Bai tap Xác suất thống kê

BÀI TẬP MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bài Tập chương I 1.1 Tuổi thọ PC tính từ lúc bắt đầu hoạt động đến hỏng a) Xác định thí nghiệm ngẫu nhiên gắn với tuổi thọ PC b) Không gian mẫu gì? c) Xác định biến cố xung khắc d) Xác định biến cố có giao khác trống Ans S     (0; ); (0;1000) and ( 2000); (0; 1000) and (900; 2000) 1.2.* Các khách hàng lui tới máy rút tiền tự động Họ muốn rút lượng tiền ngẫu nhiên 50 ngàn đồng Hãy rõ không gian mẫu Đây phải không gian mẫu rời rạc? Chỉ biến cố quan tâm Ans S  {50,100, ,10 4} ; yes, and finite; ( 103 ); (103 ; 5.103 ); (5.10  10 ) (to me!) 1.3.** Xét thí nghiệm ngẫu nhiên tung súc sắc đơn lần đếm số dấu chấm mặt Giả sử P({6})  0,3 tất mặt khác đồng khả Tìm xác suất biến cố A  {2, 4, 6}, B  {1, 5}, C  {1, 2, 3, 4} , and D  A  (B  C) Ans 0.58; 0.28; 0.56; 0.44 1.4 Let P(A) = 0.9; P(B) = 0.8 Chứng tỏ P  A  B   0.7 1.5.* P(A) = 0.9, P(B) = 0.8; P  A  B   0.75, Cho   (c) P A  B tìm (a) P  A  B  ; (b) P  A  B  ; Ans 0.95; 0.15; 0.05 n  n 1.6 Chứng minh bất đẳng thức Boole P   Ai     A i     i1  i 1 1.7.** Xét mạch điện hình vẽ Các công tắc đóng mở với khả Tìm xác suất để có đường dẫn đầu nối A B Hint S  (i, j, k, l); i, j, k,l  0,1 Then S contains  16 points They are equally likely (prob 1/16) A Ans 0.688 B 1.8 Chúng ta đặt ngẫu nhiên n hạt (phân tử) vào m > n hộp Tìm xác suất P để hạt tìm thấy n hộp chọn trước (mỗi hạt hộp) Xét trường hợp sau: (a) M–B (Maxwell-Boltzmann) – hạt coi khác nhau; tất khả được, (b) B–E (Bose-Einstein) – Không thể phân biệt hạt, tất khả được, (c) F–D (Fermi-Dirac) – Không thể phân biệt hạt, hộp chứa nhiều hạt Ans n! m  n ! n! n! m  1! ; ; m! m n  m  n  1! 1.9* Một thí nghiệm ngẫu nhiên có không gian mẫu S  a,b,c Giả sử P a,c  0.75 P b,c  0.6 Tím xác suất biến cố sơ cấp ĐS P  a   0.4, P  b   0.25, P  c   0.35 1.10* Giả sử có m sinh viên sinh năm 1990 tham dự giảng Tìm xác suất có sinh viên trùng ngày sinh chứng tỏ p  / m  23 ĐS  (365)!/ {(365  m)!365m} 1.11 Khi chơi xì, bạn chia ngẫu nhiên quân Với quy ước quân át coi cao thấp, rằng: P  pair  0,423; P  pair  0,0475; P  of kind  0, 021; P  of kind  0,00024; P  straight  0,0039; P  full house  0,0014 Hint 2 C113 C 34 C12 (C14 )3 ; C13 (C 24 )2 C111 C14 ; C113 C34 C12 (C14 )2 C113 C 34 C12 (C 42 ) ; 10(C14 )5  10C14 ; C14 C13 1.12** (Một) Tàu hỏa xe bus tới ga thời điểm ngẫu nhiên từ đến 10 Tàu dừng 10 phút xe bus dừng a phút Tìm a để xác suất xe khách tàu hỏa gặp 0,5 Hint Let s and t be the moment that the train and the bus arrive, respectively They meet iff (if and only if) [s;s  10]  [t; t  a]   Ans 60  1100 Min 1.13 Có đồng tiền, cân đối, có mặt sấp Rút ngẫu nhiên đồng tiền, tung lần mặt sấp Tím xác suất đồng tiền rút đồng tiền cân đối Ans 1/5 1.14 Chứng tỏ P  A B  theo (1.2.1) thỏa mãn tiên đề xác suất, là: a) P  A B   ; b) P S B   ; c) P  A1  A B   P  A1 B   P  A B  if A1  A   1.15* Chứng minh P  A B   P  A  P  B A   P  B  1.16 Chứng minh P  A   P  B  P  A B   P  B A  Hướng dẫn: Dùng ĐN xác suất điều kiện 1.17** Xét thí nghiệm tung súc sắc cân đối Biết tổng không vượt a) Tìm xác suất biến cố mặt giống thông tin nêu b) Tìm xác suất biến cố với thông tin cho Ans / 6; / 1.18** Hai nhà máy sản xuất linh kiện giống Nhà máy sản xuất 1000 linh kiện, 100 hỏng Nhà máy sản xuất 2000 linh kiện, có 150 hỏng Chọn ngẫu nhiên linh kiện thấy bị hỏng Tìm xác suất nhà máy sản xuất ĐS 0,4 1.19 Lô hàng 100 chip bán dẫn có chứa 20 chíp bị hỏng Chọn ngẫu nhiên không lặp lại a) Xác suất thứ bị hỏng bao nhiêu? b) Xác suất thứ bị hỏng biết thứ bị hỏng? c) Xác suất để bị hỏng? Ans 0.2; 0.192; 0.0384 1.20* Hộp gồm 1000 bóng đèn 10%bị hỏng Hộp gồm 2000 bóng 5% bị hỏng Hai bóng rút từ hộp chọn ngẫu nhiên a) Tìm xác suất hai bóng bị hỏng b) Giả sử bóng bị hỏng, tìm xác suất để chúng rút từ hộp 1; tìm xác suất để bóng rút từ hộp chọn bóng hỏng C i  {the ith bulb is defective} Hint A  {two picked bulbs are from the box 1}, Ans 0.005; 0.661; 0.081 1.21** Giả sử xét nghiệm để phát loại bệnh người ta thu kết sau Đặt A = biến cố người kiểm tra có bệnh B = biến cố kết kiểm tra dương tính   Biết P  B A   0.99; P B A  0.005 0.1 % dân số bị bệnh Tính xác suất người bị bệnh biết kết kiểm tra dương tính Ans 0.165 1.22* Xét kênh thông tin nhị phân Đầu vào X kênh xem trạng thái Do có nhiễu kênh truyền, đầu có thê rứng với đầu vào ngược lại Kênh đặc trương xác suất truyền kênh p0 ,q ,p1 , q1 , xác định theo p0  P  y1 x  , p1  P  y0 x1  , q0  P  y0 x  and q1  P  y1 x1  , x0 x1 ký hiệu biến cố (X = 0) (X = 1), tương ứng; y0 y1 ký hiệu biến cố (Y  0) (Y  1) tương ứng Chú ý p0 + q0 = = p1 + q1 Đặt P(x0) = 0.5, p0 = 0.1, p1 = 0.2 X q0 p0 p1 Y q1 a) Tìm P(y0) P(y1) b) Nếu thấy đầu ra, xác suất để (đã) trạng thái đầu vào? c) Nếu thấy đầu ra, xác suất để (đã) trạng thái đầu vào? d) Tính xác suất sai lầm Pe Ans 0.55, 0.45; 0.818; 0.889; 0.15 1.23* Bao nhiêu phương trình bạn cần để thiết lập tính độc lập biến cố? Ans 65 1.24 Giả sử S  [0; 1]  [0; 1] Cho P(A) diện tích A Tìm biến cố độc lập A, B mà dạng chữ nhật 1.25** Một hệ thống thành phần riêng rẽ xem hệ song song hoạt động thành phần hoạt động Giả sử thành phần hỏng hóc cách độc lập xác suất n hỏng thành phần thứ i p i , i  1,2, , n Tìm xác suất để hệ hoạt động Ans   p i i 1 c1 A c2 B  cn 1.26** Giả sử S không gian mẫu thí nghiệm S  A, B,C , P  A   p, P  B   q, P  C   r , với p,q, r  Lặp lại thí nghiệm vô hạn lần giả sử thí nghiệm thành công độc lập Tìm xác suất để biến cố A xảy lần sau thí nghiệm thứ n sau tìm xác suất biến cố A xảy trước biến cố B Ans 1, P(A) /  P(A)  P(B) Bài tập chương II 2.1** Một nguồn thông tin sinh ký hiệu gồm chữ a, b, c, d cách ngẫu nhiên với xác suất P(a)  / 2, P(b)  / 4, P(c)  P(d)  / Một lược đồ mã mã hóa ký hiệu thành mã nhị phân sau: a 0 b  10 c  110 d  111 Gọi X BNN ký hiệu độ dài mã, số ký hiệu nhị thức (số bit) Tập giá trị X gì? Giả sử việc sinh ký hiệu độc lập, tính xác suất P(X  1), P(X  2), P(X  3), P(X  3) 1 ; ; ; 4 2.2* Xét thí nghiệm ném phi tiêu vào đĩa hình tròn bán kính đơn vị Gọi X biến ngẫu nhiên khoảng cách từ điểm phi tiêu chạm vào đĩa tới tâm đĩa Giả sử phi tiêu rơi vào đĩa chạm vào điểm đĩa với khả Ans 1, 2, 3; Tìm P(X  a) P(a  X  b), ( a  b  1) Ans a ; b2  a 2.3* a) Chứng tỏ hàm p(x) xác định   x  p  x       0 x  0,1, 2, otherwise hàm khối lượng xác suất (pmf) BNN rời rạc X b) Tìm (i) P  X   ,  ii  P  X   ,  iii  P  X  1 2.4** Xét hàm số f  x    x  x a  e ,  Ans 63 ; ; 64 64   x  Tìm giá trị a cho f(x) hàm mật độ (pdf) BNN liên tục X 2.5 BNN X gọi có phân bố fx  x   Ans a  / Rayleigh hàm mật độ cho x  x /(2 2 ) e u(x) 2 a) Tìm hàm phân bố (cdf) FX (x) b) Vẽ fX (x) FX (x) với  = 2 Ans FX (x)   e  x /(2  ) ; fX (x)  xe  x /2 u(x) 2.6** Xét BNN chuẩn X với tham số   1,   Viết hàm mật độ X tính xác suất P(X  0), P(X  0.5), P( X  2) Ans 0.3085, 0.5987, 0.6247 2.7* Số gọi đến tổng đài 10 phút BNN X với phân bố Poisson với  = a) Tìm xác suất có gọi đến vòng 10 phút b) Tìm xác suất gọi đến vòng 10 phút Ans 0.143; 0.135 2.8* Một dây chuyền sản xuất điện trở 1000-ohm () phép xe dịch 10% Ký hiệu X trị số điện trở Giả sử X có phân bố chuẩn với trung bình 1000 phương sai 2500, tìm xác suất điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ Ans 0.045 2.9 Trong việc sản xuất chíp nhớ máy tính, công ty A sản suất hỏng với cỡ tốt Giả sử X thời gian đến hỏng (theo tháng) chíp Biết X BNN mũ với tham số   / chíp hỏng   / 10 với chíp tốt Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên bị hỏng (a) sau sáu tháng sử dụng; (b) năm sử dụng Ans 0.501;0.729 2.10 Độ lệch (theo mét) điểm tiếp đất vận động viên nhảy dù tới tâm vùng mục tiêu BNN X có phân bố Rayleigh RV với tham số 2 = 100 a) Tìm xác suất để vận động viên nhảy dù tiếp đất vòng bán kính r = 10m từ tâm vùng mục tiêu b) Tìm bán kính r cho xác suất để X  r e 1   0.368  Ans 0.393; 14.142 (m) 2.11** Biết đĩa nhạc sản suất công ty A bị hỏng với xác suất 0,01 Công ty bán đĩa thành lố 10 với lời đảm bảo thay lố có đĩa bị hỏng Tìm xác suất để lố rút bị thay Ans 0.004 2.12 Gọi X BNN đầu rút súc sắc cân đối Tìm kỳ vọng (giá trị trung bình) phương sai X Ans 3.5; 35/12 2.13* Gọi X BNN phân bố mũ tham số  Kiểm tra rằng, E[X]  /  V[X]  /  2.14** Xét dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Dãy quan sát đến lần thử thành công Giả sử BNN X ký hiệu số lần thử thành công Khi đó, hàm khối lượng xác suất (pmf) X cho p x  k   P  X  k   1  p  k 1 p, k  1,2, Bởi cần phải có k – thất bại trước lần thử thành công X BNN X gọi BNN có phân bố hình học với tham số p  a) Chứng tỏ p X (k) thỏa mãn phương trình  pX (k)  k 1 b) Tìm hàm phân bố cdf FX (x) X c) Tìm kỳ vọng E[X] phương sai V[X] Ans  (1  p)i , i  x  i   1,2, ; / p; (1  p) / p 2.15** Xét BNN mũ X với tham số  Chỉ BNN X có tính chất trí nhớ, là: Với c, d > 0, P[X  c  d X  d]  P(X  c) 2.16 Giả sử hàm mật độ BNN X cho fX (x)  kxe  x u(x) a) Tìm số k k, Mod[X] b) Tìm E[X], E[X ], V[X] c) Tìm hàm mật độ BNN X Ans k  1; Mod[X]  1; 2; 6; 2; f X (x)  2x e x u(x) 2.17 Tìm kỳ vọng phương sai BNN Rayleigh (see Prob 2.5) Ans E  X       ; V[X]       0.429 2 2  2.18** Biếtrằng X BNN với phân bố Poisson p X (0)  0.0498 Tính E[X] P(X  3) Ans 3; 0.5767 2.19 BNN X BNN Pareto với tham số a, b (a, b  0) hàm mật độ cho fX (x)  (a / b) (b / x)a 1, x  [b; ) a) Chỉ E[X n ] tồn n  a b) Tìm E[X] E[X ] (a > 2) 2.20* Chỉ BNN Cauchy tham số a, b với mật độ pdf fX (x)  b , x   (b  0) ,  (x  a)2  b2 kỳ vọng không tồn 2.21 Giả sử X  N(,  ) , tính E[X ] 2.22 Giả sử Z  N(0,1) b) Chỉ E[Z 2n ]  1.3 (2n  1) a) Tính E Z 2.23** (Định lý xác suất toàn phần với kỳ vọng) Xét BNN X không gian mẫu S Xét phép phân hoạch {B1 , , B n} S Xác định  E(X B k )   x fX (x B k )dx, k  1,2, , n   fX (x | B k )  E(X B k )   x fX (x B k )dx, k  1,2, , n  Chỉ E[X]  E(X B1 )P(B1 )   E(X B n )P(B n ) 2.24 Xét BNN nguyên, không âm X Chứng tỏ  E[X]   P(X  k) k 0 2.25 Giả sử X BNN Poison với tham số  Tìm Mod[X]      ,   2,3,  Ans    :Mod  X   0;   1:Mod  X       and , otherwise 2.26* Bài toán chọn phiếu thăm trúng thưởng Có m dạng phiếu khác nhau, lần rút loại với khả Gọi X số phiếu cần chọn để có phiếu loại Tìm kỳ vọng phương sai X HD Ký hiệu X1 = 1, X i - số phiếu thêm vào cần thiết để sau có i dạng khác nhau, cần m 1 cần phải chọn thêm nhận dạng Đặt X   Xi X i BNN hình học với i m 1 m i 1 i tham số (m-i)/m; chúng độc lập Ans E[X]  m   m ln(m); V[X]  m  i 1 (m  1)  m 2 / 2.27** Chu kỳ đèn hiệu giao thông phút xanh theo sau phút đỏ Tính thời gian chờ trung bình chuyến bạn đến ngã tư thời điểm ngẫu nhiên phân bố khoảng thời gian phút Hint X – Thời gian chờ, T –thời điểm bạn đến ngã tư  T  : X  0;  T  : X   T Sử dụng Bài tập 2.23 Ans 0.9 Bài tập chương III 1  e  x  y  F  x, y    0 3.1* Xét hàm  x  ,  y   otherwise Hàm hàm phân bố VTNN (cdf) (X, Y) hay không? Ans No 3.2 Giả sử ta chọn điểm ngẫu nhiên hình tròn bán kính R Nếu ký hiệu tâm vòng tròn gốc tọa độ X Y tọa độ điểm chọn, (X,Y) VTNN với hàm mật độ xác suất (pdf) cho k, FXY  x, y    0, y x  y2  R (x,y) x  y2  R k số R x a) Xác định giá trị k b) Tìm hàm mật độ biên X Y c) Tìm xác suất mà khoảng cách từ gốc đến điểm chọn không vượt a 2 R  x /( R ), x  R  Ans k  1/(R2 ); fX (x)   ; a / R2 x R  0, 3.3** Nhà sản suất dùng quy trình sản xuất khác để sản xuất chíp nhớ máy tính Giả sử (X,Y) VTNN X ký hiệu thời gian đến hỏng chíp sản suất quy trình A Y thời gian đến hỏng chíp sản xuất quy trình B Giả sử hàm mật độ (X,Y) abe  ax  by  , f XY  x, y    0, x  0, y  otherwise a  10 4 b  1.2 (10 4 ) , tính P(X > Y) Ans b / (a  b)  0.545 3.4* Giả sử (X, Y) VTNN, X BNN phân bố (0; 0.2) Y BNN mũ với tham số 5, X Y độc lập a) Tìm mật độ (X, Y) b) Tìm P(Y  X) 25e 5y , Ans fXY (x,y)    0,  x  0.2, y  ; e 1  0.368 otherwise 3.5 Giả sử mật độ (X, Y) cho  xe x  y1 , f XY  x, y    0, x  0, y  otherwise   a) Chứng tỏ f XY  x, y  thỏa mãn phương trình   fXY (x,y)dxdy    b)Tìm mật độ biên X Y Ans e x , (x  0); 1/(y  1)2 , (y  0) 3.6** Hàm phân bố VTNN (X,Y) cho      e x  e x , x  0, y  0,   FXY  x, y    0, otherwise a) Tìm hàm phân bố biên X Y b) Chứng tỏ X Y độc lập c) Tìm P  X  1,Y  1 , P  X  x,Y  y  Ans 1  e x , x  ;  x0  0, 1  ey , y  ;  y0  0, (1  e )(1  e  ); (1  e x ) (1  ey ) 3.7 Xét kênh thông tin nhị phân Hình BT 1.22 Giả sử (X,Y) VTNN X đầu vào kênh Y đầu kênh Giả sử P  X    0.5, P  Y  X    0.1, and P  Y  X  1  0.2 a) Tìm hàm khối lượng xác suất (pmf) (X, Y) b) Tìm hàm khối lượng xác suất biên X Y c) Phải X Y độc lập? Ans p XY (0, 0)  0.45; p XY (0,1)  0.05; p XY (1, 0)  0.1; p XY (1,1)  0.4 ; p X (0)  p X (1)  0.5; p Y (0)  0.55, p Y (1)  0.45 ; yes 3.8** Hàm phân bố (X, Y) cho  k  x  y  , FXY  x, y    0,  x  2,0  y  otherwise (k số) b) Tìm mật độ biên X Y a) Tìm k c) X Y độc lập? (x  1) / 4, Ans k  1/ 8; fX (x)    0, 0x2 otherwise ; no 3.9* Cho (X,Y) VTNN Chứng tỏ      E  XY   E X E Y Đây BĐT Cauchy-Schwarz Hint E[(X  aY)2 ]  0, a   3.10 Hàm mật độ VTNN (X, Y) cho  x  y 1  k xy, f XY  x, y    otherwise 0, k số a) Tìm giá trị k b) Phải X Y độc lập? Ans 8; no 3.11* Xét VTNN (X,Y) BT 3.8 a) Tìm mật độ điều kiện pdf f Y X  y x  f X Y  x y    b) Tính P   Y  X  1   xy Ans f Y X  y x   ,  x  2,  y  ; 5/32 x 1 3.12 Hàm mật độ VTNN (X,Y) cho  x / y  y e , x  0, y   e f XY  x, y    y 0, otherwise    a) Chứng tỏ f XY  x, y  thỏa mãn PT   fXY (x,y)dxdy    Ans e1/ y b) Tìm P  X  Y  y  3.13 Giả sử VTNN (X, Y) phân bố hình tròn đơn vị (xem BT 3.2) a) X Y độc lập? b) X Y tương quan? Ans No, no 3.14 Giả sử (X, Y) VTNN với hàm mật độ  2, fXY (x, y)    0,  y  x 1 otherwise a) Tìm mật độ biên X Y b) Tính trung bình điều kiện E  Y x  E  X y  Ans fX (x)  2x, (0  x  1); fY (y)  2(1  y), (0  y  1) ; x / 2, (0  x  1); (y  1) / 2, (0  y  1) 3.15 Cho (X,Y)là VTNN chuẩn.Tính E(Y x) Ans  X  (x   X ) Y /  X 3.16 Hàm mật độ VTNN (X, Y)cho e  x  y  , f XY  x, y    0, x  0, y  otherwise a) X Y độc lập? b) Tìm mật độ điều kiện X Ans Yes; e x, (x  0) 3.17 Giả sử (X1 , , X n ) VTNN chuẩn n thành phần với hàm mật độ công thức (3.6.4) Chứng tỏ rằng, X i X j tương quan không với i  j, nghĩa là,  Cov Xi , X j  ij   i 0   i j i j , X1 , , X n độc lập 3.18 Hàm mật độ (X, Y) cho e  y , f XY  x, y    0, 0xy otherwise a) Tìm mật độ điều kiện Y biết X  x b) Tìm hàm phân bố điều kiện Y, biết X  x 1  e x y , x  y Ans fY X (y x)  e x  y , (y  x); FY X (y x)   x  y  0, 3.19 Giả sử X Y BNN độc lập phân bố chuẩn với trung bình phương sai Tìm xác suất để điểm ngẫu nhiên (X,Y) thuộc vào hình tròn tâm (0, 0) bán kính (m) 3.20 Lặp lại Bài tập 3.19 với X  N(0, 4), Y  N(0,5) 3.21* Các ma trận sau ma trận tương quan: 2 0  1  1  1  a)   , b)   , c)   , d)   ? 0 1  1  1  1 Ans a, b 3.22** Giả sử (X, Y) VTNN chuẩn với ma trận tương quan  1 0 a) Nếu     , BNN X Y độc lập? 0 3 4 1 b) Nếu     , tìm hệ số tương quan X Y 1 9 Ans Yes; 1/6 3.23 Nếu X  U(0;1) , tìm hàm mật độ Y  aX  b, a, b   1/ a , Ans For a  : fY (x)    0, bxab otherwise 3.24* BNN X  N(5;2) Y  2X  Tìm E[Y], V[Y] fY (y) 3.25 BNN X có phân bố khoảng (0,1) Tìm mật độ BNN Y   ln X 3.26 Nếu X  N  0,  Y  3X , tìm E[Y], V[Y] fY (y) 3.27** Giả sử Y  X Tìm hàm mật độ Y X  N(0,1) Ans e x / /( 2 x), (X  2 (1)) 3.28 Giả sử Y  tan X Tìm hàm mật độ Y X  U( / 2;  / 2) Ans fY (x)  / ((1  x )), x   (a Cauchy RV with parameter 1) 10 3.29 Chứng tỏ BNN X có mật độ Cauchy với a  0; b  (see Prob 2.19) Y  arctan X, Y phân bố   / 2,  /  e  x , fX  x    0, 3.30 Giả sử X BNN liên tục với mật độ x 0 c  Tìm phép biến đổi Y = g(X) cho mật độ Y  ,  y 1  fY  y    y Ans Y  (1  e X )2 0, otherwise  3.31 Giả sử X BNN có phân bố (0,1) Y  e X Tìm E[Y] cách dùng f Y  y  sau dùng f X  x  Ans 3.32 Bộ hớt tâm a mô tả ánh xạ sau x  a,  g(x)  0,  x  a, xa x a x  a a) Vẽ đồ thị hàm với vài giá trị a b) Tìm hàm phân bố hàm mật độ of Y  g(X) c) Dạng BNN Y X BNN liên tục 3.33** Giả sử (X, Y, Z) VTNN chuẩn với véc tơ trung bình   (0,1,2)T ma  0.5 0.5    trận tương quan    0.5  Tìm hàm mật độ BNN T  X  2Y  3Z  0.5   tính XY ,  YZ Ans exp{(x  4)2 / 92}, , 92 3.34 Xét Z = X + Y Chứng tỏ X Y BNN Poisson độc lập với tham số 1 and  , tương ứng Z BNN Poison với tham số 1 + 2 3.35 Giả sử X Y BNN chuẩn tắc độc lập Tìm mật độ Z = X + Y Ans Z  N(0, 2) 3.36 Giả sử X Y nững BNN phân bố (0; 1) Tìm mật độ Z = XY   ln x, Ans fZ (x)    0,  x 1 otherwise 3.37 Giả sử X Y BNN chuẩn tắc độc lập Tìm mật độ Z  X / Y Ans fZ (x)  (1  x ) , x   , BNN Cauchy 11 3.38** Giả sử X Y BNN với hàm phân bố đồng thời FXY  x, y  hàm mật độ đồng thời f XY  x, y  Đặt Z  max  X,Y  a) Tìm hàm phân bố Z b) Tìm hàm mật độ Z X Y độc lập Ans FZ (x)  FXY (x, x); fZ (x)  fX (x)FY (x)  FX (x)fY (x) 3.39 Một hiệu điện V hàm thời gian t cho V  t   X cos t  Ysin t    tần số góc số, X  Y  N 0;  chúng độc lập a) Chứng tỏ V(t) viết dạng V  t   R cos  t    b) Tìm hàm phân bố BNN R chứng tỏ R  độc lập Ans fR (r)  r 2 2 e r /(2  ) , (r  0) (Rayleigh RV) , fR (r, )  fR (r)f ( ) 3.40 Giả sử X1 , , X n n BNN độc lập phân bố với hàm mật độ f(x) Giả sử W   X1 , ,X n  Tìm hàm mật độ W Ans fW (x)  nf(x)[1  F(x)]n 1 Y1  X1  X  X3 3.41 Giả sử X1 , X , X BNN chuẩn tắc độc lập Cho Y3  X1  X Y3  X  X3 Tìm hàm mật độ đồng thời Y1 , Y2 and Y3 Ans 3/ e  q(y1,y ,y3 ) / 3(2 )  y  2y  y3   y1  y2  y3   y1  y2  y3  q(y1 , y2 , y3 )        3       2  y12  y 22  y32  y y3 3 3 3.42 Giả sử X y xác định X  cos , Y  sin   BNN phân bố (0; 2) a) Chứng tỏ X Y không tương quan b) Chứng tỏ X y không độc lập Ans E[XY]  E[X] E[Y]; E[X Y ]  E[X ] E[Y ] 3.43 a) Hàm g(x) đơn điệu tăng Y  g(X) Chứng tỏ FX  x  , FXY  x, y    FY  y  , if y  g  x ; if y  g  x  b) Tìm FXY  x, y  g(x) đơn điệu giảm 3.44 Các BNN X Y độc lập với mật độ mũ f X  x   ex u  x  ; f Y  y   e  y u  y  Tìm hàm mật độ BNN sau: 12 a) 2X  Y; b) X  Y; c) X ; d) Max(X, Y); e) Min(X, Y) Y 3.45 Chứng tỏ (a) tích chập mật độ chuẩn mật độ chuẩn, (b) Tích chập mật độ Cauchy mật độ Cauchy 3.46 BNN rời rạc X nhận giá trị x n với P X  x n   p n BNN liên tục Y độc lập với X Chứng tỏ Z  X  Y W  XY f Z  z    f