Đs9 c4 b3 hệ thức viét

HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG A Lý thuyết Hệ thức Viét Cho phương trình bậc hai ax  bx  c 0(a 0) Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình thì: S  x1  x2  b c P  x1.x2  a a Ứng dụng hệ thức Viét a) Nhẩm nghiệm Xét phương trình bậc hai ax  bx  c 0  a 0  - Nếu a  b  c 0 phương trình có nghiệm x1 1 , nghiệm cịn lại x2  - Nếu a  b  c 0 phương trình có nghiệm x1  , nghiệm lại c a x2  c a b) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm phương trình X  SX  P 0 c) Xác định dấu nghiệm Phương trình ax  bx  c 0(a 0) có hai nghiệm x1 , x2 c P  x1 x2   a + Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu c P  x1 x2   a + Nếu S x1  x2  phương trình có hai nghiệm dương c P  x1 x2   a + Nếu S x1  x2  phương trình có hai nghiệm âm *) Chú ý: Để áp dụng hệ thức Viét phải ý đến điều kiện phương trình phương trình bậc a 0  hai có nghiệm  0 Dạng 1: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Cách giải: Ta thực theo bước sau: a 0  Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm  0 Từ áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: S  x1  x2  b c ; P x1.x2  a a Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm đề theo tổng x1  x2 tích x1 x2 Sau áp dụng bước Chú ý: Một số biểu thức đối xứng nghiệm thường gặp 2 2 +) A a  b (a  b)  2ab S  P 2 +) (a  b) (a  b)  4ab S  P 2 +) a  b  (a  b)  4ab  S  4P 1 a b S    +) a b ab P 3 3 +) a  b (a  b)  3ab(a  b) S  3SP 4 2 2 2 2 +) a b (a  b )  2a b ( S  P)  P Bài 1: Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x  0 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau 2 a A x1  x2 C c 3 b B x1  x2 1  x14 x24 d D  x1  x2 Lời giải Ta có:  13   phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Áp dụng hệ thức Viet ta có  x1  x2 5   x1 x2 3 a) Ta có: A x12  x22  x1  x2   x1 x2 52  2.3 19 b) Ta có: B x13  x23  x1  x2   3x1 x2  x1  x2  80 2 c) Ta có: 2 1 x14  x24  x1  x2    x1 x2  343 C 4    4 x1 x2  x1 x2  81  x1 x2  d) Ta có D  x1  x2  D  x1  x2  x12  x22  x1 x2  x1  x2   x1 x2  D  x1  x2   x1  x2   x1 x2  13 Bài 2: Cho phương trình  3x  x  0 Với x1 , x2 nghiệm phương trình, khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau a M x1  P c 1   x2 x1 x2 N b x1  x2   x12 x2 Q c 1  x1  x2  x1 x  x2  x1  Lời giải Ta có:  25  4.3.2 1   phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Áp dụng hệ thức Viet ta có a) Ta có: M  x1  N b) Ta có: P c) Ta có: d) Ta có: x1  x2  5 ; x1 x2  3 1 1 1  25   x2  x1  x2       M  x1 x2  x1 x2  1 x1  x2  13    N x1  x2  x1 x2   x1  x2   14 x1  x2  x1 x22  x22  x12 x2  3x12  49    P 2 x1 x2  x1 x2  x1 x2 x12  x1  x22  x2  17 Q    Q x2  x1  x1 x2   x1  x2   12 Bài 3: Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình: x  x  0 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau 2 a A x1  x2  x1  x2 C c 4 b B x1  x2 1  x13 x23 d D  x1  x2 Lời giải a) Ta có  29   phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viet, ta có: x1  x2 5; x1.x2   A ( x1  x2 )  x1 x2  ( x1  x2 ) 52  2( 1)  22 B  x14  x24 ( x12  x22 )  x12 x22  ( x1  x2 )  x1 x2   x12 x22 727 b) 1 x13  x23 ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2  C 3  3   140 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 )3 c) d) D  x1  x2  D ( x1  x2 )  x12  x22  x1 x2 ( x1  x2 )  x1 x2 29  D  29( D 0) Bài 4: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x  0 Tính giá trị biểu thức sau 2 a A x1  x2 C c 3 b B x1 ( x1  1)  x2 ( x2  x1 ) 1  x12 x22 Lời giải a) Ta có:  13   phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viet, ta có: x1  x2 3; x1.x2  1; x1  x2   a A x12  x22 ( x1  x2 )2  x1 x2 32  2( 1) 11 3 4 3 2 2 2 b) B  x1 ( x1  1)  x2 ( x2  x1 ) x1  x  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )  x1 x2  ( x1  x2 )( x1  x2  x1 x2 ) 112   3(11  1) 83 C c ( x  x )( x  x ) 1   2 21  x1 x2 x1 x2  a 3 13 Bài 5: Cho phương trình x   m   x  2m  0 m ( tham số) a) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Với m vừa tìm trên, tìm biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Lời giải a) Ta có:  '  m  3 0m  phương trình có hai nghiệm x1 , x2 với m m 3 b) Áp dụng hệ thức Viét ta có  x1  x2 2m   x1  x2  x1 x2 1   x1 x2 2m  Vậy biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào tham số m là: x1  x2  x1 x2 1 Bài 6: Cho phương trình x   m   x  2m 0 Với giá trị tham số m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ? Khi đó, tìm biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào tham số m Lời giải Ta có:   m    8m m2  4m   m   0m  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m m 2 x  x  x x  Biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào tham số m   Bài 7: Tuyển sinh vào 10 HCM, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình x  mx  0 (1) ( x ẩn số) a Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu b Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Tính giá trị biểu thức A x12  x1  x22  x2   x1 x2 Lời giải a Ta có ac    phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu 2 b Ta có x1 nghiệm phương trình (1)  x1  mx1  0  x1  mx1 Tương tự ta có x22  mx2  A  (m  1) x1 (m  1) x2  0 x1 x2 Vậy A 0 Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng, năm học 2014 - 2015 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  2013 x  0 x3 , x4 nghiệm phương trình x  2014 x  0 Tính A ( x1  x3 )( x2  x3 )( x1  x4 )( x2  x4 ) Lời giải Ta có 1 ,    hai phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có:  x1  x2  2013  x3  x4  2014 ; ;( x1  x3 )( x1  x4 )  x12  x1 ( x3  x4 )  x3 x4  x12  2014 x1   x x  x x    2 Lại có: x1  2013x1  0  x1   2013 x1  ( x1  x3 )( x2  x4 )  4027 x1 2 +) ( x2  x3 )( x2  x4 ) x2  x2 ( x3  x4 )  x3 x4 x2  2014 x2  x2 (do : x2  2013x2  0)  A  4027 x1 x2  8054 Bài 9: Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  0 ( x ẩn số ) (1) a Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b Gọi hai nghiệm (1) x1 , x2 Tính theo m giá trị biểu thức A x1  2(m  1) x2  2m  Lời giải a  ' m   0m b Theo định lý Viet ta có: x1  x2 2(m  1) Vì x1 nghiệm phương trình nên ta có: x12  2(m  1) x1  2m  0  x12  2m  2( m  1) x1  A 2(m  1) x1  2(m  1) x2 2(m  1)( x1  x2 ) 4(m  1) Bài 10: Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x  0 Khơng giải phương trình chứng minh P( x1 ) P( x2 ) với P( x) 3x  33x  25 Lời giải Dễ thấy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Viet ta có: x1  x2 1; x1.x2  Ta có: P( x1 ) P( x2 )  3x1  33x1  25 3x2  33x2  25  3( x1  x2 )  ( 33 x1  25   3( x1  x2 )   1 33 x2  25) 0 33( x1  x2 ) 0 33 x1  25  33 x2  25 11 0  33x1  25  33 x2  25 33 x1  25  33 x2  25 11  ( 33 x1  25  33 x2  25) 121  33( x1  x2 )  50  (33 x1  25)(33 x2  25) 121(*) 2 2 VT (*) 33.1  50  33 x1 x2  33.25( x1  x2 )  25 83   33  2533  25 83  361 83  83 121 VP Bài 11: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình x  x   m 0 (1) ( m tham số) a Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x1 x2  3( x1  x2 )  Lời giải a Phương trình có nghiệm   ' 1  (2  m) m  0  m 1 b Với m 1  x1  x2 2; x1.x2 2  m 2 2 2 2 Khi A x1 x2  3( x1  x2 )  x1 x2  3( x1  x2 )  x1 x2  (2  m)  3.2  6(2  m)  (2  m)  6(2  m)   (2  m  3)  ( m  1)  2 Do m 1  (m  1) 2 4  A 4  3  m 1  Amin 3 Bài 12: Chuyên Toán Lào Cai, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình x  2mx   m 0 (1) ( m tham số) a Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) M Tìm m để biểu thức  24 2mx1  x  x1 x2  m  đạt giá trị nhỏ 2 Lời giải a Ta có:  ' m  ( m  2) m  m  (m  )   0, m b Theo Viet, ta có: x1  x2 2m; x1.x2 m  2 Do x2 nghiệm (1) nên x2  2mx2  m  0  x2 2mx2  m  2 Do 2mx1  x2  x1 x2  m  2m( x1  x2 )  x1 x2  2m  2m.2m  6( m  2)  2m  4m  8m  16 4( m  1)  12 12  M   24  12 Dấu “=” xảy  m 1 Dạng 2: Giải phương trình phương pháp nhẩm nghiệm Cách giải: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi-ét Bài 1: Xét tổng a  b  c a  b  c tính nhẩm nghiệm phương trình sau a) 15 x  17 x  0 c)   3 x 2 b) 1230 x  x  1244 0    x   0 d) Lời giải a  b  c 15  17  0  x1 1; x2  15 a) Ta có: 1234 a  b  c 0  x1  1; x2  1230 b) Ta có: c) Ta có: a  b  c 0  x1 1; x2    5x2    x  0 d) Ta có: a  b  c 0  x1  1; x2  5 Bài 2: Xét tổng a  b  c a  b  c tính nhẩm nghiệm phương trình sau a) x  x  0 b) 23x  x  32 0 c) 1975 x  x  1979 0 d) 31,1x  50,9 x 19,8 0 Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: a  b  c 0  x1 1; x2  a  b  c 0  x1  1; x2  a  b  c 0  x1 1; x2  32 23  1979 1975 198 a  b  c 0  x1 1; x2  311 d) Ta có: Bài 3: m   x   2m   x  m  0  Cho phương trình với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số m Lời giải a  b  c  m      2m    m  0  a) Ta có: thuộc vào m phương trình ln có nghiệm x 1 khơng phụ b) Với m 2 phương trình có nghiệm x 1 Với m 2 phương trình có hai nghiệm x 1 x m7 m Bài 4: 2m  1 x   m  3 x  6m  0 Cho phương trình  với m tham số a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm x  b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số m Lời giải x  2m  1    vào phương trình cho, ta có:  a) Thay Vậy x  nghiệm phương trình   m  3     6m  0 (đúng) m : phương trình có nghiệm x  b) Với  3m   x    2; m :   2m   phương trình có hai nghiệm Với Bài 5: 2 mx   m  1 x  m  13m  0 Cho phương trình (với m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại Lời giải Thay x  vào phương trình ta tìm m 1 m 2  x 8 x  x  16 0    x  - Với m 1 , ta có: 13  x  x  x  26 0    x  - Với m 2 , ta có: Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích Cách giải: Để tìm hai số x, y biết tổng S x  y tích P xy, ta làm sau Bước 1: Giải phương trình X  SX  P 0 để tìm nghiệm X , X Bước 2: Khi số x, y cần tìm x  X 1; y  X x  X ; y  X Bài 1: Tìm hai số u v trường hợp sau: 2 b) u  v 13; uv 6 a) u  v 15; uv 36 Lời giải 10