Ôn Cao học: CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học

CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học CHUYÊN đề ĐỊNH THỨC ôn THI CAO học

1 Định nghĩa định thức 1.1 Định thức cấp 2, • Cho A ma trận vuông cấp : a11 a12 a21 a22 A= định thức (cấp 2) A số, ký hiệu det A (hoặc |A|) xác định sau : det A = a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 (1) • Cho A ma trận vuông cấp :   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 định thức (cấp 3) A số ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định sau : det A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 (2) Công thức khai triển ( ) thường đuợc nhớ theo quy tắc Sarrus sau : Ví dụ : −1 −2 −1 = [(−1)(−2).4 + 2.1.(−1) + 1.0.3] − [3.(−2).(−1) + 1.0.(−1) + 2.1.4] = −8 Nếu ta ký hiệu Sn tập hợp phép bậc n công thức ( ) ( ) viết lại sau : det A = s(f )a1f (1) a2f (2) det A = f ∈S2 s(f )a1f (1) a2f (2) a3f (3) f ∈S3 Từ gợi ý cho ta cách định nghĩa định thức cấp n sau 1.2 Định thức cấp n Cho A ma trận vuông cấp n :    A=  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann      định thức ( cấp n) ma trận A số, ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định sau : det A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann = s(f )a1f (1) a2f (2) anf (n) (3) f ∈Sn Chắc chắn số bạn đọc, (nhất bạn đọc không thạo phép thế) định nghĩa định thức tương đối khó hình dung Tuy nhiên, may làm việc với định thức, (kể tính định thức) định nghĩa sử dụng mà ta chủ yếu sử dụng tính chất định thức Bởi vậy, bạn đọc chưa có đủ thời gian tạm bỏ qua định nghĩa cần phải nắm vững tính chất sau định thức Các tính chất định thức 2.1 Tính chất Định thức không thay đổi qua phép chuyển vị, tức : det At = detA (At : ma trận chuyển vị ma trận A) Ví dụ : = Chú ý : Từ tính chất này, mệnh đề định thức với dòng với cột ngược lại 2.2 Tính chất Nếu ta đổi chổ hai dòng (hoặc cột bất kỳ) định thức định thức đổi dấu Ví dụ : 9 =− 3 2.3 Tính chất Nếu tất phần tử dòng (hoặc cột) định thức đuợc nhân với λ định thức định thức ban đầu nhân với λ Ví dụ : 6 =2 Chú ý : Từ tính chất ta có A ma trận vuông cấp n det (λA) = λn det A 2.4 Tính chất Cho A ma trận vuông cấp n Giả sử dòng thứ i ma trận A biểu diễn duới dạng : aij = aij + aij với j = 1, 2, , n Khi ta có : det A = = ai1 + ai1 ai2 + ai2 ain + ain ai1 ai2 ain = a + i1 ai2 ain Trong dòng lại định thức vế hoàn toàn dòng lại ma trận A Tất nhiên ta có kết tương tự cột Ví dụ : 3 = + −2 9 Chú ý : Các tính chất 2, 3, tính đa tuyến tính thay phiên định thức Từ tính chất trên, dễ dàng suy tính chất sau định thức : 2.5 Tính chất Định thức : Có hai dòng (hai cột) tỉ lệ Có dòng (một cột) tổ hợp tuyến tính dòng khác (cột khác) 2.6 Tính chất Định thức không thay đổi : Nhân dòng (một cột) với số cộng vào dòng khác (cột khác) Cộng vào dòng (một cột) tổ hợp tuyến tính dòng khác (cột khác) Ví dụ : −1 −3 −1 2 = 1 −1 −1 0 −1 2 (Lý do: nhân dòngmộtvới (−2) cộng vào dòng 2, nhân dòng với cộng vào dòng 3, nhân dòngmộtvới cộng vào dòng 4) Để tính định thức, việc sử dụng tính chất định thức ta hay sử dụng định lý Laplace Định lý Laplace 3.1 Định thức phần bù đại số Cho A ma trận vuông cấp n, k số tự nhiên ≤ k ≤ n Các phần tử nằm giao k dòng bất kỳ, k cột A làm thành ma trận vuông cấp k A Định thức ma trận gọi định thức cấp k ma trận A Đặc biệt, cho trước ≤ i, j ≤ n, ta xóa dòng i, cột j A ta ma trận cấp n − A, ký hiệu Mij Khi đó, Aij = (−1)i+j det Mij gọi phần bù đại số phần tử (A)ij ((A)ij phần tử nằm hàng i, cột j ma trận A) 3.2 Định lý Laplace Cho A ma trận vuông cấp n :      A=    a11 a12 a1j a21 a22 a2j ai1 ai2 aij an1 an2 anj  a1n a2n      ain    ann Khi ta có : Khai triển định thức theo dòng i n det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain = aik Aik k=1 Khai triển định thức theo cột j n det A = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj = akj Akj k=1 Từ định lý Laplace, ta chứng minh tính chất quan trọng sau định thức : 3.3 Tính chất Nếu A ma trận tam giác trên, (hoặc tam giác dưới) det A tích tất phần tử đường chéo chính, tức : a11 0 a21 a22 an1 an2 an3 ann 3.4 = a11 a22 ann Tính chất Nếu A, B ma trận vuông cấp n det(AB) = det A det B Các ví dụ áp dụng Nhờ có định lý Laplace, để tính định thức cấp cao (cấp > 3) ta khai triển định thức theo dòng cột để đưa tính định thức cấp bé Cứ sau số lần đưa việc tính định thức cấp 2, Tuy nhiên, thực tế làm số lượng phép tính lớn Bởi ta làm sau số lượng phép tính giảm nhiều : Chọn dòng (cột) có nhiều số để khai triển định thức theo dòng (cột) Sử dụng tính chất 2.6 để biến đổi định thức cho dòng chọn (cột chọn) trở thành dòng (cột) có số khác Khai triển định thức theo dòng (cột) Khi việc tính định thức cấp n quy việc tính định thức cấp n − Tiếp tục lặp lại trình cho định thức cấp n − 1, cuối ta dẫn việc tính định thức cấp 2, Ví dụ Tính 1 −1 −1 1 −1 2 −1 1 1 Ta chọn cột để khai triển trước khai triển, ta biến đổi định thức sau : nhân dòng với (-2) cộng vào dòng Nhân dòng với (-1) cộng vào dòng Định thức cho (Tính chất 2.6 ) 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 −4 0 −1 Khai triển theo cột = 1 −1 −1 −4 −1 −1 −1 2 Để tính định thức cấp 4, ta lại chọn dòng để khai triển, trước khai triển ta lại biến đổi định thức sau : nhân cột với (-1) cộng vào cột 3, nhân cột với cộng vào cột Định thức cho : 1 −2 −1 −5 −1 1 −1 0 −2 (Khai triển theo dòng 4) = (−1).(−1)5 −1 −5 1 =1 Ví dụ Giải phương trình x x x−1 x+2 x2 − 1 x x−2 x5 + x100 =0 Giải : x x+2 (Khai triển theo dòng ) VT = (−1) (x − 1) x x − 0 x100 (Khai triển theo dòng 3) x = (1 − x2 ).x100 = (1 − x2 )2 x100 x Vậy phương trình cho tương đương với (1 − x2 )2 x100 = ⇐⇒ x = 0, x = ±1 Bài Tập Tính α β γ β γ α γ α β α, β, γ, nghiệm phương trình :x3 + px + q = Giải phương trình : 1 1 x x x3 27 16 64 =0 Chứng minh : a1 + b b + c c + a1 a2 + b b + c c + a2 a3 + b b + c c + a3 =0 Chứng minh : a2 b2 c2 d2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2 =0 Khai triển định thức vế trái theo dòng đầu, ta có vế trái đa thức bậc x, kí hiệu f (x) Ta có f (2) = định thức vế trái có dòng đầu Tương tự f (3) = 0, f (4) = Vì f (x) đa thức bậc 3, có nghiệm 2, 3, nên phương trình có nghiệm 2, 3, Chứng minh a1 + b b + c c + a1 a2 + b b + c c + a2 a3 + b b + c c + a3 =0 Giải : Nhân cột (2) với (-1), cột (3) với cộng vào cột (1), ta có: VT = (1) = 2a1 b1 + c1 c1 + a1 2a2 b2 + c2 c2 + a2 2a3 b3 + c3 c3 + a3 a1 b + c c a2 b + c c a3 b + c c a1 b + c = a2 b + c a3 b + c a1 b (2) = a2 b a3 b c + a1 c + a2 c + a3 c1 c2 c3 Giải thích: (1) : nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (3) (2) : nhân cột (3) với (-1) cộng vào cột (2) Chứng minh a2 b2 c2 d2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 (d + 3)2 =0 Giải : a2 (1) b2 VT = c2 d2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 (d + 1)2 2a + 2b + 2c + 2d + 6a + 6b + (2) =0 6c + 6d + Giải thích: (1) : Nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (4), nhân cột (2) với (-1) cộng vào cột (3) (2) : Định thức có cột tỷ lệ Tính định thức + a1 a2 a3 a1 + a2 a3 a1 a2 + a3 a1 a2 a3 an an an + an Giải : + a1 + + an a2 a3 + a1 + + an + a2 a3 (1) + a + + a a + a3 n VT = + a1 + an a2 a3 an an an + an + a1 + + an a2 a3 an (2) 0 = + a1 + + an = 0 Giải thích: (1): Cộng cột (2), (3), , (n) vào cột (1) (2): Nhân dòng (1) với (-1) cộng vào dòng (2), (3), , (n) Tính định thức 1 x x x x x x Giải : Với x = n−1 1 x −x 0 −x 0 −x 1 1 −x (1) (2) V T = −x = 0 −x n−1 (−x)n−1 = (−1)n−1 (n − 1)xn−2 (n ≥ 2) x Giải thích: (1): Nhân dòng (1) với (-x) cộng vào dòng (2), (3), , (n) (2): Nhân cột (2), (3), , (n) với cộng tất vào cột (1) x Dễ thấy x = 0, đáp số tính liên tục định thức = Tính định thức Dn = 0 0 0 0 0 0 0 Giải : Khai triển định thức theo dòng đầu ta có : 0 Dn = 5Dn−1 − 0 0 0 0 Tiếp tục khai triển định thức theo cột (1) ta có công thức truy hồi : Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (*) (n ≥ 3) Từ (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công thức với n ≥ nên ta có: Dn −2Dn−1 = 3(Dn−1 −2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 −2Dn−3 ) = = 3n−2 (D2 −2D1 ) Tính toán trực tiếp ta có D2 = 19, D1 = nên D2 − 2D1 = Bởi ta có: Dn − 2Dn−1 = 3n (1) Mặt khác, từ công thức (*) ta có: Dn − 3Dn−1 = 2(Dn−1 − 3Dn−2 ) Tương tự ta có: Dn −3Dn−1 = 2(Dn−1 −3Dn−2 ) = 22 (Dn−2 −3Dn−3 ) = = 2n−2 (D2 −3D1 ) = 2n Vậy ta có: Dn − 3Dn−1 = 2n (2) Khử Dn−1 từ (1) (2) ta có: Dn = 3n+1 − 2n+1 (Bạn đọc so sánh cách giải với cách giải ví dụ 4) Tính định thức D= a1 x x a2 x x x x an Giải : Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức Trước hết ta viết định thức dạng: D= a1 − x + x 0+x 0+x 0+x a2 − x + x 0+x 0+x 0+x an − x + x (1) (2) (1) (2) (1) (2) Lần lượt tách cột định thức, sau n lần tách ta có định thức D tổng 2n định thức cấp n Cột thứ i định thức cột loại (1) loại (2) cột thứ i định thức ban đầu D Chia 2n định thức thành dạng sau: Dạng 1: Bao gồm định thức có từ cột loại (2) trở lên Vì cột loại (2) nên tất định thức dạng Dạng 2: Bao gồm định thức có cột loại (2), cột khác loại (1) Giả sử cột i loại (2) Ta có định thức là: Di = a1 − x 0 a2 − x 0 x x x an − x ↑ cộti n (ak − x) x (1) = x(a1 − x) (ai−1 − x)(ai+1 − x) (an − x) = k=1 − x ((1) khai triển định thức theo cột i) Có tất n định thức dạng (ứng với i = 1, 2, , n) tổng tất định thức dạng là: 1 + + a1 − x an − x x(a1 − x) (an − x) Dạng 3: Bao gồm định thức cột loại (2), nên tất cột loại (1) Và có định thức dạng (3) là: a1 − x 0 a2 − x 0 0 = (a1 − x) (an − x) an − x Vậy D tổng tất định thức dạng bằng: x(a1 − x) (an − x) 1 + + + x a1 − x an − x Tính a1 + b a1 + b a2 + b a2 + b an + b an + b a + bn a + bn an + bn Giải : =0 Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức với cách giải tương tự Chi tiết cách giải xin dành cho bạn đọc Ở đưa cách tính nửa dựa vào phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức Với n ≥ ta có:      1 a1 a1 + b1 a1 + b2 a1 + bn     a2 + b1 a2 + b2 a2 + bn   a2   b1 b2 bn     a3   0  A=  =           an + b1 an + b3 an + bn 0 an B C Bởi vậy, ta có: n > (a1 − a2 )(b2 − a1 ) n = D = detA = det(BC) = detB.detC = 10 Tính cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) cos(α1 − βn ) cos(α2 − βn ) cos(αn − βn ) Để tính định thức ta dùng phương pháp biểu diễn định thức thành tích định thức Với n ≥ ta có:   cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α1 − βn )  cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(α2 − βn )    A=    cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) cos(αn − βn )    cos α1 sin α1 cos β1 cos β2 cos βn  cos α2 sin α2   sin β1 sin β2 sin βn        =  cos α3 sin α3           cos αn sin αn B 0 C Bởi ta có: D = detA = det(BC) = detB.detC = n > sin(α2 − α1 ) sin(β2 − α1 ) n = 11 Tính định thức cấp 2n a D2n = 0 0 a 0 0 0 a 0 b a b b a b a b b (1) (2) 0 0 0 0 (n − 1) (n) (n + 1) (n + 2) b 0 0 a b 0 0 a (2n − 1) (2n) 2n×2n Giải : Xét a = b cộng vào dòng (2n) a b - Nhân dòng (2) với − cộng vào dòng (2n-1) a b - Nhân dòng (n) với − cộng vào dòng (n+1) a Ta có : - Nhân dòng (1) với − a a 0 0 D2n = 0 0 0 0 b a − b2 0 a b 0 0 b b b 0 0 a −b a 0 a 0 a 0 0 0 0 0 0 a − b2 a = (a2 −b2 )n a − b2 a Khi a = 0, tính liên tục định thức công thức Vậy ta có: D2n = (a2 − b2 )n Chú ý : Khai triển định thức theo dòng (1), sau khai triển định thức cấp (2n − 1) vừa nhận theo dòng (2n − 1) Ta có công thức truy hồi: D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) Do công thức với n ≥ nên : D2n = (a2 −b2 )D2(n−1) = (a2 −b2 )2 D2(n−2) = = (a2 −b2 )n−1 D2 = (a2 −b2 )n (Chi tiết cách làm xin dành cho bạn đọc) 12 Tính định thức cấp 2n D2n = a1 0 a2 b1 0 b2 0 an 0 c1 d1 0 c2 d2 0 cn 0 bn dn Xét a1 , a2 , , an khác : c1 - Nhân dòng (1) với − cộng vào dòng (n + 1) a1 c2 - Nhân dòng (2) với − cộng vào dòng (n + 2) a2 cn - Nhân dòng (n) với − cộng vào dòng (2n) an (1) (2) (n) (n + 1) (n + 2) (2n) Ta có : a1 0 a2 b1 0 b2 bn 0 an a1 d1 − b1 c1 0 a1 0 D2n = 0 a2 d2 − b2 c2 a2 0 an dn − bn cn an n = (a1 d1 − b1 c1 ) (an dn − bn cn ) = (ai di − bi ci ) i=1 Khi a1 , a2 , , an 0, tính liên tục định thức công thức Vậy ta có : n (ai di − bi ci ) D2n = i=1 Chú ý : Khai triển định thức theo dòng thứ n, sau khai triển định thức cấp 2n − vừa nhận theo dòng (2n − 1) ta có công thức truy hồi: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) ∀n ≥ Do đó, ta có: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) = (an dn − bn cn )(an−1 dn−1 − bn−1 cn−1 )D2(n−2) = = (an dn − bn cn ) (a2 d2 − b2 c2 )D1 n (ai di − bi ci ) = i=1 (Chi tiết cách xin dành cho bạn đọc) 1 Người đánh máy : Nguyễn Ngọc Quyên 10 [...]... 