Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax + bx + c= 0(a ≠ 0) Các bước giải phương trình bậc hai - Xác định hệ số a, b, c ( b’) - Tính ∆= b − 4ac ∆ '= b '2 − ac so sánh với - Tính ∆ ∆ ' ∆ > ∆' > - Tìm nghiệm kết luận Định lý Viét a Định lý Viet: Nếu phương trình ax + bx + c= 0(a ≠ 0) có hai nghiệm x1 , x2 thì: −b S = x1 + x2 = a c P x= = x2 a b Ứng dụng định lý Viet Nhẩm nghiệm a) Nếu a + b + c = x1 1,= x2 phương trình ax + bx + c= ( a ≠ ) có hai nghiệm= c a −c a b) Nếu a − b + c = −1, x2 = phương trình ax + bx + c= ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 = Tìm hai số biết tổng tích v S ; uv = P , ta giải phương trình X − SX + P = c) Muốn tìm hai số u v, biết u += (Điều kiện để có u v S − P ≥ ) Xét dấu nghiệm −b x1 + x2 = a > +) x1 > 0, x2 > ⇒ x x= c > a +) x1 < < x2 ⇒ x1 x2 = −b x1 + x2 = a < +) x1 < 0, x2 < ⇒ x x= c > a c ⇒ ∆ = Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: x + x + =0 = x1 −b + ∆ − ( −5 ) + −b − ∆ − ( −5 ) − = = 3;= = = x2 2a 2.1 2a 2.1 c) x − x − = Ta có ∆ = b − 4ac = ( −3) − 4.2 ( −2 ) = 25 > ⇒ ∆ = Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: = x1 d) −b + ∆ − ( −3) + −b − ∆ − ( −3) − −1 = = 2;= = = x2 2a 2.2 2a 2.2 2 x + x + =0 4 Ta có ∆ = b − 4ac = 12 − .1= ⇒ phương trình có nghiệm kép x = −b = −2 2a Vậy phương trình có nghiệm x = −2 Bài 2: Giải phương trình sau a) x − x + =0 b) x − x + =0 c) x − 2 x + − =0 Lời giải a) x − x + =0 Ta có ∆ = b − 4ac = ( −1) − 4.2.1 = −7 < Vậy phương trình cho vô nghiệm b) x − x + =0 Ta có ∆ ' = b '2 − ac = 22 − 2.1 = > ⇒ ∆ ' = −b '+ ∆ ' a Phương trình cho có hai nghiệm phân= biệt x1 = c) x − 2 x + − =0 Ta có ∆=' ( 2) − ( ) − 1= > ⇒ ∆=' Phương trình có hai nghiệm phân biệt = x1 −b '+ ∆ ' = a −b '− ∆ ' 2+42 = ; x2 = a 2−42 Bài 3: 2+ −b '− ∆ ' − = ; x2 = a Cho m tham số, giải phương trình sau a) x − ( 2m + 1) x + m + m = b) x − ( 2m + 3) x + m + 3m + = Lời giải a) Ta có ∆ = ( 2m + 1) − ( m + m ) = > ⇒ ∆ = 2m + + 2m + − = m + 1; x2 = = m 2 Phương trình có hai nghiệm x1 = b) Ta có ∆ = ( 2m + 3) − ( m + 3m + ) = > ⇒ ∆ = 2m + − 2m + + = m + 1; x2 = = m+2 2 Phương trình có hai nghiệm x1 = Bài 4: Cho phương trình x − ( m + 1) x + 3m − =0 Tìm m biết phương trình có nghiệm x = −2, giải phương trình với m tìm Lời giải Phương trình có nghiệm x = −2 nên ta có: ( −2 ) − ( m + 1)( −2 ) + 3m − = ⇔ m = x = −2 32 Khi phương trình cho trở thành: x + x − =0 ⇔ x = 5 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2; x = −9 B GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Xét phương trình bậc hai ax + bx + c= 0(a ≠ 0) (1) Từ cách giải phương trình bậc hai ta có: - Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ - Phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆ < - Phương trình (1) có hai nghiệm ⇔ ∆ > Giải biện luận phương trình trả lời câu hỏi sau: - Khi phương trình có nghiệm? Vơ ngiêm? - Nếu phương trình có nghiệm có nghiệm? - Nghiệm phương trình biểu diễn nào? Bài 1: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm a) x − x + 3m − =0 b) x + 2mx + m + = c) x − ( m − 1) x + m + =0 Lời giải a) Ta có ∆ ' = − ( 3m − 1) = − 3m Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ − 3m ≥ ⇔ m ≤ Vậy m ≤ giá trị cần tìm b) Ta có ∆=' m − m − Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' = m − m − ≥ ⇔ 4m − 4m − ≥ ⇔ ( 2m − 1) ≥ ⇔ 2m − ≥ 2m − ≥ m ≥ ⇔ ⇔ 2m − ≤ −3 m ≤ −1 Vậy m ≥ m ≤ −1 giá trị cần tìm c) Ta có ∆ =' ( m − 1) − ( m + 1)= m − 3m= m ( m − 3) m ≥ m ≤ m − ≥ m − ≤ Phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ ⇔ m ( m − 3) ≥ ⇔ Hay m ≥ m ≤ Vậy m ≥ m ≤ giá trị cần tìm Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) mx − ( 2m + 3) x + m + =0 b) ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + =0 Lời giải a) Ta xét trương hợp sau - Trường hợp 1: m = 0, phương trình trở thành −3x + = ⇔ x = ⇒ m = (thỏa mãn) - Trường hợp 2: m ≠ 0, ta có ∆= ( 2m + 3) − 4m ( m + 1=) 8m + Phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ 8m + ≥ ⇔ m ≥ Vậy m ≥ −9 −9 giá trị cần tìm b) Ta xét hai trường hợp + m = 1, phương trình trở thành = (vơ nghiệm) + m ≠ 1, Ta có ∆ ' =( m − 1) − ( m − 1)( m + ) =−3 ( m − 1) , phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −3 ( m − 1) ≥ ⇔ m < (do m ≠ ) Vậy m < giá trị cần tìm Bài 3: Giải biện luận phương trình sau với a, b tham số ax − ( a + b ) x + a + 2b = Lời giải - Với a = phương trình trở thành −2bx + 2b =0 ⇔ bx =b + Khi b = phương trình x = phương trình nghiệm với x + Khi b ≠ phương trình có nghiệm x = - Với a ≠ phương trình phương trình bậc hai Ta có ∆ '= ( a + b ) − a ( a + 2b )= b 2 + Khi b = phương trình có nghiệm kép x = b+a a a + b + b a + 2b = x = a a + Khi b ≠ phương trình có hai nghiệm phân biệt a + b − b x = = a Kết luận: - a= b= phương trình nghiệm với x -= a 0; b ≠ phương trình có nghiệm x = - a ≠ 0; b = phương trình có nghiệm kép x = a+b a - a ≠ 0; b ≠ phương trình có hai nghiệm phân biệt x = x = a + 2b a Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chun Tốn Lên Q Đơn Quảng Trị, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình x + ax + b = có nghiệm nguyên a + b + =2014 Tìm a, b nguyên Lời giải −a + ∆ Ta thấy phương trình có hia nghiệm hai nghiệm x1 = = ; x2 −a − ∆ Do hai nghiệm x1 , x2 ngun ∆ phải số phương Vì phương trình x + ax + b = có nghiệm nguyên nên ∆= a − 4b= a − ( 2013 − a ) = a + 4a − 4.2013 = ( a + ) − 4.2014 = m với m ∈ N ⇔ ( a + ) −= m 4.2014 ⇔ ( a + + m )( a + −= m ) 4.2014 Vì a + + m a + − m tính chẵn lẻ nên hai số số chẵn, ta có trường hợp sau 2014 a + + m = ⇒ = a 1007; = b 1006 a + − m = + 4028 a + + m = ⇒ = a 2013; = b a + − m = + a + + m =−4 ⇒a= −1011; b = 3024 a + − m =−2014 + a + + m =−2 ⇒a= −2017; b = 4030 a + − m =−4028 + Vậy cặp (a; b) cần tìm là: (1007;1006 ) , ( 2013;0 ) , ( −1011;3024 ) , ( −2017; 4030 ) *) Chú ý: Phương trình x + bx += c ( a, b ∈ Z ) có nghiệm nguyên ∆ số phương Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Quảng Ngãi Hải Dương, năm học 2012 - 2013 Xét phương trình x − m x + 2m + = (1) Tìm giá trị nguyên dương m để (1) có nghiệm nguyên Lời giải Ta có ∆= m − ( 2m + 2=) m − 8m − Phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ m − 8m − > ( ) m 1;= m (2) khơng thỏa mãn Vì m ngun dương nên ta thấy = x 1;= x Với m = ⇒ ∆ = 49 nên (1) có hai nghiệm = Xét m ≥ nên ta có m −8m − 8= ( m − ) + ( m − 2m − 3) > ( m − ) Dễ thấy m − 8m − < ( m ) ⇒ ( m − ) < m − 8m − < ( m ) 2 2 Do m − 8m − số phương m − 8m − = ( m − 1) ⇔ 2m − 8m − = vô nghiệm m nguyên dương Vậy m = giá trị cần tìm Bài 6: Tìm tất giá trị m ∈ Z để phương trình sau có nghiệm nguyên: x − 2mx + 2m + 3m − = Lời giải Phương trình có nghiệm ∆=' m − ( 2m + 3m − ) ≥ ⇔ −m − 3m + ≥ ⇔ −4 ≤ m ≤ Do m ∈ Z nên ta có m ∈ {−4; −3; −2; −1;0;1} Thay vào ta thấy m ∈ {−4; −3;0;1} phương trình có nghiệm ngun Vậy m ∈ {−4; −3;0;1} giá trị cần tìm 10 Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x − mx + m + 2m − =0 Lời giải *) Nhận xét: Với tốn ta khơng cịn áp dụng cách giải tốn này, m số thực bất kì, có x số ngun Do đó, ta cần đổi vai trị x m để đưa cách giải tốn Giả sử tồn m để phương trình có nghiệm ngun x = x0 Khi đó, phương trình sau có nghiệm m: x02 − mx0 + m + 2m − = ⇔ m − ( x0 − ) m + x02 − = Hay ∆ = ( x0 − ) − ( x02 − 1) ≥ ⇔ −3x02 − x0 + ≥ ⇔ −2 − −2 + ≤ x0 ≤ 3 Mà x0 ∈ Z ⇒ x0 ∈ {−2; −1;0;1} ⇒ m ∈ {−3; −1;0; −1 ± 2} Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lam Sơn Thanh Hóa, năm học 2014 - 2015 Tìm nghiệm ngun phương trình x3 + y − 3xy = Lời giải Đặt x =− a y ( a ∈ Z ) ta có phương trình : (a − y) ( ) + y − ( a − y ) y = ⇔ ( 3a + 3) y − 3a + 3a y + a − = + a = −1, ta có phương trình vơ nghiệm + a ≠ −1, ta có ∆ = ( 3a + 3a ) − ( 3a + 3) ( a − 3) ≥ ⇔ 9a + 18a + 9a − 12a − 12a + 36a + 36 ≥ ( ) a − 2a − 3a − 12a − 12 ≤ ⇔ ( a + 1) a − 3a − 12 ≤ ⇔ −1 ≤ a ≤ Mà a ∈ Z ⇒ a ∈ {0;1; 2;3} x =−1 y =⇒ y =−1 ⇒ x =1 + a = ta có y −3 = ⇔ + a = ta có y −6 y − = 0, phương trình khơng có nghiệm ngun + a = ta có y −18 y + = 0, phương trình khơng có nghiệm ngun y =1 ⇒ x =2 y = ⇒ x =1 + a = ta có y −3 y + = ⇔ Vậy phương trình có cặp nghiệm ngun ( −1;1) , (1; −1) , ( 2;1) , (1; ) 11 Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên sau a) x + y + 3xy − x − y + = b) x3 − y = xy + Lời giải a) x + y + 3xy − x − y + = ⇔ x + ( y − 1) x + y − y + = Ta có ∆ x = ( y − 1) − ( y − y + 