : p1  p2 , H1 : p1 

p2

 (z )  1    z ,

z 

f1  f2

f (1 f ).( 1



1 )

n1 n2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

2

z  z : Chấp nhận Ho

- Nếu

2

 H o : p1  p2 , H1 : p1 

1  f2

 (z )  0, 5    z ,

f (1 f ).( 1



1 )

n1 n2

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z   z : Chấp nhận Ho

H o : p1  p2 , H1 : p1  p2



f1  f2

 (z )  0, 5    z ,

f (1 f ).( 1



1 )

n1 n2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho

Kiểm định so sánh phương sai

- 1, 2 chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa

cho

c

 H o : 1  2 , H1 : 1 

2 s2

1

, f2 s  f (n22 1  1; n2  1; 2) 2

 f

Nếu 1 : Bác bỏ H , chấp nhận H

f

 f2

- Nếu f1  f  f2 : Chấp nhận

 H o : 1  2 , H1 : 1 

 2 s2

f  1 , f1  f (n1  1; n2

 1;1  )

s2

-Nếu Nếu

f  f1 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

f1  f : Chấp nhận Ho.

 H o : 1   2 , H1 : 1 

2

s2

f  1 , f2  f (n1  1; n2

 1; )

s2

-Nếu f  f2 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

Nếu f  f2 : Chấp nhận Ho

5 Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu

x i x1 x2 … x k

n x y  i i x y i

a Hệ số tương quan mẫu: r



n x2

 ( x )2 n y2

 ( y )2

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: y x A  Bx

với

n

B  i1 n i1 i1 n và A  i1 i1 .

n

n x2

 ( x )2

b Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:

Ta tính theo công thức thu gọn như sau:

n n x y  i i i n x i n y i i

Hệ số tương quan mẫu: r



n n x2

 ( n x )2 n n y2

 ( n y )2

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: y x  A 

Bx

k

với

n n x y  i i i n x i n y i i n y  B n x i i i i

n

n n x2

 ( n x )2