Đs chuyên đề 16 phương trình bậc hai và công thức nghiệm

2 HÀM SỐ Y  AX  A 0  Chương PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chuyên đề 16 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CƠNG THỨC NGHIỆM A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Phương trình bậc hai có ẩn (nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng: ax  bx  c 0 x : ẩn số a, b, c  a 0  : hệ số Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình ax  bx  c 0  a 0  biệt thức  b  4ac  Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1   b    b   ; x2  2a 2a  Nếu  0 phương trình có nghiệm kép: x1  x2  b 2a  Nếu   phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình ax  bx  c 0  a 0  có a c trái dấu tức ac   b  4ac  Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt Công thức nghiệm thu gọn 2 Đối với phương trình ax  bx  c 0  a 0  b 2b ,   b   ac  Nếu    phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1   b    b   ; x2  a a  Nếu   0 phương trình có nghiệm kép: x1 x2  b a  Nếu    phương trình vơ nghiệm B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai số thực a; b không âm thỏa mãn 18a  4b 2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 18ax  4bx  671  9a 0 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013) Giải Tìm cách giải Để chứng minh phương trình ax  bx  c 0 ln có nghiệm, chưa có điều kiện a Ta cần xét hai trường hợp: Trường hợp Xét a 0 , chứng tỏ phương trình bx  c 0 có nghiệm Trường hợp Xét a 0 , chứng tỏ  0 (hoặc   0 ) Trình bày lời giải  Xét a 0 , từ giả thuyết suy 4b 2013  b 0 nên phương trình 4bx  671  9a 0 ln có nghiệm  Xét a 0 2 Ta có:   4b  18a  671  9a   4b  12078a  162a 4b  6a.2013  162a 4b  6a  18a  4b   162a 2    4b  24ab  54a  2b  6a   18a 0 Suy phương trình ln có nghiệm Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai x  ax  b 0 x  cx  d 0 Trong ac   b  d  Chứng minh hai phương trình có nghiệm Giải Tìm cách giải Những tồn chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh hai  không âm Tức chứng minh 1   0 Trình bày cách giải 2 Xét 1 a  4b;  c  4d 2 2 Suy 1   a  4b  c  4d  a  c  2ac  a  c  0 1   0 Vậy hai phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Tìm giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x  mx  0 (1) x  x  m 0 (2) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải Để giải dạng tốn này, ta gọi x0 nghiệm chung hai phương trình, x0 thỏa mãn hai phương trình Từ ta hệ phương trình, sau đó:  Khử x0  Tìm x0 tìm m (có biểu thị x0 theo m )  Thử lại với m tìm được, kết luận Trình bày cách giải  x0  mx0  0 Gọi m nghiệm chung hai phương trình, ta có:   x0  x0  m 0 Suy  m   x0   m 0   m    x0  1 0  Với m 4 Hai phương trình có dạng x  x  0  x  Vậy hai phương trình có nghiệm chung x   Với x0 1 thay vào phương trình (1) (2) ta m  Với m  phương trình (1) x  x  0 có nghiệm x 1; x 4 , phương trình (2) x  x  0 có nghiệm x 1; x  Do hai phương trình có nghiệm chung x 1 Vậy với m   4;  5 hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ 4: Giải phương trình x  ax  bx  0 , biết a; b số hữu tỉ  nghiệm phương trình (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Giải Tìm cách giải Những dạng toán ta cần xác định a b trước Khi thay x 1  vào phương trình, ta lưu ý a, b số hữu tỉ nên vận dụng tính chất: Nếu x, y, p số hữu tỉ mà x p  y 0 , p khơng phải bình phương số hữu tỉ x  y 0 Trình bày cách giải Ta có: x 1  nghiệm phương trình nên: 1     a 1     b   0   2a  b     3a  b   0  a  b  0  Vì a; b số hữu tỉ nên  3a  b  0  a   b 1 Thay vào phương trình, tra được:  x  0 x  x  x  0   x  1  x  x  1 0    x  x  0  Giải ra, ta tập nghiệm phương trình là: S  1;1  2;1   Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1  xy x; y số thực thỏa mãn x 2013  y 2013 2 x1006 y1006 (1) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013) Giải Trường hợp 1: Nếu x 0 y 0 (hoặc ngược lại) suy P 1 Trường hợp 2: Xét x 0; y 0 1006 Chia hai vế (1) cho x  x Đặt    y 1006  y t     x 1006  x ta được: x    y 1006 y 1006  y  y   x 1006 2   x.t  2t  y 0 t Đây phương trình bậc hai t Xét   1  xy Để tồn x; y tức tồn t   0   xy 0; P 0 Vậy giá trị nhỏ P t nghiệm kép phương trình  x 1  xy 0  x   t     y x  y 1006 1   x 2012  x x  x 1  y 1 Vậy giá trị nhỏ P