Một số vấn đề cơ bản về xác suất thống kê trong kinh tế lượng

1. Ký hiệu tổng 2. Phép thử, không gian mẫu và biến cố 3. Biến ngẫu nhiên 4. Xác suất 5. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất 6. Hàm mật độ xác suất đa biến 7. Đặc điểm của các phân phối xác suất 8. Một số phân phối xác suất quan trọng 9. Một số phép toán ma trận 10. Suy diễn thống kê

BÀI GIẢNG 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN

VỀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG KINH TẾ LƯỢNG

MỤC TIÊU BÀI GIẢNG:

1 Ký hiệu tổng

2 Phép thử, không gian mẫu và biến cố

3 Biến ngẫu nhiên

4 Xác suất

5 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

6 Hàm mật độ xác suất đa biến

7 Đặc điểm của các phân phối xác suất

8 Một số phân phối xác suất quan trọng

9 Một số phép toán ma trận

10 Suy diễn thống kê

ĐỐI TƯỢNG BÀI GIẢNG:

1 Tài liệu bài giảng cho sinh viên đại học

2 Tài liệu tham khảo ôn tập cho học viên cao học

KÝ HIỆU TỔNG

Ký hiệu tổng

Ký tự  (sigma) được thống nhất sử dụng để chỉ tổng:

n 2

1 n

1 i i

  

Thao tác với Eviews

Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar sumX=@sum(x)

Tính chất của phép toán tổng

1 Khi k là một hằng số

nkk

n 1 i

n 1

Xk

1) Không biết chắc kết quả nào xảy ra

2) Nhưng biết được các kết quả có thể xảy ra

Không gian mẫu hay tổng thể

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là tổng thể hay không gian mẫu

Biến cố

Một biến cố là một nhóm các kết quả có thể xảy ra củ một phép thử Nói cách khác, đó là một tập hợp con của không gian mẫu

Các phép tính về biến cố:

 Biến cố hội (AB): A xảy ra hay B xảy ra

 Biến cố giao (AB): A xảy ra vả B xảy ra

 Biến cố phụ (A):A xảy ra, A không xảy ra

 Biến cố xung khắc: AB = 

BIẾN NGẪU NHIÊN

Ví dụ, tung hai đồng xu, quan sát và lập thành bảng kết quả của các phép thử như sau:

 BẢNG 3.1: Định nghĩa khái niệm biến ngẫu nhiên

Đồng xu thứ

nhất

Đồng xu thứ hai

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 25

Ta gọi biến “số mặt ngửa” là một biến ngẫu nhiên Nói một

cách tổng quát, một biến mà giá trị (bằng số) của nó được xác định bởi kết quả của một phép thử được gọi là một biến ngẫu nhiên Như vậy, biến ngẫu nhiên là biến mà giá trị của nó được xác định một cách ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên có thể có giá trị rời rạc hoặc

liên tục Một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ có một số giá trị hữu hạn (hoặc vô hạn có thể đếm được) Một biến ngẫu

nhiên liên tục là một biến ngẫu nhiên có bất kỳ giá trị

nào trong một khoảng giá trị nào đó

XÁC SUẤT

Xác suất của một biến cố: Định nghĩa cổ điển

Nếu một phép thử có thể có n kết quả loại trừ nhau và có

khả năng xảy ra như nhau, và nếu m kết quả từ phép thử

này hợp thành biến cố A, thì P(A), xác suất để A xảy ra,

là tỷ số m/n

n

m ) A (

Xác suất của một biến cố: Tần suất tương đối

Để giới thiệu khái niệm này, ta xem ví dụ sau đây Dữ liệu trong bảng 3.1 là phân phối điểm điểm thi mô kinh tế

vi mô của 200 sinh viên Đây là một ví dụ về phân phối

tần suất cho biết các điểm ngẫu nhiên được phân phối như

thế nào Các con số trong cột 3 là các tần suất tuyệt

đối, nghĩa là số lần xảy ra của một biến cố nhất định

Các con số trong cột 4 được gọi là các tần suất tương

đối, nghĩa là số tần suất tuyệt đối chia tổng số lần xảy

ra

 BẢNG 3.2: Phân phối điểm KTL của 200 sinh viên

Điểm Điểm giữa của

khoảng

Tần suất tuyệt đối

Tần suất tương

đối 0-9

0

0

0 0.050 0.100 0.175 0.250 0.225 0.150 0.050 1.000

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 28

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị

x1, x2, thì hàm f được xác định bởi

f(X=xi) = P(X=xi) i = 1, 2, … (3.7)

=0 nếu x ≠ xi được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X,

ký hiệu là PMF hay PF, trong đó, P(X=xi) là xác suất X có giá trị xi Hàm PMF có các tính chất sau:

0  f(xi)  1 (3.8)



n 1

1)x

Ví dụ, biến X là số mặt ngửa khi tung hai đồng xu, ta xét bảng sau đây:

0.5

0.25

Hình 3.1: PMF của biến ngẫu nhiên rời rạc

 BẢNG 3.3: PMF của biến ngẫu nhiên rời rạc

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 34

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ, gọi X là biến chiều cao của một người, được đo bằng mét Giả sử ta muốn tính xác suất để chiều cao của một người trong khoảng 1.56m đến 1.80m

Hình 3.2: PDF của một biến ngẫu nhiên liên tục

P(x1 X x2) = 2

1

x x

dx)x(

 Tổng diện tích dưới đường f(x) bằng 1

 P(x1  X  x2) là diện tích dưới đường f(x) giữa x1 và

x2, với x2 > x1

 Vì xác suất để một biến ngẫu nhiên nhận một giá trị nhất định bằng không, nên các công thức dưới đây là tương đương nhau:

P(x1 X  x2) = P(x1  X  x2) = P(x1  X x2) = P(x1  X  x2) (3.11)

Hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên

Liên quan đến PMF hay PDF của một biến ngẫu nhiên X là hàm phân phối tích lũy của biến đó, được xác định như sau:

F(X) = P(X  x) (3.12) P(X  x) nghĩa là xác suất để một biến ngẫu nhiên X có giá trị nhỏ thua hoặc bằng x, với x đã biết CDF có các tính chất như sau:

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 37

Như vậy, CDF chỉ là tích lũy hay đơn giản là tổng của các PDF của các giá trị X nhỏ thua hoặc bằng x

Các hàm mật độ xác suất đa biến

Ví dụ, một đại lý bán lẻ máy tính bán hai loại thiết bị

là máy tính cá nhân và máy in Số máy tính và máy in được

bán thay đổi giữa các ngày khác nhau, nhưng giám đốc đại

lý đã thu thập doanh số của 200 ngày qua như trong bảng sau

 BẢNG 3.5: Phân phối tần suất của hai biến ngẫu nhiên X và Y

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 39

Bảng trên cho thấy trong 200 ngày có 30 ngày đại lý bán được 4 máy tính và 4 máy in, có 2 ngày bán được 4 máy tính nhưng không bán được máy in nào Giải thích tương tự

cho các con số còn lại Đây là một ví dụ về phân phối tần

suất kết hợp Nếu chia từng con số trong bảng trên cho

200, ta sẽ có các tần suất tương đối

 BẢNG 3.6: Phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên X và Y

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 39

Do hai biến X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, nên bảng 3.6 được gọi là hàm phân phối xác suất kết hợp của hai biến ngẫu nhiên

f(X,Y) = P(X = x và Y = y) (3.13) = 0 khi X  x và Y  y

Hàm xác suất biên

Xác suất X nhận một giá trị nhất định bất kể Y nhận giá trị gì được gọi là xác suất biên của X, và phân phối của các xác suất này được gọi là hàm phân phối xác suất biên

 BẢNG 3.7: Phân phối xác suất biên của X và Y

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 41

Từ bảng xác suất kết hợp giữa X và Y ta có thể tính các hàm xác suất biên như sau:

f(X) = 

y

)Y,X(f

f(Y) =

x

)Y,X(

Nếu hai biến X và Y là hai biến ngẫu nhiên liện tục thì

ta sẽ thay ký hiệu tổng thành ký hiệu tích phân

Hàm xác suất điều kiện

Giả sử ta muốn tìm xác suất có 4 máy in được bán nếu biết

có 4 máy tính được bán trong này, và đó chính là xác suất

có điều kiện Hàm phân phối xác suất có điều kiện của một biến ngẫu nhiên có thể được định nghĩa như sau:

F(YX) = P(Y=yX=x) (3.14) F(XY) = P(X=xY=y) (3.15) Một công thức đơn giản để tính hàm phân phối xác suất có điều kiện sẽ như sau:

F(YX) =

)X(

)Y,X(

(3.16)

F(XY) =

)Y(

)Y,X(

(3.17)

CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Giá trị kỳ vọng: Thước đo định tâm

Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc, ký hiệu

là E(X), được định nghĩa như sau:

E(X) = X = 

x

)X(

Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên là trung bình có trọng số của các giá trị có thể có của biến đó, với xác suất của các giá trị này, f(X), đóng vai trò như các trọng số Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên cũng được gọi là giá trị trung bình, mặc dù chính xác hơn là giá trị trung bình tổng thể

)X(E

Phương sai: Thước đo phân tán

Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên đơn giản chỉ cho biết trọng tâm của biến đó ở đâu chứ không cho biết các giá trị riêng lẻ của biến đó phân tán như thế nào xung quanh giá trị trung bình Thước đo phổ biến nhất cho sự phân tán này là phương sai, và được định nghĩa như sau:

var(X) = 2x= E(X-x)2 (3.27) var(X) = (Xx)2f(X) (3.28)

Phương sai cho biết các giá trị X riêng lẻ được phân phối hay phân tán xung quanh giá trị trung bình như thế nào Nếu các giá trị X phân tán rộng quanh giá trị trung bình thì phương sai sẽ tương đối lớn (xem Hình 3.3) Căn bậc hai của phương sai là độ lệch chuẩn, ký hiệu là x

Hình 3.3: PDF của các biến ngẫu nhiên liên tục cùng giá trị kỳ vọng

Tính chất của phương sai

 Phương sai của một hằng số bằng không

 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, thì

var(X+Y) = var(X) + var(Y) (3.29) var(X-Y) = var(X) – var(Y)

Phương sai quá lớn

X

 Để tiện lợi cho việc tính toán, công thức phương sai cũng có thể được viết lại như sau:

var(X) = E(X2) – [E(X)]2 (3.33)

Hệ số biến thiên

Lưu ý rằng, vì độ lệch chuẩn (hay phương sai) phụ thuộc vào các đơn vị đo lường khác nhau, cho nên sẽ khó cho việc so sánh giữa các độ lệch chuẩn nếu chúng có các thước đo khác nhau Để giải quyết vấn đề này, ta có thể

sử dụng hệ số biến thiên (V) như sau:

Hiệp phương sai

Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên với E(X) = x và E(Y)

= y, thì hiệp phương sai (cov) giữa hai biến sẽ như sau:

Cov(X,Y) = E[(X-x)(Y-y)]

= E(XY) - xy (3.35) Hiệp phương sai giữa hai biến có thể dương, âm, hoặc bằng không Nếu hai biến vận động theo cùng chiều, thì hiệp phương sai sẽ dương, nếu khác chiều, thì hiệp phương sai

sẽ âm Nếu hiệp phương sai giữa hai biến bằng không, thì

có nghĩa là không có mối quan hệ tuyến tính nào giữa hai biến đó

Ta có thể tính hiệp phương sai theo công thức sau đây:

)Y,X(fY

)(

X(

)Y,X(

= E(XY) - xy

Tính chất của hiệp phương sai

 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, hiệp phương sai của chúng bằng không vì khi đó E(XY) = E(X)E(Y) = xy

 cov(a+bX, c+dY) = bdcov(X,Y) (3.37)

