TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌC

TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌC TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌC TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌCTÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌC TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌC TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌC TÓM TẮT CÔNG THỨC XÁC XUẤT THỐNG KÊ ÔN THI CAO HỌC

-1Tóm tắt cơng thức Xác Suất - Thống Kê Tóm tắt công I Phần Xác Suất Xác suất cổ điển •• • o Cơng thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A1, A2,…, An xung khắc đôi ⇔ P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) Ta có o A, B xung khắc ⇔ P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) o A, B, C xung khắc đôi ⇔ P( A) = − P( A) P ( AB ) P ( AB ) • Cơng thức xác suất có điều kiện: P( A / B) P( B / A) = P( A) = , P( B) • • • • Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) A1, A2,…, An độc lập với ⇔ P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An) Ta có o A, B độc lập ⇔ P(AB)=P(A).P(B) P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C) o A, B, C độc lập với ⇔ Công thức Bernoulli: B(k; n; p) = C k p k q n−k , với p=P(A): xác suất để biến cố A n xảy phép thử q=1-p • Hệ biến cố gồm tử Athức , ABayes ,…, A gọi phép phân o thức Công xác suất đầy nđủphần - Công n  A A = j; i, j ∈1, n  i j ⇔ hoạch Ω Φ, ∀i ≠ A + A + + A =  Ω n o Công thức xác suất đầy đủ: P( B) = n P( A ).P( B / A ) =P( A ).P(B / A ) + P( A ).P( B / A ) + + P( A ).P( ∑ i i 1 2 n B/A ) n i=1 o Công thức Bayes: P ( A ).P ( B / A ) i i P( Ai / B) = P(B) với P( B) = P( A ).P(B / A ) + P( A ).P( B / A ) + + P( A ).P(B / A ) Biến ngẫu nhiên a Biến ngẫu nhiên rời rạc • Luật phân phối xác suất Ta có: ∑ n i=1 p ∑ i a≤f(x )≤b p = P{a ≤ f(X) ≤ b}= i n với pi = P( X = xi ), i = 1, n X x i n • Hàm phân phối xác suất F ( x) = P( X < x) = p • • ∑ x x ) ≤ 0, 5 • i ⇔ ∑  xi > xe ∑ e Kỳ vọng EX =  p ≤ 0,  xi < xe i ⇔ ≤ 0, i  p ∑ ( xi pi ) =x1 p1 + x2 p2 + + xn pn n i=1 n = E (( X )) (( x ) p ) =( x ) p + ( x ) p + + ∑ i i 1 2 ( x ) p n • n i=1 Phương sai VarX = E ( X ) − (EX ) với n E(X = 2) ( x p ) =x + x ∑pi i 1p + + x p n n i=1 b Biến ngẫu nhiên liên tục • +∞ f(x) hàm mật độ xác suất X ⇒ P{a ≤ X ≤ b} = f ( x)dx = , ∫ −∞ b ∫ f ( x).dx a • Hàm phân phối xác suất x FX ( x) = P( X < x) = ∫ f (t )dt −∞ • Mode ModX = x0 ⇔ Hàm mật độ xác suất f(x) X đạt cực đại x0 • Median MedX = xe ⇔ FX ( xe ) = ⇔ xe ∫ −∞ • Kỳ vọng EX = +∞ ∫ x f ( x)dx −∞ +∞ f ( x)dx = 2 E ( ( X )) = x) f ( x)dx∫ −∞ ( • Phương sai VarX = E ( X ) − (EX )2 