chuyên đề định lí viet

Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-ét là rất ít 1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập, vì thế đại đa số học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài toán có liên quan đến đ

Trang 1

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

Chuyên đề một số ứng dụng của định lý vi - ét

định lý Vi-ét

Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-ét là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài toán có liên quan đến định lý Vi-ét và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này Tr-

ớc thực tế đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết đợc các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề:

“Một số ứng dụng của định lý Vi-ét”

II Mục đích nghiên cứu

- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trớc những thiên

h-ớng tốt, cha tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phơng pháp giải cho các em

- Thứ hai: Bản thân ngời thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ kiến

thức

- Thứ ba: Giúp các thày cô có thêm tài liệu về định lý Vi-ét phục vụ trong công tác

giảng dạy, đặc biệt trong việc ôn luyện học sinh giỏi và ôn luyện vào THPT.

III Phơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trong

ch-ơng trình đại số lớp 9

- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi

- Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.

- Qua trao đổi , học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm

IV Nhiệm vụ của đề tài

Đề cập tới một số ứng dụnh của định lý Viet Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực t duy khác cho học sinh.

V Giới hạn nghiên cứu

- Chuyên đề này áp dụng đợc với mọi đối tợng học sinh Tuy nhiên với mỗi đối tợng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ phù hợp.

Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh – Hoàng Trọng Hiển 2

Trang 2

-Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét

- Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hớng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trờng chuyên, lớp chọn.

b giải quyết vấn đề

   -

2

2 1

a b x

x S

2 1

Đảo lại nếu hai số x1; x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1.x2 = P thì x1; x2 là các nghiệm của

ph-ơng trình X2 - SX + P = 0 (ở đây chú ý rằng PT(*) chỉ có nghiệm khi S2 4P

2 Dấu của nghiệm số phơng trình bậc hai

Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a0)

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình ta có các kết quả sau:

+) P < 0  x1  0 x2 +) 0 2 1

0 0

Trang 3

Phần I Một số ứng dụng của định lí viét

x1  1 ; 2 

2 Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm

a

c x

.

5 3

2 (

5 2 3

1 2

m m

m

(Với m 2; m 3) Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

m

m x

;

1 2

1

c ở phơng trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay:

Trang 4

a – b + c = m – 3 + m + 1 – 2m + 2 = 0 Nên x1   1; x2  2m 2mà không thấy đợc phơng trình đã cho cha phải là phơng trình bậc hai

Vì vậy ta cần xét m – 3 = 0; m – 3 0, rồi nhẩm nghiệm

 Kết luận:

Nh vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) thì ta cần

+ Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm

+ Xét a 0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm

Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt) Để giải quyết đợc tôi đã định hớng để học sinh thấy đợc khi đó phải đa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm đợc nghiệm

Tính giá trị của một biểu thức

giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai

I Phơng pháp giải

2.1 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của một phơng trình.

ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm

Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x1 + x2 và P = x1 x2 nhờ đó có thể tính đợc giá trị của biểu thức mà không phải giải phơng trình

II Một số ví dụ

VD1: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x2 – cx + 2c -1 = 0 Tính

Trang 5

theo c giá trị của biểu thức A = 3

1

x + 3 2

3 1

3 2

3 1

2 1 2 1

3 2 1

3

x x

x x x x x

3

1 2 3

 2

2

1 2

9 18

áp dụng định lý viét, ta có S = x1 + x2 =

4

85 và P = x1 x2 =

16 21

2

1 x x x

x   = (x1 - x2 )   1 2

2 2

85 16

84 16

85

=

16

64 4

1

= 1 Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trớc hết ta tính

S = x1 + x2 ; P = x1 x2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm xuất hiện S; P từ đó tính đợc giá trị của biểu thức

Trang 6

 A2= 5 + 2 - 2 5  3  1  1

 A = 1 ( vì A 0)

 ở VD3 không có mặt S, P một số học sinh vội vàng bình phơng 2 vế ngay khi đó gặp bế

tắc Thế nhng nếu học sinh khéo thay thế x1  2 bởi x1  1nh trên, sau đó mới bình

ph-ơng 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đợc một cách dễ dàng

Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là một phơng án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều Với phơng trình ax2  bx c   0 có 2 nghiệm x1 , x2 và

2 1

5

2

3 1

18

4 18

18

8 8 3 6 4 10 5

12

8 8 ) 1 2 ( 3 ) 2 5 ( 2 5

12

2

1

2 1

x x

2 1

2 1 1

2

3 1 3

2 1

3 2

3 1

1  x    x x 

x

Trang 7

= 3.2 - 1 11

2 2

2.2 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình

Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình Để làm

đợc các bài tập kiểu này ta phải tìm S, P trong từng phơng trình rồi xem xét, thay thế một cách hợp lý ( thờng thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tính đợc giá trị của biểu thức đó