Y  z  x n  pn ; n  w fW  w    fY  x  xn n n   pn  3.47 Giả sử X BNN với hàm mật độ f X  x  Giả sử Y  X Tìm hàm mật độ Y qua x 0 f  x   f X   x  , fX  x  Ans f Y  x    X x  0, 3.48* Cho Y  sin X , X có phân bố (0; 2) Tìm hàm mật độ Y 1 / (  y ), 1  y  Ans f Y  y    otherwise 0, 3.49 Xét thí nghiệm tung đồng tiền cân đối 1000 lần Tìm xác suất nhận 520 mặt sấp (a) dùng công thức (3.7.10), (b) dùng công thức (3.7.12) Ans 0.1038; 0.0974 3.50 Số xe đến bãi đậu xe có phân bố Poisson với vận tốc 100 xe Tìm thời gian cần thiết để có 200 xe vào bãi đậu với xác suất 0,90 a) dùng công thức (3.7.6);  x  1/    b) dùng công thức P(Y  x)        Ans (a) 2.189h; (b) 2.195h 3.51 Một hệ truyền số có xác suất sai lầm 10 6 ký hiệu Tìm xác suất có sai lầm 106 ký hiệu cách dùng công thức xấp sỉ Poisson Ans 0.08 3.52 Xác suất để lái xe gặp nạn tháng 0.02 Tìm xác suất để trong100 tháng Ans About 4e 2 / có tai nạn 3.53 Tung đồng tiền cân đối n lần Tìm n cho xác suất số lần sấp nằm 0.49n 0.52n 0.9     Hint  0.04 n   0.02 n  1.9; hence n  4556 3.54 Xét dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công 0,6 Giả sử k số thành công n phép thử a) Chứng tỏ P(560  k  640)  0.99 for n  1000 b) Tìm n cho P(0.59n  k  0.61n)  0.95 Ans 2. (2.582) ; 2213 3.55 Tung đồng tiền cân đối n lần cáh độc lập Gọi S n số mặt sấp nhận Dùng bất đẳng thức Chebyshev để tìm cận xác suất để S n / n khác với 1/2 0.1 a) n  100, b) n  10 000 Bài tập chương IV Hint P{S n / n  /  0.1}   / (4n(0.1)2 ) 13 4.1* Hãng sản xuất khí nghiên cứu thời gian đánh lửa khởi động lạnh động ô tô Khi thử với xe tải, người ta thu số liệu sau (đơn vị: giây) 1.70, 1.92, 2.62, 2.45, 3.09, 3.15, 2.53, 1.19 a) Tính trung bình mẫu độ lệch chuẩn mẫu b) Xây dụng đồ thị dạng hình hộp liệu 4.2 Hình thức thứ hai đánh lửa thử với xe tải thu số liệu thời gian sau: 1.80, 1.99, 3.13, 3.29, 2.75, 2.87, 3.40, 2.46, 1.89, 3.35 Sử dụng số liệu với số liệu tập thời gian xuất phát lạnh để xây dựng đồ thị so sánh dạng hình hộp Viết mô tả thông tin mà bạn thấy từ đồ thị 4.3 Giả sử ta có mẫu x1 , , x n ta tính x n s n cho mẫu Bây ta  có tiếp quan sát thứ n+1 Giả sử x n 1 S n 1 trung bình mẫu phương sai mẫu hiệu chỉnh cho mẫu sử dụng tất n + quan sát a) x n 1 tính sử dụng x n x n 1 b) Chỉ ns n 1   n  1 s n2 n  x n 1  x n   n 1 4.4* Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước 2n từ tổng thể ký hiệu X E  X   , V  X    Đặt X1  n 2n X v µ X   i  Xi ƯL  ƯL n i 1 2n i 1 tốt hơn? Giải thích 4.5** Giả sử X1, X2, , X6 mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể với trung bình  phương sai  Xét ƯL sau  X  X   X ˆ 4X1  2X  X ˆ  , 2  a) Phải hai ƯL không chệch? b) ƯL tốt nhất, theo nghĩa nào? 4.6* Lực kéo truyền động ôtô sau 79.3, 75.1, 78.2, 74.1, 75.9, 72.9, 73.8, 74.2, 73.9, 75.0, 77.6, 77.3, 78.1, 75.4, 76.3, 75.3, 73.8, 74.6, 75.5, 74.0, 76.2, 74.9, 78.0, 75.1, a) Tính ƯL điểm lực kéo trung bình tất liên kết tổng thể Nói rõ ƯL sử dụng b) Tính ƯL điểm nửa số lực kéo thấp c) Tính ƯL điểm phương sai tổng thể độ lệch chuẩn tổng thể Ans a) x D  74.28; b) x  75.60, s  1.6967  trung bình mẫu phương sai điều chỉnh mẫu từ tổng thể với 4.7 X n vµ S  trung bình mẫu phương sai điều trung bình  phương sai 1 Tương tự, X vµ S 14 chỉnh mẫu từ tổng thể độc lập thứ hai với trung bình  phương sai 2 Kích thước mẫu tương ứng n1 , n a) Chỉ X1  X ƯL không chệch 1   b) Tìm độ lệch chuẩn X1  X Bạn ƯL độ lệch chuẩn nào? Ans 2 12 / n1   22 / n ; S / n1  S / n2 4.8 Giả sử X BNN Bernoulli Hàm khối lượng xác suất là: p x 1  p  , f  x;p    0, x  0,1 tr¸i l¹i p tham số cần ƯL Tìm hàm hợp lý loga hàm hợp lý mẫu ngẫu nhiên kích thước n Ans p x1   x n (1  p)n , (x i  0); (x1   x n ) ln p  n ln(1  p) 4.9 Trong trường hợp phân bố chuẩn, ƯL hợp lý cực đại   ˆ  X vµ ˆ  in1  Xi  X   Tìm ƯL hợp lý cực đại hàm h ,   n 2   n ˆ vµ ˆ vào hàm h Ans Hướng dẫn Thay ƯL    Xi  X  n i 1 4.10** Tuổi thọ bóng đèn điện tử có phân bố mũ với tham số  Một mẫu ngẫu nhiên kích thược n rút Tìm hàm mật độ đồng thời mẫu Ans  n e(x1   x n ) , (x i  0) 4.11* Kỹ thuật CVN đo lượng nén thường dùng để xác định nguyên liệu có thay đổi từ dẻo sang dòn hay không nhiệt độ giảm dần Phép đo lượng nén (J) mẫu thép A238 đem cắt 600C sau: 64.0; 65.0 ; 64.5; 64.6; 64.5; 64.0; 64,6; 64,8; 64.3 Giả sử lượng chịu nén có phân bố chuẩn với   1(J) Tìm khoảng tin cậy 95% cho  - lượng chịu nén trung bình Ans (64,478  0,653) 4.12** Người ta muốn ƯL khoảng tin cậy cho độ suy giảm mạch thiết bị bán dẫn Giả sử độ suy giảm