chuyên đề định lí viet

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét Chuyên đề một số ứng dụng của định lý vi - ét --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A . Đặt vấn đề ------------------------------------ I - Lý do chọn đề tài Nh chúng ta đã biết phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong phú. Do vậy khả năng gặp phơng trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào các trờng chuyên, lớp chọn là rất cao. Mà đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý Vi-ét. Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Vi-ét là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài toán có liên quan đến định lý Vi-ét và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này. Trớc thực tế đó, nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết đợc các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề: Một số ứng dụng của định lý Vi-ét II. Mục đích nghiên cứu - Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trớc những thiên hớng tốt, cha tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phơng pháp giải cho các em - Thứ hai: Bản thân ngời thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ kiến thức - Thứ ba: Giúp các thày cô có thêm tài liệu về định lý Vi-ét phục vụ trong công tác giảng dạy, đặc biệt trong việc ôn luyện học sinh giỏi và ôn luyện vào THPT. III. Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trong chơng trình đại số lớp 9 - Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 2 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét - Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho học sinh thi vào THPT. - Qua trao đổi , học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những đồng chí có nhiều năm công tác, có bề dày kinh nghiệm IV. Nhiệm vụ của đề tài Đề cập tới một số ứng dụnh của định lý Viet. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng dạng , cách giải quyết từng dạng. Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực t duy khác cho học sinh. V. Giới hạn nghiên cứu - Chuyên đề này áp dụng đợc với mọi đối tợng học sinh. Tuy nhiên với mỗi đối tợng thì giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập với mức độ khó, dễ phù hợp. - Chuyên đề này áp dụng tốt nhất trong việc ôn luyện học sinh giỏi, hớng dẫn học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt là ôn thi vào các trờng chuyên, lớp chọn. Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 3 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét b. giải quyết vấn đề ------------------------------------ I cở sở của lý thuyết 1. Điều kiện về nghiệm của phơng bậc hai một ẩn Phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) (*) acb 4 2 = a) Nếu < 0 thì (*) vô nghiệm b) Nếu = 0 thì (*) có nghiệm kép: a b xx 2 21 == c) Nếu > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = * Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x 1 , x 2 thì: == =+= a c xxP a b xxS 21 21 Đảo lại nếu hai số x 1 ; x 2 có tổng x 1 + x 2 = S và tích x 1 .x 2 = P thì x 1 ; x 2 là các nghiệm của ph- ơng trình X 2 - SX + P = 0 (ở đây chú ý rằng PT(*) chỉ có nghiệm khi S 2 4P 2. Dấu của nghiệm số phơng trình bậc hai Cho phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phơng trình ta có các kết quả sau: +) P < 0 1 2 0x x < < +) 2 1 0 0 0 P x x S = > = > +) 1 2 0 0 0 P x x S = < = < +) 1 2 0 0 0 0 P x x S > < > +) 1 2 0 0 0 P x x S = < = < +) 1 2 0 0 0 0 P x x S > < < 3. áp dụng Cho phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) +) Nếu a + b +c = 0 thì phơng trình (*) có hai nghiệm 1 2 1; c x x a = = +) Nếu a- b + c = 0 thì phơng trình (*) có hai nghiệm 1 2 1; c x x a = = Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 4 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét +) Nếu x 1 + x 2 = m + n và x 1 .x 2 = m.n và 0 thì phơng trình (*) có nghiệm x 1 = m; x 2 = n hoặc x 1 = n; x 2 = m Phần I. Một số ứng dụng của định lí viét Dạng 1: nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a 0 I. Phơng pháp giải Xét phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) 1. Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm a c xx == 21 ;1 2. Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm a c xx == 21 ;1 3. Nếu nmxx +=+ 21 ; nmxx 21 = và 0 thì phơng trình có nghiệm: nxmx == 21 ; hoặc nxmx == 12 ; II. Một số ví dụ VD1: Giải phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a. 015)53( 2 =+ xx (1) b. 0 )3)(2( 52 3 1 2 1 2 = + + mm m x n x m (Với m 2; m 3, x là ẩn) (2) c. (m -3)x 2 (m +1)x 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3) H ớng dẫn : a. ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c 0, a - b + c 0, nhng có a.c = 15 < 0. Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx < . áp dụng hệ thức Viét có: == +=+ 5.315. 53 21 21 xx xx Vậy phơng trình có 2 nghiệm là: 3 và 5 b. Đây là phơng trình bậc hai có: a + b + c 0 )3)(2( 52 3 1 2 1 = + + = mm m mm (Với m 2; m 3). Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt m m xx == 3 52 ;1 21 c. ở phơng trình này không ít HS sai lầm và vội vàng kết luận ngay: a b + c = m 3 + m + 1 2m + 2 = 0. Nên 1 1 = x ; 22 2 = mx mà không thấy đợc ph- ơng trình đã cho cha phải là phơng trình bậc hai. Vì vậy ta cần xét m 3 = 0; m 3 0, rồi nhẩm nghiệm. Giải: + Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình (3) trở thành - 4x 4 = 0 x = -1 Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 5 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét + Nếu m 3 0 m 3 phơng trình (3) có a b + c = 0, nên có 2 nghiệm 3 22 ;1 21 == m m xx . Kết luận: Nh vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) (*) thì ta cần + Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm + Xét a 0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt). Để giải quyết đợc tôi đã định hớng để học sinh thấy đợc khi đó phải đa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm đợc nghiệm. VD2: Nhẩm nghiệm của phơng trình 0155 23 =+ xxx (4) H ớng dẫn PT (4) có tổng các hệ số là: 5 + 1 5 1 = 0, nên PT (4) có nghiệm x = 1. Khi đó ta đa PT (4) về dạng: (x -1)(5x 2 + 6x + 1) = 0, nhẩm tiếp nghiệm: 5x 2 + 6x + 1 = 0 Kết quả phơng trình (4) có 3 nghiệm: x 1 = 1; x 2 = -1; x 3 = 5 1 VD3: Giải phơng trình : + 4 x (x +1)(5x 2 - 6x - 6 ) = 0 H ớng dẫn : Phơng trình trên có dạng + 4 x 5x 2 (x +1) 6 ( x+ 1) 2 = 0 (5) Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phơng trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1) 2 ta đợc: 2 2 1 + x x + 5. 