SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 4 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2006 – 2007 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 13/6/2006 Câu 1: (2 điểm). Tìm số xyz biết rằng ( ) 4 3 n xyz x y z= + + với n ∈ N. Câu 2: (2 điểm). Chứng minh rằng: 2 1 1 . 1 1 1 x x x x x x + + − = ÷ ÷ ÷ ÷ − + , ( ) 0 1x≤ ≠ . Câu 3: (2 điểm). Giải bất phương trình: 2 2 1 1y x x y− + − + − ≥ . Câu 4: (3 điểm). Trên nửa đường tròn đường kính AB ta lấy một điểm C. Hạ đường cao CH của tam giác ABC. Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ACH và BCH. Tìm vị trí của C để O 1 O 2 đạt độ dài lớn nhất. Câu 5: (1 điểm). Giả sử p là số nguyên tố lẻ, đặt 9 1 8 p m − = . Chứng minh rằng m là một hợp số lẻ, không chia hết cho 3 và 1 3 1 m− ≡ (mod m). Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: TOÁN (Dành cho lớp chuyên toán) Câu 1: (2 điểm). Giả sử n ≥ 1. Vì x ≥ 1 nên nếu y = z = 0 thì 3 3 100xyz N= ∉ . Trong khi đó ( ) 4 n x y z+ + ∈ N. Vô lí! (0,5 điểm). Nếu y + z ≥ 1 thì x + y + z ≥ 2. Suy ra ( ) 4 n x y z+ + ≥ 2 4 = 16 > 10 = 3 3 1000 xyz> Vậy n = 0. Ta có xyz = (x + y + z) 3 (1) (0,5 điểm). Mặt khác ta có 64 < xyz < 1000 hay 4 < x + y + z < 10 (2) (0,25 điểm). Ta lại có: Nếu a ∈ N thì a 3 chia cho 9 có số dư là 0, 1, 8. Vậy (x + y + z) 3 chia cho 9 có số dư là 0, 1, 8. (0,25 điểm). Từ (1) suy ra xyz chia cho 9 có số dư là 0, 1 , 8 hay x + y + z chia 9 có số dư là 0, 1, 8 (3) (0,25 điểm). Từ (2) và (3) suy ra x + y + z bằng 8 hoặc bằng 9. • x + y + z = 8 ⇒ (x + y + z) 3 = 8 3 = 512 = (5 + 1 + 2) 3 • x + y + z = 9 ⇒ (x + y + z) 3 = 9 3 = 729 ≠ (7 + 2 + 9) 3 Vậy xyz = 512. (0,25 điểm). Câu 2: (2 điểm). Với 0 1x ≤ ≠ ta có: 2 1 1 . 1 1 x x x x x x + + − ÷ ÷ ÷ ÷ − + = ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 . 1 1 1 x x x x x x + + ÷ ÷ − ÷ ÷ + − + ÷ (1,0 điểm). = ( ) ( ) 2 1 1 1 x x x x − + − − (0,5 điểm). = ( ) ( ) 2 2 1 1 1 x x − − = 1 (0,5 điểm). Câu 3: (2 điểm). Ta có: 2 2 1 1y x x y− + − + − ≥ ⇔ 11 22 +−+≥− yxyx ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 0 1 1 x y x y x y x y + − ≥ ⇔ − > − ≥ + − + (0,5 điểm). 2 2 2 2 1 1 x y x y x y x y + ≥ ⇔ > − ≥ + − (0,5 điểm). Từ điều kiện x > y suy ra x > 0. Do đó x y− ≤ 0. Từ đó ta được: 2 2 2 2 0 1 1 0 x y x y x y x y = − ≥ + − ⇔ + − = (*) Do x > 0 nên từ (*) suy ra 1 0 x y = = (0,5 điểm). 2 Thử lại ta thấy 1 0 x y = = thoả mãn ⇒ hệ bất phương trình đã cho có nghiệm là 1 0 x y = = . (0,5 điểm). Câu 4: (3 điểm). Gọi O là tâm, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC và r 1 , r 2 theo thứ tự là bán kính của các đường tròn (O 1 ), (O 2 ). Ta có: ∆ABC : ∆ACH : ∆CBH 1 r CH r CB ⇒ = ; 2 r CH r AC = (0,5 điểm). 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1r r CH r CB AC + ⇒ = + ÷ ( ) 2 2 2 2 2 2 . 1 . . CH AC CB CH AB CB AC CB AC + = = = ÷ (0,5 điểm). Suy ra 2 2 2 1 2 r r r= + (1) (0,5 điểm). Mặt khác ∆ O 1 O 2 H vuông tại H nên O 1 O 2 2 = O 1 H 2 + O 2 H 2 = 2r 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra O 1 O 2 lớn nhất khi và chỉ khi r lớn nhất. (0,5 điểm). Xét ∆ OAB ta có: · · · ( ) 0 180= − +AOB OAH OBH = 135 0 . Suy ra O thuộc cung chứa góc 135 0 dựng trên đoạn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ AB cùng phía với nửa đường tròn đã cho. (0,5 điểm). Dễ thấy khi O là điểm chính giữa cung đó thì r lớn nhất. Lúc đó C là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB. (0,5 điểm). Câu 5: (1 điểm). Ta có: 3 1 3 1 . 2 2 p p m ab − + = = ÷ ÷ . Dễ thấy a, b đều nguyên dương lớn hơn 1 do đó m là hợp số. (0,25 điểm). Ta lại có p p m 1 2 9 9 1 − − = + + + . Suy ra m lẻ và chia 3 dư 1. (0,25 điểm). Theo định lí Fecma nhỏ 9 p – 9 M p vì (p, 8) = 1 nên 9 p – 9 M 8p hay 9 9 1 8 p m p − − = M . Vì m – 1 chẵn nên cũng có m – 1 M 2p. Do đó: 1 2 9 1 3 1 3 1 8 p m p m − − − − = =M (0,5 điểm). Hết 3 . GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 4 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2006 – 2007 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 13/6/2006 Câu 1: (2 điểm). Tìm số xyz . ra ( ) 4 n x y z+ + ≥ 2 4 = 16 > 10 = 3 3 100 0 xyz> Vậy n = 0. Ta có xyz = (x + y + z) 3 (1) (0,5 điểm). Mặt khác ta có 64 < xyz < 100 0 hay 4 < x + y + z < 10 (2) (0,25. . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: TOÁN (Dành cho lớp chuyên toán) Câu 1: (2 điểm). Giả sử n ≥ 1. Vì x ≥ 1 nên nếu y = z = 0 thì 3 3 100 xyz N= ∉ . Trong khi đó ( ) 4 n x y z+ + ∈ N. Vô lí!