Chuyên đề định lí vi ét

Chuyên đề 4: Hệ thức Vi-ét ứng dụng I.Lí thuyết 1.Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn: Phương trình bậc hai ẩn x phương trình có dạng: Trong đó, a,b,c số cho trước Cơng thức nghiệm phương trình (1): Biệt thức + Nếu ( (hoặc với b = 2b') ): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: ; + Nếu (hoặc ): Phương trình (1) có kép (nghiệm nhất) + Nếu (hoặc ): Phương trình (1) vơ nghiệm Hệ thức Vi-ét: Nếu x , x hai nghiệm phương trình (1) thì: Đảo lại: Nếu hai số thỏa mãn: nghiệm phương trình: Các hệ thức liên hệ hai nghiệm thường vận dụng để giải toán: 1) 2) 3) Trang Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! 4) 5) 6) 7) II.Bài tập Dạng 1: Tìm điều kiện tham số (m) thoã mãn điều kiện nghiệm phương trình Cho phương trình: (1); m tham số Nhận xét: Xác định hệ số VD1: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Ta có: Nếu m = p/trình (1) trở thành: -6x + = có nghiệm Nếu phương trình (1) phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm m+6 0 (-m) - (m - 3).(m + 2) m Vậy phương trình (1) có nghiệm với m -6 -6 VD2: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Ta có Nếu m = phương trình (1) p/trình bậc -6x + = có nghiệm x = Nếu m phương trình (1) phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm =0 m+6=0 m = -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm m = m = -6 VD3: Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Trang Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m m > -6 VD4: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm kép Phương trình (1) có nghiệm kép m = -6 Vậy với m = -6 phương trình (1) có nghiệm kép VD5: Tìm giá trị m để phương trình (1) vơ nghiệm Ta có: Nếu m = p/trình (1) trở thành -6x + = có nghiệm x = Nếu m phương trình (1) phương trình bậc hai phương trình (1) vơ nghiệm m < -6 Vậy phương trình (1) vơ nghiệm m m < -6 VD6: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = -2 Thay x = -2 vào phương trình (1) ta (m - 3) (-2) - 2m(-2) - + = 4m -12 + 4m = Vậy với m = 8m = 12 m= phương trình (1) có nghiệm x = -2 Bài tập áp dụng có lời giải: Bài 1: Tìm để phương trình vơ nghiệm Hướng Dẫn: Phương trình cho vơ nghiệm Vậy với Trang phương trình cho vơ nghiệm Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Bài 2: Cho phương trình : Tìm để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại Hướng Dẫn: Thay nghiệm Thay vào phương trình ta được: Vậy với Bài 3: Cho vào phương trình ta được: phương trình cho có nghiệm 2, nghiệm cịn lại hai nghiệm phươngtrình hai ẩn có hai nghiệm Hãy lập phương trình bậc Hướng Dẫn: Phương trình có nghiệm nên áp dụng định lý Viet ta có: Xét tổng tích sau: Ta có: Trang hai nghiệm phương trình Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Bài 4: Cho phương trình (với tham số) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị Hướng Dẫn: Phương trình có Ta có: Vì hay nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với Bài 5: Cho phương trình với tham số a)Giải phương trình (1) với b)Chứng minh với giá trị phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Hướng Dẫn: a)Với , ta có trở thành phương trình có hai nghiệm b)Ta có nên với giá trị phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phương trình bậc hai: với m tham số, a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tính theo m giá trị Hướng Dẫn: a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Trang Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Vậy với ; , phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có Bài 7: Cho phương trình (với tham số) Tìm tất giá trị đểphương trình cho có hai nghiệm phân biệt Hướng Dẫn: Ta có: Đểphương trình cho có hai nghiệm phân biệt Bài 8: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1) + m – = (1) a)Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối Hướng Dẫn: a)x2 – 2(m – 1) + m – = (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo chứng minh câu a ta có phương trình (1) có nghiệm phân biệt với giá trị m Theo định lý Viet ta có: x1 + x2= 2(m-1) Mà x1;x2 nghiệm đối nên: x1+x2=2(m-1)=0m=1 Vậy m =1 phương trình (1) có nghiệm đối Bài 9: Tìm tham số m để phương trình: x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m +1 = vơ nghiệm Hướng Dẫn: Phương trình: x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m + = (a = 1; b = 2(m +1) ; c = 2m2 + 2m + ∆’ = (m +1)2 - 2m2 – 2m – = m2 + 2m + – 2m2 – 2m – = -m2 ≤ với m Vậy phương trình vơ nghiệm m ≠ Bài 10: Tìm giá trị m để phương trình nghiệm kép Trang Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! có nghiệm kép Tìm Hướng Dẫn: Phương trình có nghiệm kép  Nghiệm kép : Vậy m  - phương trình có nghiệm kép Bài 11:Cho phương trình ẩn x: (với m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép với m vừa tìm Hướng Dẫn: Cho phương trình ẩn x (với m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép với m vừa tìm = m-1 Phương trình có nghiệm kép  =0 m-1=0 m=1 Nghiệm kép : Bài 12: Cho phương trình (m tham số) a)Giải phương trình m = b)Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Hướng Dẫn: a) Khi m = phương trình trở thành: x2 + 4x – = ’ = 22 +1 = >0 => Phương trình có nghiệm phân biệt: b) Ta có: Trang Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Nếu: Do ’ 0,  m Vậy p/trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Bài 13: Cho phương trình bậc 2: (1) a)Giải phương trình với m = b)Với giá trị m phương trình (2) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Hướng Dẫn: Cho phương trình bậc 2: a)Giải phương trình với m = 1: Thay m = ta có PT: PT có nghiệm b)Với giá trị phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Phương trình (1) có nghiệm kép Với  phương trình có nghiệm Bài 14: Cho phương trình bậc hai: Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Hướng Dẫn: Phương trình (1) có nghiệm  Trang Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Vậy pt (1) có nghiệm Bài 15: Cho phương trình: –3x2 + 2x + m = với m tham số a)Giải phương trình m = b)Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hướng Dẫn: a)Với m = ta có phương trình: Vậy tập nghiệm phương trình cho b)Phương trình có hai nghiệm phân biệt Dạng 2: Tìm giá trị tham số (m) để phương trình có nghiệm thỗ mãn hệ thức cho trước VD1: Cho phương trình: có hai nghiệm Tính giá trị biểu thức: Hướng Dẫn: Ta có: Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét: Ta có: VD2: Cho phương trình Tìm m để PT có hai nghiệm Trang (1) (với m tham số) cho: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Hướng Dẫn: Ý 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm Ta có Để phương trình (1) có hai nghiệm (*) Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng tích nghiệm Gọi hai nghiệm phương trình (1) Theo định lí Vi-ét: Ý Biến đổi biểu thức nghiệm phương trình Giải phương trình (2) tìm hai nghiệm: Đối chiếu điều kiện (*) Vậy m=1 VD3: Cho phương trình ln ln có hai nghiệm (1) (với m tham số) Chứng minh PT , tìm tất giá trị m cho: Hướng Dẫn: Chia toán thành ý Ý 1: Chứng minh phương trình có hai nghiệm Ta có Vì Suy Do PT (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt, với giá trị m Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng tích nghiệm Gọi hai nghiệm phương trình (1) Theo định lí Vi-ét: Ý Biến đổi biểu thức nghiệm phương trình Trang 10 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !!