CHUYÊN ĐỀ ĐỊNH THỨC

Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 1 Giới thiêu về định thức Với một ma trận vuông cấp 2 bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần và đủ để ma trận là khả nghịch. Thật vậy, xét ma trận: Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi ad - bc ≠ 0. Ta gọi số này là định thức của A. Từ điều này, chúng ta muốn có một kết quả tương tự cho các ma trận lớn hơn (tức là ma trận có cấp cao hơn). Vì vậy, ta có định nghĩa định thức tương tự cho một ma trận vuông bất kỳ, nó xác định một ma trận vuông là khả nghịch hay không? Để tổng quát khái niệm cho các các cấp cao hơn, chúng ta cần phải nghiên cứu về khái niệm định thức và những tính chất nào của nó được thỏa mãn. Trước hết, chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây cho định thức. Định thức của       a c b d = det       a c b d =       a c b d = ad - bc Các tính chất của định thức 1. Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, nghĩa là Từ tính chất này ta suy ra sử dụng dòng hay cột để tính định thức đều được. Đặc biệt ta sẽ thấy các phép biến đổi cơ bản trên hàng hữu hiệu thế nào trong việc tìm định thức. Do đó, ta có những kết quả tương tự cho các phép biến đổi cơ bản trên cột. 2. Định thức của ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo, tức là 3. Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu, tức là Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 2 4. Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó, tức là. Đặc biệt, nếu tất cả các phần tử trong một dòng là số 0 thì định thức bằng 0. 5. Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ, tức 6. Ta có Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó Nếu A và B tương tự, khi đó Ta lấy ví dụ để hiểu rõ hơn về các tính chất trên. Ví dụ. Tính Chúng ta hãy đưa ma trận này về ma trận tam giác qua các phép biến đổi cơ bản. Ta giữ lại dòng 1 và lấy dòng 1 nhân với 1 2 rồi cộng vào dòng 2. Ta được Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 3 Sử dụng tính chất 2, ta được Vì vậy, ta có ta có thể dễ dàng kiểm tra lại kết quả. Định thức của các ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày ở mục . Định thức của các ma trận cấp cao Như đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã đúng với ma trận cấp 2 vẫn còn đúng với một ma trận vuông tổng quát. Nói cách khác, chúng ta giả định: 1. Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, tức là 2. Định thức ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo. 3. Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu. 4. Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó. 5. Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ. 6. Ta có Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 4 Vì vậy, chúng ta hãy xét một ma trận cấp 4. Ví dụ. Tính Ta có Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng đầu nhân với một số thích hợp, ta được Ta giữ lại dòng đầu, biến đổi trên những dòng còn lại. Đổi dòng 2 với dòng 3, ta được Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng thứ 2 nhân với một số thích hợp, ta được Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 5 Sử dụng tính chất trước đây, ta được Nếu ta nhân dòng thứ ba với 13 và cộng vào dòng thứ tư, ta được định thức này bằng 3. Như vậy, định thức ban đầu là Những tính toán dường như là khá dài. Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của ma trận. Ví dụ. Tính Trong ví dụ này, những phép biến đổi cơ bản không được trình bày chi tiết. Ta có Ví dụ. Tính Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 6 Ta có Công thức chung để tính định thức Cho A là một ma trận vuông cấp n . Ta viết A = (a ij ), trong đó a ij là phần tử ở dòng i và cột j, với i = 1, …, n và j = 1, …, n. Với mỗi i, j ta đặt A ij (gọi là phần bù đại số) là định thức cấp (n-1) có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j nhân với (-1) i+j . Ta có với i cố định, và với k cố định. Nói cách khác, chúng ta có hai công thức: công thức khai triển theo dòng (thứ i) hoặc khai triển theo cột (thứ j). Ta khai triển theo bất kỳ dòng nào hoặc cột nào đều được. Bí quyết là sử dụng dòng nào hoặc cột nào có nhiều số không nhất. Đặc biệt, ta có công thức khai triển theo dòng Hoặc Hoặc Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 7 Như một bài tập, hãy viết các công thức khai triển theo cột Ví dụ. Tính Ta sử dụng công thức khai triển theo dòng thứ ba. Ta có Có kỹ thuật để tính định thức dễ dàng hơn không?. Câu trả lời là phụ thuộc vào định thức được yêu cầu tính. Có những định thức nên dùng các phép biến đổi cơ bản, có những định thức nên dùng công thức khai triển. Tất cả những vấn đề đó là để có được câu trả lời chính xác. Lưu ý: Tất cả các tính chất ở trên vẫn đúng trong trường hợp tổng quát. Ngoài ra, ta nên nhớ rằng các khái niệm của định thức chỉ tồn tại cho ma trận vuông. Định thức ma trận và ma trận khả nghịch. Tìm ma trận nghịch đảo là vẫn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học. ví dụ giải mã một tin nhắn ta tìm ma trận nghịch đảo. Xét ma trận vuông. Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu . Ngoài ra nếu A có cấp n, khi đó A i,j được định nghĩa là ma trận cấp n-1 tạo thành từ ma trận A bằng cách bỏ đi phần tử nằm ở dòng I cột j. Nhắc lại với mọi I cố định và Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 8 với mọi j cố định. Định nghĩa ma trận chuyển vị của A, kí hiệu adj(A). Ví dụ. Cho Ta có Lấy giá trị . Ta có Chú ý rằng . Do đó ta có Định nghĩa chuyển vị của ma trận A kí hiệu adj(A), là ma trận mà phần tử dòng i cột j là phần tử dòng j cột i của ma trận ban đầu. Định lí. Với mọi ma trận A cấp n, ta có Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 9 Đặc biệt, nếu , khi đó Cho ma trận vuông cấp hai, ta có điều này dẫn đến Đây là công thức đã dùng ở trang trước. Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính. Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer. Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch. Ta có thể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch. Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận) A X = B trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn. Ta có: Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu95.blogspot.com 10 Dịnh lí. Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch. Trong trường hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer: trong đó x i là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận A i được xác định từ A bằng cách thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B. Khi đó, ta có với b i những phần tử của B. Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là , khi đó nếu A khả nghịch, nghiệm duy nhất của hệ là tầm thường , đó là . Do đó nếu ta ta tìm nghiệm khác 0 của hệ, ma trận hệ số A phải khả nghịch.Ta cũng biết rằng điều này xảy ra néu và chỉ nếu . Đây là kết quả quan trọng. Ví dụ. Giải hệ phương tình tuyến tính. Giải. Trước hết, chú ý rằng điều này chỉ ra ma trận hệ số khả nghịch. Sử dụng công thức Cramer. Ta có [...]... tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển vị AT của nó bởi vì Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A Nên đa thức đặc trưng của A có thể được viết lại như sau Cho giá trị của ma trận B = A2 - tr(A) A + det(A) I2 Ta có Ta dẫn đến 16 Website: www.caotu95.blogspot.com... phương trình cho nghiệm là giá trị riêng của A Phương trình này được gọi là phương trình đặc trung hay đa thức đặc trưng của A Đó là hàm đa thức bậc n Ta biết rằng phương trình này có nhiều nhất n nghiệm Do đó ma trận vuông A cấp n sẽ có không quá n giá trị riêng Ví dụ Xét ma trận đường chéo Đa thức đặc trưng của nó là Nên giá trị riêng của D a là a, b, c, và d, là các phần tử trên đường chéo 15 Website:... thấy z=0 Thật vậy, sự xác định cho z có hai dòng giống nhau ( dòng 1 và dòng cuối) Ta cố gắng kiểm tra giá trị tìm được của x, y, và z là nghiệm của hệ cho trước Chú ý Quy tắc Cramer chỉ sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch Giá trị riêng và vectơ riêng: Giới thiệu Bài toán giá trị riêng là vấn đề đáng quan tâm về lí thuyết và ứng dụng rộng rãi Ví dụ, vấn đề này là quan trọng trong... Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Nói cách khác, ta có Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton Nó đúng cho mọi ma trận vuông có cấp tùy ý trong đó là đa thức đặc trưng của A Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận Định lí Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu là một giá trị riêng của A, thì: 1 là giá trị riêng của Am, với 2 Nếu A khả nghịch,... vectơ riêng, thì cX cũng là một vectơ tương ứng với cũng vectơ riêng Chúng ta bắt đầu với một ví dụ Ví dụ Xét ma trận Trước hết ta tìm giá trị riêng của A Chúng là nghiệm của đa thức đặc trưng Suy ra Nếu ta khai triên định thức này theo cột thứ ba, ta được Sử dụng biến đổi đại số, ta có 18 Website: www.caotu95.blogspot.com Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com... phân tích mô hình tăng trưởng dân số và tính toán bậc của ma trận ( trong việc xác định lũy thừa ma trận) Các lĩnh vực khác như vật lí, xã hội học, sinh học, kinh tế và thống kê đã tập trung sự chú ý đáng kể vào giá trị riêng và vectơ riêng trong các ứng dụng và tính toán của chúng Trước khi cung cấp khái niệm chính thức, chúng tôi giới thiệu khái niệm này trong một ví dụ Ví dụ Xét ma trận Xét ba cột... riêng của A 4 Nếu là một số tùy ý, thì là một giá trị riêng của 5 Nếu A và B là đồng dạng nhau, then they have thì chúng có cùng đa thức đặc trưng (điều này đãn đến có cùng giá trị riêng) Câu hỏi tự nhiên tiếp theo là tìm vectơ riêng Trong phần tiếp theo sẽ thảo luận về vấn đề tìm vectơ riêng 17 Website: www.caotu95.blogspot.com Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com... riêng của A ứng với Ta phải có Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là Bởi vì vectơ 0 alf một nghiệm, hệ này có nghiệm Thật vậy, ta sẽ đề cập trong trang khác là ccấu trúc nghiệm của hệ là phong phú Trong phanà này ta thảo luận vần đề có bản là tìm nghiệme Nhận xét Khá dễ dàng để thấy rằng nếu X là một vectơ thỏa mãn , thì vectơ Y = c X (cho mọi số c tùy ý) thỏa mãn cùng phương trình... nào để tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo? Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ Vì vậy các cột ma trận C1, C2, và C3 là các vectơ Chúng ta có định nghĩa Định nghĩa Cho A là ma trận vuông Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu và chỉ nếu tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho mỗi giá trị là giá trị riêng của A Vectơ C được gọi là vectơ... symmetric matrices.Chứng minh điều này là phức tập, chỉ dễ dàng với ma trận vuông cấp 2 Xét ma trận vuông đối xứng Phương trình đặc trưng của nó Đây là phương trình bậc hai Nghiệm phụ thuộc vào dấu của định thức Biến đổi đại số ta được 24 Website: www.caotu95.blogspot.com Biên soạn: Cao Văn Tú Do đó, Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com là một số dương, suy ra giá trị riêng của A . sau đây cho định thức. Định thức của       a c b d = det       a c b d =       a c b d = ad - bc Các tính chất của định thức 1. Định thức của ma. dòng thứ tư, ta được định thức này bằng 3. Như vậy, định thức ban đầu là Những tính toán dường như là khá dài. Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của ma trận. Ví. quả. Định thức của các ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày ở mục . Định thức của các ma trận cấp cao Như đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã