Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 5

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 5 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2007 - 2008 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 22/6/2007 Câu 1: (1,5 điểm). Cho x > y và xy = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 x y x y + ≥ − . Câu 2: (3,5 điểm). Giải các phương trình sau: a) 2 2x x x+ − = . b) 3912154 22 −=+−−++ xxxxx . Câu 3: (2,0 điểm). Chứng minh rằng nếu các số thực x, y, a, b thỏa mãn các điều kiện: x y a b x y a b 4 4 4 4  + = +  + = +  thì n n n n x y a b+ = + với mọi số nguyên dương n. Câu 4: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng hình chữ nhật MNPQ sao cho M, N là các điểm trên cạch BC, còn P, Q lần lượt là các điểm trên cạnh AC, AB. Gọi R 1 , R 2 và R 3 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác BQM, CPN và AQP. Chứng minh rằng: a) Tam giác AQP đồng dạng với tam giác MBQ và tam giác MBQ đồng dạng với tam giác NPC. b) Diện tích MNPQ lớn nhất khi và chỉ khi 2 3 2 2 2 1 RRR =+ . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn thi: TOÁN (dành cho lớp chuyên Toán) Câu 1: (1,5 điểm). Với x > y và xy = 1 ta có: ( ) 2 2 2 2x y xy x y x y x y − + + = − − = 2 x y x y − + − (0,5 điểm). Do x > y nên x – y > 0; áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x – y, 2 x y− ta được: 2 x y x y − + − ( ) 2 2 2 2x y x y ≥ − = − (đpcm). (1,0 điểm). Câu 2: (3,5 điểm). a) 2 2x x x+ − = ⇔ 2 2 0 (*) 2 0 (**) 2 x x x x x x x x  ≥    + − =    <     + − = −   (0,25 điểm). Ta có: (*) ⇔ 2 0 0 2 2 0 2 x x x x x ≥ ≥    ⇔ ⇔ =   − = = ±    (0,5 điểm). (**) ⇔ 2 0 0 1 3 2 2 0 1 3 x x x x x x < <    ⇔ ⇔ = − −   + − = = − ±    (0,5 điểm). Vậy phương trình có hai nghiệm là 2=x và 1 3= − −x (0,25 điểm). b) Ta có 3912154 22 −=+−−++ xxxxx (1) ⇔ 39444154 22 −=+−−++ xxxxx (2) (0,25 điểm). Điều kiện để phương trình có nghĩa: x ≤ –1, x 4 1 −≥ (0,25 điểm). Đặt a = 154 2 ++ xx , b = 444 2 +− xx , ( a ≥ 0, b ≥ 0) Ta có a 2 – b 2 = 9x – 3 (0,25 điểm). Kết hợp với (2) ta được a – b = a 2 – b 2 ⇔ (a – b)(a + b – 1) = 0 (0,25 điểm). • Trường hợp a – b = 0 ⇔ a = b thì 154 2 ++ xx = 444 2 +− xx ⇔ x = 3 1 . (0,25 điểm). • Trường hợp a + b – 1 = 0 ⇔ a + b = 1 Kết hợp với (2): a – b = 9x – 3 Ta suy ra 2a = 9x – 2 hay 19 4 81 154 22 +−=++ xxxx ⇔ x(65x – 56) = 0 ⇔     = = 65 56 0 x x (0,5 điểm). Thử lại ta thấy chỉ có x = 3 1 và x = 65 56 nghiệm đúng (1). (0,25 điểm). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 3 1 và x = 65 56 . Câu 3: (2 điểm). Từ x 4 + y 4 + (x + y) 4 = a 4 + b 4 + (a + b) 4 ta có: [(x + y) 2 – 2xy] 2 – 2x 2 y 2 + (x + y) 4 = [(a + b) 2 – 2ab] 2 – 2a 2 b 2 + (a + b) 4 ⇒ 2(x + y) 4 – 4(x + y) 2 xy + 2x 2 y 2 = 2(a + b) 4 – 4(a + b) 2 ab + 2a 2 b 2 2 ⇒ 2[(x + y) 2 – xy] 2 = 2[(a + b) 2 – ab] 2 ⇒ (x + y) 2 – xy = (a + b) 2 – ab (1) (0,5 điểm). Do (x + y) 2 – xy ≥ 0 và (a + b) 2 – ab ≥ 0 nên từ (1) và giả thiết suy ra xy = ab. Ta có hệ x y a b xy ab + = +   =  (0,5 điểm). Theo hệ thức Viét thì x, y là các nghiệm của phương trình: ( ) 2 0 t a t a b t ab t b =  − + + = ⇔  =  (0,5 điểm). Vậy (x, y) là hoán vị của (a, b) nên dĩ nhiên n n n n x y a b+ = + , ∀ n ∈ Z + (0,5 điểm). Câu 4: (3 điểm). a) Chứng minh được: ∆ AQP ~ ∆ MBQ (0,5 điểm). ∆ MBQ ~ ∆ NPC (0,5 điểm). b) Kẻ AH ⊥ BC, từ câu trên ta có ∆ AQP ~ ∆ MBQ ~ ∆ NPC. Ký hiệu S là diện tích, ta có : 2 3 2 1 R R S S AQP BQM = , 2 2 2 3 CPN AQP S R S R = (1) (0,25 điểm). Mặt khác ∆ BQM ~ ∆ BAH, ∆ CPN ~ ∆ CAH Nên 2 2 AB AQ S S ABC AQP = và ABC CPNBQM CAH CPN BAH BQM S SS S S CA CP S S BA BQ + ==== 2 2 2 2 (2) (0,25 điểm). Ta lại có AB AQ AB BQ BC QP AH QM BCAH QPQM S S ABC MNPQ ×=×= × × = 22 2 (3) (0,25 điểm). Mà 4 1 4 1 2 =       +≤× AB AQ AB BQ AB AQ AB BQ (4) (0,25 điểm). Từ (3) và (4) ta có ABCMNPQ SS 2 1 ≤ . (0,5 điểm). Vậy S MNPQ lớn nhất ⇔ AQ = BQ ⇔ S AQP = S BQM + S CPN (theo (2)) ⇔ 1 2 3 2 2 2 3 2 1 =+ R R R R (theo (1)) ⇔ 2 2 2 1 2 3 RRR += (đpcm). (0,5 điểm). Hết 3 . GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 5 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Năm học 2007 - 2008 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 22/6/2007 Câu 1: (1 ,5 điểm). Cho x >. 9x – 2 hay 19 4 81 154 22 +−=++ xxxx ⇔ x(65x – 56 ) = 0 ⇔     = = 65 56 0 x x (0 ,5 điểm). Thử lại ta thấy chỉ có x = 3 1 và x = 65 56 nghiệm đúng (1). (0, 25 điểm). Vậy phương trình. − −x (0, 25 điểm). b) Ta có 3912 154 22 −=+−−++ xxxxx (1) ⇔ 39444 154 22 −=+−−++ xxxxx (2) (0, 25 điểm). Điều kiện để phương trình có nghĩa: x ≤ –1, x 4 1 −≥ (0, 25 điểm). Đặt a = 154 2 ++ xx ,