một số vấn đề cơ bản về xác suất thống kê

BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình BÀI GIẢNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG KINH TẾ LƯỢNG MỤCmẫuTIÊU Phép thử, không gian biếnBÀI cố GIẢNG: Ký hiệu tổng Biến ngẫu nhiên Xác suất Biến ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất đa biến Đặc điểm phân phối xác suất Một số phân phối xác suất quan trọng Một số phép toán ma trận 10 Suy diễn thống kê ĐỐI TƯỢNG BÀI GIẢNG: Tài liệu giảng cho sinh viên đại học Tài liệu tham khảo ôn tập cho học viên cao học KÝ HIỆU TỔNG Ký hiệu tổng Ký tự Σ tổng: (sigma) thống sử dụng để (3.1) n ∑Thao X itác = với ∑ Eviews Xi = X1 + Trên cửa sổ lệnh Eviews nhập: scalar sumX=@sum(x) X +ta + X n i= 1 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Tính chất phép toán tổng Khi k số n ∑ Khi k Tổng Tổng (3.2) k = n n nk ∑ kX i i= i= i= 11 = biến k ∑ Xi tổng hai Yi Xi số ∑ (X i + Yi ) = ∑ Xi + ∑ Yi (3.3) (3.4) (3.5) mộtKHÔNG hàm tuyếnGIAN tính MẪU, VÀ BIẾN CỐ PHÉP THỬ, ∑ (a + bXi ) = na + b ∑ Phép thử i tính: Một phép thử có haiXđặc 1) Không biết kết xảy 2) Nhưng biết kết xảy Không gian mẫu hay tổng thể Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi tổng thể hay không gian mẫu Biến cố nhóm kết xảy củ Một biến phép thử Nói cách khác, tập hợp không cố gian mẫu Các phép tính biến cố: • Biến cố hội (A∪ B): A xảy hay B xảy • Biến cố giao (A∩ B): A xảy vả B • Biến xảy cố phụ ( A ): A xảy ra, A • Biến không xảy cố xung khắc: A∩ B = φ BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ, tung hai đồng xu, quan sát lập thành bảng kết phép thử sau:  BẢNG 3.1: nghĩa khái niệm biến ngẫu nhiên Định Số mặt ngửa Đồng xu thứ Đồng xu thứ hai T T T H T H H T H H Nguồn: Gujarati, 2006, trang 25 Ta gọi biến “số mặt ngửa” biến ngẫu nhiên Nói cách tổng quát, biến mà giá trị (bằng số) xác định kết phép thử gọi biến ngẫu nhiên Như vậy, biến ngẫu nhiên biến mà giá trị xác định cách ngẫu nhiên Một biến ngẫu nhiên có giá trị rời rạc liên tục Một biến ngẫu nhiên rời rạc có số giá trị hữu hạn (hoặc vô hạn đếm được) Một biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên có giá trị khoảng giá trị XÁC SUẤT Xác suất biến cố: Định nghĩa cổ điển Nếu phép thử có n kết loại trừ có khả xảy nhau, m kết từ phép thử hợp thành biến cố A, P(A), xác suất để A xảy ra, tỷ số m/n P(A) = m (3.6) n suất tương đối X xem ví dụ sau Dữ Để giới thiệu khái niệm này, ta ác suất cố: phối Tần điểm điểm thi mô kinh tế liệu trongcủa bảng 3.1biến phân vi mô 200 sinh viên Đây ví dụ phân phối BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình tần suất cho biết điểm ngẫu nhiên phân phối Các số cột tần suất tuyệt đối, nghĩa số lần xảy biến cố định Các số cột gọi tần suất tương đối, nghĩa số tần suất tuyệt đối chia tổng số lần xảy  BẢNG 3.2: Phân phối điểm KTL 200 sinh viên Điểm 0-9 Điểm khoảng Tần suất tuyệt đối Tần suất tương đối 10-19 15 0 20-29 25 0 30-39 35 10 0.050 40-49 45 20 0.100 50-59 55 35 0.175 50 0.250 75 45 0.225 85 30 0.150 95 10 0.050 Nguồn: trang 28 60-69Gujarati, 2006, 65 70-79 80-89 90-99 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 200rạc với 1.000 Giả sử X biến ngẫu Tổng nhiên rời giá trị x1, x2, hàm f định xác f(X=xi) = P(X=xi) i = 1, 2, … =0 x ≠ (3.7) xi suất biến ngẫu nhiên X, gọi hàm phân phối xác ký hiệu PMF hay PF, đó, P(X=xi) xác suất X có giá trị xi Hàm PMF có tính chất sau: ≤ f(xi) ≤ n ∑ f (x i ) = (3.8) (3.9) tung hai đồng xu, ta xét i= Ví dụ, biến X số mặt ngửa bảng sau đây: BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình  BẢNG 3.3: PMF biến ngẫu nhiên rời rạc Số mặt ngửa PMF X f(X) 0.25 ¼ ½ ¼ Tổng 0.5 0.25 1.00 H ình 3.1: P M F c biến ngẫ u nhiên rời rạ c Nguồn: Gujarati, 2006, trang 34 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ, gọi X biến chiều cao người, đo mét Giả sử ta muốn tính xác suất để chiều cao người khoảng 1.56m đến 1.80m Xác suất để chiều cao khoảng 1.56 đến 1.8 1.4 1.44 1.56 1.48 1.52 1.6 1.64 1.68 1.72 1.88 1.76 1.8 1.84 1.92 1.96 Hình 3.2: PDF biến ngẫu nhiên liên tục Xác suất để chiều cao cá nhân nằm khoảng từ 1.56m đến 1.80m diện tích dường phân phối hai giá trị 1.56 1.80 Đối với biến ngẫu nhiên liên tục X, hàm mật độ xác