Đs9 c4 b2 công thức nghiệm của ptbh

CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ Phương trình bậc hai ẩn - Phương trình bậc hai ẩn (hay cịn gọi phương trình bậc hai) phương trình có dạng: ax  bx  c 0  a 0  , a, b, c số thực cho trước x ẩn số - Giải phương trình bậc hai ẩn tìm tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax  bx  c 0  a 0  biệt thức  b  4ac - Trường hợp 1: Nếu   phương trình vơ nghiệm - Trường hợp 2: Nếu  0 phương trình có nghiệm kép x1  x2  b 2a - Trường hợp 3: Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2   b   2a Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai 2 Xét phương trình bậc hai ax  bx  c 0  a 0  với b 2b ' Gọi biệt thức  ' b '  ac - Trường hợp 1: Nếu  '  phương trình vơ nghiệm - Trường hợp 2: Nếu  ' 0 phương trình có nghiệm kép: x1  x2   b' a - Trường hợp 3: Nếu  '  phương trình có hai nghiệm phân biệt: *) Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b ' ta nên sử dụng  ' x1,2   b '  ' a để giải phương trình cho lời giải ngắn gọn - Nếu a, c trái dấu phương trình ln có hai nghiệm phân biệt B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Khơng dùng cơng thức nghiệm, giải phương trình bậc hai ẩn cho trước Cách giải: Ta sử dụng cách sau Cách 1: Đưa phương trình cho dạng tích Cách 2: Đưa phương trình cho phương trình mà vế trái bình phương vế phải số Bài 1: Giải phương trình sau a) x  x 0 b)  x  0 c) x  x  0 d) 3x  12 x 1 0 Lời giải  7 x  x 0  x  x   0  x  0;   5 a) Ta có: b) Ta có:     x  0  x  0  x  0  x    c) Ta có: x  x  0   x  1  x   0  x   1;5 d) Ta có: 3x  12 x  0   x   11  x    33 Bài 2: Giải phương trình sau a)  x  x 0 3 x  0 b) c) x  x  0 d) 3x  x  0 Lời giải a) Ta có:  x  x 0   x    x  0  x  0;  3  35 x  0   x  35 0  x   x b) Ta có: 1  37  x  x  0  x       c) Ta có: 5  3x  x  0   x  x   0   x  1  0 3  d) Ta có: (vơ lý) Vậy phương trình vơ nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau 2 a) x  2 x 0 b) m   x  0 với m   1   x    0, 25 0 2 c)  d) x  3x  0 Lời giải  x 0 x  2 x 0  x x  2 0    x 2 a) Ta có   Vậy tập nghiệm phương trình b) Ta có m   x  0  x   S  0; 2  5  x  m 2 m  (vì m2   )  5  S  ;  2 m 2 m     Vậy tập nghiệm phương trình 1   x    0, 25 0  2  1 1   x   0, 25  x    2 2  c) Ta có   2x    2x   1  2  1  2   x 2   x 0 1  S  ;0  2  Vậy tập nghiệm phương trình  x 1 x  3x  0  x  x  x  0   x  1  x   0    x 2 d) Ta có Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 2 Bài 4: 2 Với giá trị tham số m phương trình x  m x  4m 0 có nghiệm x 1 Lời giải 2 Thay x 1 vào phương trình ta có: 4.1  m  4m 0  m  Vậy m  Bài 5: 2 Cho phương trình 4mx  x  10m 0 Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x 2 Lời giải Thay x 2 vào phương trình ta được: 4m.22   10m 0   10m  16m  0  m   11 Bài : 2 Cho phương trình x  (2m  1) x  m  2m  0 (1) Giải phương trình (1) biết phương trình (1) có nghiệm x 2 Lời giải 2 Vì phương trình có nghiệm x = nên ta có:  (2m  1).2  m  2m  0   4m   m  2m  0  m  6m  0  m   m 1; m 5 +) m 1  x  x  0  x   1; 2 +) m 5  x  11x  18 0  x   9; 2 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn Cách giải: Sử dụng công thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai để giải Bài 1: Xác định hệ số a, b, c; Tính biệt thức  (hoặc  ' b 2b ' ) tìm nghiệm phương trình sau a) x  3x  0 b) x  x  0 c) x  12 x  0 d)  3x  x  0 Lời giải a) Ta có: a 2; b  3; c   49   phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2   b    5  x   1;  2a  2 b) Ta có: a 1; b  6; b '  3; c 8;  ' 1   x   2; 4 c) Ta có: a 9; b  12; c 4;  0  phương trình có nghiệm kép: x1 x2  d) Ta có: a  3; b 4; c  4;   32   phương trình vơ nghiệm Bài 2: Xác định hệ số a, b, c; Tính biệt thức  (hoặc  ' b 2b ' ) tìm nghiệm phương trình sau a) x  x  11 0 b) x  x  0 c)  x  x  0 d)  x  x  0 Lời giải 1 3  a 1; b  1; c  11;  45   x       a) Ta có: b) Ta có: a 1; b  4; c 4;  0  x 2  1 a  5; b  4; c 1;  36   x   1;   5 c) Ta có: d) Ta có: a  2; b 1; c  3;   23   phương trình vơ nghiệm Bài 3: Giải phương trình sau a) x  x  0 c)  b) x  2 x 1 0  3x   x  0 d)  3x  x  0 Lời giải a 1; b  5; c  1;  9   a) Ta có: b) Ta có:      3  x      a 2; b  2; c 1;  0  x    ; c  1;  4    x   1;      a  3; b   c) Ta có: 2      a  3; b 4 6; c 4;  144   x   ;  3    d) Ta có: Bài 4: Giải phương trình sau a) x  11x  0 c)  b) 152 x  x  0  x   x  0 d) 3x  3x  0 Lời giải   11 5  a 2; b 2 11; c  7;  100   x       a) Ta có: b) Ta có: a 152; b  5; c 1;   583   x  c) Ta tính được:   x  2; d) Ta tính được: x 3 Bài 5: Giải phương trình sau a) x  x  0 b) x  3x  0 Lời giải a) Ta có    '   1   ' 1 Vậy phương trình có hai nghiệm x1   51  1 x2  2 b) Ta có  3  4.5 9  20  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài 6: Cho phương trình 3x    m  x   m 0 với m   tham số a) Xác định hệ số a, b, c phương trình b) Giải phương trình trường hợp m 2; m 5; m 1 Lời giải a) Ta có a 3, b    m  , c 2  m 2 b) Với m 5 ta có phương trình 3x  0  x 1  x 1  x 0 3x  3x 0  3x  x  1 0    x 1 Với m 2 ta có phương trình  x  3x  x 1 0  3x  x  x  0   x  1  x  1 0     x 1 Với m 1 ta có phương trình *) Nhận xét: Trong trường hợp phương trình có nghiệm x 1  x 1  x  1  x   m  0    m x  Ta biến đổi phương trình ban đầu tương đương với Dạng 3: Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm phương trình dạng bậc hai Cách giải: Xét phương trình bậc hai: ax  bx  c 0  a 0  Phương trình có nghiệm kép  0  a 0  Phương trình có hai nghiệm phân biệt    a 0; b 0    a 0   0 Phương trình có nghiệm  a 0; b 0; c 0   a 0;   Phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu b 2b ' ta thay điều kiện  tương ứng  ' Bài 1: Cho phương trình x  4mx  m  0(1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Lời giải Ta có:  ' 4m  4m  24  m    ' 0  4m  4m  24 0  m  m  0    m 3 Phương trình (1) có nghiệm kép Vậy m    2;3 Bài 2: Cho phương trình mx   2m   x  m  0  1 với m   tham số Khi a) Phương trình (1) có nghiệm b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Lời giải Xét tường hợp TH1: Với m 0 phương trình trở thành  x  0  x  TH2: Với m 0 phương trình mx   2m   x  m  0 phương trình bậc hai có   2m    4m  m    12m  25 + Nếu + Nếu   12m  25   m  25 12 phương trình có hai nghiệm phân biệt   12m  25 0  m  25 12 phương trình có nghiệm kép x1  x2 Vậy: a) Phương trình (1) có nghiệm m 25 12 b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m 0 m 25 12 Bài 3: Cho phương trình  2m  3 x   m   x  0 với m tham số Khi a) Giải phương trình với m 2 b) Chứng minh với m   , phương trình ln có nghiệm Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải a) Với m 2 , phương trình cho trở thành x  0  x 1 b) Xét hai trường hợp TH1: Với m phương trình cho trở thành x  0  x 1 TH2: Với m 2 phương trình  2m  3 x   m   x  0 phương trình bậc hai có 2  '  m     2m    m  1 0, m   Suy phương trình ln có nghiệm với m   Phương trình có hai nghiệm phân biệt  m      m  1    m   m 1 2 Cách khác:  2m  3 x   m   x  0   2m   x   2m   x  x  0  x 1   x  1   2m  3 x  1 0     2m   x  Suy phương trình ln có nghiệm x 1 với m   2m  3 x  0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình  có nghiệm 2m  0    x  1  2m  khác   m   m 1 Bài 4: Cho phương trình mx   m  1 x  m  0 (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vơ nghiệm d) Có nghiệm e) Có nghiệm Lời giải Ta có:   m  1  m  m  3 m   m 0      a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt  m 0  m    m 0  m    '  m   b) Xét Phương trình có nghiệm kép 10 Dạng 4: Giải biện luận phương trình dạng bậc hai Cách giải: Giải biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m tìm tập nghiệm phương trình tùy theo thay đổi m 2 *) Xét phương trình bậc hai dạng: ax  bx  c 0 với  b  4ac (hoặc  ' b '  ac ) - Nếu a 0 , ta đưa biện luận phương trình bậc - Nếu a 0 , ta biện luận phương trình bậc hai theo  Bài 1: Giải biện luận phương trình (m  2) x  (2m  1) x  m  0 Lời giải +) m 2  x  +) m 2,   4m  17 - m 17     (1).vo.nghiem 17 2m  m    0  (1).o.nghiem.kep : x1 x2   2( m  2) 15 - m 17 2m    m 17     (1).co.hai , nghiem phan.biet : x1,2  2( m  2) Vậy m = phương trinhf có nghiệm m x 17  phuong trinh.vo.nghiem 17 m  x phương trình có nghiệm kép  m 2   17  m   phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phương trình mx  2mx  m  (m tham số) a Giải phương trình m = - b Giải biện luận phương trình them m Lời giải m   x  a  2 b Ta xét hai trường hợp sau: - TH1: m 0  0(vo.nghiem) +) m    '   x1,2  m   m m - TH2: m 0   '  m 0 +) m    '   vo.nghiem Kết luận: - m 0  phương trình vơ nghiệm - m   x1,2  m   m m Bài 3: Giải biện luận phương trình sau (m tham số) a) x    m  x  m 0 m  3 x  2mx  m  0 b)  Lời giải 16 2 a) Ta có:  m  2m   m  1 0, m    m  +)  0  m  1: Phương trình cho có nghiệm kép: x1  x2  m +)    m  1: Phương trình cho có hai nghiệm pahan biệt: x1 m; x2  b) Với m 3  Phương trình có dạng:  x  0  x  1 Với m 3   ' 9m  18 +)  '   9m  18   m  : Phương trình vơ nghiệm +)  ' 0  9m  18 0  m 2 : Phương trình có nghiệm kép: x1 x2  m m m 3 m  9m  18  '    : x1,2  m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m +) Bài 4: Giải biện luận phương trình sau (m tham số) a) mx   2m  1 x  m  0 m   x   m  1 x  m 0 b)  Lời giải a) Với m 0  x 2 Với m 0    12m  +)    m  : 12 Phương trình vơ nghiệm 1  2m  0  m  : x1 x2  12 Phương trình có nghiệm kép: 2m +) m 0      :  2m   12m m x1,2    12 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 2m +) b) Với m 2  x  Với m 2   ' 4m  +)  '   m  1 Phương trình vơ nghiệm 17 m 1  ' 0  m  : x1  x2  Phương trình có nghiệm kép: m +)  m 0   '     1: m   4m  m x1,2    Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m +) Dạng 5: Dạng toán liên quan đến tính có nghiệm phương trình bậc hai, nghiệm chung phương trình bậc hai Cách giải: Phương trình bậc hai ax  bx  c 0  a 0  có nghiệm   0 (hoặc  ' 0 ) 2 Muốn tìm điều kiện tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax  bx  c 0 a ' x  b ' x  c ' 0 có nghiệm chung ta làm sau: Bước 1: Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x0 vào phương trình để tìm điều kiện tham số Bước 2: Với giá trị tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem phương trình có nghiệm chung hay khơng kết luận 18 Muốn tìm điều kiện tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax  bx  c 0 a ' x  b ' x  c ' 0 tương đương, ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai phương trình vơ nghiệm - Trường hợp 2: Hai phương trình có nghiệm Khi đó: +) Điều kiện cần để hai phương trình tương đương chúng có nghiệm chung Từ tìm điều kiện tham số +) Điều kiện đủ với giá trị tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem phương trình tập nghiệm khơng kết luận Bài 1: 2 Cho hai phương trình: x  x  a 0; x ax  0 a Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung b Tìm a để hai phương trình tương đương Lời giải a Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình  ta có hệ:  x02  x0  a 0(1)  a 1  (1)  (2) (1  a)( x0  1) 0     x0  ax0 1 0(2)  x0 1 +) Với a 1  x  x  0(vn)   x1 1  x  x  0  x0 1  (1) : a       x2   x  x  0  x 1  +) Vậy với a = -2 hai phương trình có nghiệm chung x = b Theo câu a hai phương trình có tập nghiệm khác Vậy để chúng tương đương 1 1  4a    a2  a   chúng vô nghiệm  Bài 2: 19 2 Giả sử hai phương trình: x ax  b 0; x  mx  n 0 có nghiệm chung Chứng minh rằng: ( n  b) ( m  a)(an  bm)(1) Lời giải Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình  ta có hệ:  x02  ax0  b 0  (a  m) x0 n  b(*)   x0  mx0  n 0 +) a  m 0  a m  (*)  n b  (1) : dung +) a m  (*)  x  n b n b n b , ( )  a( )  b 0 a  m thay vào phương trình ban đầu ta được: a  m a m  (n  b)  a (n  b)(a  m)  b(a  m) 0  (n  b)  (a  m)(an  bm) 0  (n  b) (m  a )(an  bm) Bài 3: 2 Tìm m để hai phương trình: x  (2m  3) x  0; x  x  m  0 có nghiệm chung Lời giải Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình  ta có hệ:  x02  3x0  x02  3x0   x  (2m  3) x0  0  m  x    x02  x0   x03  x02  x0  0   x0 2 x0  x0  m  0 m  x  x  0   ( x0  2)(4 x02  x0  3) 0  x0   m  2 +) m  hai phương trình ban đầu trở thành: x  x  0; x  x  0 Hai phương trình có nghiệm chung x = -2 Vậy m = -1 giá trị cần tìm Bài 4: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình ln vơ nghiệm Lời giải Ta có:   b  c  a   b  c  a   b  c  a   b  c  a  20 b x   b  c  a  x  c 0