 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên nhưng không nhất thiết phải độc lập, thì công thức tính phương sai (3.29) được viết lại như sau:

var(X+Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y) (3.39) var(X-Y) = var(X) + var(Y) – 2cov(X,Y) (3.40)

)Y,Xcov(



Tính chất của hệ số tương quan

 Giống hiệp phương sai, hệ số tương quan có thể âm hoặc dương

 Hệ số tương quan là một thước đo mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến

 Hệ số tương quan là một con số thuần túy không có đơn

vị đo lường

 Nếu hai biến độc lập, hệ số tương quan bằng không

 Hệ số tương quan không hàm ý mối quan hệ nhân quả

Độ nghiêng và độ nhọn

Độ nghiêng và độ nhọn cho ta biết điều gì đó về hình dạng của phân phối xác suất Độ nghiêng (S) là một thước đo sự mất cân xứng của đồ thị phân phối xác suất, và độ nhọn (K) là một thước đo độ cao hay thấp của đồ thị phân phối xác suất

Mô men thứ ba: E(X-x)3 (3.39)

Mô men thứ tư: E(X-x)4 (3.40)

S = 3

x

3

x) X

( E







(3.41)

Hình 3.4: Độ nghiêng của phân phối

Có ba khả năng xảy ra như sau:

 Nếu S = 0, PDF đối xứng quanh giá trị trung bình

 Nếu S > 0, PDF bị nghiêng phải

 Nếu S < 0, PDF bị nghiêng trái

x

4 x

] ) X

( E [

) X

( E

Có ba khả năng xảy ra như sau:

 Nếu K = 3, PDF có độ nhọn chuẩn và được gọi là mesokurtic

 Nếu K < 3, PDF có đuôi ngắn và được gọi là platykurtic

 Nếu K > 3, PDF có đuôi dài và được gọi là leptokurtic

X

Đối xứng

Hình 3.5: Độ nhọn của phân phối

TỪ TỔNG THỂ ĐẾN MẪU

Trung bình mẫu

Trung bình mẫu của một biến ngẫu nhiên X có n quan sát được ký hiệu là X (đọc là X ngang) và được định nghĩa như sau:







n 1 i

i

n

X

Trung bình mẫu được xem là một ước lượng của E(X), từ

trung bình tổng thể Một ước lượng đơn giản là một qui tắc, một công thức, hay một thống kê cho ta biết làm sao

để ước lượng một đại lượng của tổng thể Giả sử X có 7 quan sát với các giá trị như sau: 8, 9, 10, 11, 12, 13,

14 Vậy X = 11, và con số 11 này được gọi là một giá trị

ước lượng của trung bình tổng thể

Thao tác với Eviews

Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar

Phương sai mẫu

Phương sai mẫu được ký hiệu bằng S , là ước lượng của 2xphương sai tổng thể 2

2 i

2 x

1n

)XX(

n-1 được gọi là số bậc tự do (d.f.) Bậc tự do là số nguồn thông tin (piece of information) về một biến ngẫu nhiên Để hiểu khái niệm này, ta xét ví dụ sau đây

 BẢNG 3.8: Định nghĩa khái niệm bậc tự do

là độ lệch chuẩn mẫu (s.d.) Độ lệch chuẩn (2.16) được xem như một thước đo sấp xỉ cho trung bình của 6 độ lệch tuyệt đối ở trên Mở rộng cho trường hợp một biến ngẫu nhiên liên tục

Thao tác với Eviews

Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar varX=@var(x)

1 Chứng minh: ( X  X ) X X X  n X X X  0

Hiệp phương sai mẫu

Hiệp phương sai mẫu giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y là ước lượng của hiệp phương sai tổng thể, và được định nghĩa như sau:

Cov(X,Y) =

1n

)YY)(

XX



(3.45) Thao tác với Eviews

Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar

covXY=@cov(x,y)

Hệ số biến thiên mẫu

Hệ số biến thiên mẫu của X được xác định bằng công thức sau đây:

V = 100

X

Sx

(3.46) Thao tác với Eviews

Trên cửa sổ lệnh của Eview ta nhập: scalar

cvX=@stdev(x)/@mean(x)

Hệ số tương quan mẫu

Hệ số tương quan mẫu giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y là ước lượng của hệ số tương quan tổng thể, và được định nghĩa như sau:

)Y.(

d.s)X.(

d.s

)1n/(

)YY)(

XX(

r  i  i  

Thao tác với Eviews

Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập: scalar

)XX

)XX



 

(3.49)

Thao tác với Eviews Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập:

scalar skewX=@skew (x) scalar kurtX=@kurt(x)

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUAN TRỌNG

Phân phối chuẩn

Kinh nghiệm cho thấy rằng phân phối chuẩn là một mô hình hợp lý cho một biến ngẫu nhiên liên tục với giá trị của

nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố, nhưng mỗi yếu tố chỉ có ảnh hưởng tương đối nhỏ lên giá trị của biến số đó Phân phối chuẩn của một biến ngẫu nhiên X được thể hiện thông qua hai tham số cơ bản là giá trị trung bình và phương sai Cụ thể như sau:

Tính chất của phân phối chuẩn

 Đường phân phối chuẩn đối xứng quanh giá trị trung bình x

 Hàm phân phối xác suất PDF của một biến ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn cao nhất tại giá trị trung bình nhưng nhỏ dần về các cực trị của nó Nghĩa là, xác suất để có một giá trị của một biến ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn càng xa giá trị trung bình càng nhỏ

 Theo kinh nghiệm, khoảng 68% diện tích dưới đường phân phối chuẩn nằm giữa giá trị x±x, khoảng 95% diện tích nằm giữa x±2x, và khoảng 99.7% diện tích nằm giữa x±3x

 Một phân phối chuẩn được định nghĩa hoàn toàn bởi hai tham số x và 2x Một khi biết được hai tham số này thì ta có thể tính được xác suất của X nằm trong một khoảng nhất định theo công thức sau:

1-exp2Πσ

1

 Một kết hợp (hay một hàm) tuyến tính của hai hay nhiều biến ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn sẽ theo phân phối chuẩn – đây là một tính chất đặc biệt quan trọng của phân phối chuẩn trong kinh tế lượng

 Đối với phân phối chuẩn, thì độ nghiêng S là 0 và độ nhọn K là 3

Phân phối chuẩn hóa

Mặc dù một phân phối chuẩn hoàn toàn được xác định bằng hai tham số, giá trị trung bình và phương sai tổng thể, nhưng các phân phối chuẩn có thể khác nhau hoặc ở giá trị trung bình, hoặc phương sai, hoặc cả hai

Hình 3.7: So sánh các phân phối chuẩn có trung bình và phương sai khác nhau

Ta không thể so sánh các phân phối chuẩn có các tính chất khác nhau Cho nên, người ta qui về cùng một biến chuẩn hóa Z như sau:

x x

XZ

không và phương sai là một, Z ~ N(0, 1)2

Như vậy, bất kỳ một biến ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn với một giá trị trung bình và phương sai nhất định đều có thể được chuyển đổi thành một biến chuẩn hóa, điều này giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính xác suất Để hiểu vai trò của phân phối chuẩn hóa, ta xem xét ví dụ sau đây

x X

do E(X-  x ) = E(X) – E(  x ) =  x -  x = 0 Và Var(Z) =

E[Z-E(Z)]2 = E(Z2), do E(Z) = 0, vậy E(Z2) = E 2x 1

2 x

1 2 ) x X ( E 2 x 1 2 x x

Giả sử X, số lượt khách du lịch quốc tế hàng ngày của một công ty du lịch, theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 70 và phương sai là 9; nghĩa là, X ~ N(70,9) Hãy tính xác suất cho một ngày bất kỳ công ty có số khách du lịch quốc tế nhiều hơn 75 khách?

Ta thấy, do X theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai đã biết, nê ta có:

67.13

7075

Z  

sẽ theo phân phối chuẩn hóa với trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1 Thay vì tìm P(X > 75), ta có thể tìm P(Z > 1.67) Lưu ý, trong các sách thống kê và kinh tế lượng thường có kèm phụ lục bảng thống kê giá trị hàm phân phối xác suất tích lũy (CDF) hay giá trị xác suất tích lũy của phân phối chuẩn hóa giữa các giá trị Z = -3

và Z = 3 (tại sao?) Theo bảng thống kê này thì xác suất

Z nằm từ -3 đến 1.67 là 0.95253 Cho nên,

P(Z > 1.67) = 1 – P(Z < 1.67) = 1 – 0.9525 = 0.0475 Vây xác suất để một ngày bất kỳ công ty có số lượt khách

du lịch nhiều hơn 75 người là 4.75%

Tóm lại, một biến ngẫu nhiên bất kỳ mà giá trị của nó phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố, nhưng không có yếu tố nào

có ảnh hưởng quyết định giá trị đó, thì biến ngẫu nhiên

đó sẽ theo phân phối chuẩn4 Và bất kỳ một biến X có phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai đã biết thì đều có thể chuyển được sang biến chuẩn hóa Z có giá trị trung bình là 0 và phương sai là 1

Thao tác với Eviews Trên cửa sổ lệnh của Eviews ta nhập:

scalar probm167=1-@cnorm(1.67) = 0.0475 scalar probs167=@cnorm(1.67) = 0.9525 scalar probs_167=@cnorm(-1.67) = 0.0475 scalar Zval09525=@qnorm(0.9525) = 1.67

3 Nếu quí vị đang sử dụng máy vi tính mà lụi cụi tra bảng thống kê thì cô ấy nhà bên nhìn qua cười khúc khít đó Hãy mở Excel ra là làm thế này: = NORMDIST(X, Mean, Standard_dev, Cumulative) Trong đó, “X” là giá trị cần tính xác suất tích lũy (1.67), “Mean” và “Standard_dev” ở đây lần lượt là trung bình (0) và độ lệch chuẩn (1) của biến X, và “Cumulative” có hai lựa chọn là “True” (đồng ý tính xác suất tích lũy) và “False” (không tính xác suất tích lũy) Ở trường hợp đang xét, ta chọn “True” Ngược lại, nếu ta đã biết xác suất tích lũy, giá trị trung bình và phương sai thì ta dễ dàng tính giá trị của biến đó như sau: =NORMINV(0.9525,0,1) = 1.67

4 Đây là cơ sở quan trọng cho việc giả định rằng hạn nhiễu u i có phân phối chuẩn (sẽ được nói đến ở bài giảng 6)

Phân phối xác suất của trung bình mẫuX

Giả sử ta chọn ngẫu nhiên một mẫu với n quan sát gồm các giá trị X1, X2, …, Xn từ một tổng thể có cùng hàm phân phối xác suất Nếu ta thực hiện m mẫu như thế thì giá trị trung bình mẫu X sẽ là một biến ngẫu nhiên Như vậy, vấn

đề đặt ra là X sẽ có phân phối như thế nào?

 BẢNG 3.9: Định nghĩa biến trung bình mẫu và phương sai mẫu

Mẫu Giá trị của mẫu Giá trị trung bình mẫu X Phương sai mẫu 2

m

X

2 1

S

2 2

S

2 3

S

2 xn

S

Ví dụ, một tổng thể có phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 10 và phương sai là 4, tức N(10,4) Từ tổng thể này ta thu thập 20 mẫu ngẫu nhiên với 20 quan sát/mẫu Như vậy ta sẽ có các giá trị trung bình, X như sau

 BẢNG 3.10: Phân phối xác suất của trung bình mẫu

Tần suất tương đối 9.641

1.00

Nguồn: Gujarati, 2006, trang 86

Tổng của 20 giá trị trung bình là 201.05, 10.052

 