1 2 + x x - 6 = 0 Đặt 1 2 + x x = X; ta đợc 2 X + 5 X 6 = 0 Dễ dàng nhẩm đợc 1 X = 1 ; 2 X = -6 Sau đó giải tiếp tìm đợc x Dạng 2: Tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai I. Phơng pháp giải 2.1 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của một phơng trình. ở dạng này biểu thức ta có thể gặp là biểu thức đối xứng hoặc không đối xứng giữa các nghiệm. Với biểu thức đối xứng ta có thể biểu thị biểu thức đó theo S = x 1 + x 2 và P = x 1 x 2 nhờ đó có thể tính đợc giá trị của biểu thức mà không phải giải phơng trình. Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 6 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét II. Một số ví dụ VD1: Giả sử x 1 và x 2 là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x 2 cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức A = 3 1 1 x + 3 2 1 x Giải: Theo định lý viét ta có: 1 2 1 2 3 2 1 . 3 c x x c x x + = = S = 3 1 1 x + 3 2 1 x = 3 2 3 1 3 1 3 2 .xx xx + = ( ) ( ) 3 2 3 1 2121 3 21 . 3 xx xxxxxx ++ S = 3 3 3 12 3 . 3 12 .3 3 c ccc = ( ) ( ) 2 2 12 918 + + c ccc VD2: Không giải phơng trình , hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nhỏ của phơng trình bậc hai : x 2 - 0 16 5 1 4 85 =+ x (*) H ớng dẫn : Phơng trình (*) có 85 21 1 4. 16 16 16 = = 0 Phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Không mất tính tổng quát. Giả sử x 1 x 2 . áp dụng định lý viét, ta có S = x 1 + x 2 = 4 85 và P = x 1 . x 2 = 16 21 ta có 3 2 3 1 xx = (x 1 - x 2 ) ( ) 21 2 2 2 1 xxxx ++ = (x 1 - x 2 ) ( ) [ ] 21 2 21 xxxx + Do x 1 x 2 nên x 1 - x 2 = ( ) 2 21 xx = 21 2 2 2 1 2 xxxx + = ( ) 21 2 21 4 xxxx + Vậy 3 2 3 1 xx = ( ) 2 2 4 .S P S P = 16 21 16 85 . 16 84 16 85 = 16 64 . 4 1 = 1 Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trớc hết ta tính S = x 1 + x 2 ; P = x 1 . x 2 sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu thức đã cho nhằm xuất hiện S; P từ đó tính đợc giá trị của biểu thức. VD3: Cho phơng trình 035 2 =+ xx . Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x 1 , x 2 Tính giá trị của biểu thức A = 12 21 + xx (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Nguyễn Trãi- Hải Dơng năm học 2005-2006) H ớng dẫn : ở đây biểu thức A không phải là biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm x 1 , x 2 . Tuy vậy nếu để ý kỹ ta thấy ( ) 2 11 22 = xx Có x 1 + x 2 = 5; x 1 . x 2 = 3 x 1 0 , x 2 0 Vì x 1 là nghiệm của phơng trình 035 2 =+ xx nên 035 1 2 1 =+ xx 144 11 2 1 +=+ xxx ( ) 12 1 2 1 += xx Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 7 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét ( ) 2 1 2 x = 1 1 + x 1 1 + x = 2 1 x Khi đó A = 11 21 ++ xx 122 212121 2 +++++= xxxxxxA 2 A = 5 + 2 - 2 1135 =++ A = 1 ( vì A 0 ) ở VD3 không có mặt S, P một số học sinh vội vàng bình phơng 2 vế ngay khi đó gặp bế tắc. Thế nhng nếu học sinh khéo thay thế 2 1 x bởi 1 1 + x nh trên, sau đó mới bình ph- ơng 2 vế thì giá trị của biểu thức A tính đợc một cách dễ dàng . Với những biểu thức mà có chứa luỹ thừa bậc cao thì việc biểu diễn luỹ thừa bậc cao của 1 nghiệm qua luỹ thừa thấp hơn của nghiệm đó cũng là một phơng án đôi khi giúp cho việc tính toán thuận lợi hơn nhiều. Với phơng trình 2 0ax bx c+ + = có 2 nghiệm x 1 , x 2 và S = x 1 + x 2 ; P = x 1 . x 2 . Khi đó : ( ) PSxxxxxxx =+= 121121 2 1 3 1 x = ( ) 1 2 111 2 11 PxSxPSxxxx == = ( ) 11 2 11 . PxSPxSPxPSxS = = ( ) SPxPS 1 2 ( ) ( ) PSPxSPSxxx == 2 1 33 11 4 1 2. . VD 4: Cho phơng trình 012 2 = xx , có 2 nghiệm x 1 , x 2 ( ) 0 2 x Tính giá trị của các biểu thức : A = 8832 2 2 1 3 2 4 1 +++ xxxx B = 2 4 21 2 1 5 1 8 2 3 13 xxxxx ++ H ớng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có: 12 1 2 1 += xx ; 12 2 2 2 += xx ( ) 251.214 22 3 2 +=++= xxx ( ) ( ) 51214.1.1.2.28 11 4 1 +=+++= xxx 512 2 4 2 += xx ( ) 1 2 111 4 11 5 1 512512 xxxxxxx +=+== = ( ) 122951212 111 +=++ xxx Ta có : A= 8832 2 2 1 3 2 4 1 +++ xxxx 404)(18 41818 8836410512 88)12(3)25(2512 21 21 2121 2121 =++= ++= ++++++= ++++++= xx xx xxxx xxxx B = 2 4 21 2 1 5 1 8 2 3 13 xxxxx ++ Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 8 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét = ( ) 2 2 21 2 11 2 1 812 2 3 13512 xxxxxx ++++ = 144 2 3 169 2 2 21 2 1 +++ xxxx = 12 2 3 13 21 + xx Vì phơng trình có ac = -1 0 nên 1 x , 2 x trái dấu mà 00 12 xx . Khi đó: B = 3 ( ) 12 2 3 1 21 ++ xx B = 3 ( ) 2 1 .3 2 3 13 2121 +=++ xxxx = 3.2 - 1 11 2 2 = 2.2 Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình. Trong thực tế nhiều khi ta phải tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình . Để làm đợc các bài tập kiểu này ta phải tìm S, P trong từng phơng trình rồi xem xét, thay thế một cách hợp lý ( thờng thì phải thay thế nhiều lần ) ta sẽ tính đợc giá trị của biểu thức đó. VD5: Giả sử 21 , xx là hai nghiệm của phơng trình 01 2 =++ axx và 43 , xx là nghiệm của phơng trình 01 2 =++ bxx . Tính giá trị của biểu thức: M = ( ) ( ) ( ) ( ) 42413231 . xxxxxxxx ++ theo a và b. H ớng dẫn : Theo hệ thức Viét ta có: = =+ 1. 21 21 xx axx và = =+ 1. 43 43 xx bxx Do đó: ( ) ( ) 433241214231 . xxxxxxxxxxxx +=+ = 1 + 1 3241 xxxx = 3241 xxxx và ( ) ( ) =+ 4132 . xxxx 43314221 xxxxxxxx + = 1 + 1 3142 xxxx = 3142 xxxx M = ( ) ( ) 31423241 . xxxxxxxx M = 2 32143 2 243 2 1 2 421 xxxxxxxxxxxx + M = 2 3 2 2 2 1 2 4 xxxx + M= ( ) ( ) 2 2 2 1 2 4 2 3 xxxx ++ M= ( ) [ ] ( ) [ ] 21 2 2143 2 43 2.2 xxxxxxxx ++ M= ( ) ( ) 2222 22 abab = VD6: Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình : 01 2 =++ pxx b,c là hai nghiệm của phơng trình : 02 2 =++ qxx Chứng minh hệ thức: ( ) ( ) 6. = pqcbab H ớng dẫn : Vì a,b là hai nghiệm của phơng trình : 01 2 =++ pxx b,c là hai nghiệm của phơng trình : 02 2 =++ qxx nên theo định lý Viét ta có : Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 9 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét = =+ 1ab pba ; = =+ 2bc qcb Ta có ( ) ( ) cbab . = acbcabb + 2 = ( ) bcabacbcabb ++++ 2 2 = b ( ) ( ) ( ) bcabbacba ++++ 2 = ( )( ) ( ) bcabcbba +++ 2 = ( )( ) ( ) 6212 =+ pqqp ( Điều phải chứng minh) Bài tập áp dụng : BT1. Cho phơng trình : 022 2 = xx Không tính nghiệm của phơng trình. hãy tính: a. 3 2 3 1 xx + b. 21 xx c. 11 1 2 2 2 2 1 + + + x x x x BT2. Cho phơng trình : 0135 2 = xx Không tính nghiệm của phơng trình , hãy tìm giá trị của mỗi biểu thức: A= 2 21 3 22 2 1 3 1 3232 xxxxxx + B = 11 1 2 1 2 2 1 2 1 + ++ + + x x x x x x x x - 21 11 xx C. 1221 22 xxxx + BT3. Cho phơng trình 07 2 =+++ mmxx . Không tính nghiệm 1 x và 2 x theo m, hãy tính . A = 2 2 2 1 xx + B = 11 1 2 2 2 2 1 + + + x x x x C = 2 212 2 1 2 221 2 1 434 xxxx xxxx + + BT4. Cho phơng trình 0 2 =++ cbxax ( ) 0 a có 2 nghiệm 21 ; xx .Tính theo a, b, c các biểu thức : A = ( )( ) 1221 3535 xxxx B = 21 2 12 1 33 xx x xx x + BT5. Cho phơng trình 015 2 = xx , gọi 21 ; xx là các nghiệm của phơng trình trên. Tính : A = ( ) ( ) 14.14 2 2 21 2 1 xxxx B = ( ) ( ) 25.25 2 2 3 2 2 1 3 1 ++ xxxx BT6. Cho phơng trình ( ) 0334 22 =+++ aaxax , gọi 21 ; xx là 2 nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của a để: 9 8 11 2 2 2 1 2 1 = + x ax x ax (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dơng, năm học: 2002 -2003) BT7. Cho phơng trình 01 2 = xx có 2 nghiệm 21 ; xx . hãy tính giá trị của biểu thức A = 21 3xx B = 2 6 2 8 1 13xxx ++ Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 10 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét BT8. Cho phơng trình 01 2 =+ xx , gọi 1 x là nghiệm âm của phơng trình. Tính giá trị của biểu thức. C = 11 8 1 1310 xxx +++ BT9.Cho phơng trình ( ) 00 2 =++ acbxax có 2 nghiệm 21 ; xx .thoả mãn 2 21 xx = CMR : abcaccab 3 223 =++ BT10. Giả sử phơng trình 0 2 =++ baxx có nghiệm 21 ; xx và phơng trình 0 2 =++ dcxx có nghiệm ., 43 xx CMR : 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dbcadbcadbxxxxxxxx +++=++++ 2 22 2 42324131 2 Dạng 3: tìm 2 số biết tổng và tích của chúng I. Phơng pháp giải Nếu hai số U và V có tổng U + V = S và tích U.V = P thì U và V là nghiệm của phơng trình . 0 2 =+ PSxx (*) . Điều kiện để phơng trình (*) có nghiệm là 04 2 = PS hay PS 4 2 . Đó chính là điều kiện tồn tại hai số U và V mà tổng U + V = S và U .V = P . Nh vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm đợc hai số đó thông qua việc giải phơng trình bậc hai. II. Một số ví dụ VD1: Tìm 2 số a, b biết a. a + b = 10 và ab = 32 b. a + b = 5 và a 2 +b 2 = 13 c. a b = 2 và ab = 80 d. a 2 +b 2 = 29 và ab = 10 H ớng dẫn : a. Các số a,b cần tìm ( nếu có) là nghiệm của phơng trình x 2 -10x + 32 = 0. Vì có S 2 P4 ( hay 0 ) nên PT trên vô nghiệm hay không tồn tại hai số a, b thoả mãn điêu kiện đầu bài ở VD này dễ dàng phát hiện ra để tìm a và b trớc hết ta phải xác định đợc a.b ( phần b ; a + b ( ở phần c;d. b. Có ab2135 2 += 2ab = 12 ab =6 Nên a, b là nghiệm của phơng trình : 065 2 =+ xx Giải phơng trình này ta đợc 2;3 21 == xx . Vậy a = 3 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 3. c. ó a - b = 2 a+ (-b) = 2 a.b = 80 a.(-b) = -80 a và -b là nghiệm của phơng trình 0802 2 = xx . Giải phơng trình đợc 8;10 21 == xx . vậy a= 10 và b = 8 hoặc a = -8 và b = -10. d.Có = =+ 10 29 22 ab ba = =+ 10 102)( 2 ab abba Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 11 - [...]... (1) xy + yz zx = 7 (2) y( x + z) = 9 (3) Từ (1) và (3) theo định lí Viét y và x+z là các nghiệm của phơng trình 2 t 2 6t + 9 = 0 ( t 3) = 0 t = 3 Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 13 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét từ (1) (2) và (3) y = 3 ( 4) x + z (5) x.z = 2 (6) Từ (5) và (6) Theo định lí Viet x và z là các nghiệm của phơng trình t1 = 1; t 2 = 2 t 2... nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc hoặc xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 14 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét 1 Phơng trình có 2 nghiệm dơng 0 P 0 S 0 2 Phơng trình có 2 nghiệm âm 0 P 0 S 0 3 Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0 Nhiều... nhờ vào định lí Viét nh sau: c 4 2 = m (2) x2 = x2 = > 2 = x1 a 3 3 4 Vậy m = là giá trị cần tìm 3 x1.x2 = TH2: x1 < 2 < x2 ( x1 + 2)( x2 + 2) < 0 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 < 0 m + 2m + 4 < 0 m < Kết hợp cả hai trờng hợp và đối chiếu với điều kiện có nghiệm thì m tìm Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển 4 3 4 là các giá trị cần 3 - 19 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét VD2:... nhất 6 6 1 bằng 12 Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 36 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét Trên đây là một số bài toán liên quan đến định lý Vi-ét Qua đó ta thấy các bài tập liên quan đến phần này là rất phong phú đa dạng, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc cách giải từng dạng, phải biết nhìn nhận vấn đề một cách linh hoạt, phải biết phối hợp các phơng pháp giải của từng dạng... Hoàng Trọng Hiển - 20 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét Vậy giá trị cần tìm của m là: 2 m 4 VD4: Cho hai phơng trình bậc hai: (1) x 2 + mx + n = 0 2 x + px + q = 0 (2) các tham số m,n,p,q phải thoả mãn điều kiện gì để các nghiệm x1 ; x 2 của (1) và x 3 , x 4 của (2) thoả mãn điều kiện :Mỗi phơng trình có một nghiệm bị kẹp giữa các nghiệm của phơng trình kia ( Đề thi chọn HS thuộc Ba Lan... xxx 4 3 1 4 xxxx 2 hoặc x1 x2 x3 x4 và Theo yêu cầu của đề bài ta Dễ dàng trong trờng hợp nào ta cũng có ( x3 x1 )( x3 x 2 )( x 4 x1 )( x 4 x 2 ) 0 (3) Do phơng trình (1) có hai nghiệm x1 ; x 2 nên theo định lí Viét ta có: x1 + x2 = m x1 x2 = n x3 + x 4 = p x3 x 4 = q Và do phơng trình (2) có hai nghiệm x 3 , x 4 nên theo định lí Viét ta có: [ ( x32 + mx 3 + n ).( x 42 + mx 4 + n ) ... nghiệm lớn hơn 1 b Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2 Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 21 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét BT3 Tìm m để phơng trình mx 2 2( m 2) x + 1 = 0 Có hai nghiệm phân biệt và nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1 BT4 Cho hai phơng trình : x 2 2 px + n = 0 x 2 2mx + n = 0 Tìm điều kiện để mỗi phơng trình có một nghiệm nằm xen... x2 7 x12 x2 > 0 x2 x1 2 2 2 ( x1 + x2 ) 2 x1x2 9 ( x1 x2 ) > 0 (2) Theo định lý Vi-ét ta có x1+ x2 = - m; x1.x2=1 Thay vào (2) ta có (m 2 m > 5 2 2) 9 > 0 đối chiếu với điều kiện (*) ta đợc m > 5 hoặc m < 5 m < 5 Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 25 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét Nhận xét: ở hai ví dụ trên ta thấy biểu thức giữa các nghiệm là biểu thức... Theo định lý Vi-ét và theo giả thiết ta có: x1 x 2 = m x1 + 2 x2 = 1 (3) Kết hợp (1); (2) ; (3) ta tìm đợc m = 2; m = 2 3 VD5: Cho phơng trình x2 + mx + n = 0 Tìm m, n biết rằng phơng trình có hai nghiệm thoả x1 x2 = 1 mãn: x13 x23 = 7 Hớng dẫn: Phơng trình bậc hai đã cho có hai nghiệm khi m2 4n (*) Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 26 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí. .. áp dụng định lý Vi-ét, ta có x3 + x 4 = 12; x3 x 4 = b Điều kiện để phơng trình bậc hai x2 3x + a = 0 có nghiệm x1; x2 là a Đặt x 2 x3 x 4 = = x1 x 2 x3 x2 = kx1 x1 + x2 = 3 x + x = 12 3 4 2 = k, ta suy ra: x = kx = k x Nh vậy ta có hệ sau: 3 2 1 x1 x2 = a x3 x 4 = b x4 = kx3 = k 3 x1 Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 27 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét . Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét Chuyên đề một số ứng dụng của định lý vi - ét ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. đó, ta có thể ứng dụng định lí Viét . Ngời thực hiện: Trần Văn Mạnh Hoàng Trọng Hiển - 14 - Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét 1. Phơng trình