CHINH PHỤC hệ THỨC VIET

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET: TỪ LÝ THUYẾT ĐẾN BÀI TẬP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN A - HỆ THỨC VIÉT 1.Định lý Viét (thuận): Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 tổng tích hai nghiệm là: S = x1+ x2 = - b c vaø P = x1 x2 = a a Định lý Viét ( đảo): Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P u v hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = Ứng dụng định lý Viét: a) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai đơn giản; b) Tính nghiệm lại phương trình biết nghiệm nó; c) Tính hệ thức nghiệm mà không cần tính nghiệm pt; d) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm nó; e) Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn dấu nghiệm v v B– CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN VIÉT Dạng 1: NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH Có cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = : Cách : Nếu a + c + b = x1 = x2 = c ; a Cách : Nếu a + c - b = x1 = - x2 = - c ; a Cách : (Thường nhẩm a =1) Tính tổng S tích P suy hai nghiệm x1 , x2 Lưu ý: Trong cách cách 2, ta nên lấy a cộng với c trước, so sánh tổng (a+c) với b: + Nếu tổng (a+c) trái dấu với b dùng cách 1(cách cộng với b); +Nếu tổng (a+c) dấu với b dùng cách 2(cách trừ ñi b) TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 1 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 3x2 – 5x + = 0; b) 4x2 + 7x + = 0; 2 c) x2 – 3x – 10 = Giaûi a) 3x2 – 5x + = b) 4x2 + 7x + = 0; Ta thaáy a + c = + = b = -5 Ta thấy a+ c = + = coøn b = Do a + c + b = x1 = x2 = Do a + c – b = c = a x1 = -1 vaø x2 = - c =a c) x2 – 3x – 10 = Vì a c trái dấu nên pt có hai nghiệm trái dấu Theo Viet ta có: S = x1 + x = P = x1.x2 = b = – a c = a = =3 x1 = vaø x2 = -2 10 = -10 Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trìnnh sau: a) x2 - x + ( - 1) = 0; b) x2 + x + ( - 1) = 0; c) x2 – (3 + )x + = Giaûi a) x2 - x + ( - 1) = Ta thaáy: a + c = + ( - 1) = coøn b = - Do a + c + b = x1 = ; x2 = c = a -1 = -1 b) x2 + x + ( - 1) = ta thaáy a + c = + ( - 1) = b = Do a + c – b = x1 = -1 ; x2 = - c ( - 1) ==1a c) x2 – (3 + )x + = Theo Viét ta có : S = x1 + x2 = - b =a TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K (3 7) =3+ http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu P = x x2 = c a 3 = = x1 = vaø x2 = Dạng : KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM X1 VÀ X2 Bước : Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không (Pt có nghiệm Δ  Δ’ a c trái dấu) Bước : p dụng hệ thức Viét để tính tổng S tích P hai nghiệm Bước : Biến đổi biểu thức đề cho để xuất S P Bước : Thay giá trị S P vào để tính giá trị biểu thức Một số đẳng thức thường sử duïng: 1/ x12 + x22 = S2 – 2P ; 2/ (x1 – x2 )2 = S2 – 4P ; 3/ x13 + x23 = S3 – 3SP Ví dụ 1: Chứng mimh đẳng thức sau: 4P x1 x2 S S 4P neáu x1 x2 4) x12 - x22 = S S 1) x12 + x22 = S2 – 2P ; 2) (x1 – x2 )2 = S2 – 4P ; 3) x1 – x2 = S2 4P neáu x1 x2 S2 4P neáu x1 x2 5) x13 + x23 = S( S2 – 3P) ; Giải 1) x12 + x22 = S2 – 2P Biến đổi vế trái : x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2 ( thêm, bớt 2x1x2 ) = (x1 + x2 )2 = S2 – 2P = Vế phải (đpcm) – 2x1x2 ( x1+ x2 = S vaø x1x2 =P ) 2) (x1 – x2 )2 = S2 – 4P Vế trái = ( x1 – x2 )2 = x12 - 2x1x2 + x22 = [(x12 + x22) – 2x1x2 ] =[ (S2– 2P ) - 2P] =S2 – 4P= vế phải 3) x1 – x2 = S2 4P neáu x1 x2 S2 4P neáu x1 x2 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu Ta có (x1 – x2 )2 = S2 – 4P (chứng minh trên) x1 – x2 = 4) S2 S2 4P x1 x2 S2 4P neáu x1 x2 4P = 4P neáu x1 x2 S S 4P neáu x1 x2 x12 - x22 = S S Biến đổi vế traùi : x12 - x22 = (x1 + x2) (x1 – x2) = S( S2 4P ) = S S2 4P neáu x1 x2 S S2 4P neáu x1 x2 5) x13 + x23 = S3 – 3SP ; veá traùi = x13 + x23 = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22 ) = (x1 + x2)[(x12 + x22 ) – x1x2)] = S [ ( S2 – 2P ) – P ] = S [S2 – 3P ] = S3 – 3SP (đpcm) Ví dụ (Bài trang 90-SGK lớp 9): Không giải phương trình, tính tổng tích nghiệm phương trình: a) x2 – 14x + 33 = ; c) 3x2 + 5x + 61 = b) 6x2 -13x – 48 = ; d) x2 –x -2 – = Giaûi a) x2 – 14x + 33 = : a=1 Δ’= (b’)2 – ac b= -14 = (-7)2 – 33 b’ = -7 = 49 – 33 = 16 > c = 33 Vì Δ’> nên phương trình có nghiệm p dụng hệ thức Viét ta có: S = x1 + x = - b =a 14 = 14 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 4 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 5 c 33 P = x1.x2 = = = 33 a b) 6x2 -13x – 48 = Vì a c trái dấu nên phương trình có nghiệm Theo Viét ta có: S = x1 + x = P = x1.x2 = 13 13 b =-( )= a 6 c = a 48 c) 3x2 + 5x + 61 = Δ = b2 – 4ac a= = 52 – 4.3 61 b= c = 61 = 25 – 732 = - 707 < Vì Δ < nên phương trình vô nghiệm Do tổng tích nghiệm d) x2 –x -2 – = Ta thaáy a = > vaø c = -2 – = - (2 + ) < Vì a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm Theo Viét ta có : S = x1 + x2 =P = x1.x2 = b =- ( )= a c = = -2 – a Ví dụ 3: Cho phương trình 2x2 + 7x + = có x1, x2 nghiệm (với x1 > x2 ) Khoâng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau : 1 + ; x2 x1 b) x12 + x22 ; c) 1 + ; x2 x1 e) x13 + x23 ; f) x14 + x24 g) 1 + ; x2 x1 a) k) x13 d) (x1 - x2 )2 h) x12 - x22 x23 Giải TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Vì phương trình có hai nghiệm x1, x2 nên theo Viét ta có: S = x1 + x = a) 1 + x2 x1 b) x12 + x22 b =a vaø S x2 x1 = = P x1x2 = = S - 2P = 2 - 7 = 3 49 = d) x1 - x2 = S e) x13 + x23 4P = = S – 3SP = 2 49 = 49 37 S2 2P 1 x22 x12 c) + = = = : 2 P x1 x2 x2 x1 c = a P = x1.x2 = = : 2 6 = 12 37 37 37 37 : = = 4 49 = 343 24 63 25 343 126 217 f) x14 + x24 = (x12)2 + (x22)2 = (x12)2 + 2x12x22 + (x22)2 - 2x12x22 (thêm, bớt 2x12x22 ) = ( x12 + x22)2 – 2x12x22 = (S2 – 2P)2 – 2P2 (vì x12 + x22 = S2- 2P ) = S4 – 4S2P + 4P2 – 2P2 P = vào ta có: 2 = S4 – 4S2P + 2P2 Thay S = = = g) 7 2 2401 147 16 2 = 2401 16 1176 2401 = 16 16 S4 x24 x14 1 + = = x14 x24 x14x24 4S2P P4 2P2 = 72 16 1297 16 = 81 16 1297 1297 81 = : : 16 16 16 = TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K 49 1297 16 16 81 1297 81 http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu h) x12 - x22 =( x1 + x2 )( x1 - x2 ) = S S2 4P = 7 7 =- = 2 35 k) x13 x23 x13 = x23 x13x23 S3 3SP P 217 : =- =- 217 27 : 8 217 27 217 27 Dạng 3: TÍNH NGHIỆM CÒN LẠI KHI BIẾT MỘT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Cách giải: Bước 1: Dùng Viét tính S (hoặc P); Bước 2: Thay giá trị nghiệm biết vào đẳng thức S (hoặc P) để tìm nghiệm lại Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 + 5x – = có nghiệm Tính nghiệm lại Giải Cách 1: Theo Viét ta có: Thay x1 = vào ta b =2 a S = x + x2 = + x2 = 2 x2 = Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = Cách 2: Theo Viét ta có P = x1.x2 = Thay x1 = vào ta c a - = 2 = 2 vaø x2 = -3 3 x2 = 2 x2 = - 3 = -3 : = 2 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu 8 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = x2 = -3 Dạng : TÌM THAM SỐ ĐỂ THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Tính (hoặc ' ) Bước : Đặt điều kiện cho ( ’ ) để phương trình có nghiệm Bước 3: Dùng Viét để tính tổng S tích P nghiệm Bước : * Nếu đẳng thức đề cho bậc (x1 x2 có mũ 1) kết hợp đẳng thức với tổng S để hệ pt Giải hệ pt tìm x1, x2 Sau thay x1, x2 vừa tính vào P để tìm tham số * Nếu đẳng thức đề cho bậc trở lên biến đổi đẳng thức xuất S P Sau thay S P vào để tìm tham số Bước 5: Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm với điều kiện trả lời *Nếu bỏ bước ( bước đặt điều kiện để pt có nghiệm) sau tìm tham số phải thay giá trị tham số vào cho < (hoặc (hoặc ' ) Nếu giá trị tham số làm ’ < ) loại bỏ giá trị tham số Ví du 1ï: ( Bài Tr 96-SGK): cho phương trình x2 + 3x + m = 0, x1, x2 hai nghiệm phương trình Không giải phương trình, tìm giá trị m để : a) x1 – x2 = ; b) x12 + x22 = 34 ; c) x12 – x22 = 30 ; d) x1 = 2x2 e) 3x1 + 2x2 = 20 ; ; Giaûi = b2 - 4ac = 32 - 4.1.m = – 4m + Điều kiện : hay – 4m - 4m -9 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K m (hay m 2,25) http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu + Theo Viét ta có : c P = x1.x2 = cộng vế : a 2x1 m =m = a) Ta có hệ phương trình xx1 xx2 = 3 vaøo pt x1 + x2 = -3 + x2 = -3 Thay x1= (Tính theo Viet ) (theo đề cho) =3 x1 Thay x1= 9 b S = x + x2 = = - = -3 a x2 = -3 - =2 vaø x2 = - vaøo P = x1.x2 = m ta tìm m = 2 Vậy với m = 27 27 (thỏa mãn đk) pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức x1 – x2 = b) x12 + x22 = 34 x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2 = 34 (thêm, bớt 2x1x2 vào vế trái) ( x1 + x2)2 – 2x1x2 = 34 S2 – 2P = 34 Thay S = -3 vaø P = m vào ta : (-3)2 – 2.m = 34 – 2m = 34 Vậy với m =- m=- 25 (thỏa điều kiện) 25 x12 + x22 = 34 c) x12 – x22 = 30 ( x1 + x2 )( x1 – x2 ) = 30 -3 ( x1 – x2 ) = x1 – x2 = - (*) Ta có hệ phương trình x1 x1 x2 x2 (Tính theo Viet ) (theo * ) TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Giải hệ ta tìm x1 = -2 vaø x2 = -1 10 10 Thay x1 = -2 vaø x2 = -1 vaøo P = x1.x2 = m (-2)(-1) = m m = (thỏa điều kiện) Vậy với m = x12 – x22 = 30 d) x1 = 2x2 Ta có hệ phương trình xx1 x2 2x2 x1 x1 x2 2x2 Giải hệ (bằng phương pháp cộng thế)ta tìm x1 = -2 x2 =-1 Thay x1 = -2 vaø x2 =-1 vaøo P = x1.x2 = m ta coù: (-2).(-1) = m m = (thỏa đk) với m = phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức x1 = 2x2 e) 3x1 + 2x2 = 20 x1 x2 Ta cóhệ phương trình 3x 2x 20 2x1 3x1 x1 2x2 2x2 20 = 26 Thay x1 = 26 vaøo x1 + x2 = -3 26 + x2 = -3 x2 = -3 - 26 = -29 ( thỏa đk) thay x1 = 26 x2 = -29 vaøo P = x1.x2 = m 26.(-29) = m m = - 754 (thỏa đk) Vậy với m = - 754 pt có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức 3x1 + 2x2 = 20 Ví dụ 2: Xác định m để phương trình: x2 – mx + m + = có hai nghiệm thỏa hệ thức x12 + x22 = 10 Giải TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu + a=1 = b2 – 4ac b=-m = (-m)2 – 4.1.