2 a − b2 a 0 = (a2 −b2 )n 0 0 a − b2 a 2 Khi a = 0, do tính liên tục của định thức công thức trên vẫn đúng Vậy ta có: D2n = (a2 − b2 )n 8 Chú ý : Khai triển định thức theo dòng (1), sau đó khai triển các định thức cấp (2n − 1) vừa nhận được theo dòng (2n − 1) Ta sẽ có công thức truy hồi: D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) Do công thức trên đúng với mọi n ≥ 2 nên : D2n = (a2 −b2 )D2(n−1) = (a2 −b2 )2 D2(n−2)... (2) Ta có định thức đó là: Di = a1 − x 0 0 a2 − x 0 0 x 0 x 0 x an − x ↑ cộti n (ak − x) x (1) = x(a1 − x) (ai−1 − x)(ai+1 − x) (an − x) = k=1 ai − x ((1) khai triển định thức theo cột i) Có tất cả n định thức dạng 2 (ứng với i = 1, 2, , n) và tổng của tất cả các định thức dạng 2 là: 1 1 + + a1 − x an − x x(a1 − x) (an − x) Dạng 3: Bao gồm các định thức không có cột... (an dn − bn cn ) = (ai di − bi ci ) i=1 Khi các a1 , a2 , , an bằng 0, do tính liên tục của định thức công thức trên vẫn đúng Vậy ta có : n (ai di − bi ci ) D2n = i=1 Chú ý : Khai triển định thức theo dòng thứ n, sau đó khai triển các định thức cấp 2n − 1 vừa nhận được theo dòng (2n − 1) ta sẽ có công thức truy hồi: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) ∀n ≥ 2 Do đó, ta có: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1)... a 2 + bn an + bn Giải : 6 =0 Định thức này có thể được tính bằng phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức với cách giải tương tự như bài 8 Chi tiết của cách giải này xin dành cho bạn đọc Ở đây chúng tôi đưa ra một cách tính nửa dựa vào phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức Với n ≥ 2 ta có:      1 1 1 a1 1 0 0 a1 + b1 a1 + b2 a1 + bn     a2 +... (2), nên tất cả các cột đều là loại (1) Và do đó có đúng 1 định thức dạng (3) là: a1 − x 0 0 a2 − x 0 0 0 0 = (a1 − x) (an − x) an − x Vậy D bằng tổng của tất cả các định thức của 3 dạng trên và bằng: x(a1 − x) (an − x) 1 1 1 + + + x a1 − x an − x 9 Tính a1 + b 1 a1 + b 2 a2 + b 1 a2 + b 2 an + b 1 an + b 3 a 1 + bn a 2 + bn an + bn Giải : 6 =0 Định thức này có thể được... detB.detC = 10 Tính cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) cos(α1 − βn ) cos(α2 − βn ) cos(αn − βn ) Để tính định thức này ta dùng phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức Với n ≥ 2 ta có:   cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) cos(α1 − βn )  cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) cos(α2 − βn )    A=    cos(αn − β1 ) cos(αn − β2... D2(n−2) = = (a2 −b2 )n−1 D2 = (a2 −b2 )n (Chi tiết của cách làm này xin dành cho bạn đọc) 12 Tính định thức cấp 2n D2n = a1 0 0 0 a2 0 b1 0 0 0 b2 0 0 0 an 0 0 c1 0 0 d1 0 0 c2 0 0 d2 0 0 cn 0 0 bn 0 0 dn Xét khi a1 , a2 , , an đều khác 0 : c1 - Nhân dòng (1) với − rồi cộng vào dòng (n + 1) a1 c2 - Nhân dòng (2) với − rồi cộng... cos α3 sin α3 0 0   0         cos αn sin αn 0 0 B 0 0 0 C Bởi vậy ta có: D = detA = det(BC) = detB.detC = 7 0 nếu n > 2 sin(α2 − α1 ) sin(β2 − α1 ) nếu n = 2 11 Tính định thức cấp 2n a 0 D2n = 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 b 0 a b 0 0 b a 0 0 0 b 0 0 a 0 b b 0 (1) (2) 0 0 0 0 0 0 0 0 (n − 1) (n) (n + 1) (n + 2) 0 b 0 0 ... định thức, sau n lần tách ta có định thức D tổng 2n định thức cấp n Cột thứ i định thức cột loại (1) loại (2) cột thứ i định thức ban đầu D Chia 2n định thức thành dạng sau: Dạng 1: Bao gồm định. .. đọc không thạo phép thế) định nghĩa định thức tương đối khó hình dung Tuy nhiên, may làm việc với định thức, (kể tính định thức) định nghĩa sử dụng mà ta chủ yếu sử dụng tính chất định thức Bởi... cách giải ví dụ 4) Tính định thức D= a1 x x a2 x x x x an Giải : Định thức tính phương pháp biểu diễn định thức thành tổng định thức Trước hết ta viết định thức dạng: D= a1 − x + x