3) = y − y − 11 Phương trình có nghiệm ngun nên ∆z số phương y − y − 11 = z ⇔ ( y − 1) − z = 12 ( z ∈ N ) ⇔ ( y + z − 1)( y − z − 1) = 12 Ta có y + z − ≥ y − z − 1; y + z − y − z − tính chẵn lẻ nên ta có: z −1 = y += y ⇔ ⇒x= −6; x = −8 z −1 = y −= z + y + z − =−2 y =−3 ⇔ ⇒ x= 6; x= y − z − =−6 z =2 + b) Đặt x =+ y a (a ∈ Z ) Ta có phương trình trở thành: ( y + a ) − y = ( y + a ) y + ⇔ ( 3a − 1) y + ( 3a − a ) y + a − = Phương trình có nghiệm nên: = ∆ ( 3a ) ( ) ( ) − a − ( 3a − 1) a − ≥ ⇔ 9a − 6a + a − 3a − a − 24a + ≥ ⇔ 3a + 2a − a − 96a + 32 ≤ (*) 2a + 2a ≥ a ≤ −1 + ⇒ a − a ≥ ⇒ (*) không thỏa mãn a = −96a ≥ 3a − 81a ≥ + a ≥ ⇒ 2a − 6a ≥ ⇒ (*) không thỏa mãn 5a − 15a ≥ Do a ∈ Z nên ta có a ∈ {1; 2} + a =1 ⇒ y + 2t − = 0, phương trình khơng có nghiệm nguyên + a = 2, ta có phương trình y + 10 y = 0⇔ y= 0; y = −2 12 hay Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) ∈ {( 2;0 ) , ( 0; −2 )} 13 C CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM, VƠ NGHIỆM Để chứng minh phương trình bậc hai vơ nghiệm ta chứng minh phương trình có ∆ < Để chứn minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh phương trình bậc hai có ∆ ≥ Ngồi để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta cịn có cách dựa vào tính chất sau: Cho f ( x) = ax + bx + c(1) Nếu có số thực m cho a f (m) < (1) có hai nghiệm phân biệt Chứng minh tính chất: 2 b ∆ b ∆ ∆ b Ta có: f ( x) =a x + − ⇒ a f (m) =a m + − < ⇔ > a m + ≥ ⇒ ∆ > 2a 4a 2a 4 2a Bài 1: Chứng minh với ∀m phương trình sau ln có nghiệm: a) x − ( m + ) x − m − = 0 b) x − 4m x − 4m − = Lời giải 19 a) Ta có ∆ =' ( m + ) − ( m − )= m + 5m + 11= m + + > 0, ∀m ⇒ ∆ ' > với m 2 Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Ta có ∆ ' = 4m + 4m + = 2(2m + 2m + 1) 1 2 mà 2m + 2m = + m4 − m2 + + m2 + m + = 2 m − + 2 m + ≥ 4 2 m − = Dấu “=” xảy ⇔ (vô nghiệm) ⇒ ∆ ' > 0, ∀m m + = Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác phương trình sau vô nghiệm: a x + (a + b − c ) x + b = Lời giải Ta có a ≠ 14 ∆ = (a + b − c ) − 4a 2b = (a + b − c − 2ab)(a + b − c + 2ab) = (a − b) − c (a + b) − c = (a − b + c) (a − b − c) (a + b + c) (a + b − c) ⇒ ∆ < ⇒ phương trình vơ nghiệm >0 0 >0 Bài 3: Cho số thực a, b, c thoả mãn 4a + ( a + b ) + a ( c + ) + < Chứng minh phương trình ax + bx + c = ln có hai nghiệm phân biệt Lời giải Phân tích: Vì tốn u cầu chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương trình cho phải phương trình bậc hai, tức a ≠ Điều dễ thấy , a = từ giả thiết ta có b + < (vơ lí) Do để chứng minh yêu cầu toán, cần chứng minh ∆= b − 4ac > số thực m cho a f ( m ) < với f ( x ) = ax + bx + c Cách 1: Để chứng minh ∆= b − 4ac > , ta biến đổi giả thiết toán sau: 16a + ( a + b ) + 4ac + 8a + < ⇔ b − 4ac > 16a + ( a + b ) + 4ac + 8a + = 12a + ( a + b ) + b + ( a + 1) ≥ 2 ⇒ ∆= b − 4ac > Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt = Cách 2: Để có số thực m cho a f ( m ) a ( am2 + bm + c ) < Ta viết lại giả thiết toán sau: 4a + a + 2ab + b + ac + 2a + < ⇔ a ( 4a + 2b + c ) < − ( a + 1) − b ≤ ⇒ a ( 4a + 2b + c ) < ⇔ a f ( ) < Do đó, phương trình f ( x ) = ln có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Chứng minh phương trình Cho sơ thực a, b, c thỏa mãn 3a + 5b + 15c = ax + bx + c = ln có nghiệm Lời giải Phương trình cho chưa phải phương trình bậc hai ta chưa biết a = hay a ≠ Do ta xét trường hợp sau + Xét a = , đó: - b = 0, từ giả thiết có c = Do đó, phương trình cho có vơ số nghiệm 15 - b ≠ phươn trình cho có nghiệm x = −c b + Xét a ≠ , phương trình cho phương trình bậc hai Để chứng minh phương trình có nghiệm, ta chứng minh ∆= b − 4ac ≥ số thực m thỏa mãn a f ( m ) < với f ( x ) = ax + bx + c Cách 1: Để chứng minh ∆= b − 4ac ≥ ta biến đổi sau: 9a − 10ac + 225c 3a + 15c Ta có ∆ =b − 4ac = − 4ac = 25 Vì 9a − 10ac + 225c =25c − 10ac + a +8a + 200c =( 5c − a ) + 8a + 200c ≥ ⇒ ∆ ≥ 0, với a, b, c Vậy phương trình cho ln có nghiệm Cách 2: Để số thực m thỏa mãn a f ( m ) < ta xử lí sau 1 Ta có f ( ) = c; f (1) = a + b + c; f = a + b + c 2 1 Giả sử x f ( ) + y f (1) + z f = 3a + 5b + 15c ⇔ y + z a + y + z b + ( x + y + z ) c = 3a + 5b + 15c 2 y + z= y =1 ⇒ y + z = ⇔ z = x = x + y +z= 15 Vậy ta có f ( ) + f (1) + f = 2 Do ba số f ( ) , f (1) , f ln có số khơng âm số không dương Giả sử 2 hai số f ( ) , f (1) , tức là: f ( ) f (1) ≤ ⇒ a f ( ) af (1) ≤ Do đó, ta suy af ( ) ≤ af ≤ Từ đây, ta có phương trình cho ln có nghiệm 2 Chú ý: Khi đề cho a, b, c thỏa mãn ma + nb + pc = yêu cầu chứng minh phương trình ax + bx + c có ngiệm, ta chứng minh sau Cách 1: Chứng minh ∆= b − 4ac ≥ (khi a ≠ ) 16 Cách 2: Chỉ tồn x, y, z thỏa mãn: x f (α ) + y f ( β ) + z f ( γ ) = ma + nb + pc ba số f (α ) , f ( β ) , f ( γ ) ln có hai số trái dấu Từ ta có đpcm Bài 5: Chứng minh hai phương Cho sô a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c = trình sau có nghiệm: x − ( 2a + 1) x + 4a + 192abc + =0 x − ( 2b + 1) x + 4b + 96abc + =0 Lời giải Hia phương trình có ∆= '1 16a (1 − 48bc ) ; ∆= '2 16b (1 − 24ac ) Vì a, b số dương nên ∆ '1 , ∆ '2 dấu với − 48bc − 24ac Để chứng minh toán, ta cần chứng minh hai biệt thức ∆ '1 , ∆ '2 ln có số không âm Để chứng minh điều này, ta xét tổng ∆ '1 + ∆ '2 Nếu ∆ '1 + ∆ '2 ≥ hai số ∆ '1 , ∆ '2 có số khơng âm Ta có − 48bc + − 24ac = − 24c ( a + 2b ) = − 24c (1 − 3c ) = ( 6c − 1) ≥ Hay ∆ '1 + ∆ '2 ≥ Vậy có hai phương trình có nghiệm Bài 6: Cho phương trình ax + bx + b3 + c3 − 4abc = 0(a ≠ 0) vô nghiệm Chứng minh hai phương trình sau có phương trình vơ nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt: ax = + bx + c (2); ax = + cx + b (3) Lời giải ∆1 b c − 4a (b +c − 4abc) < 0(*) Phương trình (1) vơ nghiệm ⇒ = Ta có ∆ = b − 4ac; ∆3 = c − 4ab Ta chứng minh ∆ ∆ < ∆ > ∆3 < Có (*) ⇔ (b − 4ac)(c − 4ab) < ⇒ ∆ ∆3 < ⇒ ⇒ dpcm ∆ < ∆ > 17 Bài 7: Cho a, b, c số thực có tổng khác Chứng minh phương tình sau ln có nghiệm: a ( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a ) + c( x − a )( x − b) = (1) Lời giải (1) ⇔ (a + b + c) x − 2(ab + bc + ca ) x + 3abc = 0; ∆ ' = (ab + bc + ca ) − 3abc(a + b + c) ≠0 = a 2b + b c + c a − abc(a + b + c= ) (ab − bc) + (bc − ca ) + (ca − ab) ≥ ⇒ dpcm Bài 8: Cho số a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh có ba phương trình 0; x + bx += 0; x + cx += sau có nghiệm: x + ax += Lời giải (b + c) ∆1= a −4; ∆ 2= b − 4; ∆ 3= c − ⇒ ∆1 + ∆ + ∆ 3= a + b + c − 12 ≥ a + − 12 2 = a2 + 2 2 2 (6 − a ) 3(a − 2) − 12= ≥ ⇒ ∆1 + ∆ + ∆ ≥ ⇒ dpcm 2 Bài 9: Cho phương trình ax + bcx + b +c3 − 4abc= 0(a ≠ 0) (1) vô nghiệm Chứng minh hai phương trình sau có phương trình vơ nghiệm phương trình có hai nghiệm bx + c (2); ax += cx + d (3) phân biệt ax += Lời giải b c − 4a (b3 + c − 4abc) < 0(*) Vì phương trình (1) vơ nghiệm nên ta có: ∆= Hai phương trình (2)(3) có ∆ = b − 4ac; ∆ = c − 4ab Để chứng minh toán ta cần chứng minh hai số ∆ , ∆ ln có số âm số dương Điều gợi ý ta chứng minh ∆ ∆ < 18 (*) ⇔ (b −4ac)(c − 4ab) < ⇔ ∆ ∆ < ⇒ hai số ∆ , ∆ có số âm số dương dẫn đến hai phương trình (2)(3) ln có phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình vô nghiệm Bài 10: Tuyển sinh Bạc Liêu, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình: x − ( m + ) x + m + =0 (1) a) Giải phương trình với m = −3 b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với số thực m Lời giải a) Giải phương trình với m = −3 Khi m = −3 phương trình (1) trở thành: x + x − = Vì + − =0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = −2 b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với số thực m Ta có: ∆ = − ( m + ) − ( m + 1) = m + 4m + − 4m − = m ≥ với m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với số thực m Bài 11: Tuyển sinh Cà Mau, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x + (2m − 1) x + m − 4m + = ( m tham số) a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt Lời giải a) Xét phương trình x + (2m − 1) x + m − 4m + = Phương trình cho có nghiệm ⇔∆≥0 ⇔ ( 2m − 1) − 4(m − 4m + 7) ≥ ⇔ 4m − 4m + − 4m + 16m − 28 ≥ ⇔ 12m ≥ 27 ⇔m≥ 9 Vậy với m ≥ phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt 19 ∆ > −b Phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt ⇔ < a c a > m> 9 m > m > ⇔ −(2m − 1) < ⇔ 2m − > ⇔ m < ⇔m> m − 4m + > (m − 4m + 4) + > (m − 2) + > 0∀m Vậy m > thỏa mãn đề Bài 10: Lời giải 20 21
Ngày đăng: 13/10/2023, 20:12
Xem thêm:
