Đs9 cđ6 phương trình bậc hai và hệ thức viet 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax  bx  c  0( a  0) Các bước giải phương trình bậc hai - Xác định hệ số a, b, c ( b’) - Tính   b  4ac  '  b '2  ac so sánh với - Tính   '   '  - Tìm nghiệm kết luận Định lý Viét a Định lý Viet: Nếu phương trình ax  bx  c  0( a  0) có hai nghiệm x1 , x2 b  S  x  x   a   P  x x  c  a b Ứng dụng định lý Viet Nhẩm nghiệm a) Nếu a  b  c  phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1, x2  c a b) Nếu a  b  c  phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1, x2  Tìm hai số biết tổng tích c) Muốn tìm hai số u v, biết u  v  S ; uv  P , ta giải phương trình X  SX  P  (Điều kiện để có u v S  4P  ) c a thì: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét dấu nghiệm b   x1  x2  a  +) x1  0, x2    x x  c   a b   x1  x2  a  +) x1  0, x2    x x  c   a c a +) x1   x2  x1 x2   Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Ví dụ: Tính A  x13  x23 Phân tích đa thức thành nhân tử Nếu ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1 , x2 ax  bx  c  a  x  x1  x  x  c Chú ý: Nếu ac   phương trình ln có hai nghiệm trái dấu II Hệ thống tập sử dụng chuyên đề Tuyển sinh tỉnh Năm học Hà Nội 2012 – 2013; 2014; 2018 Bắc Ninh 2012 – 2013; 2014; 2015; 2017 Bắc Giang 2012; 2015; 2017; 2020 - 2021 Bạc Liêu 2021-2022; Bến Tre 2021-2022; Bình Phước 2021-2022; Cà Mau 2021-2022; GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cao Bằng 2021-2022; Đồng Tháp 2021-2022; Đồng Nai 2021-2022; Đà Nẵng 2021-2022; Hải Phòng 2020 – 2021; 2021-2022; Hà Tĩnh 2021-2022; Nam Định 2020 – 2021; 2021-2022; Ninh Bình 2021-2022; Nghệ An 2020 – 2021; 2021-2022; Thanh Hóa 2020 – 2021; 2021-2022; Thừa Thiên Huế 2021-2022; ĐHSPHN 2020 - 2021 Lào Cai 2020 - 2021 Phú Thọ 2020 - 2021 Quảng Ninh 2020 – 2021; 2021-2022; Quảng Bình 2021-2022; Quảng Trị 2021-2022; Đà Nẵng 2020 - 2021 Hải Phịng 2012-2013 Chun Tốn Lê Q Đơn Quảng Trị 2014-2015 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Chuyên Toán Quảng Ngãi Hải Dương 2012-2013 Chuyên Toán Lam Sơn Thanh Hóa 2014-2015 Chun Tốn Lương Thế Vinh 2011-2012; 2013-2014 Chuyên Toán Hà Tĩnh 2014-2015 Chuyên Toán Lương Văn Tụy 2014-2015 Chuyên Toán Long An 2012-2013 Chuyên Toán Lương Văn Chánh Phú Yên 2014-2015 B ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VIÉT A Định lí Viét 1) Định lí Vi-ét Nếu phương trình ax  bx  c   a   , có hai nghiệm x1 , x2 S  x1  x2  b c ; P  x1 x2  a a Định lí Vi-ét cho phép tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai mà khong cần xác định nghiệm phương trình Các tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai thường giải dựa vào định lí Vi-ét 2) Ứng dụng Định lí Vi-ét Nhẩm nghiệm a) Nếu a  b  c  phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1, x2  c a b) Nếu a  b  c  phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1  1, x2  Tìm hai số biết tổng tích c) Muốn tìm hai số u v, biết u  v  S ; uv  P , ta giải phương trình X  SX  P  (Điều kiện để có u v S  4P  ) Xét dấu nghiệm c a GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b  x  x  0  a +) x1  0, x2    x x  c   a b   x1  x2  a  +) x1  0, x2    x x  c   a c a +) x1   x2  x1 x2   Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Ví dụ: Tính A  x13  x23 Phân tích đa thức thành nhân tử Nếu ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1 , x2 ax  bx  c  a  x  x1  x  x  B Các ứng dụng định lí Viét Ứng dụng 1: Tính giá trị biểu thức hai nghiệm Bài toán: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c  Tính giá trị biểu thức P  F  x1 , x2  Cách giải: Để tính giá trị P ta thường có hai cách sau: Cách 1: Tính giá trị x1 , x2 thay vào biểu thức để tính Cách 2: Biểu diễn biểu thức F  x1 , x2  qua tổng tích hai nghiệm sử dụng định lí Vi-ét Để phân tích F  x1 , x2  qua tổng tích hai nghiệm, ta cần ý: *) Chú ý 1: Biểu thức F  a, b  gọi đối xứng F  a, b   F b, a  biểu thức đối xứng hai biến ln biểu diễn thơng qua tổng tích hai biến Một số biểu diễn bản: Đặt S  a  b, P  ab, ta có: + a  b   a  b   2ab  S  2P +  a  b    a  b   4ab  S  4P 2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH + a  b  a  b   + a Zalo: 0382254027  2ab  b   4ab  S  4P 1 ab S    a b ab P + a  b3   a  b   3ab a  b   S  3SP + a  b   a  b   2a 2b  S  2P   2P 2 + a  b xét  a  b   a  b  a b  a  b  ab  a  b   2ab  ab 2 *) Chú ý 2: A  A2 ; A  B   A  B  ; A B  A.B 2 Bài 1: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Thế Vinh, năm học 2013 - 2014 Cho x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   Tính giá trị biểu thức A   x1  x2   x13  x23  Lời giải Ta có      nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét, ta có S  x1  x2  1; P  x1x2  1  A   x1  x2   x13  x23    x1  x2  x12  x22  x1 x2   S  4P S  P  1 1  10 Bài 2: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Thế Vinh, năm học 2011 - 2012 Cho phương trình x  5x    Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình ( x1  x2 ) Tính giá trị biểu thức A   x1   x2   Lời giải Ta có   25  1    21   2   2     Do phương trình ln có hai nghiệm x1   A   x1   x2      5   5     2; x1   3 2        5 Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   Khơng giải phương trình, chứng minh P  x1   P  x2  với P  x   3x  33x  25 Lời giải Dễ thấy phương trình cho ln có hia nghiệm phân biệt Theo định lí Vi-ét ta có: x1  x2  1; x1 x2  1 Ta có P  x1   P  x2   3x1  33x1  25  3x2  33x2  25  x1  x2   33x1  25  33x2  25    x1  x2     33  x1  x2  33 x1  25  33 x2  25  33x1  25  33x2  25   1 11 33 x1  25  33 x2  25  121  33 x1  x2  50   33x1  25   33 x1  25  33 x2  25  11 33x2  25  121(*) Ta có VT *  33.1  50  33 x1x  33.25 x1  x   25  83  33  25.33  25  83  361  83  38  121  VP(*)  đpcm Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lương Văn Tụy, năm học 2014 - 2015 Cho hai phương trình x  bx  c  1 x  b x  bc    (trong x ẩn, b c tham số) Biết phương trình (1) có hai nghiệm x1 x2 , phương trình (2) có hai nghiệm x3 x4 thỏa mãn điều kiện: x3  x1  x4  x2  Xác định b c Lời giải Theo định lí Vi-ét ta có x1  x2  b , x1 x2  x , x3  x4  b 2, x3 x4  bc  x   x1 Theo đề ta có  , ta suy được:  x4   x2 1  x1   x2  b  1  x1 1  x2   bc 2  b  b b  b   b  2     c  1 c  b   bc  x1 x2  x1  x2   bc Vậy b  2; c  1 giá trị cần tìm Bài 5: Tuyển Sinh vào 10, Nghệ An 2020 - 2021 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho phương trình x  x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Không giải phương trình tính T  x12 x22  x2 x1 Lời giải Ta thấy ac  nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Viét ta có  x1  x2    x1 x2  3 x12 x22 x13  x23  x1  x2   3x1 x2  x1  x2   3 .4 100    Khi ta có T    x2 x1 x1 x2 x1 x2 3 3 Vậy T  100 Bài 6: Tuyển sinh Đồng Tháp, năm học 2021 - 2022 Biết phương trình x  x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính giá trị biểu thức C  x12  x22 Lời giải Phương trình x  x   có ac  3  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x1 , x2 x  x  Khi áp dụng định li Vi-ét ta có:   x1 x2  3 Ta có: C  x12  x22   x1  x2   2x1x2  12   ( 3)  Vậy C  Bài 6: Tuyển sinh Đồng Nai, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x  5x   Gọi x1 ;  x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức Q  x12  x22  6x1x2 Lời giải Ta có      1  4   41  nên phương trình x  5x   ln có hai nghiệm GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Theo Vi-et ta có: x1  x2  5 x1 x2  4 Q  x12  x22  6x1 x2   x1  x2   4x1 x2   16  Vậy Q  Bài 7: Tuyển sinh Nghệ An, năm học 2021 - 2022 Cho phưong trình x  x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Không giải phương trình, x12 x22 tính giá trị biểu thức T   x2 x1 Lời giải Ta có:   b2  ac  ( 6)2  1.4  32  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x  x  12 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2   x1  0, x2   x2  x2 Ta có: T    x1  x2       x  x22  2 x1  x2  2  x1  x2   2x1 x2  122  2.4        1156 x1  x2  x1 x2 12  Nhận xét x12  x22  x1  x2  với x1 , x2  suy T   T  T  1156  34 Vây T  34 Ứng dụng 2: Nhẩm nghiệm xét dấu phương trình bậc hai a) Xét phương trình bậc hai ax  bx  c   a  1 - Nếu a  b  c  phương trình (1) có nghiệm x1  1; x2  c a - Nếu a  b  c  phương trình (1) có nghiệm x1  1; x2  c a b) Bài tốn xét dấu nghiệm phương trình bậc hai thường xuất kì thi Nội dung tốn tìm điều kiện để biết dấu nghiệm (1) c a - Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P   GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   P  - Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) dấu     - Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) dương   P  S     - Phương trình (1) có hai nghiệm (có thể trùng nhau) âm   P  S   Bài 1: Tìm m để phương trình x   m  1 x  m   có hai nghiệm phân biệt lớn -1 Lời giải Ta có a  2, b  m  1, c  m   a  b  c   m   m   nên phương trình có hai nghiệm x  1; x  c m   a  m   1   m   2  m   Do yêu cầu toán tương đương với     m   m    m  3  1  m  giá trị cần tìm  m  3 Vậy  Bài 2: Tìm m để phương trình x  2mx  m   a) có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) Có hai nghiệm dương Lời giải c a a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P   m    m  10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy m  giá trị cần tìm  '  b) Phương trình có hai nghiệm dương   P  S   +  '  m   m    m  m    m     0, m  2   b) Phương trình có hai nghiệm dương   P  S   + S b  2m   m  a c a + P  m2 0 m  Vậy m  giá trị cần tìm Bài 3: Tìm m để phương trình x  2mx  m   có hai nghiệm nhỏ Lời giải Ta có  '  m   m    m  m    m     0m 2  2 Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m  x1   x2    x1  x2    x1   x1       x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2     x2   x2   Khi x1 , x2     2m   m     m   m   2m    m   Vậy m  1 giá trị cần tìm Bài 4: Tìm giá trị tham số m để phương trình: 11 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) x   m  1 x  m   có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) x  8x  2m   có hai nghiệm phân biệt c) x   m  1 x  m   có hai nghiệm phân biệt âm d) x  x  2m   có hai nghiệm phân biệt dương e) x   m  1 x  m   có nghiệm dương Lời giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac   m  1 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt    82   2m     m   m  8m      m  c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm   S     m     m   P  8  m      32  m  1  d) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương   S   6   m  P   2m     e) Vì    m  1  3  m   2m    15  0, m  Z  phương trình ln có hai nghiệm phân 2 biệt Phương trình có nghiệm dương ac  3  m   m  3 Bài 5: Tìm giá trị tham số m để phương trình: a) ac  3  m   m  3 có hai nghiệm trái dấu b) ac  3  m   m  3 có hai nghiệm âm c) ac  3  m   m  3 có hai nghiệm lớn m d) mx   m   x  3  m    có hai nghiệm dấu Lời giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  1  m  12 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 m  b) Phương trình có hai nghiệm âm    m  2  c) Phương trình có hai nghiệm lớn m  m  1 d) Phương trình có hai nghiệm dấu  1  m  Bài 6: Tuyển sinh vào 10, Hải Phịng, năm học 2012 -2013 Cho phương trình x  mx  m   0(1) ( m tham số ) a Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m b Tìm m để pt (1) có nghiệm khơng dương Lời giải a)   ( m  2)  0m  dpcm b) Phương trình có nghiệm khơng dương nên ta có trường hợp +) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P   m    m  1 +) Phương trình có nghiệm  P    m    m  1  S  m  m   (vo.nghiem) +) Phương trình có hai nghiệm âm    P  m    m  1 Vậy m  1 giá trị cần tìm Bài 7: Tuyển sinh vào 10, Chuyên Toán Long An, năm học 2012 -2013 Cho phương trình x  x  m  0(1) ( m tham số ) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2  Lời giải Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt     4m   m  (*) Khi đó: 13 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x1    x1   x2    x1  x2   x1  x2       x2   ( x1  2)( x2  2)   x1 x2  2( x1  x2 )   1     m  2 Kết hợp với (*) ta được: 2  m  m    Cách 2: 1  ' 1  '  x1  x2   x2     '  2   m   m  2 Vì x2  x1  x2   '  Bài 8: Tuyển sinh Chuyên Toán Lương Văn Chánh, Phú Yên, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình x  (2m  1) x  (2m  m  2) x  (2m  3m  2)  ( m tham số ) Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt Lời giải Ta có: a  b  c  nên phương trình có nghiệm  x 1  (1)  ( x  1)( x  2mx  2m  3m  2)    2  x  2mx  2m  3m   0(2)  '  Yêu cầu tốn  (2) phải có nghiệm dương phân biệt khác   a  b  c  3    m  (2m 3m  2)   2m  5m    m  1; m  m     2 (*) 1  2m  2m  3m     m  3m   1  m  1  m   S  2m   m  (**) Hai nghiệm pt(2) dương    P  2m  3m   Vậy m  ;1  m  giá trị cần tìm Bài 9: 14 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Tìm m để phương trình (m  1) x  (2m  1) x  m  x1 , x2 ( x1  x2 ) cho x2  x 21  có hai nghiệm phân biệt Lời giải Có: a  b  c   phương trình có hai nghiệm: m2 m2 m2 x  1; x  ;  1  x  1; x  m 1 m 1 m 1 Yêu cầu toán  m2  ( 1)2   2m  m   m  1 2 m 1 Bài 10: Cho phương trình mx  (2m  1) x  m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm Lời giải Yêu cầu toán  a  0,   0, S  0, P  +) a   m  +)   16m    m  1 16  1 m     2m      2m   m  1  m  S      m0  +)   2m   m    m    (vo.nghiem)  m   m   +) P   Vậy m  m3 0 m m  1  m  giá trị cần tìm 16 15 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ứng dụng 3: Tìm tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Các nghiệm thỏa mãn biểu thức đối xứng Bài toán thường gặp: Tìm m để phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x2 thỏa mãn biểu thức đối xứng x1 , x2 Cách giải: Bước 1: Tìm điêu kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x1 , x2 - ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1 , x2      '   - ax  bx  c   a   có hai nghiệm phân biệtt x1 , x2      '   Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng x1 , x2 tổng x1  x2 tích x1 , x2 Bước 3: Sử dụng định lí Vi-ét, ta có x1  x2  tích x1 x2 b c ; x1 x2  thay vào biểu thức chứa tổng x1  x2 a a Bước 4: Giải tìm m đối chiếu điều kiện Bài 1: Tuyển Sinh vào 10 PTNK, Hồ Chí Minh, năm học 2013 - 2014 Cho phương trình x3  x x  m   1 a) Giải phương trình m  33 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x16  x26  82 Lời giải Đặt t  x x t   , ta có phương trình t  4t  m     16 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 t  a) Với m  33 , phương trình (2) trở thành t  4t  32    t  4  loai  Với t  ta có x x   x  64  x  b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt  '   m   t1 , t2   S    1  m  P  m    t  t2  x1  t12 , x2  t22 t t  m  12 Khi theo định lí Vi-ét ta có:  Suy x16  x26  82  t14  t24  82  t1  t2   2t1t2   2t12t22  82  14  2m   m    82 2 m   m  30m  56     m  28  loai  Vậy m  giá trị cần tìm Bài 2: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x  mx   có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  54 Lời giải Phương trình có hai nghiệm x1 , x2   m  12  (luôn với m) Khi theo định lí Vi-ét ta có x1  x2  m, x1 x2  3 Ta có x13  x23  54   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   54  m3  9m  54    m  3  m  3m  18   m    m  3m  18  vo.nghiem  Vậy m  giá trị cần tìm Bài 3: Tuyển Sinh vào 10, Hà Nội, 06/06/2018 Cho phương trình x  (m  5) x  3m   0(1) ( m tham số) 17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 1) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực m 2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng có độ dài cạnh huyền Lời giải 1) ta có   (m  1)   phương trình ln có nghiệm với m Ta tìm hai nghiệm phương trình x1  3; x2  m   x1    Yêu cầu toán   x2  m     2  x1  x2  25(*)  m  2(thoa.man) m2  m  6(loai )  Vậy m  giá trị cần tìm Bài 4: Tuyển Sinh vào 10, Hà Nội, năm học 2012 - 2013 Cho phương trình x  (4m  1) x  3m  2m  ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x12  x22  Lời giải Ta có   4m    phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m m   x1  x2  4m  Theo định lí Vi-ét ta có   5m  m      m  3 x x  m  m   m    Vậy  m   ;1 giá trị cần tìm  m     Bài 5: Tuyển Sinh vào 10, Hà Nội, 30/06/2014 Cho phương trình: x  2(3  m) x   m  0(1) ( m tham số) 1) Giải phương trình m  2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1  x2  Lời giải 18 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '   2m  6m  13  (ln đúng) Vậy phương trình ln có hai nghiệm hai nghiệm phân biệt với m Theo định lý Viet, ta có: x1  x2  2(3  m ); x1 x2  4  m Ta có: x1  x2   ( x1  x2 )  36  x12  x22  x1 x2  36   ( x1  x2 )  2x1 x2  x1 x2  36   2(3  m)   2( m  4)   m   36  4(3  m)  2( m  4)  2( m  4)  36 3  m   3  m  3 (do m   0m  m   m  )  (3  m)    m   m   m  0;6   Vậy m  0;6 giá trị cần tìm Bài 6: Tuyển Sinh vào 10, Bắc Ninh, 20/06/2014 Cho phương trình x  2mx  2m   0(1) ( m tham số) 1) Giải phương trình (1) m  2) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho x12  x22 nhỏ Lời giải 2) Ta có   m  2m   (m  1)2    phương trình ln có hai nghiệm phân biệt  x1  x2  2m  x1.x2  (2m  6) Theo định lí Vi-ét, ta có  Ta có: x12  x22  ( x1  x2 )2  2x1 x2  4m  4m  12  (2m  1)2  11  11  minA  11  m  Bài 7: Tuyển Sinh vào 10, Bắc Giang, 06/06/2017 Cho phương trình x  (2m  5) x  2m   0(1) ( m tham số) 1) Giải phương trình m  1 19 1 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 cho biểu thức P đạt giá trị nhỏ x1  x2 Lời giải 2) Ta có   (2m  3)  12  0, m  phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x1  x2  2m   x1.x2  2m  Theo định lí Vi-ét, ta có   x1  x2  2m   1 m  x1.x2  2m   Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương  Ta có: P2     x1  x2    x1  x2     x1  x2  x1x2  2m  5 2m   2m  1 2m  1  2m      P  3( P  0)  2m     2m    m  0(tm) Vậy m  Pmin  Bài 8: Cho phương trình x   m   x  m   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  1 x2  1  Lời giải 2 Ta có  '    m      m    m    m   m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  '   6m    m  1 Có  x1  1 x2  1   x1 x2  x1  x2    *  Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x2  b c   m   ; x1 x2   m  a a  m  1 loai  Thay vào (*) ta  m     m      2m     2m   3    m   tm  20 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy m  giá trị cần tìm Bài 9: Cho phương trình x   m   x  m  1  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho biểu thức T  x12  x22 đạt giá trị nhỏ Lời giải Ta có  '    m    2  m    m    m   m  m   m     0, m 2 Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Lại có T  x12  x22  x12  x22  2x1 x2  2x1 x2  x1  x2   2x1 x2 Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x2  b c   m   ; x1 x2    m   a a Thay vào T, ta T   2  m     2 m    4m  20m  32  2m      minT   m  Vậy m  5 giá trị cần tìm Bài 10: Cho phương trình x   m  1 x  4m  m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 mà biểu thức A  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải Ta có  '    m  1  4 m  m   m    m  m  m  m   2 '  m  m  2   2m  1   0, m Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Lại có A  x1  x2  A  x1  x2   x1  x2   4x1x2 2 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x2  Zalo: 0382254027 b c   m  1 ; x1 x2   4m  m a a Thay vào A2 ta : 1  A   m  1   4m  m   8m  8m   8m  8m    m      A  2  2  minA   m  Vậy m  2 giá trị cần tìm Bài 11: Cho phương trình x  mx   Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Lời giải Ta có ac  3  0, m  phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x2  b c  m , x1 , x2    a a Xét  x1  x2   x1  x1 x2  x2  x12  2x1 x2  x22  x1  x2   2x1 x2  x1 x2 2 2  m   3   3  m  12  x  x   m 12  16  m  2 Vậy m  2 giá trị cần tìm Bài 12: Tuyển Sinh vào 10, Bắc Giang 2020 - 2021 Cho phương trình x  (m  1) x  2m   (1) ( m tham số) a) Giải phương trình 1 m  b) Tìm tất giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22   x1   x2    11 Lời giải 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Xét phương trình x  (m  1) x  2m   (1) Ta có     m  1    2m    m  2m   8m  32  m  6m  33   m  6m    24  m    24  m  Vì  m  3    m    24      nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với 2  x1  x2  m   x1 x2  2m  m , áp dụng hệ thức Viét ta có  Theo đề ta có x12  x22   x1   x2    11  x1  x2   2x1 x2  x1 x2  x1  x2   11   x1  x2   x1 x2   x1  x2     m    2m   m    2 m   m  2m   m  m      m  Vậy m  0; m  giá trị cần tìm Bài 13: Tuyển Sinh vào 10, Hải Phịng 2020 - 2021 Cho phương trình x  2(m  1) x  m   (1) ( m tham số) a) Giải phương trình (1) với m  b) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức M  x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải b) Phương trình x  2(m  1) x  m   (1) có hai nghiệm x1 , x2   '    m  1  m    m    m  1  x1  x2  2m  Áp dụng hệ thức Viét ta có   x1 , x2  m  Theo đề ta có M  x12  x22  x1x2   x1  x2   3x1x2   2m    m    m  8m  2   m  4  Với m  1  m    m     m      M  2 23 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dấu “=” xảy  m  1 (thỏa mãn) Vậy m  1 thỏa mãn toán Bài 14: Tuyển Sinh vào 10, Nam Định 2020 - 2021 Cho phương trình x  (2m  1) x  m  m  ( m tham số) a) Giải phương trình m  b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Tìm m để x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  5x1 x2  17 Lời giải b) Xét phương trình x  (2m  1) x  m  m  có    2m  1   m  m    Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x2 với m  x1  x2  2m  Áp dụng hệ thức Viét ta có   x1 , x2  m  m Theo đề ta có x12  x22  5x1 x2  17   x1  x2   2x1 x2  5x1 x2  17   x1  x2   x1 x2  17    2m    m  m  17  2  m  2  3m  3m  18   m  m    m  m      m  Vậy m  3; m  thỏa mãn toán Bài 16: Tuyển Sinh vào 10, Thanh Hóa 2020 - 2021 Cho phương trình x  5x   ( m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức  x1  1   x2  1 Lời giải 24 1 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Để phương trình cho cso hai nghiệm phân biệt    52   m     m  33  m  33  x1  x2  5  x1 x2  m  Áp dụng định lí Viét ta có   x  1   x2  1   1 Ta có 2 2  x1  1  x2  1  x1   x2   2   x12  x1   x22  x2   x1 x2  x1  x2     x1  x2   2x1 x2   x1  x2    x1 x2  x1  x2   2  25   m    5    m      m  10 m  25   m  5  2 Vậy m  5  thảo mãn toán Bài 17: Tuyển sinh Bến Tre, năm học 2021 - 2022 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x   m   x  6m   với m tham số Tìm giá trị nhỏ biểu thức C   x1  x2   8x1x2 Lời giải Xét phương trình x   m   x  6m   có a  1; b '    m   ; c  6m  Ta có:  '    m    6 m    m  16  với m thuộc  Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  2m   x1.x2  6m  Theo vi-et ta có:  Theo đề ta có: C   x1  x2   8x1x2   2m     6m    4m  24m  36  48m  56 2  4m  72m  20   m  18m  81   4.81  20  m    344 Vì  m    0 m  m    0 m  m    344  344 m 2 Vậy Cmin  344 Dấu xảy m  Bài 18: Tuyển sinh Bạc Liêu, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x   m   x  m   (1) 25 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Giải phương trình với m  b) Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với số thực m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền h  Lời giải a) Khi m  phương trình (1) trở thành x  x   Vì    nên phương trình có hai nghiệm x1  1; x2  2 b) Ta có:     m     m  1  m  4m   4m   m  với m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với số thực m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền h  Theo câu b) ta có:   m Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác m    m  vuông   x1  x2   m      m  1  x x  m 1    Mặt khác tam giác vng có đường cao ứng với cạnh huyền h  nên áp dụng hệ thức x12  x22 1 1 1 2       x1  x2   x1 x2    x1 x2    ta có: 2 2 2 2   x1 x2   x1 x2 b c h    5 2   m     m    m    m  2m      m   m  3  Đối chiếu điều kiện ta m  thỏa mãn yêu cầu toán Vậy m  giá trị cần tìm Bài 19: Tuyển sinh Bình Phước, năm học 2021 - 2022 26 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho phương trình x  (m  2) x   (1), với m tham số a) Giải phương trình (1) m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức Q   x12  1 x22  1 đạt giá trị lớn Lời giải a) Giải phương trình (1) m  Thay m  vào phương trình (1) ta được: x  x    x1  1   Ta có:      32  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:   x2  1   4 Vậy phương trình có tập nghiệm S  {4; 2} b) Phương trình (1) có:   (m  2)  32  m nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  m   x1 x2  8 Khi theo Vi-ét ta có:  Ta có: Q   x12  1 x22  1  x12 x22   x12  x22    x12 x22   x1  x2   2x1 x2   Q  64  ( m  2)  16    ( m  )2  49  49 m   Vậy Qmax  49 Dấu "=" xảy m  Vậy giá trị lớn Q 49 m  Bài 20: Tuyển sinh Cao Bằng, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình  m  m  1 x   m  2m   x   ( m tham số) Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức S  x1  x2 Lời giải Cho phương trình:  m  m  1 x   m  2m   x   1  ( m tham số) Vì m  m    m     m nên phương trình (1) phương trình bậc ẩn x với m  2 27 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2   1    m  2m     m  m    (luôn  m m  m    m     m ) 2  2 2 m  2m  m  2m  S Áp dụng định lý Vi-ét ta có: x1  x2  m  m 1 m  m 1  m S  mS  S  m  2m   S  m  S  m  S   *  * Nếu S   m     m  1 * Nếu S  , phương trình (*) có: *   S     S  1 S    S  S   4S    S  3S   Để tồn giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S phương trình (*) phải có nghiệm  *    S   3S    S   S   S    3S          S S   S      3S   S   Do đó: GTNN S Với S  GTLN S m  2m  2 ta có:   3m  6m   2m  2m  m  m 1 3  m  4m    m     m    m  2 Với S  ta có: m  2m    m  2m   2m  2m   m   m  m  m 1 Vậy giá trị nhỏ S m  2 , giá trị lớn S m  Bài 21: Tuyển sinh Đà nẵng, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x  4(m  1) x  12  0 (*) , với m tham số 28 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Giải phương trình (*) m  b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1   mx2   x1  x2  x1 x2   Lời giải a) Thay m  vào phương trình (*), ta có: x  4(2  1) x  12   x  x  12   x  2   Ta có:  '  2  12  16   nên phương trình có nghiệm phân biệt   x  2   6 Vậy với m  tập nghiệm phương trình (*) S  {2;6} b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1   mx2   x1  x2  x1 x2   Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2      4(m  1)  12  (ln với m ) Vì x2 nghiệm phương trình (*) nên: x22  4(m  1) x2  12   x22  4mx2  x2  12   x2   mx2    x2      mx2   x23  x2    x2     mx2   x2   Khi ta có: x1   mx2   x1  x2  x1 x2    x1  2‖ x2   [4(1  m)  12  8] 2  x1 x2   x1  x2    (8  4m)  | 12  2.4(1  m)  | 64  64 m  16 m | 16  8m | 8  m  m   | m  | (m  2)  (m  2)  (m  2)  (m  2)  (m  2)  m    (m  2)  (m  2)  1    m     m   1 2 m  m   m  Vậy m  {1; 2;3} giá trị thỏa mãn toán Bài 22: Tuyển sinh Hà Tĩnh, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x  2(m  1) x  m  ( m tham số) a) Giải phương trình với m  29  x2  GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22   4x1 x2 Lời giải a) Với m  , phương trình cho trở thành x  x    b     2  x1  a Ta có      nên phương trình có nghiệm phân biệt   b     2  x2  a  Vậy m  tập nghiệm phương trình S  {2  3} b) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thóa mãn: x12  x22   4x1 x2 Ta có:   (m  1)  m  2m  Để phương trình cho có nghiệm x1 , x2    m    m    x  x  2(m  1) Khi áp dụng định lí Vi-ét ta có:  2  x1 x2  m Theo ta có: x12  x22   x1 x2   x1  x2   2x1 x2   4x1 x2   x1  x2   6x1 x2    4( m  1)  6m    2m  8m  10  0(1)  m1  1(ktm ) Ta có a  b  c  2   10  nên phương trình có nghiệm phân biệt   m2   c   10  5(tm ) a 2  Vậy có giá trị m thỏa mãn m  Bài 23: Tuyển sinh Hải Phịng, năm học 2021 - 2022 Cho phương trình x  2(m  1) x  m   ( x tham số, m tham số) 30 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Giải phuơng trình (1) m  b) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: x12  2(m  1) x2  12m  Lời giải a) Thay m  vào phương trình (1) ta có: x  2(1  1) x  12    x  x   Phương trình có: a  b  c      Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  x2  c  a Vậy với m  phương trình có tập nghiệm là: S  {1;3} b) Xét phương trình x  2(m  1) x  m   (1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt      (m  1)   m     m  2m   m    2m    m  Với m  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x  x  2(m  1) Áp dụng định lí Vi-ét ta có:  2  x1 x2  m  Theo đề ta có: x12  2(m  1) x2  12m   x12   x1  x2  x2  12m   x12  x1 x2  x22  12m    x1  x2   2x1 x2  x1 x2  12m  2   x1  x2   x1 x2  12m   4( m  1)   m    12m   4m  8m   m   12m  2  m0  3m  4m   m(3m  4)     3m    Vậy m   m  0(ktm)   m  (tm )  thỏa mãn toán Bài 24: Tuyển sinh Nam Định, năm học 2021 - 2022 31 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho phương trình x   m  1 x  m  2m  (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (với x1  x2 ) thỏa mãn: x1  x2 Lời giải Phương trình (1) phương trình bậc hai ẩn x có:  '    m  1   m  m   m  m   m  m  >0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với m , mà x1  x2 nên: x1  m    m x2  m    m  x1 ; x2 thỏa mãn: x1  x2  m  m  m   m      m  3  m    m  3  tm  x1