VD5: Giả sử x1, x2là hai nghiệm của phơng trình 2 1 0





ax

x và x3, x4là nghiệm của phơng trình 2 1 0

x x

b x

x

Do đó: x1  x3 . x2 x4x1x2 x1x4  x2x3  x3x4

= 1 + x1x4  x2x3  1 = x1x4  x2x3

và x2  x3 . x1 x4x1x2 x2x4  x1x3  x3x4

= 1 + x2x4  x1x3  1 = x2x4  x1x3

2 1

2 4

b,c là hai nghiệm của phơng trình : 2 2 0





qx x

b,c là hai nghiệm của phơng trình : 2 2 0





qx

x nên theo định lý Viét ta có:

bc

q c

b

Ta có b a .b c= b2  ab bcac

= b2 abbcac 2abbc = babcab 2abbc = abbc 2abbc =  p q 21  2pq 6 ( Điều phải chứng minh)

2

2 1



x x

3 2 2

2 1

Trang 8

B =

1

2 1

2 2

1 2

x x

1 1

x x

2

2 1



x x

x

2 1 2

2 1

2 2 2 1

2

4

x x x x

2 1

2 2

1

2 1

BT8 Cho phơng trình x2 x 1  0, gọi x1là nghiệm âm của phơng trình

Tính giá trị của biểu thức C = 8 1 1

Trang 9

d a2 +b2 = 29 và ab = 10

H

ớng dẫn :

a Các số a,b cần tìm ( nếu có) là nghiệm của phơng trình x2-10x + 32 = 0 Vì có

S2  4P ( hay   0) nên PT trên vô nghiệm hay không tồn tại hai số a, b thoả mãn điêu kiện

ab

b a

10 2

) ( 2

ab

ab b

ớng dẫn: Gọi x,y là độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật (0 x 2;ya)

Theo giả thiết ta có x + y = 2a

b a

a

y

b a

b a a y

b a a x

x

zx yz

xy

z y x

 Nhận xét : Để giải hệ phơng trình trên ( phần a) ta biến đổi để tìm đợc x+y và xy sau đó

đa về phơng trình bậc 2 đã biết cách giải

2

xy y

2 xy y

x

xy y x

2 x y y

x xy y x

y x S

2 S S P S

S S P S

P S P S

Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh – Hoàng Trọng Hiển - 10 -

Trang 10

Giải (1) : Theo định lý Viét, x,y là nghiệm của phơng trình

x

zx yz

xy

z y x

2 6

2 xy yz xz z

y x

zx yz xy

z y x

) 2 ( 7 ) 1 ( 6

z x

y

zx yz

xy

z y

(

) 2 ( 7

) 1 ( 6 )

(

z x

y

zx yz

xy

y z

) 5 ( ) 4 ( 3

z x

Từ (5) và (6) Theo định lí Viet  x và z là các nghiệm của phơng trình

0 2 3

Vậy hệ phơng trình đã cho có các nghiệm ( x, y, z) = ( 1; 3; 2) ; (2; 3; 1)

 Nhận xét : Vậy từ bài toán giải hệ 3 phơng trình ba ẩn bằng cách biến dổi thích hợp ta đã

đa bài toán về dạng tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng ( với số thứ nhất là x+z) , số thứ

là y và ta giải đợc hệ nhờ định lí Viet

x1 2 

S =

a

b x

x1 2  

Trang 11

Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta

S P

3 Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không

âm Thờng có 2 cách giải:

Cách 1: Có P  0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm dơng 1 nghiệm không âm)

Hoặc P = 0 Trờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

S P

Thì hai nghiệm đều dơng

Cách 2:

Trớc hết phải có   0khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu :

0



S ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm dơng)

Hoặc S = 0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S ,0 P 0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

0 4 5 2

m

m m

4 9 2

5 2

m m

5

m m

Mặt khác: S = x1 + x2 = 2m > 0 (Do m nhận giá trị dơng) nên PT có 2 nghiệm dơng

b PT (2) có hai nghiệm x1 ; x2 cùng dấu khi và chỉ khi

2

00

b Hai nghiệm cùng dấu phân biệt

c Hai nghiệm âm phân biệt

Trang 12

2

11

2

1 00

a Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn

b Có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về GTTĐ

c Có 1 nghiệm dơng

H

ớng dẫn :

HS đã biết điều kiện để phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 (a0) có hai nghiệm trái dấu là

P < 0 Tuy nhiên ở đây còn liên quan đến GTTĐ của các nghiệm, vì vậy ta phải có thêm ĐK

về tổng các nghiệm nữa

a PT đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn khi và chỉ khi

40

m

a

m m

Trang 13

+ TH1: Nếu m – 4 = 0  m = 4 thì phơng đã cho trở thành -4x + 3 = 0  3

04

x  

Vậy m = 4 là một giá trị thoả mãn

+ TH2: Nếu m – 4 0  m 4 phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có 3 khả năng xảy ra để phơng trình có một nghiệm dơng

i) PT có 2 nghiệm trái dấu Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = ac < 0

00

4

m

m m

b

m a

Kết hợp lại ta có: Với 1 m 4 hoặc m = 0 thì phơng trình có một nghiệm dơng

VD4: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm không âm

Vậy m = -1 không phải là giá trị cần tìm

ii) Khi m -1 PT đã cho là phơng trình bậc hai

Cách 1: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

1

m m

Không có giá trị của m thoả mãn

Vậy giá trị cần tìm của m là -1 < m  2

Cách 2: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là: P < 0 hay – 1 < m < 1

+ Hoặc PT có một nghiệm bằng 0, tức là: P = 0 hay m = 1

1

m m

Trang 14

Cách 3: PT đã cho có 2 nghiệm đều âm khi và chỉ khi

1

m m

Để giải các bài tập kiểu này ta thờng thực hiện các bớc sau:

B1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

B2: Từ điều kiện đầu bài tìm ra đợc biểu thức về mối liên hệ giữa các nghiệm của phơng

trình

B3: Thay tổng, tích giữa các nghiệm vào biểu thức

B4: Tìm giá trị của tham số, rồi kết luận.

Trang 15

VD2: Với giá trị nào của m thì phơng trình x2 + x + m = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn m

44

m m

m

m m

0 4

0 1 4

2 0 4 2

m m

m



4 0

m m m m

Vậy giá trị cần tìm của m là: 2m4

VD4: Cho hai phơng trình bậc hai:

x của (1) và x3, x4 của (2) thoả mãn điều kiện :Mỗi phơng trình có một nghiệm bị kẹp

giữa các nghiệm của phơng trình kia ( Đề thi chọn HS thuộc Ba Lan 1950)

Trang 16

H

ớng dẫn : Không mất tính tổng quát, giả sử rằng x 1 x2 và x 3 x4 Theo yêu cầu của đề bài

ta phải có : x1 x3 x2 x4 hoặc x3 x1 x4 x2 Dễ dàng trong trờng hợp nào ta cũng có

a Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1

b Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2

Ta cần lập phơng trình bậc hai nhận các số x1; x2 là các nghiệm Điều này dựa trên định lý

“ Nếu x1x2 S và x1.x2 P thì x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2  SxP0”.

II Một số ví dụ

VD1: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:

72 10

1

 và

2 6 10

1

72 10

1

72 10

72 10 72 10



x1x2

P

72 10

1

72 10

Nh vậy với bài toán lập phơng trình bậc hai khi đã biết trớc hai nghiệm của nó ta chỉ cần

áp dụng định lí Viét đảo song cũng cần lu ý điều kiện để có hai nghiệm là S2  4P







x x y

Trang 17

Giải: Theo Viét ta có x1x2   p

2 1 2 1

2 1

x x

1

2 1 2 1

x x x x

p q

Với S2  4P thì y1, y2là hai nghiệm của phơng trình

0 1

1

p q y q

2 2 1 1 2 1

2 1 2 1

x x x x

 1 2

2 15

4.2

x x

8

2 2

q q

2 1

2

p p

p q p

p x

x

S

P= x1.x2=  

 2 1

2 1 1

q q

p p qq

Trang 18

Với các giá trị của p , q S2  4P thì x1, x2 là các nghiệm của phơng trình

0)(

1

2 1 1

1

1 1

p p qp x p p

q q p

1

x x

3

x x

X   ;

2 2 2

3

x x

BT5 Gọi p, q là hai nghiệm của phơng trình bậc hai 3 2 7 4 0





 x

x Không giải phơng trình hãy lập phơng trình bậc hai mà các nghiệm của nó là:

x và x22

g Lớn hơn nghiệm của PT đã cho một lợng bằng n

h Gấp n lần nghiệm của PT đã cho

BT7 Gọi x1, x2 là nghiệm của PT x2 - 7x + 3 = 0

a Lập PT bậc hai có 2 nghiệm 2x1- x2 và 2x2 - x1

b Tính giá trị của A = 2x1  x2  2x2  x1

(Đề thi tuyển sinh vào trờng THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 – 2001)

BT8 Lập PT bậc hai có hai nghiệm x1, x2 sao cho:

Trang 19

ứng dụng của định lý Vi- ét vào việc tìm điều kiện của m để các phơng

trình có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức ( m là tham số)

I Phơng pháp giải

Các bài tập dạng này có thể liên quan tới một phơng trình hoặc hai phơng trình biểuthức đã cho có thể là đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm Để giải quyết đợc cácbài tập dạng này:

Bớc 1: Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2

Bớc 2: áp dụng định lý Vi- ét biểu diễn x1+ x2 (1)

x1.x2 theo m (2)

Bớc 3: Kết hợp các diều kiện (1); (2) và hệ thức bài cho để tìm m (ở mỗi dạng hệ thức có

cách giải và biến đổi khác nhau)

+) Với m = 6 ta có phơng trình x2 + 6x + 13 = 0, phơng trình này vô nghiệm

+) Với m = 6 ta có phơng trình x2 - 4x + 3 = 0 phơng trình này có nghiệm 1 và 3 thoả mãn

đối chiếu với điều kiện (*) ta đợc m  5 hoặc m   5

 Nhận xét: ở hai ví dụ trên ta thấy biểu thức giữa các nghiệm là biểu thức đối xứng,chúng ta chỉ việc biểu thị các biểu thức đó thông qua x1+ x2; x1.x2từ đó tìm đợc tham số m.Tuy nhiên trong thực tế ta có thể gặp các bài toán mà biểu thức không đối xứng giữa các

Trang 20

nghiệm, khi đó ngoài việc dùng định lý Vi-ét ta còn phải biến đổi để đa về việc giải phơnghoặc hệ phơng trình từ đó mới tìm đợc tham số m Sau đây là ví dụ minh hoạ:

VD3: Với giá trị nào của m thì phơng trình x2 - 15

) 3 ( 4 15

2 3

2 1

m x

x x

Từ (3) tìm đợc

2

5

; 2

3

2 1

m m

Theo định lý Vi-ét và theo giả thiết ta có:

) 2 ( ) 2 (

3

) 1 ( ) 1 (

2

2 1

x x

m m x

x

m m x

x

Kết hợp (1); (2) ; (3) ta tìm đợc m = 2; m =

3 2

VD5: Cho phơng trình x2 + mx + n = 0 Tìm m, n biết rằng phơng trình có hai nghiệm thoảmãn: 

3 3

2 1

x x

H

ớng dẫn: Phơng trình bậc hai đã cho có hai nghiệm khi m2 4n (*)

Theo Vi-ét và theo điều kiện bài toán ta phải có:

) 3 ( 1

) 2 (

) 1 (

3 3

2 1

2

1

2 1

x x

n x

x

m x

2 1

m x

Thay x1; x2 vừa tìm đợc vào (2) ta đợc m2- 4n = 1 (5)

2 2 1

2

Từ (5) và (6) ta tìm đợc n = 2; m =  3 Ta thấy hai cặp (m = 3; n = 2) và (m = -3; n = -2)

đều thoả mãn điều kiện (*) do đó chúng là các giá trị cần tìm

 Nhận xét: ở ví dụ 4 chúng ta phải tìm điều kiện của tham số m đẻ các nghiệm của

ph-ơng trình thoả mãn điều kiện mà biểu thức giữa các nghiệm không đối xứng nhau ta đa vềgiải hệ phơng trình 3 ẩn x1; x2 ; m ở ví dụ 5 chúng ta phải tìm điều kiện của tham só m, n đểcác nghiệm của phơng trình thoả mãn đồng thời hai điều kiện ta đa về việc giải hệ 4 phơngtrình 4 ẩn x1; x2 ; m; n Cuối cùng không quên kiểm tra điều kiện có nghiệm của phơng trình

đã cho

Trên đây là những ví dụ liên quan đến tìm điều kiện của tham số để biểu thức giữacác nghiệm của một phơng trình thoả mãn điều kiện nào đó Sau đây ta xét đén bài toán liênquan đến biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình

VD6: Cho x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 – 3x + a = 0

x3; x4 là hai nghiệm của phơng trình x2 – 12x + b = 0

Tìm a, b biết rằng:

3

4 2

3 1

2

x

x x

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	1,52 MB