Khi x  y 1 C Bài tập vận dụng 16.1 Cho phương trình x   a  b  x  ab 0 (1) ( a; b tham số) a) Giải phương trình (1) với a 1; b  b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với a; b Hướng dẫn giải – đáp số   a) Với a 1; b  phương trình có dạng: x  x  x  0  Xét         1  1  1 x1  2   0  1  1 ; x2  b) Xét    a  b   4ab  a  b  0 với a; b Vậy phương trình ln có nghiệm  1 16.2 Cho a, b, c, d số thực a  b  Chứng minh phương trình: a  b  1 x   ac  bd  1 x  c  d  0 ln có hai nghiệm (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 Xét    ac  bd  1   a  b  1  c  d  1 (*) + Do a  b   a  b   Nếu c  d 1  c  d  0   0 2 2 Nếu c  d  Đặt u 1  a  b ; v 1  c  d (Điều kiện  u 1;0  v 1 ) Xét 4    2ac  2bd   4uv  a  b  u  p  d  v  2ac  2bd   4uv 2 2    a  c    b  d   u  v   4uv  u  v   4uv  u  v  0      0 Vậy phương trình ln ln có nghiệm 16.3 Cho phương trình ax  bx  0 với a; b số hữu tỉ Tìm a; b biết x  5 5 nghiệm phương trình Hướng dẫn giải – đáp số 5 Ta có: x   a  15  5    5 5  4  15 nghiệm phương trình nên:   b  15  c 0   31a  4b  1   8a  b  15 0 31a  4b  0  Do a b số hữu tỷ nên:  8a  b 0  a 1  b  16.4 Với giá trị b hai phương trình 2011x  bx  1102 0 (1) 1102 x  bx  2011 0 (2) có nghiệm chung (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho, ta có: 2011x0  bx0  1102 0   1102 x0  bx0  2011 0 1102 x0  bx0  2011 0  909 x0 909 1102 x0  bx0  2011 0  1    2  x0 1 Với x0 1 thay vào phương trình (1) ta b  3113 Với x0  thay vào phương trình (1) ta b 3113 Thử lại: 1102  Với b  3113 , phương trình (1) 2011x  3113x  1102 0 có nghiệm x 1; x  2011 2011 phương trình (2) 1102 x  3113 x  2011 0 có nghiệm x 1; x  , nghiệm chung x 1 1102  Với b 3113 , phương trình (1) 2011x  3113 x  1102 0 có nghiệm x  1; x  phương trình (2) 1102 x  3113 x  2011 0 có nghiệm x  1; x   2011 , nghiệm chung 1102 x  Vậy với b 3113 hai phương trình cho có nghiệm chung 16.5 Tìm số ngun a để hai phương trình sau có nghiệm chung x  ax  0 (1) x  x  a 0 (2) Hướng dẫn giải – đáp số  x02  ax0  0  1 Đặt x0 nghiệm chung phương trình, ta có:  , ta có:  x0  x0  a 0   Từ phương trình (1) (2) trừ vế ta được:  a  1 x0   a 0   a  1 x0 a  (*) Với a  0  a 1 từ (*) khơng tồn x0 nên điều kiện a 1 Từ phương trình (*) ta có: x0   a  8  a  1  1102 2011 a thay vào phương trình (2) ta được: a a  a 0  a  24a  72 0 a   a    a  6a  12  0 (**) 2 Ta có: a  a  12  a  3   nên (**)  a  0  a  Với a  phương trình (1) x  x  0 có nghiệm x1 2; x2 4 Phương trình (2) x  x  0 có nghiệm x1 2; x2  nên hai phương trình có nghiệm chung x 2 Vậy với a  hai phương trình có nghiệm chung x 2 16.6 Cho hai phương trình x  mx  n 0 x  x  n 0 Chứng minh với giá trị m n , hai phương trình có nghiệm (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Hứng Yên, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số  Phương trình x  mx  n 0 có 1 m  4n  Phương trình x  x  n 0 có  4n  Suy ra: 1   m   với m, n Do hai số 1 ,  ln có  khơng âm Hay nói cách khác hai phương trình cho ln có phương trình có nghiệm c  16.7 Chứng minh với điều kiện   a  c   ab  bc  2ac phương trình: ax  bx  c 0 ln có nghiệm (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Xét trường hợp sau:  Nếu a 0; b 0 phương trình ln có nghiệm x  c b  Nếu a 0; b 0 c  vơ lí 2  Nếu a 0 từ  a  c   ab  bc  2ac   2ac   a  c   b  a  c  2 2 Xét  b  4ac  b   a  c   2b  a  c   a  c  b    a  c  0 Vậy   , phương trình ln có hai nghiệm Tóm lại, phương trình ln có nghiệm 2 16.8 Cho phương trình ẩn x tham số m : x   m  1 x   m  2m  3 0 Xác định m để phương trình có hai ngiệm x1 ; x2 cho: 2008  x2  x1  2013 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh An Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có:    m  1   m  2m  3  Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 m  3; x2 m  Phương trình có hai nghiệm:  x m   2013 2008  x2  x1  2013    2009  m  2010  x2 m   2008 16.9 Chứng minh phương trình: x  ax  b  1  x  bx  a  1 0 ln có nghiệm với giá trị a b (Thi học sinh giỏi Toán, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải – đáp số  x  ax  b  0  1  x  ax  b  1  x  bx  a  1 0   x  bx  a  0    2 2 Ta có 1 a  4b  4;  b  4a  2 Suy 1    a     b   0 với a; b có hai giá trị 1 ;  khơng âm Vậy phương trình ban đầu ln có nghiệm với giá trị a b