suất f(X) sau: x2 P(x1< f (x)dx X < x2) = ∫ x1 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên chất sau đây: (3.10) X có tính BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình • Tổng diện tích đường f(x) • P(x1 < X < x2) diện tích đường f(x) x1 x2, với x2 > x1 • Vì xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị định không, nên công thức tương đương nhau: P(x1 ≤ X ≤ x2) = P(x1 < X ≤ x2) = P(x1 ≤ X < x2) = P(x1 < X < x2) (3.11) Hàm phân phối tích lũy biến ngẫu nhiên Liên quan đến PMF hay PDF biến ngẫu nhiên X hàm phân phối tích lũy biến đó, xác định sau: F(X) = P(X ≤ (3.12) x) P(X ≤ x) nghĩa xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trị nhỏ thua x, với x biết CDF có tính chất sau: • F(-∝ ) = F(+∝ ) = • F(x) hàm không giảm, nghĩa x2 F(x2) ≥ F(x1) • P(X ≥ • P(x1 > x1, k) = – F(k) ≤ X ≤ x2) = F(x2) – F(x1)  BẢNG 3.4: Hàm phân phối xác suất tích lũy biến ngẫu nhiên Số mặt ngửa (X) 0 1 2 3 Nguồn: Gujarati, PDF X ≤ X < ≤ X < ≤ X < ≤ X < 4 ≤ X 2006, trang CDF PDF 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 37 X X X X X X ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ CDF 1/16 5/16 11/16 15/16 16/16 Như vậy, CDF tích lũy hay đơn giản tổng PDF giá trị X nhỏ thua x Các hàm mật độ xác suất đa biến Ví dụ, đại lý bán lẻ máy tính bán hai loại thiết bị máy tính cá nhân máy in Số máy tính máy in BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình bán thay đổi ngày khác nhau, giám đốc đại lý thu thập doanh số 200 ngày qua bảng sau  BẢNG 3.5: Phân phối tần suất hai biến ngẫu nhiên X Y Số máy in bán Số máy tính bán (X) (Y) 4 Tổng 2 16 10 2 24 12 20 10 48 4 10 20 10 48 2 10 20 30 64 Tổng 22 32 40 54 46 200 Nguồn: Gujarati, 2006, trang 39 Bảng cho thấy 200 ngày có 30 ngày đại lý bán máy tính máy in, có ngày bán máy tính không bán máy in Giải thích tương tự cho số lại Đây ví dụ phân phối tần suất kết hợp Nếu chia số bảng cho 200, ta có tần suất tương đối  BẢNG 3.6: Phân phối xác suất hai biến ngẫu nhiên X Y Số máy in bán (Y) Số máy tính bán (X) 0.03 0.03 0.02 0.05 0.01 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 Tổng 0.08 0.12 Nguồn: Gujarati, 2006, trang 39 0.02 0.06 0.01 0.05 0.01 0.24 0.02 0.02 0.05 0.10 0.05 0.24 0.01 0.01 0.05 0.10 0.05 0.32 Tổng 0.11 0.16 0.23 0.27 0.23 1.00 Do hai biến X Y biến ngẫu nhiên rời rạc, nên bảng 3.6 gọi hàm phân phối xác suất kết hợp hai biến ngẫu nhiên f(X,Y) = P(X = x Y = y) = X ≠ ≠ x Y y Hàm xác suất kết hợp có tính chất sau: Y) = • f(X,Y) ≥ • ∑ x y ∑ f (X, (3.13) BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Hàm xác suất biên Xác suất X nhận giá trị định Y nhận giá trị gọi xác suất biên X, phân phối xác suất gọi hàm phân phối xác suất biên  BẢNG 3.7: Phân phối xác suất biên X Y X f(X) 0.08 0.12 0.24 0.24 0.32 Tổng 1.00 Nguồn: Gujarati, 2006, trang Y f(Y) 0.11 0.16 0.23 0.27 0.23 1.00 41 Từ bảng xác suất kết hợp X Y ta tính hàm xác suất biên sau: f(X) = f (X, Y) f(Y) = y∑ f Y)ngẫu hai(X, biến ∑ Nếu hai biến X Y nhiên liện tục x ta thay ký hiệu tổng thành ký hiệu tích phân Hàm xác suất điều kiện Giả sử ta muốn tìm xác có máy tính bán có điều kiện Hàm phân biến ngẫu nhiên suất có máy in bán biết này, xác suất phối xác suất có điều kiện định nghĩa sau: (3.14) F(YX) = P(Y=yX=x) F(XY) = P(X=xY=y) (3.15) Một công thức đơn giản để tính hàm phân phối xác suất có điều kiện sau: f (X, F(Y X) (3.16) Y) f (X) = F(X Y) = f (X, f (Y) Y) (3.17) BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Giá trị kỳ vọng: Thước đo định tâm Giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu E(X), định nghĩa sau: E(X) = µ X (3.18) ∑ xf = Giá trị kỳ vọng biến (X) trung bình có x trọng số giá trị có biến đó, với xác suất giá trị này, f(X), đóng vai trò ngẫu nhiên trọng số Giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên gọi giá trị trung bình, xác giá trị trung bình tổng thể Tính chất giá trị kỳ vọng • E(b) = b (3.19) • E(X+Y) = E(X) + E(Y) (3.20) • E(X/Y) ≠ E(X) E(Y) (3.21) • E(XY) ≠ (3.22) E(X)E(Y) Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, E(XY) = E(X)E(Y) • E(X2) ≠ (3.23) [E(X)]2 (3.24) = aE(X) (3.25) • E(aX E(aX+b) = aE(X) + b ) (3.26) • Phương sai: Thước đo phân tán Giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên đơn giản cho biết trọng tâm biến đâu không cho biết giá trị riêng lẻ biến phân tán biến cho quanh giá trị trung bình Thước đo phổ xung phân tán phương sai, định nghĩa sau: var(X) = σ x = E(Xµ x)2 var(X) = ∑ (X − µ x )2 f (X) (3.27 ) (3.28) BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Phương sai cho biết giá trị X riêng lẻ phân phối hay phân tán xung quanh giá trị trung bình thếnào Nếu giá trị X phân tán rộng quanh giá trị trungbình phương sai tương đối lớn (xem Hình 3.3) Căn bậc hai độ lệch chuẩn, ký hiệu σ x phư ơng Phương sai sai nhỏ Phương sai lớn X Hình 3.3: PDF biến ngẫu nhiên liên tục giá trị kỳ vọng Tính chất phương sai • Phương sai số không • Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, var(X+Y) = var(X) + var(Y) (3.29) var(X-Y) = var(X) – var(Y) • Nếu b số, var(aX) = a2var(X) (3.30) • Nếu a b số, var(aX+b) = a2var(X) (3.31) • Nếu X Y hai biến độc lập a b số, var(aX+bY) = a2var(X) + (3.32) b2var(Y) 10 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình mẫu ngẫu nhiên gồm 30 ROE từ tổng thể có phân phối chuẩn Bảng 3.11 Ta sử dụng mẫu để tính giá trị trung bình tổng thể µ x = phương sai tổng thể σ x E(X) Cụ thể hơn, quan tâm ta tìm giá trị giả sửbình µ x Ta thấy giá trị trung trung mẫu, X , bình 22.2 Ta gọi 22.2 giá trị ước lượng điểm ∑ x, dùng để tính giá trị ước µlượng điểm công thức X = i 30 X gọi ước lượng điểm Lưu ý ước lượng điểm biến ngẫu nhiên giá trị khác mẫu khác Vì thế, tin giá trị cụ thể 22.2 giá trị ước lượng µ x cách khác, ta dựa vào giá trị ước lượng làm Nói trung bình tổng thể Tuy nhiên, tốt cho khoảng giá trị có chứa trung bình tổng thể Đó ý tưởng khái niệm ước lượng khoảng Ước lượng khoảng khoảng giá trị chứa giá trị thực tổng thể với mức tin cậy định Ý tưởng tảng ước lượng khoảng khái niệm phân phối mẫu ước lượng Giả sử, biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn, X~ N(µ X, σ 2), σx (3.62) X ~ 2n ) N(µ X, X− Z = ~ N(0, 1) (3.63) µσ xx / n Điều có nghĩa phân phối mẫu trung bình mẫu X theo phân chuẩn Nếu X không theo phân phối phối giới hạn trung tâm X phân chuẩn, theo định lý theo lớn phối chuẩn cỡ mẫu đủ biết giá trị phương sai σx , Tuy nhiên, không (X x ta sử dụng ước lượng Sx ∑ n = − −X) X− t = ~ (3.64) t d.f.=(nS x / n µ X 1) theo phân phối t với (n-1) bậc tự do, (d.f.) ( ) ( ) 41 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Để biết phương trình (3.64) sử dụng cho ước lượng khoảng giá trị trung bình tổng thể µ x ROE, ta sử dụng Bảng A2 với bậc tự 29 sau: P(-2.045 ≤ 0.95 t ≤ 2.045) = -2.045 (3.65) 2.045 Hình 3.13: Khoảng tin cậy 95% µ 29 X với số bậc tự Với d.f = 29, xác suất 0.95 (hay 95%), khoảng (2.045, 2.045) chứa giá trị t tính từ công thức (4.3) Các giá trị t gọi giá trị t phê phán (critical t values) cho biết phần trăm diện tích đường phân phối t hai giá trị phê phán Trong đó, t = -2.045 gọi giá trị t phê phán chặn (lower critical t value) t = 2.045 gọi giá trị t phê phán chặn (upper critical t value) Thế giá trị t từ (3.64) vào (3.65) ta có: P(-2.045 ≤ (X − ) µSxX/ n S P( X - 2.045 ≤ x ≤ 2.045) = 0.95 µ X S ≤ X + 2.045 x ) = 0.95 n n 42 (3.66) (3.67) BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình X  S x  n 2.045    Hình 3.14a: Khoảng  tin cậy 95% µ    X − 2.045  X− X 29 x X X −  S  n 2.756  Hình 3.14b: Khoảng 2.756   tin cậy 99% µ 29 Svới x số bậc tự n  S x  n  với số bậctự X− X Phương trình (3.67) ước lượng khoảng estimator) trung bình tổng thể (interval µ Trong thống kê, phương trình (3.67) gọi 95% x khoảng tin cậy (confidence interval) cho giá trị thực trung bình tổng thể µ x 0.95 hệ số tin cậy (confidence gọi coefficient) Nói cách khác, phương trình (3.66) cho biết 95% khoảng ngẫu nhiên ( X ± n) chứa giá trị trung bình thực 2.045S x ( X / n ) gọi − n ) giới hạn 2.045S x ( X 2.045S x / / + hạn µ x khoảng giới 43 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Lưu ý khoảng phương trình (3.67) khoảng mà hai đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc vào X Sx n , khác mẫu khác Nhưng trung bình tổng thể µ x, dù không biết, thực số cố định không ngẫu nhiên Cho nên, không nói xác suất 95% µ x nằm khoảng này, mà phải nói xác suất 95% khoảng