với EX = +∞ ∫ x f ( x)dx −∞ c Tính chất - E (C ) = C, Var (C ) = , C số - E (kX ) = kEX , Var (kX ) = k 2VarX - E (aX + bY ) = aEX + bEY 2 - Nếu X, Y độc lập E ( XY ) = EX EY , Var(aX + bY ) = a VarX + b VarY VarX : Độ lệch chuẩn X, có thứ nguyên với X EX -( X)= Luật phân phối xác suất a Phân phối Chuẩn ( X ~ N (µ; σ )) • X (Ω) =  , EX=ModX=MedX=  , VarX =  • Hàm mđxs f ( x,  ,  12 e  )= ( x −2 − )  ⇒ Với  = 0,  = 1: 2 −x (Hàm Gauss) f ( x) = e bà ã P(a X ≤ b) = ϕ( − σ ) a ) − ϕ( σ với ϕ( x) = dt −t x ∫ e 2 (Hàm Laplace) 2 • Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính ϕ( x) = x e− t2 dt ∫2 F ( x) = x e − 2t dt Shift x ) = Shift x ) = Shift x ) = Shift x ) = Mode Mode Thốt khỏi∫ −∞ gói Thống kê Lưu ý: F ( x) = 0, + ϕ( x) b Phân phối Poisson ( X ~ P(λ)) • X (Ω) =  , EX = VarX =  ModX=k ⇔ -1 ≤ k ≤  −λ • P(X=k)=e λ k !, k ∈  k • c Phân phối Nhị thức ( X ~ B(n; p)) • X (Ω) = {0 n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k ⇔ (n + 1) p − ≤ k ≤ (n + 1) p − P(X=k)=Ck p k q n k , q = − p, ≤ k ≤ n, k ∈  • 5) n Nếu (n ≥ 30; 0,1 < p < 0, 9; np ≥ 5, nq ≥ µ = n p, σ = P(X=k) ≈   • thì X ~ B(n; p) ≈ N (µ; σ ) npq k−µ σ f ( σ ), ≤ k ≤ n, k ∈  b−µ a P(a ≤ X N n với NA p= N − P(X=k) ≈ Ck p k q n k , k ∈ X (Ω), q = − p n C với Sơ đồ tóm tắt dạng phân phối xác suất thông dụng: Siêu bội: X~H(N;NA;n) n− k k C P( X = k ) = C NA N−NA Cn N N>20n NA p= , q=1p N n30, np z : Bác bỏ H , chấp nhận H o α - Nếu z ≤ z : Chấp nhận Ho α • H :µ=µ ,H :µµ α o o o ) = 0, − α → x − µo  ( z z ,z= ns α - Nếu z > z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α - Nếu z ≤ z : Chấp nhận Ho α • H µ≠µ Trường hợp: 3µ =( σµ chưa n t α (n −1; ) o ,t= x − µo ns : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 - Nếu t ≤ t • α : (n −1; ) Chấp nhận Ho H :µ=µ ,H :µµ o o α→t o t= x−µ o s ( n −1;α ) , - Nếu t > t(n −1;α - Nếu t ≤ t(n −1;α ) n : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 ) : Chấp nhận Ho b) Kiểm định tỉ lệ • H :p= p ,H :p≠ p o o ( z ) = z  1−α , f → o = k ,z= f − po α 2 n po (1 − po ) - Nếu z > z : Bác bỏ H , chấp nhận H o α - Nếu n z ≤ z : Chấp nhận Ho α • H :p= p ,H :p< p o o o ) = 0, − α → , f k f − po  ( z z = n, z = α n po (1− po ) - Nếu z < − z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α • - Nếu z ≥ − z : Chấp nhận Ho H :p= p ,H :p> p α o o o ) = 0, − α → , f k f − po  ( z z = n, z = α n po (1− po ) - Nếu z > z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α - Nếu z ≤ z : Chấp nhận Ho α c) Kiểm định phương sai Trường hợp ( µ chưa biết) - Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể phải sử dụng máy tính để xác định s o: 2, 2 • H σ =σ H σ ≠σ : o o 2 2 α →1 − α → χ α , α → α → χ22 = χ α ,  = ( n 2− 1) s =χ o (n −1;1− ) ( n −1;2 ) 2 • χ > χ2 - Nếu  : Bác bỏ H0, chấp nhận H1 χ < χ  - Nếu χ2 ≤ χ ≤ χ : Chấp nhận Ho H o : σ = σ2 , H σ < σ o o σ : α → − α → χ2 = , χ2 = (n − 1) s σ2 χ (n −1;1−α ) 2 2 o - Nếu χ < χ : Bác bỏ H0, chấp nhận H1 • - Nếu χ ≥ χ : Chấp nhận Ho H o : σ = σ2 , H σ > σ o 2( n−1;α) α → χ2 = χ , 2 2 (n − 1) s2 χ = o - Nếu χ > χ : Bác bỏ H0, chấp nhận H1 - Nếu χ ≤ χ : Chấp nhận Ho Kiểm định so sánh tham số a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình Trường hợp ( σ , σ biết) • H : µ = µ1 , 2H : µ ≠ µ o ( z ) = z 2 1−α → α : o ,z= x1 − x2 σ12 + σ22 σ 2 n n - Nếu z > z : Bác bỏ H , chấp nhận H o α - Nếu z ≤ z : Chấp nhận H o ã H : = 2, H : µ < µ o 1 ) = 0, − α →  ( z z ,z= α x1 − x2 2 2 σn σ + n - Nếu z < − z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α • - Nếu z ≥ − z : Chấp nhận Ho α H :µ =µ ,H :µ >µ o 1 ) = 0, − α →  ( z z ,z= α x1 − x2 2 2 σn σ + n - Nếu z > z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α - Nếu z ≤ z : Chấp nhận Ho α Trường hợp ( σ , σ chưa biết, n , n ≥ 30 2) ã H :à =à ,H :à o x1 − x2 −2 α 1 →z ,z=  ( z2 ) = 2 s12 s 22 n +n - Nếu z > z : Bác bỏ H , chấp nhận H o α - Nếu z ≤ z : Chp nhn H o ã H : = µ 2, H : µ < µ o 1 x1 − x2 ) = 0, − α →  ( z z 2 ,z= α ns + ns - Nếu z < − z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α • - Nếu z ≥ − z : Chấp nhận Ho α H :µ =µ ,H :µ >µ o 1 x1 − x2 ) = 0, − α →  ( z z 2 ,z= α sn s +n α - Nếu z > z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 - Nếu z ≤ z : Chấp nhận Hα o α Trường hợp ( σ = σ chưa biết, n , n < 30 ) ã H o : à1 = µ , H1 : µ1 ≠ µ α x1 − x2 ,t= α→ → t ( n1 + n2 − 2; (n1 + n2 − 2;α ) - Nếu t ≤t α 1 n s ( +n ) - Nếu t > t + (n2 − 1).s 2 (n1 − 1).s , với s = ) n +n −2 2 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 : Chấp nhận Ho (n1 + n2 2; ) ã H o : à1 = µ , H1 : µ1 < µ α→t ( n1 + n2 − 2;α ) x1 − x2 ,t= s (n + n ) - Nếu t < −t (n1 + n2 − 2; α ) - Nếu t ≥ −t • + (n2 − 1).s 2 (n1 − 1).s , với s = Chấp nhận Ho H o : µ1 = µ , H1 : µ1 > µ α→t - Nếu t > t x1 − x2 ,t= (n1 + n2 − 2; α ) - Nếu t ≤ t + (n2 − 1).s 2 (n1 − 1).s 2 s (n + n ) , với s = n +n −2 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 (n1 + n2 − 2; α ) : 2 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 (n1 + n2 − 2; α ) : ( n1 + n2 − 2;α ) n +n −2 Chấp nhận Ho k tỉ lệ b) Kiểm kđịnh so sánh k +k f = , = 2, = f f n +n n n • H : p = p2 , H : p1 ≠ p2 o −2 α 1 f1 − f α  ( z ) = →z, z= 2 f (1 − f ).(n1 +n ) 2 - Nếu z > z : Bác bỏ H , chấp nhận H o α - Nếu z ≤ z : Chấp nhận H o α • H :p = p ,H :p < p o 1 f1 − f 1 f (1 − f ).