Đs9 chủ đề 3 phương trình bậc hai và liên quan đến định lí vi ét ( 2 buổi )

ĐS9-CHỦ ĐỀ 3.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÍ VI-ÉT ( BUỔI ) CẦN NHỚ Phương trình bậc hai phương trình có dạng: ax  bx  c 0  a 0  (1) - Công thức nghiệm Biệt thức:  b  4ac +   : Phương trình vơ nghiệm +  0 : Phương trình có nghiệm kép: x1  x2  b 2a   b    x1  2a +   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:    b    x2  2a  - Công thức nghiệm thu gọn Biệt thức:  b2  ac +   : Phương trình vơ nghiệm +  0 : Phương trình có nghiệm kép: x1  x2  b a   b    x1  a +   : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:    b    x2  a  Chú ý: Nếu phương trình (1) có hệ số a, b, c thỏa mãn: c  a  b  c 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 1; x2  a  a  b  c 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1  1; x2  c a Nếu phương trình ax  bx  c 0  a 0  có hai nghiệm x1 , x2 thì: b   S x1  x2  a - Định lí Vi-ét:   P  x x  c  a - Hệ quả: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac  - Định lí Vi-ét đảo: Nếu hai số u v thỏa mãn u  v S , uv P  S 4 P  hai số nghiệm phương trình X  SX  P 0 A CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Phương pháp giải - Xác định hệ số a, b, c phương trình, đặc biệt ý đến hệ số a Phương trình ax  bx  c 0 phương trình bậc hai a 0 - Tính biệt thức  b  4ac - Xét dấu biệt thức để kết luận tồn nghiệm áp dụng cơng thức để viết nghiệm Bài tập mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình:  x  3x  0 Lời giải Phương trình cho phương trình bậc hai có dạng ax  bx  c 0 với a  5, b  c 1   Tính biệt thức        23;   23 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1   23      23  23  ; x2  10     Vậy tập nghiệm phương trình là: S    23 ; 10  23 10  23   10  Chú ý: Thông thường, để tránh phải làm phép chia với số âm, ta nên biến đổi phương trình cho thành phương trình có hệ số a  Ví dụ 2: Cho phương trình: mx   m  1 x  m  0 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Lời giải - Nếu m 0 phương trình cho trở thành x  0 Đây phương trình bậc có nghiệm x  - Nếu m 0 , phương trình cho phương trình bậc hai có dạng: ax  bx  c 0 với a m, b   m  1 , c m  Tính biệt thức     m  1   4m  m  3 4  m2  2m  1   4m2  12m  4m  8m   4m  12m 4m  Để phương trình có nghiệm kép  0 4m  hay m  Vậy để phương trình có nghiệm m 0 m  * Nếu xét điều kiện để phương trình có nghiệm, trước hết ta phải xét trường hợp m 0 , sau xét đến điều kiện biệt thức  m 0 phương trình phương trình bậc hai Dạng 2: Xét tính chất nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp giải - Áp dụng định lí Vi-ét phương trình bậc hai - Sử dụng đẳng thức, bảng xét dấu nghiệm phương trình bậc hai số biến đổi quen thuộc Dấu nghiệm Trái dấu Cùng dấu Cùng dương Cùng âm x1   +  x2   +  S  x1  x2 P x1 x2 S 0 S 0 P0 P 0 P 0 P 0          Điều kiện chung   0; P    0; P    0; P  0; S    0; P  0; S  Chú ý: Nếu đề không yêu cầu hai nghiệm phân biệt cách làm tương tự trên, khác chỗ cho “  0 ” Bài tập mẫu Ví dụ 1: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình  m  1 x  2mx  m  0 Chứng minh biểu thức A 3  x1  x2   x1 x2  không phụ thuộc vào giá trị m Lời giải Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì:  m  0     0  m 1    m   m  1  m   0 m 1   5m  0 m 1   m  2m  x  x   m Áp dụng định lí Vi-ét ta có:  x x m   m  Thay vào A ta được: A 3  x1  x2   x1 x2  3 6m  2m    m  1 2m m   8 0 m m m Vậy A 0 với m 1 m  Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm - Sau dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ví dụ 2: Cho phương trình mx   m  1 x   m  3 0 Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2 x1 x2 Lời giải Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 là: m 0      m   m  m           m 0  2  9  m  2m  1  9m  27m 0 m 0    9  m  1 0 m 0  m    m  1  x1  x2  m Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x x   m  3  m Từ giả thiết điều kiện x1  x2 x1 x2 suy  m  1  m  3  m m   m  1 9  m  3  6m  9m  27  3m 21  m 7 (thỏa mãn) Vậy với m 7 phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức x1  x2 x1 x2 2 Ví dụ 3: Xác định tham số m cho phương trình x   3m  1 x  m  m  0 có hai nghiệm trái dấu Lời giải Để phương trình có hai nghiệm trái dấu    3m  1  4.2  m2  m   0        m2  m  P  0 P      m   0, m    2m 3   P  m  3  m    Vậy với   m  phương trình có hai nghiệm trái dấu Ví dụ 4: Giả sử m n nghiệm phương trình x  x  0 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1  m n x2  n 1 m 1 Lời giải Ta thấy m, n  nghiệm  khơng thỏa mãn phương trình cho  m  n  Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:   mn  Suy m  n  m  n   2mn 25  16 41 m n m2  n  m  n  41  Ta có: x1  x2      n  m  mn  m  n     x1 x2  m n mn 8    n  m  mn  m  n     Vậy phương trình phải lập x  3x  0 hay 3x  x  0 Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số Phương pháp giải Trước tiên, cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, phương trình vơ nghiệm không áp dụng hệ thức Vi-ét Bước 1: Lập S (phụ thuộc theo tham số m) Bước 2: Lập P (phụ thuộc theo tham số m) Bước 3: Khử m để lập hệ thức S P Bước 4: Thay S  x1  x2 P x1 x2 hệ thức phải tìm Chú ý: Nếu P hay S số hệ thức phải tìm, khơng cần hai bước sau Ngồi ra, để tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai khơng phụ thuộc vào tham số ta cịn có cách sau: Xét biểu thức aP  bS , a, b số phải xác định để khử m khỏi biểu thức Sau đưa biểu thức dạng: M a  N b  Pm 0 (M, N số) Biểu thức Pm lúc chứa a, b Chỉ cần xác định a, b cho Pm 0 ta có hệ thức cần tìm (Cách thường áp dụng cho biểu thức mà số mũ cao m 1) Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho phương trình: x   m   x   2m  1 0 có hai nghiệm x1 , x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 , x2 cho x1 , x2 độc lập với m Lời giải Phương trình cho phương trình bậc hai có dạng ax  bx  c 0  a 0  2 Xét biệt thức:   m     2m  1 m  4m   m     Do phương tình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2 m   Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2 2m  Từ (1) (2) ta có: x1  x2    m  x1  x2  (1)   x1 x2  (2)  m  x1 x2    x1  x1   x1 x2  0 Vậy hệ thức liên hệ x1 , x2 độc lập với m  x1  x2   x1 x2  0 Ví dụ 2: Cho phương trình: x  m x  2m  0 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Lập hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào tham số m Lời giải Phương trình có nghiệm biệt thức    m   4.1  2m  1 0  m  8m  0  m 8m   S x1  x2 m Theo định lí Vi-ét, ta có:   S 4P  P  x x  m   Ta có: P 2m   m  P 2 P P2  2P 1  P  1 Thay m  vào biểu thức S m , ta có: S m       S P  P   P  P  4S  0  x12 x22  x1 x2   x1  x2   0 2 Vậy hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào tham số m x1 x2  x1 x2   x1  x2   0 Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm Phương pháp giải Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: Trong trường hợp ta ln phân tích được:  Am C  (trong A, B biểu thức không âm, m, k số) (*) k  B Thì ta thấy C m (vì A 0 )  C m  A 0 C k (vì B 0 )  max C k  B 0 Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho phương trình: x   2m  1 x  m 0 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm m 2 để A x1  x2  x1 x2 có giá trị nhỏ Lời giải  x1  x2   2m  1 Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình x   2m  1 x  m 0 ta có:   x1 x2 m Theo đề ta có: A  x12  x22  x1 x2  x1  x2   x1 x2  2m  1  8m 4m  12m   2m  3   Suy A   2m  0 hay m  Ví dụ 2: Cho phương trình x  mx  m  0 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: B  x1 x2  x  x22   x1 x2  1 Lời giải  x1  x2 m Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2 m  Suy B   m  1  2m  x1 x2  x1 x2     x12  x22   x1 x2  1  x1  x2   m2  m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B m    m  2m  1 m2  Vì  m  1 0   m  1 1   m  1 m2  2 m2  0  B 1 Vậy max B 1  m 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m  2m   m m  4m     m    m  2  2 2 B    2 m 2 m 2  m  2 2 Vì  m   0  Vậy B   m  2 2  m  2 0  B   m  Cách 2: Đưa giải phương trình bậc hai với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m B 2m   Bm  2m  B  0 (với m ẩn, B tham số) (**) m 2 Ta có:  1  B  B  1 1  B  B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m  0 hay  B  B  0  B  B  0   B  1  B  1 0    B    B  0   B     B 1      B  0   B      B  0   B 1  Vậy max B 1  m 1; B  2  B 1  m  Dạng 5:Tổng hợp ngẫu nhiên Bài Giải phương trình sau: a)  x  1 2  x b) x  x  0 Lời giải: Giải phương trình sau: a)  x  1 2  x 3x  2  x x 5 Vậy x  b) x  x  0 Ta có: a  b  c 1   0 Nên pt có hai nghiệm x1 1; x2  Nhận xét: Với giải phương trình, cần ý tới điểm đặc biệt tham số với điều kiện a  b  c 0 a  b  c 0 để giải phương trình nhanh Bài Giải phương trình x  x  0 Lời giải: 1) x  x  0  b  4ac 25  4.6 1 Vì   nên phương trình có nghiệm phân biệt   b        x1   2a   x   b        2a Bài Giải phương trình sau: 2 a)  x  3     x   0   b) x  1 Lời giải: 2  x  0 2    a)  x    x   0   3    x  0  15  x    x 15  x  15      x  15  15  15  Vậy nghiệm phương trình cho S  ;  2   x  1  b) x  1    x    x 4  x 2    x 2  x 1  Vậy nghiệm phương trình cho S  1; 2 Bài Cho phương trình: x  2mx  m  2m  0 Giải phương trình m 4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải: Khi m = 4, ta có phương trình: x  x  12 0 có  ' 16  12 4  Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1    x2    Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x  2mx  m  2m  0 2 Có  m   m  2m   2m  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    2m     m     m    m  Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình x   m  1 x  12 0 a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm đối c Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:  x1  x2   x2  x1  10 Lời giải: x   m  1 x  12 0  1 a Khi m = 12, phương trình (1) trở thành: x  13 x  12 0 Ta có  132  4.12 121 Phương trình có nghiệm phân biệt: 13   13   x1  1; x2  12 2 Vậy x 1; x 12 nghiệm phương trình b Phương trình (1) phương trình bậc hai có:   m  1  4.12 m  2m  47 Nhận thấy x = không nghiệm phương trình Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt     m  2m  47  Với điều kiện trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 :  x1  x2 m  Áp dụng định lí Viet, ta có:   x1 x2 12  x1  x2 0 Phương trình có nghiệm đối   (vơ lí)   x1 12 Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn 2 c Ta có:  x1  x2   x2  x1   x1 x2  x1  x2  x1 x2 3x1 x2   x12  x22  7 x1 x2   x1  x2  7.12   m  1 82  2m  m2  82  2m  m2 10  m  2m  72 0  m   73   m   73 Vậy m    thoa  loai  man  73 giá trị cần tìm Bài Cho phương trình: x  2(m  1) x  4m 0 a Giải phương trình m = b Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép c Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Lời giải: x  2(m  1) x  4m 0  1 a Khi m = 3, phương trình (1) trở thành: x  x  12 0 Phương trình có  82  4.12 16 Phương trình có nghiệm phân biệt: x1   16  16 6; x2  2 2 Vậy x 6; x 2 nghiệm phương trình b Phương trình (1) phương trình bậc hai có:   m  1  4m m  2m  Phương trình có nghiệm kép