ngẫu nhiên chứa µ x Quay lại ví dụ với n = 30, X = 22.2, Sx = (2.045)(11.5) (2.045) 22.2 ≤ µ x ≤ (11.5) 11.5 ta xác định khoảng ngẫu nhiên sau: 30 22.2 + 30 17.91 ≤ µ ≤ (3.68) 26.49 Phương trình (3.68) cho ta xây dựng phương trình (3.68), 100 lần, có 95 khoảng khoảng chứa giá trị µ x thực Hãy cẩn thận, nói xác suất 95% khoảng định phương trình (3.68) chứa µ x Thao tác với Eviews (trên cửa sổ lệnh) Giá trị trung bình mẫu ROE: scalar ROEmean=@mean(roe) = 22.2 Giá trị t phê phán: scalar tc95=@qtdist(0.975,29) = 2.045 Độ lệch chuẩn ROE: scalar stdevROE=@stdev(roe) = 11.5 Số quan sát mẫu: scalar obs=@obs(roe) = 30 Giá trị chặn ROE: scalar ROE_lb=ROEmean-tc95*stdevROE/obs Giá trị chặn ROE: scalar ROE_ub=ROEmean+tc95*stdev/obs * Lưu ý: Khi quí vị quen hàm Eviews, quí vị xây dựng trực tiếp không cần thực thao tác riêng KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT Sau xem xét nhánh ước lượng suy diễn thống kê, xem xét chi tiết nhánh thứ hai kiểm định giả thiết Trở lại ví dụ ROE trên, thay tìm khoảng tin cậy cho µ x, giả sử ta thiết giả giá trị thực µ X giá trị thể, ví dụ số cụ µ X = 17.4 Công việc ta kiểm 44 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình định giả thiết Ta kiểm định giả thiết – ủng hộ hay bác bỏ nó? Theo ngôn ngữ kiểm định giả thiết giả thiết gọi giả thiết không ký hiệu µ x = 17.4 H0 Như vậy, H0: µ x = 17.4 Giả thiết không kiểm định ngược lại với giả thiết khác, ký hiệu H1 Giả thiết khác số hình thức khác sau: • H1: µ x > 17.4, giả thiết khác phía hay đuôi • H1: µ x < 17.4, giả thiết khác phía hay đuôi • H1: µ x ≠ gọi giả thiết khác kết hợp, 17.4, hai đuôi phía, hayH0hai Để kiểm định , ta dụng liệu mẫu lý thuyết thống kê để xây dựng qui tắc định nhằm xem chứng sử mẫu có ủng hộ giả thiết không hay không Nếu chứng mẫu ủng hộ giả thiết không, ta không bác bỏ H0, ngược có nghĩa ta chấp nhận giả ta bác bỏ H0, điều lại, thiết H1 Vấn đề đặc xây dựng qui tắc định nào? Có hai cách tiếp cận kiểm định có tính bổ sung cho nhau: (i) Khoảng tin cậy, (ii) Kiểm định ý nghĩa Chúng tả sử dụng ví dụ ROE để minh họa cho phương pháp kiểm định Giả sử ta có giả thiết kiểm định sau: H0: µ x = 17.4 H1: µ x ≠ Kiểm định dựa vào khoảng tin 17.4 cậy Kiểm định dựa vào khoảng tin cậy có xây dựng khoảng tin cậy cho ước xem giá trị thực giả định theo hay khoảng tin cậy Và có định bác bỏ hay không bác bỏ nghĩa ta cố gắng lượng, kiểm tra giả thiết H0 nằm sở ta giả thiết H0 Để kiểm định giả thiết H0, giả sử ta có liệu mẫu Bảng 3.11 Từ liệu này, ta tính giá trị trung bình mẫu 22.2 Ta biết trung bình mẫu có phân phối chuẩn với trung bình µ x phương sai trị phương sai thực σ x / n Nhưng ta giá thể, nên ta thay phương tổng sai phương sai 45 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình mẫu, trung bình mẫu theo phân phối t Dựa vào phân phối t ta xây dựng khoảng tin cậy 95% cho µ X sau: 17.91 ≤ µ X ≤ 26.49 (3.69) Ta biết khoảng tin cậy đưa khoảng giá mức độ tin cậy trị bao gồm giá trị µ x thực với định, chẳng hạn 95% Vì thế, khoảng tin cậy bác không giá trị giả thiết không, µ x = 17.4, ta bỏ giả thiết H0 không? Như vậy, khoảng tin cậy kiểm định giả thiết hai chủ đề có quan hệ mật thiết với Theo ngôn ngữ kiểm định giả thiết, khoảng tin cậy 95% gọi vùng chấp nhận vùng vùng chấp nhận vùng phê phán hay vùng bác bỏ giả thiết H0 Giá trị chặn giá trị chặn 13của vùng chấp nhận gọi giá trị phê phán14 Theo ngôn ngữ thống kê, vùng chấp có chứa nhận trị tham số giả thiết H0, ta không bác bỏ H0 giá (nghĩa chấp nhận H0 đúng) Nhưng rơi nhận vùng (tức chấp nằm vùng bác bỏ), ta bác bỏ H0 Ở ví xét, dụ ta bác bỏ giả thiết H0: µ x = 17.4 nhận, vùng phương chấp trình (3.69), không chứa giá trị giả thiết không Các bước thực hiện: • Xác định giả thiết H0 • Chọn mức ý nghĩa α H1 với phân phối t hai • Xây dựng đuôi khoảng tin cậy • Kiểm tra xem khoảng tin cậy có chứa giá trị giả thiết H0 hay không • Đưa định 13 Acceptance region, critical region, the region of rejection 14 Critical value Lưu ý, sách thống kê kinh tế lượng Việt Nam dịch thuật ngữ “critical” “phê phán” “tới hạn” Tuy nhiên, điều quan trọng ta nên hiểu chất thuật ngữ Ví dụ, ta thường nói “a critical decision” có nghĩa định có ý nghĩa sống còn, theo