gi¸ trÞ t¬ng øng cña m.. TÝnh nghiÖm kÐp nµy.[r]
(1)Chuyên đề: hệ Thức vi ét Cỏc kin thc cn nh
1) Định lí Vi ét:
Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) Nếu ph ơng trình có hai nghiƯm x
1; x2 th×:
1
1
b
x x
a c x x
a
ìïï + =-ïïï
íï
ï =
ïïïỵ
L
u ý : Khi ta có:
x x
a D
- = ±
2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai:
- NÕu a + b + c = phơng trình có nghiệm
1; c
x x
a
= =
- NÕu a – b + c = phơng trình có nghiệm
1; c
x x
a
= - = -3) Tìm hai số biết tổng tÝch:
Hai sè x; y cã: x + y = S; x.y = P th× hai sè x; y nghiệm phơng trình: X2 SX + P = 0
Điều kiện S2 4P.
Bài tập
Dạng thứ nhất: Lập phơng trình biết hai nghiƯm: Bµi 1:
a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9
d) x1=0,1; x2=0,2 e)
1
1 3;
4
x = x =
f)
3 5;
2
x = - x =
-g)
1
;
4
x = x =
-h)
1
2 ;
4
x = - x =
i)
1
1 ; 0,9
x = x =
-j) x1= -1 2; x2 = +1 k)
1 2;
3
x = + x =
+ l) x1= +5 6; x2= -5 m) x1= +3 2; x2= -3 2
n)
1 ;
2 3
x = x =
+ - o)
1 ;
10 72 10 72
x = x =
- +
(2)t)
;
3
x = - x = +
u) x1= - 1,9; x2 =5,1 Bài 2: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình:
2
2x - 7x- 3=0 Không giải phơng trình,
hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm là:
a) 3x1 vµ 3x2 b) -2x1 vµ -2x2 c)
1
x
vµ
1
x
d) 12
1
x vµ 2 x e) x x vµ x x f) 1 x x + vµ 2 x x + g) x x + vµ 1 x x + h) x x + vµ 1 x x +
i)
1
x x
+
vµ
1
x x
+
j)
1
x + vµ 1
2
x +
B i 3à : Gi¶ sư x1; x2 hai nghiệm phơng trình:
2 5 0
x +px- = Không giải phơng trình,
hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ:
a) -x1 vµ -x2 b) 4x1 vµ 4x2 c)
1
1
3x vµ
1 3x
d)
1
x
vµ
1 x e) x x vµ x x f) 1 x x vµ 2 x x -g) x x - + vµ x x - + h) x x vµ 1 x x
-i)
1
x x
vµ
1
x x
-j) x12 vµ x22 k)
1
x x
+
vµ
1
x x
+
l) x12x2 vµ x1x22
Bµi 4: Gäi p; q hai nghiệm phơng trình 3x2+7x+ =4 Không giải phơng trình HÃy lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là:
p
q- vµ
q p
-Bài 5: Tơng tự:
a) x2+4x+ =2 b) x2- 5x- 3=0 c) 2x2+6x- 7=0 Bµi 6:
a) Chøng minh r»ng nÕu a1; a2 lµ hai nghiƯm phơng trình:
2 1 0
x +px+ = , b
1; b2 lµ hai
nghiƯm phơng trình: x2+qx+ =1 thì:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
1 2 1 2
(3)b) Chứng minh tích nghiệm pt: x2+ax+ =1 0với mộ nghiệm pt x2+bx+ =1 nghiệm pt thì:
2 2
4 1 1
2
a b - a - b = c) Cho pt x2+px q+ =0
Chứng minh 2p2- 9q=0 pt có hai nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm
Dạng thứ hai: Tìm tổng tích nghiệm:
Bài 1: Cho phơng trình: x2- 5x+ =3 Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình không giải
phơng trình hÃy tính:
a) x12+x22 b) x13+x23 c) x1- x2 d) x12- x22 e) x13- x23 f)
1
x +x
g) 12 22 1
x +x
h)
1
1
3
x x
x x
-
-+
i)
1
2
x - +x
-j)
1
2
5
x x
x x
+ +
+
k)
1
1
1
x x
x x
+ + +
l)
1
1
1
2
x x
x x
-
-+
m)
2
1 2
x x +x x
n)
1
2
x x
x +x
Bài 2: Tơng tự: 2x2- 5x+ =1 0; 3x2+4x- 3=0; - 3x2+2x+ =5 Bài 3: Cho phơng trình: - x2- 4x+ =1 Khơng giải phơng trình tính: a) Tổng bình phơng nghiệm b) Tổng nghch o cỏc nghim
c) Tổng lập phơng nghiệm d) Bình phơng tổng nghiệm
e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phơng nghiệm
Bài 4: Cho pt:
2 4 3 8 0
x + x+ = cã hai nghiÖm x1; x2 Không giải pt hÃy tính:
2
1 2
3
1 2
6 10
5
x x x x
A
x x x x
+ +
=
+
D¹ng thø ba: Tìm hai số biết tổng tích: Bài 1:
(4)Bài Tìm hai số u, v biÕt:
a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105
c) u + v = 2; uv = d) u + v = 42; uv = 441
e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40
g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24
i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24
k) u2 + v2 = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180
m) u2 + v2 = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12
D¹ng thø bèn: Tính giá trị tham số biết mối liên hệ nghiệm:
Bài 1: Cho pt x2- 6x m+ =0 Tính giá trị m biết pt cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶:
a)
2
1 36
x +x =
b)
1
3
x +x =
c)
2
1
1
3
x +x =
d) x1- x2 =4
Bài 2: Cho pt x2- 8x m+ =0 Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
trong c¸c hƯ thøc sau: a)
2
1 50
x +x =
b) x1 =7x2 c) 2x1+3x2 =26 d) x1- x2 =2 Bµi 3: Cho pt
2 ( 3) 2( 2) 0
x - m+ x+ m+ =
Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1 2
x = x
Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bài 4:
a) Tìm k để pt:
2 ( 2) 5 0
x + -k x k+ - =
cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶
2
1 10
x +x =
b) Tìm m để pt:
2 2( 2) 5 0
x - m- x- =
cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶
2
1 18
x +x =
c) Tìm k để pt:
2
(k+1)x - 2(k+2)x k+ - 3=0
cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶
1
(4x +1)(4x + =1) 18
d) Tìm m để pt: 5x2 +mx- 28=0 có hai nghiệm x1; x2 thoả
5x +2x =1
Bµi Gọi x1; x2 hai nghiệm khác pt:
2 ( 1) 3( 1) 0
mx + m- x+ m- =
Chøng minh:
1
1 1
3
x +x =
(5)Bµi 1: Cho pt:
2 (2 3) 3 2 0
x - m+ x m+ + m+ =
a) Gi¶i pt trªn m =
b) Định m để pt có nghiệm Khi pt cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt với m
d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để
2
1
x +x =
e) Định m để pt có nghiệm ba nghiệm kia? Bài 2: Cho pt
2 2( 1) 0
x - m- x m- =
a) CMR pt lu«n cã nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 víi mäi m
b) Víi m H·y lËp pt Èn y cã nghiÖm lµ: ≠
1
y x x
= +
vµ
2
1
y x x
= +
c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
2
x + x = Bµi 3: Cho pt
2 2( 3) 2 1 0
x - k+ x+ k- =
a) Gi¶i pt
1
k=
b) Tìm k để pt có nghiệm 3, pt cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh pt ln có nghiệm x1; x2 với k
d) CMR gi÷a tỉng tích nghiệm có liên hệ không phơ thc k?
e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 2
1
2
x +x +x x =
f) Tìm k để tổng bình phơng nghiệm có giá trị nhỏ Bài 4: Cho pt
2
(m- 1)x - 2mx m+ + =1
a) CMR pt có nghiệm phân biÖt m 1.≠
b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt không phụ thuộc m?
d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1
2
5
x x
x +x + =
Bµi 5: Cho pt
2 2( 1) 2 10 0
x - m+ x+ m+ =
a) Giải biện luận pt
(6)c) T×m m cho hai nghiƯm x1; x2 cđa pt tho¶
2 2
10x x +x +x
đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó?
Bµi 6: Cho pt x2- 2mx+2m- 0=
a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 với m
b) Đặt
2
1 2
2( )
A = x +x - x x
+) Chøng minh A =8m2- 18m+9 +) T×m m cho A = 27
c) Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi tìm hai nghiệm ấy? Bài 7: Cho pt
2 2( 1) 4 0
x - m+ x m+ - =
a) Gi¶i pt m = -5
b) CMR pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng
e) CMR biĨu thøc A =x1(1- x2)+x2(1- x1) kh«ng phụ thuộc m.
f) Tính giá trị biểu thøc x1- x2 Bµi 8: Cho pt
2 2( 2) 1 0
x - m+ x m+ + =
a) Giải pt
3
m=
-b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm?
d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để
2 1(1 )2 2(1 )1
x - x +x - x =m
Bµi 9: Cho pt
2 2( 1) 4 9 0
x - m+ x m+ - m- =
(x lµ Èn) a) Giải biện luận pt
b) Tỡm m pt nhận nghiệm Với giá trị m vừa tìm đợc tìm nghiệm cịn lại pt
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bài 10: Cho pt
2
(m- 4)x - 2mx m+ + =2
a) Tìm m để pt có nghiệm x= Tìm nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm
(7)d) TÝnh x13+x23 theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo nghiệm Bài 11:
a) Pt
2 2 5 0
x - px+ = cã nghiƯm x1=2 T×m p vµ tÝnh nghiƯm kia. b) Pt
2 5 0
x + x q+ = cã mét nghiệm Tìm q tính nghiệm kia.
c) BiÕt hiƯu hai nghiƯm cđa pt
2 7 0
x - x q+ = b»ng 11 Tìm q hai nghiệm của
d) Tìm q vµ hai nghiƯm cđa pt
2 50 0
x - qx+ = , biÕt pt cã hai nghiÖm vµ nghiƯm
này gấp đơi nghiệm e) Tìm giá trị m để pt
2 2( 2) 2 7 0
x + m+ x+ m + =
có nghiệm x1 =
hãy tìm nghiệm cịn lại f) Định giá trị k để pt
2 ( 1) 5 20 0
x +k k+ x+ k+ =
cã nghiƯm x = -5 T×m nghiƯm
g) Cho pt: 5x2+mx- 28=0 Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x1+2x2 =1
h) Tìm tất giá trị a để pt x2 +ax a+ + =7 có hai nghiệm x1; x2 thoả
m·n
2
1 10
x +x =
Bµi 12: Cho pt
2
(m+1)x - 2(m- 1)x m+ - 2=0
a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định m để pt có nghiệm Tìm nghiệm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
1
1
4
x +x =
;
1
1
x +x =
;
2
1 2
x +x =
d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=5x x1
Bµi 13: Cho pt
2 2( 1) 2 10 0
x - m+ x+ m+ =
a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho
2
1 2
6
P = x x +x +x
( x1; x2 hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá
(8)Bài 14: Tìm giá trị m; n để pt
2 2( 1) 2 0
x - m+ x n+ + =
cã hai nghiÖm
1 1; 2
x = x =
?
Bài 15: Tìm giá rị m để pt x2- mx m+ + =1 có nghiệm x1; x2 thoả mãn
trong hai ®iỊu:
a) x x1 +2(x1 +x2) 19- =0 b) x1; x2 âm
Bµi 16: Cho pt
2 2( 1) 3 0
x - m- x m+ - =
a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m
b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm kh«ng phơ thc m
c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bài 17: Cho pt x2 +mx+ =3
a) Giải biện luận pt Từ cho biết với giá trị m pt có hai nghiệm? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm dơng
c) Với giá trị m pt nhạn nghiệm Tìm nghiệm lại Bài 18: Cho pt x2 +8x m+ + =5
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Víi giá trị m pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tính nghiệm trờng hợp
Bài 19: Cho pt x2- mx m+ - 0=
a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m TÝnh nghiƯm kÐp (nÕu có) pt
giá trị tơng ứng m b) Đặt A =x12 +x22- 6x x1
+) Chứng minh A=m2- 8m+8 +) Tính giá trị m để A = +) Tìm A
Bµi 20: Cho pt
2
(m- 1)x +2(m- 1)x m- =0
a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dơng? trái dấu? Bài 21: Cho pt
2 (2 3) 3 0
x - m- x m+ + m=
(9)b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều:
+) x12 +x22 =9 +) x x12 2+x x1 22 = -
Bµi 22: Cho pt kx2- 18x+ =3
a) Với giá trị k pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị k pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả
2
1 2
x x +x x = Bµi 23: Cho pt x2 - 10x m- +20=0
a) Gi¶i pt m = 4?
b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng Bài 24: Cho pt
2 2( 2) 1 0
x - m+ x m+ + =
a) Tìm giá trị m để pt có nghiệm b) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để:
2 1(1 )2 2(1 )1
x - x +x - x =m
Bµi 25: Cho pt 2x2- 6x m+ =0
a) Với giá trị m pt cã nghiÖm
b) Với giá trị m pt có nghiệm dơng
c) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để
1
2
3
x x
x +x =
Bµi 26: Cho pt
2 2( 1) 2( 5) 0
x - a+ x+ a+ =
a) Gi¶i pt a = -2
b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoảx1+2x2 = d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng
Bµi 27: Cho pt
2
(m+1)x - 2(m- 1)x m+ - 2=0
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 1
4
x +x =
(10)Bài 28: Xác định m để pt
2 (5 ) 6 0
x - +m x m- + =
cã hai nghiƯm tho¶ mÃn điều kiện sau:
a) Nghim lớn nghiệm đơn vị b) Có hai nghiệm thoả 2x1+3x2 =13
Bài 29: Tìm giá trị m để
2
1
x +x
đạt giá trị nhỏ nhất: a)
2 (2 1) 2 0
x - m- x m+ - =
b)
2 2( 2) (2 7) 0
x + m- x- m- =
Bµi 30: Cho pt
2 2( 1) 4 0
x - m+ x m+ - =
a) Gi¶i pt m =
b) Với giá trị m pt nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại c) Chứng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m
d) Tìm m để pt có nghiệm thoả
2
1
x +x =
e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiện dơng? hai nghiệm âm? Bài 31: Cho pt
2 2( 1) 2 4 0
x - m- x+ m- =
a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m b) Gäi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN
2
1
Y =x +x
c) Tìm m để Y = 4; Y = Bài 32: Cho pt 5x2 +mx- 28=0
a) CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng c) Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả:
+)
1
x +x =
+)
2
1
142 25
x +x =
d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x1+2x2 =1
Bµi 33: Cho pt
2
2x +(2m- 1)x m+ - 0=
a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1- 4x2 =11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng