Đề thi vào 10 chuyên Bình Định - đề số 6

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 6 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 18/6/2008 Câu 1: (1,5 điểm). Chứng minh bất đẳng thức: a aa 2 1 1 <−+ với a > 0. Câu 2: (3,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) 9 611 3 2 2 2 − −+ = − x xx x x b) 122312 2 =+−+− xx Câu 3: (1,5 điểm). Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x xy 2 1 3 += . Câu 4: (2,5 điểm). Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C). Trên tia Ax lấy điểm M. Đường thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM tại F. Chứng minh rằng điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax. Câu 5: (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho x3 1 + chia hết cho y đồng thời y3 1+ chia hết cho x. Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn thi: TOÁN (dành cho lớp chuyên Toán) Nội dung Điểm Câu 1: (1,5 điểm). Với a > 0 ta có: aa aa ++ =−+ 1 1 1 < aaa 2 11 = + (đpcm). 1,0 0,5 Câu 2: (3,0 điểm). a) Điều kiện x ≠ ± 3. Khi đó ta có: 9 611 3 2 2 2 − −+ = − x xx x x ⇔ 2x(x + 3) = x 2 + 11x – 6 ⇔ x 2 – 5x + 6 = 0 (*) Phương trình (*) có ∆ = (–5) 2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0 11 ==∆ Do đó phương trình (*) có hai nghiệm là 3 1.2 1)5( 1 = +−− =x , 2 1.2 1)5( 2 = −−− =x . Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x 1 = 3 không thỏa mãn nên phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. 0,25 0,5 0,5 0,25 b) Ta có 122312 2 =+−+− xx ⇔ ( ) ( ) 1121 2 2 =+−−x ⇔ 1121 =−−−x ⇔ 221 +=−x ⇔     −−=− +=− 221 221 x x ⇔     −−= += 21 23 x x Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 23 +=x , 21−−=x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3: (1,5 điểm). Ta có x xy 2 1 3 += = 2 5 2 1 2 x x x ++ Mà 1 2 1 .2 2 1 . 2 2 2 1 2 ==≥+ x x x x và 2 5 2 5 ≥ x (do x ≥ 1). Do đó 2 7 2 5 1 =+≥y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1 Vậy GTNN của y là 2 7 , giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1. 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Câu 4: (2,5 điểm). Kẻ qua E đường thẳng song song với BM cắt Ax và AB theo thứ tự tại G và H. Ta có GH ⊥ EO (1) Suy ra DOEG, EOHC là các tứ giác nội tiếp được. Từ đó · · · · DOG DEG CEH COH= = = Ta lại có DO = CO. Do đó ∆DOG = ∆COH 0,5 0,25 0,5 2 Suy ra OG = OH. Kết hợp với (1) suy ra GE = EH. Lại có GH// MB nên dễ thấy BF = MF. Vì vậy nếu I là trung điểm của AB thì FI // Ax. Mà Ax cố định và I cố định nên suy ra F luôn luôn nằm trên tia Iy cố định song song với Ax. (đpcm). 0,25 0,25 0,5 0,25 Câu 5: (1,5 điểm). Dễ thấy x ≠ y vì x > 1, y > 1. Không giảm tính tổng quát ta giả sử x > y. Đặt 3y + 1 = px. Vì x > y suy ra 3x > 3y + 1 = px ⇒ p < 3 ⇒ p ∈ {1, 2} • Nếu p = 1 thì x = 3y + 1 ⇒ 3x + 1 = 9y + 4  y ⇒ 4  y ⇒ y ∈ {2, 4} + Nếu y = 2 ⇒ x = 7 + Nếu y = 4 ⇒ x = 13 • Nếu p = 2 ⇒ 2x = 3y + 1 ⇒ 2(3x + 1) = 6x + 2 = 3(3y + 1) + 2 = 9y + 5 Vì 3x + 1  y ⇒ 9y + 5  y ⇒ y = 5 ⇒ x = 8 Vậy ta có các nghiệm là (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4). 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 . SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đề số 6 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 18 /6/ 2008 Câu 1: (1,5 điểm). Chứng. Điều kiện x ≠ ± 3. Khi đó ta có: 9 61 1 3 2 2 2 − −+ = − x xx x x ⇔ 2x(x + 3) = x 2 + 11x – 6 ⇔ x 2 – 5x + 6 = 0 (*) Phương trình (*) có ∆ = (–5) 2 – 4.1 .6 = 25 – 24 = 1 > 0 11 ==∆ Do đó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn thi: TOÁN (dành cho lớp chuyên Toán) Nội dung Điểm Câu 1: (1,5 điểm). Với a > 0 ta có: aa aa ++ =−+ 1 1 1