kiểu “thắng làm vui, thua làm giặc” Trong thống kê, ranh giới vùng chấp nhận gọi giá trị phê phán, ranh giới đường phân chia việc chấp nhận bác bỏ giả thiết H0 Ngoài ra, giá trị giá trị chuẩn tính dựa phân phối định (và trước chúng đính kèm dạng bảng thống kê phần phụ lục sách giáo khoa) để giúp sinh viên tra so sánh, chúng gọi “giá trị tra bảng” Ngày nay, thường tra nhanh giá trị công thức TINV, FINV, CHIINV, … Excel hàm @qtdist, @fqdist, @qchisq, … Eviews 46 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Sai lầm loại I loại II Trong ví dụ ROE ta bác bỏ giả thiết H0: µ x = 17.4 chứng từ mẫu ta hợp với giả thiết Có X = 22.2 dường không 30 chứng khoán Bảng 3.11 đượccólấy từ phù phải không điều nghĩa tổng thể có phân phối chuẩn với giá trị trung bình mẫu 17.4? Chúng ta hoàn toàn không chắn, khoảng tin cậy 95% 100% Nếu điều đúng, ta bị mắc sai lầm bác bỏ giả thiết H0: µ x 17.4 = Đây loại sai lầm loại I: sai lầm việc bỏ mộtbác giả thiết Tương tự, giả sử H0: µ x = 20, theo phương trình (3.69) ta không bác bỏ giả thiết không Nhưng mẫu 30 chứng khoán không lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với giá trị trung bình 20 Như vậy, ta mắc sai lầm loại II: sai lầm việc chấp nhận giả thiết sai  BẢNG 3.12: Hai loại sai lầm thống kê Bác bỏ H0 Không bác bỏ H0 H0 Sai lầm loại I Quyết định đúng H0 Quyết định sai Sai lầm loại II sai Nguồn: Gujarati, 2006, trang 116 Thật lý tưởng ta tối thiểu hóa hai loại sai lầm Tuy nhiên, với cỡ mẫu định ta tối thiểu hóa đồng thời hai loại sai lầm Theo Gujarati (2006, 116), cách giảm sai lầm loại II mà không làm tăng sai lầm loại I tăng cỡ mẫu Nhưng điều luôn dễ dàng Cách tiếp cận cổ điển cho sai lầm loại I nghiêm trọng sai lầm loại II Cho nên, người ta cố gắng giảm thiểu sai lầm loại I nhỏ tốt, ví dụ khoảng 0.01 hay 0.05, cố gắng giảm thiểu sai lầm loại II Theo lý thuyết thống kê, xác suất chấp nhận sai lầm loại I qui ước gọi mức α , ý nghĩa, xác suất chấp nhận sai lầm loại II qui ước β Như vậy, Sai lầm loại I = α = xác suất bác bỏ H0 (H0 đúng) Sai lầm loại II = β = xác suất chấp nhận H0 (H0 sai) Xác suất không chấp nhận sai lầm loại II, nghĩa là, bác bỏ H0 H0 sai, (1-β ) gọi sức mạnh kiểm định 47 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình thiết Theo cách tiếp cận cổ điển kiểm định giả thường cho mức 1%, 5%, cố α gắng giảm thường β Trong thực tế, cách tiếp cận cổ điển thiểu β định Nhưng lưu giá trị α mà không cần quan tâm nhiều đếnxác rằng, định tồn ý đánh đổi ý nghĩa sức mạnh kiểm định mức Điều có nghĩa với cỡ mẫu định, tarằng, cố gắng giảm xác suất sai lầm loại I, ta tăng xác suất sai lầm loại II giảm sức mạnh kiểm định Chẳng hạn, thay sử dụng α = 5%, ta sử dụng 1%, tự α = tin bác bỏ H0, ta không tự tin chúng không bác bỏ H0 Quay lại ví dụ ROE với α khoảng tin cậy 99% sau:1% 16.41 ≤ 27.99 µ x = ≤ ta tính (3.70) khoảng tin cậy 95% Vì khoảng tin cậy chứa giá trị giả So với (3.69), khoảng tin99% cậynày 99%có rộng thiết 17.4, nên ta không bác bỏ giả thiết không Điều nói lên điều gì? Bằng cách giảm sai lầm loại I từ 5% xuống 1%, tăng xác suất chấp nhận sai lầm loại II Nghĩa là, việc không bác bỏ giả thiết không theo công thức (3.70), chấp nhận cách sai lầm giả thiết cho giá trị µ x thực 17.4 nên, nhớ luôn có đánh đổi sai lầm Cho loại I sai lầm loại II Kiểm định dựa vào ý nghĩa Kiểm định ý nghĩa cách kiểm định khác có tính bổ sung ngắn gọn so với kiểm định dựa vào khoảng tin (X − cậy15 Xin nhắc lại t có phân phối t với µ X ) S x / n = (n-1) bậc tự Các thông tin X , n, S biết từ mẫu, nên có giá trị µ xdưới giả thiết không, ta tính giá trị thống kê t (còn gọi giá trị t tính toán) Hơn nữa, với (n-1) bậc tự ta xác định giá trị t phê phán16 15 Vì phần mềm kinh tế lượng cung cấp thông tin giá trị thống kê t giá trị xác suất tương ứng, nên phương pháp kiểm định sử dụng phổ biến 16 Biết t= (X − µ X ) theo phân phối t với bậc tự (n-1), nên ta dễ dàng tính giá trị xác suất Sx / n tương ứng công thức =TDIST(x,Deg_Freedom,Tails) Ví dụ, =TDIST(2.045,29,2) = 5% Ngoài ra, 48 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Nếu khác biệt X µ x nhỏ (tử số nhỏ mẫu số không đổi), giá giá trị tuyệt đối t tính toán nên, ta= nhỏ chắn Nếu X µ xkhông , giá bác trị bỏ t giả tính thiết toán sẽH0.bằngCho không, khác không, giá trị tuyệt đối t tính toán ta cách khác, có xu hướng bác giả thiết H0 giátatrị tuyệt đối t Nói tính toán lớn, có xu hướng bác bỏ giả thiết H0 Tuy nhiên, định bác bỏ hay nhận H0 tùy thuộc vào mức ý nghĩa chọn Nếu giá trị chấp tính ttoán nằm giá trị t phê phán chặn chặn ta chấp nhận H0 ( t ≤ Ngược lại, giá trị thống t α / ) kê t nằm phê phán chặn chặn giáthì trịtat bác bỏ H0 ( t > t α / ) Ví dụ, X = 22.2, 30 Giả sử H0: µ x 17.4 SHx1: µ x ≠ 17.4 =Ta11.5, n = = có: (22.2 t = = 2.286 −11.5 18.5) / 30 Với số bậc tự 29, giá trị t phê phán với mức ý nghĩa 5% -2.045 2.045 Như vậy, t tính toán 2.286 nằm phía đuôi phải vùng bác bỏ phân phối t, nên ta bác bỏ giả thiết H0 Ngoài ra, ta dễ dàng tính xác suất để t > 2.286chỉ 2.974% Các bước thực hiện: • Xác định giả thiết H0 • Tính H1 giá trị thống kê t • Chọn mức ý nghĩa α với phân phối t hai đuôi giá trị t phê phán chặn chặn định xác • So sánh giá trị thống kê t giá trị t phê phán • Đưa định Theo ngôn ngữ kiểm định ý nghĩa ta thường gặp hai thuật ngữ sau đây: • Kiểm định có ý nghĩa thống kê 17 • Kiểm định ý nghĩa thống kê để tính giá trị t phê phán ta dùng công thức =TINV(Probability,Deg_Freedom) Ví dụ, =TINV(5%,29) = 2.045 Hoặc ta sử dụng hàm @qtdist(0.975,29) = 2.045 1-@ctdist(2.045,29) = 5% 17 Khi nói kiểm định/kết nghiên cứu có ý nghĩa thống kê, nghĩa ta bác bỏ giả thiết H0 Ngược lại, ta không bác bỏ giả thiết H0, ta nói kiểm định/kết nghiên cứu ý nghĩa thống kê 49 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Kiểm định đuôi hay hai đuôi? Cho đến tất ví dụ xác định giả thiết H1 hai đuôi Vì ROE 17.4 giả thiết H0, giả thiết H1 ROE lớn nhỏ thua 17.4 Như vậy, thống kê kiểm định rơi vào đuôi phân phối (vùng bác bỏ) ta bác bỏ H0 95 % Vùng chấp nhận H0 2.5% 2.5% -2.045 2.045 Hình 3.15a: Kiển định mức ý nghĩa t: Hai đuôi Tuy nhiên, có trường hợp giả thiết không giả thiết khác đuôi, hay phía Ví dụ, H0: ≤ 17.4 µ x Ta H1: µ x > 17.4, tức giả thiết khác đuôi.Thủ kiểm định giảđịnh thiết toàn nào? tục kiểm hoàn giống cách kiểm định ví dụ ngoại trừ việc thay tìm hai giá trị phê phán, ta xác định giá trị phê phán thống kê kiểm định Lưu ý, tra bảng A2, trường hợp kiểm định hai phía ta chọn mức ý nghĩa dòng dưới, ngược lại, kiểm định phía ta chọn mức ý nghĩa dòng Khi sử dụng công thức TINV Excel, mức ý nghĩa chọn α Cho nên, kiểm định hai phía với α = 5%, TINV(5%,d.f.), ngược lại, kiểm định phía với α = 5%, ta phải chọn TINV(10%,d.f.) 59 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình  BẢNG 3.13: Tóm tắt kiểm định t Giả thiết không, H0 Giả thiết khác, H1 µ x = µ µ x µ > µ x µ µ x µ < = Vùng phê phán/bác bỏ H0 X− t = tα ,d Sµx 0/ n> f X− t = < µ tα , Sx / n d.f X− tα /2,d t= Sµx /0 n> f µ x = µ x µ ≠ µ Nguồn: Gujarati, 2006, trang 122 95% Vùng chấp nhận H0 5% 1.699 Hình 3.15b: Kiển định mức ý nghĩa t: Một đuôi Lưu ý, mặt từ ngữ, ta nên sử dụng cách phát biểu “bác bỏ” “không bác bỏ giả thiết H0, “bác bỏ” “chấp nhận” giả thiết Theo Gujarati (2006), việc ta không bác bỏ giả thiết không không thiết có nghĩa giả thiết đúng, giả thiết không khác tương thích với liệu Mức ý nghĩa α giá trị xác suất p Giá trị xác suất p (p-value) gọi mức ý nghĩa xác thống kê kiểm định (ví dụ thống kê t) Giá 51 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình trị xác suất p định nghĩa mức ý nghĩa thấp giả thiết H0 bị bác bỏ Qui tắc định với giá trị xác suất p sau: Giá trị xác suất p nhỏ, chứng để bác bỏ giả thiết H0 mềm mạnh.kinh tế lượng có báo cáo giá trị xác Các phần suất p Chúng ta phân tích thật chi tiết vấn đề giá trị xác suất p Bài giảng Mối quan hệ hai phương pháp kiểm định Từ phương trình (3.64) ta thấy biến ngẫu nhiên t hàm tuyến tính biến ngẫu nhiên X Dưới giả thiết H0 ta có giá trị nên tìm giá trị t theo X Mối quan µhệx,được thể qua đồ thị phân phối xác suất sau đây: Vùng chấp nhận H0 2.5% 2.5% 17.91 26.49 X Vùng chấp nhận H0 2.5% 2.5% -2.045 2.045 Hình 3.16: Mối quan hệ hai phương pháp kiểm định 52 t BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Kiểm định ý nghĩa χ Như biết, phương sai mẫu từ mẫu lấy ngẫu nhiên với n S quan sát từ tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai σ 2,   (n-1)  S2 2 ~ (n − (3.71)   χ 1) σ Nghĩa là, tỷ số phương sai mẫu/phương sai tổng thể nhân với số bậc tự (n-1) có phân phối χ với số bậc tự (n-1) Lưu ý rằng, (n-1) σ số định, riêng thân S biến ngẫu nhiên giá trị S thay đổi từ mẫu qua mẫu khác (tương tự X ) Do X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, S xem gần X , nên theo định nghĩa giảng 3, S có phân phối χ Hơn nữa, trái phương trình 2(3.71) biến tổng (n-1) vế biến Sσ , nên số bậc tự (n-1)  BẢNG 3.14: Tóm tắt kiểm định Giả thiết không, H0 H1 σ σ = Giả thiết khác, χ 2 > 2 χ2 α , (n − σ 1)S x χ (n − 1) < hay χ (1− α − σ 1)S x > σxx σ σ xx = σ < σ2 σ2 σ x σ x = ≠ σ σ Nguồn: Gujarati, 2006, trang 124 Vùng phê phán/bác bỏ H0 (n 2 ), / Ví dụ, từ mẫu ngẫu nhiên Bảng 3.112),(n ta− 1)có phương sai mẫu S = 131.9, ta kiểm định xem giá trị có khác mức ý nghĩa α = 5% so với giá trị phương sai thực tổng thể 99.1 hay không H0 σ =2 99.1 H1: ≠ 99.1 Lưu ý, quí vị :cần σxem loại giả thiết ba trường hợp trình bày Bảng 3.14 để xác định giá trị χ phê phán cho Ta có n = 30 nên thay vào phương 53 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình 131.9 tính toán (30-1) 99.1 38.598 với số bậc tự 29 Từ công thức = > =CHIINV(97.5%,29) = =CHIINV(2.5%,29) = 45.72 > 38.598 mức nghĩa 5% 16.05, ta không bác bỏ giả thiết H0 ý để có giá trị χ Ngoài ra, ta tính xác bậc theo công 38.598 (với 29 suất lớn thức =CHIDIST(38.598,29) = 0.1096 hay Vì xác suất tự 10.96% do) lớn mức ý nghĩa chọn 5%, nên ta không bác bỏ giả thiết H0 cho phương sai thực 99.1 trình (3.70) ta có giá trị χ Thao tác với Eviews (trên cửa sổ lệnh) Giá trị phương sai mẫu ROE: scalar ROEvar=@var(roe) = 131.9 scalar ROEvar=@stdev(roe)^2 = 131.9 Giá trị χ phê phán chặn trên: scalar chisqc975=@qchisq(0.975,29) = 45.72 Giá trị χ phê phán chặn dưới: scalar chisqc0025=@qchisq(0.025,29) = 16.05 Số quan sát mẫu: scalar obs=@obs(roe) = 30 Giá trị χ tính toán: scalar chival=(obs-1)*(ROEvar/99.1) = 38.598 Kiểm định ý nghĩa F Ta biết, ta có hai mẫu ngẫu nhiên từ hai tổng thể có phân phối chuẩn X Y, với m n quan sát, theo phân có giả thiết /(m F = SX = SY ∑ (Yi −− 1) ∑ (X i − phối F với (m-1) (n-1) Y) /(n X) ta kiểm định H0: σx =y − 1) σ (3.72) bậc tự Nếu ta dựa vào bảng sau:  BẢNG 3.15: Tóm tắt thống kê F Giả thiết không, H0 2 σ = σσ = σ 22 Giả thiết khác, H1 σ >2 σ11 ≠ σ σ 2 Vùng phê phán/bác bỏ H0 S > 12 F αddf ,ndf , S12 22 > Fα 22 S2 2,ndf ,ddf 2 Nguồn: Gujarati, 2006, trang 125 54 hay < F(1− α / / 2), ndf ,ddf BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Ví dụ, giả sử ta có hai mẫu ngẫu nhiên 30 công ty niêm yết hai thị trường TP.HCM thị trường Hà Nội (ngày 26 tháng năm 2008) Từ hai mẫu ta thấy ROE trung bình hai thị trường gần ( X =22.2 Y Bây ta muốn xem phương sai hai thị trường có =22.39) giống hay không Từ hai mẫu ta có phương sai 131.9 79.6 Với giả thiết H0: σx =y H1 : 2 σ 2xin quí vị σ > σ , với mức ý nghĩa α = 5% Một lần lưu ý loại giả thiết để xác định giá đưa trị F phê phán cho phù hợp Ta có giá trị F tính toán 131.9/79.6 = 1.657, có phân phối F với số bậc tự 29 29 Do giá trị F phê phán tính từ công thức =FINV(5%,29,29) = 1.86 > 1.657, ta không bác bỏ giả thiết H0 mức ý nghĩa 5% (nghĩa hai phương sai tổng thể giống nhau) Ta kết luận tương tự cách so sánh mức ý nghĩa 5% với giá trị xác suất p =FDIST(1.657,29,29) = 8.99% Tuy nhiên, mức ý nghĩa 10% kết luận ta thay đổi Thao tác với Eviews (trên cửa sổ lệnh) Giá trị phương sai mẫu ROE, TP.HCM: scalar ROE1var=@var(roe1) = 131.9 Giá trị phương sai mẫu ROE, Hà Nội: scalar ROE2var=@var(roe2) = 99.6 Giá trị F tính toán: scalar Fval=ROE1var/ROEvar2 Giá trị F phê phán: fc095=@qfdist(0.95,29,29) = 1.86 Bây ta tóm tắt bước việc kiểm định giả thiết thống kê sau: • Bước 1: Phát biểu giả thiết H0 • Bước 2: Chọn lựa thống kê kiểm định thích hợp (ví dụ trung bình, phương sai, hay so sánh phương sai, …) • Bước 3: Xác định phân phối xác suất thích hợp thống kê kiểm định (ví dụ t, χ 2, hay F) • Bước 4: Chọn mức ý nghĩa α nhận sai lầm loại I) • Bước 5: Chọn phương pháp kiểm định thích hợp (xây dựng khoảng tin cậy hay kiểm định ý nghĩa) 55 giả thiết H1 (đó xác suất chấp [...]... trong các sách thống kê và kinh tế lượng thường có kèm phụ lục bảng thống kê giá trị phân phối xác suất tích lũy (CDF) hay giá trị xác hàmsuất tích lũy của phân phối chuẩn hóa giữa các giá trị Z = -3 và Z = 3 (tại sao?) Theo bảng thống kê này thì xác suất Z nằm từ -3 đến 1.67 là 0.95253 Cho nên, P(Z > 1.67) = 1 – P(Z < 1.67) = 1 – 0.9525 = 0.0475 Vây xác suất để một ngày bất kỳ công ty có số lượt khách... kiện Một khái niệm thống kê khác đặc biệt quan trọng trong phân tích hồi qui là khái niệm kỳ vọng có điều kiện E(X|Y=y) = Độ nghiêng và độ nhọn Xf (X / Y = ta y) biết điều ∑ (3.38) Độ nghiêng và độ nhọn cho gì đó về hình dạng X của phân phối xác suất Độ nghiêng (S) là một thước đo sự mất cân xứng của đồ thị phân phối xác suất, và độ nhọn (K) là một thước đo độ cao hay thấp của đồ thị phân phối xác suất. .. dụ về số lượt khách du lịch quốc tế tại một công ty du lịch như đã đề cập Biết rằng, trong giai đoạn 15 ngày qua, số lượt khách quốc tế trung bình một ngày là 72 và phương sai mẫu là 4 Hãy tính xác suất để có được số lượt khách trung bình đó, biết rằng giá trị trung bình thực là 70 khách một ngày? Nếu biết độ lệch thực của tổng thể (σ ) thì ta có thể dễ dàng sử dụng phân phối chuẩn hóa để tính xác suất. .. chuẩn hay không chuẩn đều có phân phối chuẩn Phân phối t Phân phối xác suất được sử dụng rất nhiều trong phần kinh tế lượng căn bản là phân phối t, cũng được gọi là phân phối t Student 6 Trên thực tế, cho dù phân phối xác suất nền tảng là gì, trung bình mẫu của một cở mẫu ít nhất có 30 quan sát sẽ có thể xấp xỉ chuẩn (Gujarati, 2006, pp.88) 23 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình... Hệ số tương quan sau: tổng thể (ρ , rho) được xác định như cov(X, ρ (3.36) Y) = σ xσ Tính chất của hệ số tương quan y • Giống hiệp phương sai, hệ số tương quan có thể âm hoặc dương • Hệ số tương quan là một thước đo mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến (3.37) • -1 ≤ ρ ≤ 1 • Hệ số tương quan là một con số thuần túy không có đơn vị đo lường • Nếu hai biến độc lập, hệ số tương quan bằng không • Hệ số. .. kinh tế lượng cơ bản nên cuốn sách này sẽ không đề cập F(m,n = 2 10 Hàm phân phối xác suất F trên Excel là: =FDIST(X, Deg_freedom1, Deg_freedom2) “X” nghĩa là giá trị F cần tính xác suất (ví dụ 4), nghĩa là diện tích dưới đường phân phối F từ F đến +∞ (ta sẽ biết đây chính là vùng bác bỏ giả thiết H0) “Deg_freedom1” là số bậc tự do của tử số (ví dụ 2) “Deg_freedom2” là số bậc tự do của mẫu số (ví dụ 14)... Một tắc, một công thức, hay một thống kê cho ta biết làm sao để ước lượng một đại lượng của tổng thể Giả sử X có 7 quan sát với các giá trị như sau: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 Vậy X = 11, và con số 11 này được gọi là một giá trị ước lượng của trung bình tổng thể Thao tác với Eviews Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar meanX=@mean(x) 14 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Phương... nếu ta đã biết xác suất tích lũy, giá trị trung bình và phương sai thì ta dễ dàng tính giá trị của biến đó như sau: =NORMINV(0.9525,0,1) = 1.67 4 Đây là cơ sở quan trọng cho việc giả định rằng hạn nhiễu ui có phân phối chuẩn (sẽ được nói đến ở bài giảng 6) 20 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Phân phối xác suất của trung bình mẫu X Giả sử ta chọn ngẫu nhiên một mẫu với n quan...  2 n ) x = 2 n 22 BÀI GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình biến ngẫu nhiên được gọi là độ lệch chuẩn (s.d.), và căn bậc hai của một ước lượng được gọi là sai số chuẩn (se) Định lý giới hạn trung tâm Như ta vừa phân tích, trung bình mẫu của một mẫu rút ra từ một tổng thể phân phối chuẩn cũng theo phân phối chuẩn (bất kể cở mẫu bao nhiêu) Vấn đề đặt ra là nếu các mẫu rút ra từ các... GIẢNG 3: ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ThS Phùng Thanh Bình Thao tác với Eviews Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar skewX=@skew (x) scalar kurtX=@kurt(x) MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUAN TRỌNG Phân phối chuẩn hợp lý cho một biến ngẫu nhiên liên tục với giá trị của phối mỗi yếu tố chỉ có nóKinh phụ nghiệm thuộc cho vào thấy nhiềurằng yếu phân tố, nhưng hình ảnh hưởng chuẩn tương là đốimột nhỏmôlên giá