có phân bố chuẩn với   20 a) Tìm khoảng tin cậy 90% cho  n  20, x  1000 b) Tìm khoảng tin cậy 99% cho  n  10, x  1000 Ans (1000  7.4); (1000  16.3) 4.13** Người ta lấy ngẫu nhiên 50 mẫu nước từ hồ nước đem kiểm tra nồng độ canxi (mg/l) Khoảng tin cậy 90% cho nồng độ canxi trung bình 0,49    0,82 a) Khoảng tin cậy 99% tính từ mẫu nước rộng hay hẹp lại? 15 b) Xét phát biểu sau đây: Có 90% hội để  nằm 0,49 0,82 Phát biểu có không? Giải thích câu trả lời bạn c) Xét phát biểu sau đây: Nếu lấy ngẫu nhiên 100 mẫu nước từ hồ tính khoảng tin cậy 90% cho  , trình lặp lại 1000 lần có cỡ 900 khoảng tin cậy chứa  Phát biểu có không? Giải thích câu trả lời bạn Ans Longer, no, yes 4.14* Một hãng sản xuất vòng găng cho động ô tô Biết đường kính vòng có phân bố chuẩn với   0.001 mm Mẫu ngẫu nhiên 15 vòng có đường kính trung bình x  74.036 mm a) Tìm khoảng tin cậy hai phía 99% cho đường kính vòng găng trung bình b) Xây dựng biên tin cậy (khoảng tin cậy phải) 95% cho đường kính vòng găng trung bình Ans (74.036  0.0007) , 74.0356 4.15 Một kỹ sư lốp nghiên cứu tuổi thọ lốp hỗn hợp cao su mới, ông làm 15 đem chúng thử nghiệm đường hỏng Trung bình mẫu độ lệch chuẩn mẫu 60 139 3645 (km) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ lốp trung bình Ans (60139  2018) 4.16 Độ sáng đèn hình tivi ƯL việc đo dòng đòi hỏi để thu mức sáng Một mẫu 10 bóng cho ta x  317 vµ s 15,5 Tìm khoảng tin cậy 95% cho dòng trung bình đòi hỏi (mA) Phát biểu giả thiết cần thiết phân bố số liệu Ans (317  11.1) 4.17* Một tác giả mô tả hiệu ứng phân lớp lên tần số tự nhiên chùm tia sinh từ composit Năm chùm thu thập tần số thu tương ứng sau (Hz) : 230.66, 233.05, 232.58, 229.48, 232.58 Tìm khoảng tin cậy 90% hai phía tần số tự nhiên trung bình Có phải bình thường hay không nói đến giả thiết tính chuẩn tổng thể? Ans (231.67  1.46) 4.18 Lượng đường si rô can có phân bố chuẩn Mẫu ngẫu nhiên 10 can cho độ lệch chuẩn s = 4,8 mg Tìm khoảng tin cậy hai phía 95% cho  Ans (3.30; 8.76) 4.19** Một công ty sản xuất bóng đèn quảng cáo bóng điện 75 W họ đốt sáng trung bình 800 trước hỏng Tổ chức người tiêu dùng cần phải định xem có phạt tiền liên quan đến chiến dịch quảng cáo công ty hay không Vì họ định rút thăm kiểm tra 100 bóng đèn khiếu kiện Với thí nghiệm này, 100 bóng đèn đốt cháy trung bình x  745,1 trước cháy với độ lệch chuẩn mẫu s  238,0 Phát biểu giả thuyết đối thuyết phù hợp cho tình Tính xác suất ý nghĩa Phải kết đảm bảo bác bỏ giả thuyết mức ý nghĩa   0,05 ? Ans 2.13  z 0.011  p  value  0.011 , yes 4.20 Xét số liệu tuổi thọ lốp Bài tập 4.18 Tìm giới hạn tin cậy 95% cho  Ans 2802 4.21** Mẫu ngẫu nhiên 50 mũ xe máy đình lưu hành đề nghị kiểm tra chất lượng thấy có 18 có hư hại Tìm khoảng tin cậy hai phía 95% tỷ lệ thực số mũ dạng bị hư hại sau kiểm tra 16 Sử dụng ƯL điểm p thu từ mẫu 50 mũ nói trên, mũ cần phải kiểm tra để với độ tin cậy 95%, sai số ƯL giá trị thực p nhỏ 0,02 f(1  f) Ans (0.36  0.133); n  z  /  2213 20 4.22 Người ta nghiên cứu tỷ lệ mạch tích phân hỏng trình in ảnh litô Kiểm tra mẫu 300 mạch thấy có 14 mạch bị hỏng Tìm khoảng tin cậy hai phía 95% tỷ lệ mạch bị hỏng công cụ loại Ans (14 / 300  0.024) 4.23* Người ta định dùng máy đo độ cao laze để đo chiều cao  núi cao vùng Biết phép đo dùng máy đo độ cao laze có giá trị trung bình  độ lệch chuẩn mét Cần phải tiến hành phép đo muốn xây dựng khoảng tin cậy mức 90% cho  với độ rộng 20cm? ĐS 270 4.24* Nhiệt độ nước trung bình từ ống xả tháp lạnh nhà máy nhiệt điện không nên vượt 100 F Trước người ta thấy độ lệch chuẩn nhiệt độ nước 20F Nhiệt độ nước đo ngẫu nhiên lần ngày chọn sẵn thấy nhiệt độ trung bình 980F a) Nhiệt độ nước chấp nhận với mức   0,05 ? b) P-giá trị cho kiểm định bao nhiêu? 4.25 Một nhà máy sản xuất trục truyền động cho động ô tô Người ta để ý đến độ mòn (0,0001 inch) trục khuỷu sau 100 000 dặm, xem điều định cho bảo hành Mẫu ngẫu nhiên 15 trục kiểm tra thấy x  2.78 Biết   0.9 độ mòn có phân bố chuẩn a**) Hãy kiểm định H :   / H :  víi   0.05 b) Tìm sức mạnh kiểm định   3.25 Hint Z  0.947  z  /2  1.96; P  0,35,    0,35 4.26 Lượng mưa (đơn vị mẫu - bước, khoảng 1233m3) 20 đám mây chọn ngẫu nhiên có sử dụng chất kết hạt nitrat bạc 18,0; 30,7; 19,8; 27,1; 22,3; 18,8; 31,8; 23,4; 21,2; 27,9; 31,9; 27,1; 25,0; 24.7; 26,9; 21,8; 29,2; 34,8; 26,7; 31,6 a**) Bạn chấp nhận khẳng định rằng, lượng mưa trung bình từ đám mây có sử dụng chất kết hạt vượt qúa 25 đơn vị hay không? b*) Có bình thường không ta coi lượng mưa từ đám mây dùng chất kết hạt có phân bố chuẩn? c) Tim sức mạnh kiểm định giá trị thực lượng mưa trung bình 27 Hint a) T  0.9674  1.729  t 0.05 (20  1) : no, b) yes,  X  27  27  25  20  1.729   0.1252 c)   P    S   4.27** Một hãng sản xuất kính liên tròng muốn đánh giá chất lượng máy mài chấp nhận chất lượng máy tỉ lệ lỗi không vượt 2% Mẫu ngẫu nhiên 250 kính chứa kính hỏng Phát biểu giả thuyết để xác định máy có đánh giá đạt chất lượng hay không (lấy   0.05 ) Tìm p-giá trị Ans H : p  0.02 / H1 : p  0.02 ; Z  0.452  z 0.326  p  0.326 17 4.28 Tuổi thọ hiệu dụng phận sử dụng động máy bay turbin phản lực BNN với trung bình 5000 độ lệch chuẩn 40 Phân bố tuổi thọ hiệu dụng gần với phân bố chuẩn Nhà sản suất giới thiệu cải tiến trình sản suất thiết bị mà nâng tuổi thọ trung bình lên 5050 giảm độ lệch chuẩn xuống 30 Giả sử mẫu ngẫu nhiên n1  16 phận chọn từ quy trình sản suất cũ mẫu ngẫu nhiên n  25 phận chọn từ quy trình cải tiến Tìm xác suất để khác biết hai trung bình mẫu 25 Giả sử quy trình sản xuất cũ quy trình cải tiến xem tổng thể độc lập Hint Z  X  Y  N(50;402 / 16  302 / 25); P  P( Z  25) Ans 0,9838 4.29* Hãng điện tử gia dụng so sánh độ sáng hai loại đèn hình khác sử dụng máy thu hình Loại bóng A có độ sáng trung bình 100 độ lệch chuẩn 16, loại bóng B có có độ sáng trung bình chưa biết coi có độ lệch chuẩn giống loại A Mẫu ngẫu nhiên n = 20 bóng loại rút tính X B  X A Nếu  B hay vượt  A , nhà sản suất chọn loại B đem sử dụng Sự khác biệt x B  x A  3.5 Bạn dùng định sao? Hint Z  (X  Y) / 162 / 20  16 / 20  N(0;1) ; the hypothesis is rejected iff Z  z 0.05 Ans No 4.30** Một công ty thiết bị điện nhận thấy dùng dạng chất dẻo Sức bền chịu va đập quan trọng Người ta biết 1    1,0 psi Từ mẫu ngẫu nhiên kích thước n1  10 n  12 người ta nhận x1  163 x  155 Công ty không chọn chất dẻo sức bền chịu va đập trội so với chất dẻo 10 psi Dựa thông tin mẫu, phải chất đem vào sử dụng? Dùng   0,05 để chấp nhận định Ans Z  4.67  1.645 No 4.31* Người ta nghiên cứu vận tốc cháy đẩy dùng nhiên liệu rắn hệ thống thoát hiểm cho phi công Biết hai đẩy có độ lệch chuẩn vận tốc cháy gần nhau, 1  2  cm/s Hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1  20 , n  20 kiểm tra, vận tốc cháy trung bình x1  18 x  24 cm/s a) Kiểm định giả thuyết (   0.05 ) hệ thống đẩy có vận tốc cháy trung bình b) P-giá trị kiểm định phần a) bao nhiêu? c) Xây dựng khoảng tin cậy 95% khác biệt trung bình 1   Nêu ý nghĩa thực tể khoảng Ans Z  6.324  z 0.000 /  p  value  0.000 , ( X  Y  z  /2 12 / n1  22 / n )  (6  1.859) 4.32** Hai hãng hoá chất cung cấp nguyên liệu thô Nồng độ loại chất nguyên liệu điều quan trọng Nồng độ trung bình hai nhà cung cấp nhau, ngại bất ổn định nồng độ khác với hai nhà cung cấp Độ lệch chuẩn nồng độ mẫu ngẫu nhiên 10 lô sản xuất hãng thứ s1  4,7 g/l; 18 với hãng thứ hai, mẫu ngẫu nhiên n  16 lô cho s  5,8 g/l Có đủ chứng cớ để kết luận hai phương sai tổng thể khác nhau? (   0.05 ) Ans F  1.523  f0.05 (15;9)  f0.025 (15;9)  f / (n  1; n1  1) No 4.33 Hai dạng khác chất bôi trơn đươc xem xét để dùng cho mổ thay thuỷ tinh thể 300 thủy tinh thể dùng chất bôi trơn thứ số 253 trục trặc 300 thuỷ tinh thể khác dùng chất bôi trơn thứ hai thấy có 196 đạt yêu cầu Liệu tin hai chất bôi trơn khác hay không với mức ý nghĩa   0, 01 Xét xem vấn đề giải thông qua khoảng tin cậy p1  p Ans Z  f1  f2 f (1  f ) 1 / n1  / n   5.362  2.58  z  /2 :yes  (0.19  0.09) , 4.34* Người ta quảng cáo cho sản phẩm giảm béo dạng lỏng sử dụng sản phẩm vòng tháng gây giảm trọng lượng pound Tám đối tượng sử dụng sản phẩm vòng tháng số liệu suy giảm trọng lượng ghi lại Sử dụng thủ tục kiểm định giả thuyết để trả lời câu hỏi sau 165 161 155 150 201 195 143 141 195 192 150 146 198 193 187 183 a) Phải số liệu phù hợp với khẳng định nhà sản xuất sản phẩm giảm béo với xác suất sai lầm loại I 0,05 b) Trong nỗ lực để nâng cao mức tiêu thụ, nhà sản xuất xem xét lời đảm bảo họ từ “ít pound” thành “ít pound” Kiểm định lời đảm bảo Hint Ta  2.565   t 0.05 (8  1) , yes 4.13  Tb   0.6982   t 0.05 (8  1) , yes 1.246 4.35* Gọi X số vết nứt quan sát cuộn lớn thép mạ 75 cuộn khảo sát thu số liệu sau giá trị X: Giá trị quan sát Tần số 11 13 11 12 10 Phải giả thuyết phân bố Poisson mô hình xác suất cho số liệu xem có lý? Dùng   0, 01 Tính p-giá trị cho kiểm định (n1  np i )2  10.466  20.05 (7  16)  20.01 (6) : yes, p  0.106 np i 1 i 4.36 Gọi X số chai đóng thiếu thùng 24 chai 75 thùng kiểm tra số liệu sau ghi lại Giá trị Tần số 39 23 12 a) Dựa vào 75 quan sát này, phải phân bố nhị thức mô hình chấp nhận được? Tạo thủ tục kiểm định phù hợp với   0.05 Hint 2   b) Tính p-giá trị 4.37* Một hãng sử dụng máy ca ngày Từ nhật ký sản xuất, liệu sau số cố thu thập: Ca Máy A Máy B Máy C Máy D 41 20 11 16 19 31 12 15 15 11 15 11 Kiểm tra giả thuyết (dùng   0.05 ) số lần hỏng hóc độc lập với ca Tìm p- giá trị cho kiểm định Hint   696,16  0.05 (3  1)(4  1) , p  0.000 20 [...]... 2.189h; (b) 2.195h 3.51 Một hệ truyền số có xác suất sai lầm 10 6 trên 1 ký hiệu Tìm xác suất có ít nhất 3 sai lầm trong 106 ký hiệu bằng cách dùng công thức xấp sỉ Poisson Ans 0.08 3.52 Xác suất để lái xe gặp nạn trong 1 tháng là 0.02 Tìm xác suất để trong100 tháng anh ta Ans About 4e 2 / 3 có 3 tai nạn 3.53 Tung đồng tiền cân đối n lần Tìm n sao cho xác suất số lần sấp nằm giữa 0.49n và 0.52n ít nhất... xác suất nhận được quá 520 mặt sấp (a) dùng công thức (3.7.10), (b) dùng công thức (3.7.12) Ans 0.1038; 0.0974 3.50 Số xe con đến một bãi đậu xe có phân bố Poisson với vận tốc 100 xe trên giờ Tìm thời gian cần thiết để có quá 200 xe vào bãi đậu với xác suất 0,90 a) dùng công thức (3.7.6);  x  1/ 2    b) dùng công thức P(Y  x)        Ans (a) 2.189h; (b) 2.195h 3.51 Một hệ truyền số có xác. .. 3.54 Xét dãy các phép thử Bernoulli với xác suất thành công 0,6 Giả sử k là số thành công trong n phép thử a) Chứng tỏ rằng P(560  k  640)  0.99 for n  1000 b) Tìm n sao cho P(0.59n  k  0.61n)  0.95 Ans 2. 0 (2.582) ; 2213 3.55 Tung đồng tiền cân đối n lần một cáh độc lập Gọi S n là số mặt sấp nhận được Dùng bất đẳng thức Chebyshev để tìm cận dưới của xác suất để S n / n khác với 1/2 ít hơn 0.1... với phân bố chuẩn Nhà sản suất giới thiệu một sự cải tiến trong quá trình sản suất thiết bị này mà đã nâng tuổi thọ trung bình lên 5050 giờ và giảm độ lệch chuẩn xuống còn 30 giờ Giả sử mẫu ngẫu nhiên n1  16 bộ phận được chọn từ quy trình sản suất cũ và mẫu ngẫu nhiên n 2  25 bộ phận chọn từ quy trình cải tiến Tìm xác suất để sự khác biết giữa hai trung bình mẫu ít nhất là 25 giờ Giả sử rằng quy... đèn khiếu kiện Với thí nghiệm này, 100 bóng đèn đốt cháy trung bình x  745,1 giờ trước khi cháy với độ lệch chuẩn mẫu s  238,0 giờ Phát biểu giả thuyết và đối thuyết phù hợp cho tình huống này Tính xác suất ý nghĩa Phải chăng kết quả này đảm bảo bác bỏ giả thuyết tại mức ý nghĩa   0,05 ? Ans 2.13  z 0.011  p  value  0.011 , yes 2 4.20 Xét số liệu tuổi thọ lốp trong Bài tập 4.18 Tìm giới hạn tin... biểu giả thuyết để xác định máy có được đánh giá là đạt chất lượng hay không (lấy   0.05 ) Tìm p-giá trị Ans H 0 : p  0.02 / H1 : p  0.02 ; Z  0.452  z 0.326  p  0.326 17 4.28 Tuổi thọ hiệu dụng của một bộ phận sử dụng trong động cơ máy bay turbin phản lực là BNN với trung bình 5000 giờ và độ lệch chuẩn 40 giờ Phân bố của tuổi thọ hiệu dụng rất gần với phân bố chuẩn Nhà sản suất giới thiệu một... ƯL không chệch của 1   2 b) Tìm độ lệch chuẩn của X1  X 2 Bạn ƯL độ lệch chuẩn này thế nào? Ans 2 2 12 / n1   22 / n 2 ; S 1 / n1  S 2 / n2 4.8 Giả sử X là BNN Bernoulli Hàm khối lượng xác suất là: p x 1  p  , f  x;p    0, x  0,1 tr¸i l¹i trong đó p là tham số cần ƯL Tìm hàm hợp lý và loga hàm hợp lý của mẫu ngẫu nhiên kích thước n Ans p x1   x n (1  p)n , (x i  0); (x1... vận tốc cháy của 2 bộ đẩy dùng nhiên liệu rắn trong hệ thống thoát hiểm cho phi công Biết rằng cả hai bộ đẩy có độ lệch chuẩn của vận tốc cháy gần như nhau, đó là 1  2  3 cm/s Hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1  20 , n 2  20 được kiểm tra, vận tốc cháy trung bình là x1  18 và x 2  24 cm/s a) Kiểm định giả thuyết (   0.05 ) rằng cả 2 hệ thống đẩy có cùng vận tốc cháy trung bình b) P-giá trị... giả thuyết để trả lời câu hỏi sau 1 165 161 5 155 150 2 201 195 6 143 141 3 195 192 7 150 146 4 198 193 8 187 183 a) Phải chăng số liệu là phù hợp với khẳng định của nhà sản xuất sản phẩm giảm béo với xác suất sai lầm loại I bằng 0,05 b) Trong một nỗ lực để nâng cao mức tiêu thụ, nhà sản xuất xem xét lời đảm bảo của họ từ “ít nhất 3 pound” thành “ít nhất 5 pound” Kiểm định lời đảm bảo mới Hint Ta  2.565... lớn thép mạ 75 cuộn đã được khảo sát và thu được số liệu sau về các giá trị của X: Giá trị quan sát 1 2 3 4 5 6 7 8 Tần số 1 11 8 13 11 12 10 9 Phải chăng giả thuyết rằng phân bố Poisson là mô hình xác suất cho số liệu này xem như là có lý? Dùng   0, 01 Tính p-giá trị cho kiểm định này (n1  np i )2  10.466  20.05 (7  16)  20.01 (6) : yes, p  0.106 np i 1 i 4.36 Gọi X là số chai đóng thiếu