Đs9 cđ6 phương trình bậc hai và hệ thức viet 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax + bx + c= 0(a ≠ 0) Các bước giải phương trình bậc hai - Xác định hệ số a, b, c ( b’) - Tính ∆= b − 4ac ∆ '= b '2 − ac so sánh với - Tính ∆ ∆ ' ∆ > ∆' > - Tìm nghiệm kết luận Định lý Viét a Định lý Viet: Nếu phương trình ax + bx + c= 0(a ≠ 0) có hai nghiệm x1 , x2 thì: −b  = + = S x x   a  c  P x= = x2  a  b Ứng dụng định lý Viet Nhẩm nghiệm a) Nếu a + b + c = x1 1,= x2 phương trình ax + bx + c= ( a ≠ ) có hai nghiệm= c a −c a b) Nếu a − b + c = phương trình ax + bx + c= ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 = −1, x2 = Tìm hai số biết tổng tích c) Muốn tìm hai số u v, biết u += v S ; uv = P , ta giải phương trình X − SX + P = (Điều kiện để có u v S − P ≥ ) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét dấu nghiệm −b   x1 + x2 = a > +) x1 > 0, x2 > ⇒   x x= c >  a +) x1 < < x2 ⇒ x1 x2 = −b   x1 + x2 = a < +) x1 < 0, x2 < ⇒   x x= c >  a c +) x1 > 0, x2 > ⇒   x x= c >  a −b  x + x =  a +) x1 < < x2 ⇒ x1 x2 = c nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét, ta có S = x1 + x2 = 1; P = x1 x2 = −1 ⇒ A= ( x1 − x2 ) ( x13 − x23 ) = ( x1 − x2 ) (x + x22 + x1 x2 ) = (S − P )( S − P ) = (1 + )(1 + 1) = 10 Bài 2: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Thế Vinh, năm học 2011 - 2012 Cho phương trình x + x + − =0 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình ( x1 < x2 ) Tính giá trị biểu thức A = ( x1 + )( x2 + 3) Lời giải Ta có ∆= 25 − (1 − )= 21 + 5= ( + 1) > ⇒ ∆= + −5 + + −5 + − = − 2; x1 = =−3 − 2 Do phương trình ln có hai nghiệm x1 = ( )( ) ⇒ A =( x1 + )( x2 + 3) = − + − − + =−5 Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x − =0 Không giải phương trình, chứng minh P ( x1 ) = P ( x2 ) với P ( x ) = x − 33 x + 25 Lời giải Dễ thấy phương trình cho ln có hia nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1; x1 x2 = −1 Ta có P ( x1 ) = P ( x2 ) ⇔ 3x1 − 33x1 + 25 = 3x2 − 33x2 + 25 ⇔ ( x1 − x2 ) − ( 33x1 + 25 − 33x2 + 25 ) = ⇔ ( x1 − x2 ) − ⇔ ( 33 ( x1 − x2 ) 11 = = ⇔ 1− ⇔ 33 x1 + 25 + 33 x2 + 25 = 11 33 x1 + 25 + 33 x2 + 25 33 x1 + 25 + 33 x2 + 25 33 x1 + 25 + 33 x2 + 25 ) = 121 ⇔ 33 ( x1 + x2 ) + 50 + ( 33x1 + 25)( 33x2 + 25) = 121(*) Ta có VT (*) =33.1 + 50 + 332 x1 x2 + 33.25 ( x1 + x2 ) + 252 =83 + −332 + 25.33 + 252 =83 + 361 = 83 + 38 = 121 = VP(*) ⇒ đpcm Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Văn Tụy, năm học 2014 - 2015 Cho hai phương trình x + bx + c = ( ) (trong x ẩn, b c (1) x − b x + bc = tham số) Biết phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2 , phương trình (2) có hai nghiệm x3 x4 thỏa mãn điều kiện: x3 − x1 = x4 − x2 = Xác định b c Lời giải Theo định lí Vi-ét ta có x1 + x2 = −b, x1 x2 = x, x3 + x4 = b , x3 x4 = bc  x = 1= x1 Theo đề ta có  , ta suy được:  x4 = + x2 1 + x1 + + x2 =b  bc (1 + x1 )(1 + x2 ) = 2 − b = b + b − = b2 b = −2 ⇔ ⇔ ⇔ bc bc c = −1 c − b + =  x1 x2 + x1 + x2 + = Vậy b = −2; c = −1 giá trị cần tìm Bài 5: Tuyển Sinh vào 10, Nghệ An 2020 - 2021 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho phương trình x − x − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Không giải phương trình tính = T x12 x22 + x2 x1 Lời giải Ta thấy ac < nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Viét ta có  x1 + x2 =  x x = −  x12 x22 x13 + x23 ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) − ( −3) −100 Khi ta có T = + = = = = x2 x1 x1 x2 x1 x2 −3 3 Vậy T = −100 Bài 6: Tuyển sinh Đồng Tháp, năm học 2021 - 2022 Biết phương trình x − x − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính giá trị biểu thức C= x12 + x22 Lời giải Phương trình x − x − = có ac =−3 < nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1 , x2  x1 + x2 =  x1 x2 = −3 Khi áp dụng định li Vi-ét ta có:  Ta có: C = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 12 − ⋅ (−3) = Vậy C = Bài 6: Tuyển sinh Đồng Nai, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x + x − = Gọi x1 ;  x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức Q = x12 + x22 + x1 x2 Lời giải Ta có ∆= ( ) − ⋅1⋅ ( −4 =) 41 ≥ nên phương trình x + x − = ln có hai nghiệm GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Theo Vi-et ta có: x1 + x2 = −5 x1 x2 = −4 Q = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 52 − 16 = Vậy Q = Bài 7: Tuyển sinh Nghệ An, năm học 2021 - 2022 Cho phưong trình x − x − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức = T x12 x22 + x2 x1 Lời giải Ta có: ∆′ = b′2 − ac = (−6)2 − 1.4 = 32 > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 12 x + x = Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2 = ⇒ x1 > 0, x2 >  x12 + x22  Ta có: T  = =    x1 + x2  Nhận xét x12 + x22 > ⇒ T= T 2= ( ( x + x ) − x x  x +x ) 12 − 2.4 ) (= (=   = 2 2 x1 + x2 ) 2 x1 + x2 + x1 x2 2 12 + 1156 x1 + x2 > với x1 , x2 > suy T > 1156= 34 Vây T = 34 Ứng dụng 2: Nhẩm nghiệm xét dấu phương trình bậc hai a) Xét phương trình bậc hai ax + bx + c= ( a ≠ )(1) - Nếu a + b + c = x1 1;= x2 phương trình (1) có nghiệm= c a −c a - Nếu a − b + c = phương trình (1) có nghiệm x1 = −1; x2 = b) Bài toán xét dấu nghiệm phương trình bậc hai thường xuất kì thi Nội dung tốn tìm điều kiện để biết dấu nghiệm (1) c a - Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P = < GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ∆ ≥ P > - Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) dấu ⇔  ∆ ≥ - Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) dương ⇔  P > S >  ∆ ≥ - Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) âm ⇔  P > S <  Bài 1: Tìm m để phương trình x + ( m − 1) x − m − =0 có hai nghiệm phân biệt lớn -1 Lời giải Ta có a =2, b =m − 1, c =−m − ⇒ a + b + c =2 + m − − m − =0 nên phương trình có hai nghiệm x= 1; x= c −m − = a  −m − > −1  −m − > −2 m < Do u cầu tốn tương đương với  ⇔ ⇔ −m − ≠ m ≠ −3  −m − ≠  m < giá trị cần tìm m ≠ −3 Vậy  Bài 2: Tìm m để phương trình x − 2mx + m − = a) có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) Có hai nghiệm dương Lời giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ P = c = m−2 ⇔ ( 2m + ) > ⇔ m ≠ −7 ( 2m + 5) ± ( 2m + ) ⇔ x =2m + 6, x =−1 Vì = ∆ ( 2m + ) nên hai nghiệm phương trình x = 2 - Trường hợp 1: Xét x1 = 2m + 6, x2 = −1 thay vào x1 + x2 = ta 2m + + −1 =7 ⇔ 2m + =6 ⇔ 2m + =±6 ⇔ m =0; m =−6 (thỏa mãn) - Trường hợp 2: Xét x2 =+ ta 2m + + −1 =7 2m 6, x1 = −1 thay vào x1 + x2 = ⇔ 2m + =6 ⇔ 2m + =±6 ⇔ m =0; m =−6 (thỏa mãn) *) Chú ý: +) Ta lập luận: Từ x1 + x2 = ta thấy x1 , x2 có vai trị nên khơng tính tổng quát, ta giả sử x1 = −1, x2 =+ 2m +) Ta giải theo cách xét ( x1 + x2 ) =( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 sử dụng định lí Vi-ét Bài 4: 46 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho phương trình x − 2mx + m − = Tìm a để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa mãn + = x1 x2 Lời giải Ta có ∆ ' = ( −m ) − ( m − ) = m − m + = > 0∀m Do phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x= m ± Điều kiện x1 ≠ 0, x2 ≠ ⇔ m ± ≠ ⇔ m ≠ ±2 - Trường hợp 1: Xét x1 =+ m 2, x2 =− m thay vào + = ta được: x1 x2 m − + 3( m + 2) 4m + + =1 ⇔ =1 ⇔ =1 ⇔ 4m + = m − ⇔ m = ± (thỏa mãn) m+2 m−2 m + m − m − ( )( ) - Trường hợp2: Xét x2 = m + 2, x1 = m − thay vào + = ta được: x1 x2 4m − + =1 ⇔ =1 ⇔ 4m − = m − ⇔ m = 0, m = (thỏa mãn) m−2 m+2 m −4 Vậy m ∈ {0; 4; ± 3} giá trị cần tìm 47 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 4: Tính x12 theo x1 x22 theo x2 dựa vào phương trình ax + bx + c = Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x2 - ax + bx + c= ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) - ax + bx + c= ( a ≠ ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ( ∆ ' > ) Bước 2: Sử dụng x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = nên 48 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ax12 + bx1 + c =0 ax12 =−bx1 − c ⇒   ax2 + bx2 + c =0 ax2 =−bx2 − c Bài 1: Cho phương trình x − mx − = Chứng minh với m, phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 giá trị biểu thức H = x12 + x1 − 16 x22 + x2 − 16 không phụ thuộc vào − x1 x2 m Lời giải Ta có ∆ = ( −m ) − 4.1 ( −8 ) = m + 32 > 0∀m Do phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m c a Theo định lí Vi-ét, ta có x1 x2 = =−8 < ⇒ x1 ≠ 0, x2 ≠ Do x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − mx − = nên 2  x1 − mx1 − 8=  x1= mx1 + ⇒   x2 − mx2 − 8=  x2= mx2 + Thay H= vào H, ta ( mx1 + ) + x1 − 16 ( mx2 + ) + x2 − 16 2mx1 + x1 2mx2 + x2 2m + 2m + − = − = − =0 x1 x2 x1 x2 3 Không phụ thuộc vào m (đpcm) Bài 2: Cho phương trình x − x + m − =0 Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x + 2 = x + x1 + x1 + x2 + 2 Lời giải Ta có ∆ ' = ( −1) − ( m − 1) = − m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ∆ ' > ⇔ − m > ⇔ m < Do x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x + m − =0 49 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x − x1 + m − 1=  x12= x1 − m + nên  12 ⇒  x2 − x2 + m − 1= Thay vào  x2= x2 − m + x1 x , ta được: + 2 = x + x1 + x1 + x2 + 2 x1 x2 x1 + x2 1 + = ⇔ = x2 + x1 − m + 2 x1 + x2 − m + ( x1 + x2 ) − m + Theo định lí Vi-ét, ta có x1 + x2 = −b = nên ta được: a 2 = ⇔ = ⇔ − m = ⇔ m = −2 (thỏa mãn) 2.2 − m + 6−m Vậy m = −2 giá trị cần tìm Bài 3: Cho phương trình x + 2mx − 2m − =0 Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho P = x1 x2 + đạt giá trị nhỏ x − 2mx2 + − 2m Lời giải Ta có ∆=' m − ( −2m − 1)= m + 2m + 1= ( m + 1) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' > ⇔ ( m + 1) > ⇔ m ≠ −1 Bài 4: Bắc Ninh, 03/06/2017 Cho phương trình: x − 2mx + m − =0(1) ( m tham số) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1), lập phương trình bậc hai nhận x13 − 2mx12 + m x1 − x23 − 2mx22 + m x2 − nghiệm Lời giải ∆ ' = > ∀m ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 50 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 2m  x1 + x = Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  m2 −  x1x= Biến đổi phương trình: x − 2mx + m − = ⇔ x − 2mx + m = ⇒ x − 2mx + m x = x ⇔ x − 2mx + m x − = x−2 Vì x1, x2 nghiệm phương trình nên: (x (x − 2mx12 + m x1 − ) + ( x 32 − 2mx 22 + m x − ) =( x1 − ) + ( x − ) =x1 + x − =2m − x1 x − ( x1 + x ) + = − 2mx12 + m x1 − ) ( x 32 − 2mx 22 + m x − ) = ( x1 − ) ( x − ) = m − − 2.2m + 4= m − 4m + Ta có: ⇒ Phương trình cần lập là: x − ( 2m − ) x + m − 4m + = Bài 5: Tuyển sinh Đà Nẵng, năm học 2020 - 2021 Biết x − 19 x + = có hai nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức = P x2 ( x12 − 38 x1 + x1 x2 − 3) + x1 ( x22 − 38 x2 + x1 x2 − 3) + 120 2 Lời giải Xét phương trình x − 19 x + = có = ∆ 192 − 4.7 = 333 > ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt 19  x1 + x2 =  x1 x2 = Áp dụng hệ thức Viét ta có   x − 19 x1 + = Ta có x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho  12  x2 − 19 x2 + = P x2 ( x12 − 38 x1 + x1 x2 − 3) + x1 ( x22 − 38 x2 + x1 x2 − 3) + 120 Theo đề = 2 = x2  ( x12 − 19 x1 + ) − 14 + x1 x2 − 3 + x1  ( x22 − 19 x2 + ) − 14 + x1 x2 − 3 2 =x2 ( x1 x2 − 17 ) + x1 ( x1 x2 − 17 ) =( x1 x2 − 17 ) ( x1 + x2 ) =( − 17 ) 19 =1900 2 2 51 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 BÀI TỐN TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH Bài 1: Bắc Ninh, năm 2012 - 2013 0(1) ( m tham số) Cho phương trình: mx − (4m − 2) x + 3m − = 1) Giải phương trình (1) m = 2) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm nguyên Lời giải Thay m = vào phương trình, ta có: (1) ⇔ x − x + = ⇔ x − x + = Ta thấy: – +2 = nên pt có nghiệm:= x1 0;= x2 2 * Nếu m = (1) ⇔ x − = ⇔ x = Suy ra: Pt ln có nghiệm với m=0 *Nếu m ≠ ph (1) pt bậc ẩn x Ta có: ∆ =' (2m − 1)2 − m(3m − 2)= 4m − 4m + − 3m + 2m= (m − 1)2 ≥ ∀m ≠ Kết luận: Kết hợp trường hợp ta có: pt ln có nghiệm với m (đpcm) * Nếu m = (1) ⇔ x − = ⇔ x = nguyên Suy ra: Với m = pt có nghiệm ngun * Nếu m # ph (1) pt bậc ẩn x Từ ý ta có: pt có nghiệm:   x1  x  2m − − m + = m 2m − + m − 3m − = m m 52 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Để ⇔ pt (1) có nghiệm Zalo: 0382254027 nguyên nghiệm x2 phải nguyên 3m − 2 ∈ Z ⇔ − ∈ Z (m ≠ 0) ⇒ 2 m hay m ước ⇒ m = {-2; -1; 1; 2} m m Kết luận: Với m = { ±1; ± 2;0 } pt có nghiệm nguyên Bài 2: Bắc Ninh, 17/07/2015 0(1) ( m tham số) Cho phương trình: x − 2mx + 2m − 10 = 1) Giải phương trình (1) m = -3 2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1 + x2 = −4 Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ↔ ∆ ' > ↔ (m − 1)2 + > → phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Theo định lý Viet, ta có:  x1 + x2 =2m −4 − x1 =2m  x1 =−4 − 2m  m = −3    → 4m + 13m + = ↔  (thoa.man)  x1 x2 = 2m − 10 ↔  x1 x2 = 2m − 10 ↔  x2 = + 4m  m = −1 2 x + x =−4  x =−4 − x  x x =2m − 10(*)     Bài 4: Bắc Giang, 19/07/2015 Cho phương trình: x − (m + 3) x + 2m + = 0(1) ( m tham số) 1) Giải phương trình m = − 2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn Lời giải b Khẳng định phương trình có hai nghiệm phân biệt = x1 2; x= m + m ≠ ±1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn 1thì m + > ↔ m ≠ Vậy m ≠ ±1; m ≠ giá trị cần tìm Bài 5: Bắc Giang, 30/06/2012 53 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Chứng minh phương trình: x + mx + m − =0 ln có nghiệm với giá trị m Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho, tìm GTNN biểu thức: B = x12 + x22 − 4( x1 + x2 ) Lời giải −m  x1 + x2 = ∆= (m − 2) > 0∀m →   x1.x2= m − Theo đầu bài: B =x12 + x22 − 4( x1 + x2 ) =( x1 + x2 ) − x1 x2 − 4( x1 + x2 ) =m − 2(m − 1) − 4(−m) =(m + 1) + ≥ Vậy Bmin =↔ m= −1 Bài 6: 0( x : an) (m tham số) Cho phương trình x − (2m + 1) x + 2m − = Giải phương trình m = Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để: a x12 + x22 = 13 b x1 + 3x2 = c x1 − x2 = d x1 + x2 = e Nghiệm gấp ba lần nghiệm Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình cho Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Tìm giá trị m để phương trình: a Có hai nghiệm tría dấu b Có hai nghiệm âm c Có hai nghiệm dương d Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương e Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : x1 < < x2 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình cho Xét biểu thức A = x12 + x22 − x1 x +4 Hãy: 54 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a Tính giá trị biểu thức A theo m b Tìm giá trị m để A = 41 c Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để x1 , x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 205 i x1 , x2 nghiệm phương trình cho Với m ≠ , lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 có tham số m ; x1 x2 Lời giải ± 17 Với m = → x1,2 = Thay x =2 → m =−1 → x =−3 = ∆ (2m − 1) + 16 > 0∀m → dpcm  x1 + x2 = 2m + x2 2m −  x1.= Áp dụng hệ thức Viét  a Tính được: x12 + x22 =4m + → m =±1  m =  x1 + x2 = 2m +  x1 = 6m b Ta có:  → → x1 x2 = 6m(1 − 4m)= 2m − ↔  − 4m 2 x1 + x2 =  x2 =  m = −1  c Ta có: ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 → m = d Ta có: x1 + x2 =5 ↔ x12 + x22 + x1 x2 =25(*)  m = −1 m = Thay x12 + x22 = 4m + 9; x1 x2 = 2m − → (*) : m − = − m ↔  e Khơng tính tổng quát ta giả sử x1 = 3x2 , kết hợp với 55 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 3(2m + 1)   x1 = x1 + x= 2m + →  2m − ↔ m ∈∅ → x1 x= 2  x = 2m +  Với m phương tình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Từ hệ thức Viet, khử m ta tìm hệ thức x1 + x2 − x1 x2 = 5(dpcm) a Phương trình có hai nghiệm trái dấu ↔ ac < → m < ∆ ≥ b Phương trình có hai nghiệm dấu âm ↔  x1 + x2 < → m ∈∅ x x >  ∆ ≥ c Phương trình có hai nghiệm dương ↔  x1 + x2 > → m > x x >  d Phương trình có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm ac < −1 →m<  x1 + x2 < dương ↔  ∆ > → m∈ R ( x1 − 1)( x2 − 1) < e Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : x1 < < x2 ↔  a Tính A = 4m − 8m + 29 b Tìm m = −1; m = c Ta có A = 4m − 8m + 29 = 4(m − 1) +25 → Amin = 25 ↔ m =  −13  ∆ ≥ (loai ) m=   Ta có  x1 > 0; x2 > ↔   m = 13 (thoa.man)  205 2   x1 + x2 = 4  Với m ≠ → 1 x1 + x2 2m + 1 1 + = = ; = = → PT : (2m − 4) x − (2m − 1) x += x1 x2 x1 x2 2m − x1 x2 x1 x2 2m − Bài 7: 56 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho phương trình x − (2m + 1) x + m − 3m = 0( x : an) (m tham số) Giải phương trình cho m = Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm cịn lại Tìm giá trị m để phương trình: a Có hai nghiệm phân biệt, tìm nghiệm b Có nghiệm kép Tìm nghiệm với m vừa tìm c Vơ nghiệm Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , tìm giá trị m để: a x12 + x22 = b x1 − 3x2 = c x1 − x2 = d x1 + x2 = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: a x1 , x2 trái dấu b x1 , x2 dương c x1 , x2 âm d ( x12 + x22 )2 đạt GTNN Trong trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 , hãy: a Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 độc lập với m b Tìm giá trị m để (2 x1 − 3)(2 x2 − 3) > c Với m ≠ 0; m ≠ lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 + 1 ; y2 = x2 + x2 x1 Lời giải m =2 → x =1 ± Tìm m ∈ {−1;0} +) m = → x = +) m =−1 → x =−2 ∆ ' = (m − 1)2 − (m − 3m) = m + b Ta có a ∆ ' > ↔ m > −1 → x → x1,2= m − ± m + ∆ ' =0 ↔ m =−1 → x =−2 c Ta có ∆ ' < ↔ m < −1 Xét với m > −1 57 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a Tìm m = b Tìm m = m = c Tìm m = d Xét hai trường hợp −1 +) TH1: Với x1 , x2 ≥ → m = +) TH2: Với x1 , x2 < → m = a Tìm < m < b Tìm m > c Tìm −1 < m < d ( x12 + x22 )2 = ↔ m = 2 a Tương tự 1, tìm ( x1 − x2 )2 − 2( x1 + x2 ) − =  m <  −1 < m < → m > m > b Từ x1 x2 − 6( x1 + x2 ) + > →  c Với 2(m − 1)   y1 + y2= 2(m − 1) + m − 3m m > −1; m ≠ 0; m ≠ ⇒   y y = m − 3m + + 2 m − 3m  ⇒ PT : y − 2(m − 1)(m − 3m + 1) y + m − 3m + + = m − 3m m − 3m Bài 8: 0( x : an) (m tham số) Cho phương trình x + (m + 2) x + 2m = Tìm giá trị m, biết phương trình có ngiệm x = Tìm nghiệm cịn lại Tìm giá trị tham số m để phương trình: a Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 + = x2 x1 b Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x17 + x27 = −127 c Có hai nghiệm x1 , x2 đối d Có hai nghiệm x1 , x2 dấu Khi hai nghiệm âm hay dương> e Có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn −3 < x1 < x ≤ 58 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Tìm giá trị tham số m để phương trình a Có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương b Có hai nghiệm độ dài hai cạnh tam giác vng có độ dài cạnh huyền = 13 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1 , x2 : a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x12 + x22 − x1 x2 + theo tham số m b Với m ≠ 0, lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 x1 + x2 + x1 x2 Lời giải Phương trình x + (m + 2) x + 2m =0 ↔ ( x + m)( x + 2) =0 → phương trình ln có nghiệm x1 = −m; x2 = −2 Tìm m = −3; x = −2 a Tìm x1 x2 m + = + =2 ↔ m =2(thoa.man) x2 x1 m b x17 + x27 = −127 ↔ (−m)7 + (−2)7 = −127 ↔ m7 = −1 ↔ m = −1 c Ta có x1 = − x2 ↔ −m = ↔ m = −2(thoa.man) d Ta có x2 = −2 < → −m < ↔ m > Khi hai nghiệm dấu âm e Cách 1: Trường hợp 1: −3 < x1 < x2 =3 → m =−3 Trường hợp 2: −3 < x1 < x2 < → −3 < m < 3; m ≠ Cách 2: Nhận xét phương trình có hai nghiệm -2 –m Vì −2 ≠ −m m ≠ −3 < x1 < x2 ≤ →  ↔ −3 < m < −3 < m ≤ x x < a Ta có  ↔ −2 < m < 2 > −m b Do phương trình ln có nghiệm x = -2 nên khơng thể cạnh tam giác nên m ∈∅ a Ta có A = x12 + x22 − x1 x2 + = (m − 4)2 − ≥ −8 → Amin = −8 ↔ m = 59 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b Với m ≠ 0, ta tính : 1 2m +  ( x1 + x2 ) + ( + ) = −(m + 2)  y1 + y2 = x1 x2 2m  → 2my + (m + 2)(2m + 1) y + (m + 2) =  x x ( m + 2) y y = + + =  x2 x1 2m 60