(n +n ) ) = 0, − α →  ( z z ,z= α - Nếu z < − z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α • - Nếu z ≥ − z : Chấp nhận Ho α H :p = p ,H :p > p o 1 f1 − f 1 f (1 − f ).(n +n ) ) = 0, − α →  ( z z ,z= α - Nếu z > z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 α - Nếu z ≤ z : Chấp nhận Ho α c Kiểm định so sánh phương sai - µ , µ chưa biết nên tính s s từ mẫu (sử dụng máy tính) đề chưa cho • H :σ o f = - s12 ≠ σ2 α α 2 H :σ o =1σ2 , H :σ2 o < σ2 f = s12 , f = f (n − 1; n − 1;1 − α ) • o Nếu  f ≤ f ≤ f : Chấp nhận H - - = σ2 , H :σ2 , f1 = f (n1 − 1; n2 − 1;1 ) , f = f (n1 − 1; n2 − 1; ) − 2 s < f1 Nếu  ff : Bác bỏ H , chấp nhận H > f2 - • 1 2< - Nếu f f : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1 ≤ - Nếu f f : Chấp nhận Ho H : σ = σ2 , H > σ2 o :σ2 - f = s12 , f = f (n − 1; n − 1; ) - s2 2 Nếu f > f : Bác bỏ H , chấp nhận H o Nếu f ≤ f : Chấp nhận Ho s2 Hệ số tương quan mẫu phương trình hồi quy tuyến tính mẫu n n n n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi a Hệ số tương quan mẫu: i =1 r= n i=1 n ∑ n ∑ i n i x2 − ( i=1 x )2 n i=1 n i n n∑ x y − ∑ x B= i i = A + Bx i =1 i =1 n n ∑y i =1 ∑ ∑ i ∑y A = n x n i n ∑ ∑ i i y2 − ( i=1 y )2 i=1 Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: n i =1 i i =1 n với y − B.∑ x i i =1 n i x2 − ( i=1 x )2 i=1 b Trong trường hợp sử dụng bảng tần số: … xi x1 x2 … y y y xk … nk i ni n1 n2 yk Ta tính theo cơng thức thu gọn sau: Hệ số tương quan mẫu: k k k i =1 i =1 i =1 n ∑ ni xi yi − ∑ ni xi ∑ ni yi r= k n ∑ k ∑ i i k ∑ i i n x2 − ( i=1 n x )2 n i=1 k k k B= i =1 i =1 i =1 k ∑ n i=1 k i i ∑ i i n x − (i=1 n x )2 i ∑ i = A + Bx x với k k i =1 i =1 ∑ ni yi − B.∑ ni xi i A= n i i n y2 − ( i=1 n y )2 i=1 Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: n∑ ni xi yi − ∑ ni xi ∑ ni y k v y c Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: Tác vụ Bật chế độ nhập tần số Khởi động gói Hồi quy tuyến tính Nhập số liệu Dịng CASIO MS Khơng cần Mode…(tìm)…REG Lin x1 , y1 Shift , n1 M+  xk , yk Shift , nk M+ ni = cần nhấn xi , yi M+ Xóa hình hiển thị Dòng CASIO ES Shift Mode ↓ Mode…(tìm)…STAT A+BX X x1 = Y y1 =  xk = FREQ n1 =   yk = AC AC Shift  = Shift = Shift  = Shift  = Shift = Shift = Mode Mode nk = Xác định: • • Hệ mẫusố(r)tương quan Hệ số hằng: A • Hệ số ẩn (x): B Thốt khỏi gói Hồi quy Lưu ý: Máy ES kích hoạt chế độ nhập tần số phần Lý thuyết mẫu khơng cần kích hoạt ………………………………………  ... với Sơ đồ tóm tắt dạng phân phối xác suất thông dụng: Siêu bội: X~H(N;NA;n) n− k k C P( X = k ) = C NA N−NA Cn N N>20n NA p= , q=1p N n30, np