2 HÀM SỐ Y AX A 0 Chương PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chuyên đề 16 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CƠNG THỨC NGHIỆM A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Phương trình bậc hai có ẩn (nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng: ax bx c 0 x : ẩn số a, b, c a 0 : hệ số Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình ax bx c 0 a 0 biệt thức b 4ac Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b b ; x2 2a 2a Nếu 0 phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b 2a Nếu phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình ax bx c 0 a 0 có a c trái dấu tức ac b 4ac Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt Công thức nghiệm thu gọn 2 Đối với phương trình ax bx c 0 a 0 b 2b , b ac Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 b b ; x2 a a Nếu 0 phương trình có nghiệm kép: x1 x2 b a Nếu phương trình vơ nghiệm B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai số thực a; b không âm thỏa mãn 18a 4b 2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 18ax 4bx 671 9a 0 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013) Giải Tìm cách giải Để chứng minh phương trình ax bx c 0 ln có nghiệm, chưa có điều kiện a Ta cần xét hai trường hợp: Trường hợp Xét a 0 , chứng tỏ phương trình bx c 0 có nghiệm Trường hợp Xét a 0 , chứng tỏ 0 (hoặc 0 ) Trình bày lời giải Xét a 0 , từ giả thuyết suy 4b 2013 b 0 nên phương trình 4bx 671 9a 0 ln có nghiệm Xét a 0 2 Ta có: 4b 18a 671 9a 4b 12078a 162a 4b 6a.2013 162a 4b 6a 18a 4b 162a 2 4b 24ab 54a 2b 6a 18a 0 Suy phương trình ln có nghiệm Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai x ax b 0 x cx d 0 Trong ac b d Chứng minh hai phương trình có nghiệm Giải Tìm cách giải Những tồn chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh hai không âm Tức chứng minh 1 0 Trình bày cách giải 2 Xét 1 a 4b; c 4d 2 2 Suy 1 a 4b c 4d a c 2ac a c 0 1 0 Vậy hai phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Tìm giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx 0 (1) x x m 0 (2) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải Để giải dạng tốn này, ta gọi x0 nghiệm chung hai phương trình, x0 thỏa mãn hai phương trình Từ ta hệ phương trình, sau đó: Khử x0 Tìm x0 tìm m (có biểu thị x0 theo m ) Thử lại với m tìm được, kết luận Trình bày cách giải x0 mx0 0 Gọi m nghiệm chung hai phương trình, ta có: x0 x0 m 0 Suy m x0 m 0 m x0 1 0 Với m 4 Hai phương trình có dạng x x 0 x Vậy hai phương trình có nghiệm chung x Với x0 1 thay vào phương trình (1) (2) ta m Với m phương trình (1) x x 0 có nghiệm x 1; x 4 , phương trình (2) x x 0 có nghiệm x 1; x Do hai phương trình có nghiệm chung x 1 Vậy với m 4; 5 hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ 4: Giải phương trình x ax bx 0 , biết a; b số hữu tỉ nghiệm phương trình (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Giải Tìm cách giải Những dạng toán ta cần xác định a b trước Khi thay x 1 vào phương trình, ta lưu ý a, b số hữu tỉ nên vận dụng tính chất: Nếu x, y, p số hữu tỉ mà x p y 0 , p khơng phải bình phương số hữu tỉ x y 0 Trình bày cách giải Ta có: x 1 nghiệm phương trình nên: 1 a 1 b 0 2a b 3a b 0 a b 0 Vì a; b số hữu tỉ nên 3a b 0 a b 1 Thay vào phương trình, tra được: x 0 x x x 0 x 1 x x 1 0 x x 0 Giải ra, ta tập nghiệm phương trình là: S 1;1 2;1 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 xy x; y số thực thỏa mãn x 2013 y 2013 2 x1006 y1006 (1) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013) Giải Trường hợp 1: Nếu x 0 y 0 (hoặc ngược lại) suy P 1 Trường hợp 2: Xét x 0; y 0 1006 Chia hai vế (1) cho x x Đặt y 1006 y t x 1006 x ta được: x y 1006 y 1006 y y x 1006 2 x.t 2t y 0 t Đây phương trình bậc hai t Xét 1 xy Để tồn x; y tức tồn t 0 xy 0; P 0 Vậy giá trị nhỏ P t nghiệm kép phương trình x 1 xy 0 x t y x y 1006 1 x 2012 x x x 1 y 1 Vậy giá trị nhỏ P Khi x y 1 C Bài tập vận dụng 16.1 Cho phương trình x a b x ab 0 (1) ( a; b tham số) a) Giải phương trình (1) với a 1; b b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với a; b Hướng dẫn giải – đáp số a) Với a 1; b phương trình có dạng: x x x 0 Xét 1 1 1 x1 2 0 1 1 ; x2 b) Xét a b 4ab a b 0 với a; b Vậy phương trình ln có nghiệm 1 16.2 Cho a, b, c, d số thực a b Chứng minh phương trình: a b 1 x ac bd 1 x c d 0 ln có hai nghiệm (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 Xét ac bd 1 a b 1 c d 1 (*) + Do a b a b Nếu c d 1 c d 0 0 2 2 Nếu c d Đặt u 1 a b ; v 1 c d (Điều kiện u 1;0 v 1 ) Xét 4 2ac 2bd 4uv a b u p d v 2ac 2bd 4uv 2 2 a c b d u v 4uv u v 4uv u v 0 0 Vậy phương trình ln ln có nghiệm 16.3 Cho phương trình ax bx 0 với a; b số hữu tỉ Tìm a; b biết x 5 5 nghiệm phương trình Hướng dẫn giải – đáp số 5 Ta có: x a 15 5 5 5 4 15 nghiệm phương trình nên: b 15 c 0 31a 4b 1 8a b 15 0 31a 4b 0 Do a b số hữu tỷ nên: 8a b 0 a 1 b 16.4 Với giá trị b hai phương trình 2011x bx 1102 0 (1) 1102 x bx 2011 0 (2) có nghiệm chung (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho, ta có: 2011x0 bx0 1102 0 1102 x0 bx0 2011 0 1102 x0 bx0 2011 0 909 x0 909 1102 x0 bx0 2011 0 1 2 x0 1 Với x0 1 thay vào phương trình (1) ta b 3113 Với x0 thay vào phương trình (1) ta b 3113 Thử lại: 1102 Với b 3113 , phương trình (1) 2011x 3113x 1102 0 có nghiệm x 1; x 2011 2011 phương trình (2) 1102 x 3113 x 2011 0 có nghiệm x 1; x , nghiệm chung x 1 1102 Với b 3113 , phương trình (1) 2011x 3113 x 1102 0 có nghiệm x 1; x phương trình (2) 1102 x 3113 x 2011 0 có nghiệm x 1; x 2011 , nghiệm chung 1102 x Vậy với b 3113 hai phương trình cho có nghiệm chung 16.5 Tìm số ngun a để hai phương trình sau có nghiệm chung x ax 0 (1) x x a 0 (2) Hướng dẫn giải – đáp số x02 ax0 0 1 Đặt x0 nghiệm chung phương trình, ta có: , ta có: x0 x0 a 0 Từ phương trình (1) (2) trừ vế ta được: a 1 x0 a 0 a 1 x0 a (*) Với a 0 a 1 từ (*) khơng tồn x0 nên điều kiện a 1 Từ phương trình (*) ta có: x0 a 8 a 1 1102 2011 a thay vào phương trình (2) ta được: a a a 0 a 24a 72 0 a a a 6a 12 0 (**) 2 Ta có: a a 12 a 3 nên (**) a 0 a Với a phương trình (1) x x 0 có nghiệm x1 2; x2 4 Phương trình (2) x x 0 có nghiệm x1 2; x2 nên hai phương trình có nghiệm chung x 2 Vậy với a hai phương trình có nghiệm chung x 2 16.6 Cho hai phương trình x mx n 0 x x n 0 Chứng minh với giá trị m n , hai phương trình có nghiệm (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Hứng Yên, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Phương trình x mx n 0 có 1 m 4n Phương trình x x n 0 có 4n Suy ra: 1 m với m, n Do hai số 1 , ln có khơng âm Hay nói cách khác hai phương trình cho ln có phương trình có nghiệm c 16.7 Chứng minh với điều kiện a c ab bc 2ac phương trình: ax bx c 0 ln có nghiệm (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Xét trường hợp sau: Nếu a 0; b 0 phương trình ln có nghiệm x c b Nếu a 0; b 0 c vơ lí 2 Nếu a 0 từ a c ab bc 2ac 2ac a c b a c 2 2 Xét b 4ac b a c 2b a c a c b a c 0 Vậy , phương trình ln có hai nghiệm Tóm lại, phương trình ln có nghiệm 2 16.8 Cho phương trình ẩn x tham số m : x m 1 x m 2m 3 0 Xác định m để phương trình có hai ngiệm x1 ; x2 cho: 2008 x2 x1 2013 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh An Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số 2 Ta có: m 1 m 2m 3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 m 3; x2 m Phương trình có hai nghiệm: x m 2013 2008 x2 x1 2013 2009 m 2010 x2 m 2008 16.9 Chứng minh phương trình: x ax b 1 x bx a 1 0 ln có nghiệm với giá trị a b (Thi học sinh giỏi Toán, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải – đáp số x ax b 0 1 x ax b 1 x bx a 1 0 x bx a 0 2 2 Ta có 1 a 4b 4; b 4a 2 Suy 1 a b 0 với a; b có hai giá trị 1 ; khơng âm Vậy phương trình ban đầu ln có nghiệm với giá trị a b