Hình 3.8: Phân phối của 20 giá trị trung bình mẫu từ tống thể có N(10,4)

Lý thuyết thống kê cho rằng, nếu X1, X2, …, Xn là một mẫu ngẫu nhiên từ một tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình x và phương sai 2

x

 , thì trung bình mẫu, X,cũng theo

phân phối chuẩn với trung bình x nhưng phương sai

n

2 x

 5 Nghĩa là,

n

2 x

là sai số chuẩn (se) của X, tương tự như khái niệm độ lệch chuẩn Lưu ý, căn bậc hai của phương sai của một

5 Chứng minh: Do 



1 i i X n

1

X nên ta có:

x ) x n ( n

1 ] x

x x [ n

1 )]

n X ( E

) 2 X ( E ) 1

) 2 X var(

) 1 X [var(

2

1 n

n X

2 X 1

biến ngẫu nhiên được gọi là độ lệch chuẩn (s.d.), và căn bậc hai của một ước lượng được gọi là sai số chuẩn (se)

Định lý giới hạn trung tâm

Như ta vừa phân tích, trung bình mẫu của một mẫu rút ra

từ một tổng thể phân phối chuẩn cũng theo phân phối chuẩn (bất kể cở mẫu bao nhiêu) Vấn đề đặt ra là nếu các mẫu rút ra từ các tổng thể khác không theo phân phối chuẩn

thì sao? Định lý giới hạn trung tâm cho rằng nếu X 1 , X 2 ,

trung bình là x và phương là 2x, thì trung bình mẫu X sẽ

có xu hướng theo phân phối chuẩn với trung bình là x và phương sai là

n

2 x

 khi cỡ mẫu tăng lên vô cùng6

Hình 3.9: Định lý giới hạn trung tâm: Các mẫu được rút ra từ một tổng thể chuẩn hay

không chuẩn đều có phân phối chuẩn

Phân phối mẫu của giá trị trung bình

Tổng thể có phân phối chuẩn

Tổng thể không có phân

phối chuẩn

Phân phối t

Phân phối xác suất được sử dụng rất nhiều trong phần kinh

tế lượng căn bản là phân phối t, cũng được gọi là phân phối t Student

6 Trên thực tế, cho dù phân phối xác suất nền tảng là gì, trung bình mẫu của một cở mẫu ít nhất có 30 quan sát sẽ

có thể xấp xỉ chuẩn (Gujarati, 2006, pp.88)



Nếu X ~ N(x,

n

2 x

), thì biến chuẩn hóa Z được định nghĩa như sau: Z =

n

)X(

n

2

x



đều được biết Nhưng giả sử ta chỉ biết x và giá trị

ước lượng của 2xbởi ước lượng mẫu

1n

)XX(S

2 i 2

)X(

x x

Phân phối chuẩn Phân phối t với df=1 Phân phối t với df=4 Phân phối t với df=10

Hình 3.10: Phân phối t với một số bậc tự do khác nhau

t

Tính chất của phân phối t

 Giống như phân phối chuẩn, phân phối t đối xứng quanh giá trị trung bình

 Trung bình của phân phối t, giống như phân phối chuẩn hóa, là không, nhưng phương sai là k/(k-2), với k là

số bậc tự do Vì vậy, phương sai của phân phối t chỉ được xác định khi số bậc tự do d.f > 2

Để mimh họa ứng dụng của phân phối t trên thực tế ta xét tiếp ví dụ về số lượt khách du lịch quốc tế tại một công

ty du lịch như đã đề cập Biết rằng, trong giai đoạn 15 ngày qua, số lượt khách quốc tế trung bình một ngày là 72

và phương sai mẫu là 4 Hãy tính xác suất để có được số lượt khách trung bình đó, biết rằng giá trị trung bình thực là 70 khách một ngày?

Nếu biết độ lệch thực của tổng thể () thì ta có thể

dễ dàng sử dụng phân phối chuẩn hóa để tính xác suất trên Nhưng ở đây ta có S, là một ước lượng của , nên ta

có thể sử dụng phân phối t như sau:

153

7072

t 

=1.9365

sẽ theo phân phối chuẩn hóa với trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1.17 Thay vì tìm P(X72), ta có thể tìm P(t > 1.9365) Áp dụng hàm phân phối t7 cho trường hợp một đuôi ta có:

=TINV(Probability, Deg_freedom) Ví dụ, =TINV(3.66%,14) = 1.9365 Lưu ý, Phụ lục B ở cuối bài giảng 3 sẽ hướng dẫn cách vẽ đồ thị phân phối t bằng Excel

Phân phối xác suất Chi bình phương ( 2)

Ta đã xác định phân phối xác suất của trung bình mẫu, X, vậy còn phương sai mẫu,

1n

)XX(S

2 i 2



 sẽ có phân phối như thế nào? Phân phối xác suất cần cho mục đích này chính là phân phối xác suất Chi bình phương (2), cũng là một phân phối có mối quan hệ rất gần với phân phối chuẩn Lưu ý, giống như trung bình mẫu, phương sai mẫu cũng thay đổi từ mẫu này qua mẫu khác Cho nên, giống như trung bình mẫu, phương sai mẫu cũng là một biến ngẫu nhiên

Ta biết rằng nếu một biến ngẫu nhiên X theo phân phối chuẩn với trung bình là x và phương sai là 2x, X~N(x,2x), thì biến chuẩn hóa Z~N(0,1) Lý thuyết thống

kê cho rằng bình phương của một biến chuẩn hóa có phân phối Chi bình phương (2) với một bậc tự do Ký hiệu như sau:

Z2 ~ 2

(1) (3.55) Giống như phân phối t, bậc tự do là tham số của phân phối Chi bình phương (2) Ở phương trình (3.55) chỉ có một bậc

tự do vì ta đang xét bình phương của một biến chuẩn hóa8

Giả sử Z1, Z2, …, Zk là các biến chuẩn hóa độc lập (mỗi biến Z là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1) Nếu ta lấy bình phương từng biến này, thì tổng của các biến Z bình phương này cũng theo phân phối Chi bình phương với k bậc tự do

2 ) k (

2 1

2 1

2 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Hình 3.11: Phân phối chi bình phương với các bậc tự do khác nhau

Tính chất của phân phối 2

 Khác phân phối chuẩn, phân phối Chi bình phương9 chỉ

có giá trị dương từ 0 đến vô cùng

 Khác phân phối chuẩn, phân phối Chi bình phương là một phân phối nghiêng, độ nghiêng của phân phối phụ thuộc vào số bậc tự do Khi bậc tự do thấp, phân phối Chi bình phương bị nghiêng phải, nhưng khi bậc tự do tăng lên, phân phối sẽ đối xứng và dần về phân phối chuẩn

 Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên theo phân phối Chi bình phương là k và phương sai là 2k (k là

số bậc tự do) Đây là một tính chất đáng chú ý của phân phối Chi bình phương vì phương sai gấp đôi giá trị trung bình

9 Hàm phân phối xác suất Chi bình phương trên Excel là: =CHIDIST(X, Deg_freedom) “X” nghĩa là giá trị  2

cần tính xác suất (ví dụ 6), nghĩa là diện tích dưới đường phân phối Chi bình phương từ  2 đến +  (ta sẽ biết đây chính là vùng bác bỏ giả thiết H 0 ) “Deg_freedom” là số bậc tự do (ví dụ 2) Giá trị xác suất ta tính được từ công thức này (4.98%) chính là P-Value Nếu ta đã biết mức ý nghĩa (sẽ được trình bày ở bài giảng 4) và số bậc tự do,

ta sẽ tìm được giá trị  2 theo công thức sau: =CHIINV(Probability, Deg_freedom) Ví dụ, =CHIINV(4.98%,2)

=6 Lưu ý, Phụ lục C ở cuối bài giảng 3 sẽ hướng dẫn cách vẽ đồ thị phân phối  2 bằng Excel