(m + 7) c=m+7 = m2 – 4m – 28 + Theo Vieùt ta coù : S = x1 + x2 = P = x1.x2 = c a = b m ==m a m =m+7 + Ta coù : x12 + x22 = 10 hay S2 – 2P = 10 Thay S = m vaø P = m + vào ta được: m2 - 2(m + 7) = 10 m2 – 2m – 14 = 10 m2 – 2m – 24 = Giải pt bậc hai có ẩn số m ta tìm m1 = m2 = - + Với m1 = = m2 – 4m – 28 = 62 – 4.6 – 28 = 36 – 24 – 48 = - 34 < (Pt vô nghiệm nên loại bỏ m1 = 6) Với m2 = - = m2 – 4m – 28 = (-4)2 – 4(-4) – 28 = 16 + 16 – 28 = > ( Pt có nghiệm) Vậy với m = - x12 + x22 = 10 Dạng : TÌM THAM SỐ KHI BIẾT MỘT NGHIỆM, TÍNH NGHIỆM CÒN LẠI Bước : Thay giá trị nghiệm biết vào phương trình để tìm tham số; Bước : Dùng Viét để tính tổng S (hoặc tích P ) hai nghiệm; TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 11 11 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu 12 12 Bước : Thay giá trị nghiệm biết tham số vào S (hoặc P) để tìm nghiệm lại * Sau xong bước 1, thay giá trị tham số vào phương trình, giải phương trình để tìm nghiệm lại Tuy nhiên, cách không đẹp Ví dụ : Với giá trị m phương trình x2 – 2(1 + 3m)x – 6m = (*) có nghiệm -2 ? Tính nghiệm lại Giải + Thay x1 = -2 vaøo pt (*) : x2 – 2(1+ 3m)x – 6m = (-2)2 – 2(1 + 3m).(-2) – 6m = + 4(1 + 3m) – 6m = + + 12m – 6m = + 6m = m= * Tính nghiệm x2 lại : (chọn cách sau): Cách 1: Theo Viét ta có S = x1 + x2 = Thay x1=-2 vaø m = - b a 2(1 3m) 2(1 3m) = + 6m vaøo x1 + x2 = + 6m ( -2) + x2 = + 6(- ) -2 + x2 = – x2 = - Cách 2: Theo Viét ta có P = x1.x2 = Thay x1=-2 vaø m = - vaøo c = a 6m = - 6m x1.x2 = - 6m (-2) x2 = -6(- ) -2x2 = TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K x2 = - http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu Trả lời: Vậy với m = - Pt(*) cho có nghiệm x1 = -2 x2 = - BẢNG XÉT DẤU CÁ0C NGHIỆM SỐ 1/ Nếu P < phương trình có nghiệm trái dấu: a) Nếu P < S > phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm dương lớn giá trị tuyệt đối nghiệm âm b) Nếu P < S < phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm 2) Nếu P > phương trình có nghiệm dấu: a) Nếu P > S > hai nghiệm dương b) Nếu P > S < nghiệm âm Cần nhớ: Vì P = c nên a c dấu a P >0, a c trái dấu P < Dạng : KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, XÉT DẤU CÁC NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = Bước : Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không (Pt có nghiệm Δ Δ’ a c trái dấu) Bước : Dùng Viét để tính tổng S tích P hai nghiệm (trong trường hợp có nghiệm) Bước : Dựa vào dấu S P) để xét dấu nghiệm số ( theo bảng xét dấu) Ví dụ: Không giải phương trình, xét dấu nghiệm phương trình: a) 2x2 – 7x + = ; b) 3x2 + 7x + = ; d) 9x2 + 6x + = ; e) 5x2 – 3x c) 5x2 + 3x + = 0 Giaûi a) 2x2 – 7x + = Δ = ( -7)2 – 2.3 = 49 – 24 = 25 > + Theo Viét ta có : S = x1 + x2 = - Pt coù nghiệm phân biệt b 7 == >0 a 2 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 13 13 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c P = x1.x2 = = > a Vì Δ > 0, P > S > nên pt có nghiệm dương b) 3x2 + 7x + = Δ = ( 7)2 – 4.3.1 = 49 – 12 = 37 > nên pt có nghiệm phân biệt Theo Viét ta có : S = x1 + x2 = - P = x1.x2 = c b =- 0 Vì Δ > 0, P > S < nên pt có nghiệm âm c) 5x2 + 3x + = Δ = ( 3)2 – 4.5.1 = – 30 = -21 < nên pt vô nghieäm d) 9x2 + 6x + = Δ’ = (3)2 – 9.1 = – = nên pt có nghiệm kép Theo Viét ta có : S = x1 + x2 = P = x1.x2 = c a b =- = 0 Vì Δ = 0, P > S < nên pt có nghiệm kép âm( nghiệm âm) e) 5x2 – 3x Vì a c trái dấu nên P < 0, pt có nghiệm trái dấu Vì S = x1 + x2 = - b =a = > nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn giá trị tuyệt đối nghiệm âm Dạng : TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG (HOẶC HIỆU HOẶC TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG) VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Cách 1: ( Dùng định lý Viét đảo) TRỌN BỘ WORD TỐN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 14 14 CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 15 15 Bước 1: + Nếu cho hai số có tổng S tích P hai số nghiệm phương trình x2 – Sx + P = + Neáu cho bieát hiệu (hoặc tổng bình phương) hai số tích chúng biến đổi hiệu (hoặc tổng bình phương) xuất tổng, tích áp dụng định lý Viét đảo để lập phương trình x2 – Sx + P = Bước 2: Giải phương trình x2 – Sx + P = để tìm nghiệm; Bước 3: Trả lời Cách : (Giải phương pháp thế): Bước 1: Tính (rút) ẩn từ tích vào tổng (hoặc rút từ tổng thay vào tích) để phương trình bậc hai ẩn Bước 2: Giải pt bậc hai ẩn để tìm nghiệm Bước 3: thay nghiệm vừa tìm vào pt rút (hoặc vào hai phương trình đề cho) để tìm giá trị ẩn Bước 4: Trả lời Ví dụ 1: ( Bài Tr 91- SGK lớp 9): Tìm hai số x, y trường hợp sau: a) x + y =11, xy = 28 ; b) x – y = 5, xy = 66 ; c) x2 + y2 = 25, xy = 12 Giaûi a) x + y =11, xy = 28 Cách 1: Theo Viét đảo hai số x y nghiệm phương trình: X2- 11X + 28 = Giải pt ta tìm nghiệm Vậy x = ; y = hoaëc x = ; y = Cách 2: Rút y từ pt : x + y = 11 y = 11- x Thay y = 11 – x vaøo pt : xy = 28 x(11 – x) = 28 x2 – 11x + 28 = Giải pt ta tìm x1 = x2 = TRỌN BỘ WORD TỐN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu + Thay x1 = vaøo pt: y = 11 – x ta tìm y1 = 4; 16 16 + Thay x2 = vaøo pt y = 11 – x ta tìm y2 = 7; Vậy x = ; y = x = ; y = b) x – y = 5, xy = 66 Caùch 1: x–y=5 (x – y)2 = 52 (x+ y)2 – 4.66 = 25 x2- 2xy + y2 = 25 (x + y)2 – 264 = 25 x2 + 2xy + y2 – 4xy = 25 (x + y)2 = 289 (x+ y)2 – 4xy = 25 x+y = 17 * Neáu x + y = 17 xy = 66 theo Viét đảo, x y hai nghiệm pt: X2 – 17X + 66 = Giải pt ta tìm X1 = 11 X2 = * Nếu x + y = -17 xy = 66 theo Viét đảo, x y nghiệm pt: X2 + 17X + 66 = Giải pt ta tìm X1 = - X2 = - 11 Vaäy x = 11; y = hoaëc x = - 6; y = - 11 Cách 2: Rút y từ phương trình x – y = y = x – (*) thay y = x – vaøo pt xy = 66 x( x – 5) = 66 x2 – 5x – 66 = Giải pt ta tìm x1= 11 vaø x2 = - + Thay x1 = 11 vaøo pt (*) : y = x - ta tìm y1 = 6; + Thay x2 = - vaøo pt(*) : y = x – ta tìm y2 = -11 Vậy x = 11; y = hoaëc x = - 6; y = - 11 c) x2 + y2 = 25, xy = 12 Caùch 1: x2 + y2 = 25 x2 + 2xy + y2 – 2xy = 25 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu (x + y)2 – 2xy = 25 ( x + y)2 – 2.12 = 25 17 17 (x + y)2 = 49 x+y= + Neáu x + y = xy = 12 theo Viét đảo, x y nghiệm pt: X2 – 7X + 12 = Giải pt ta tìm X1 = X2 = 3; + Nếu x + y = - xy = 12 theo Viét đảo, x y nghiệm pt: X2 + 7X + 12 Giải pt ta tìm X1 = - X2 = - Vậy x = 4; y = hoaëc x = - ; y = -3 ; Cách 2: (phương pháp thế) Rút y từ phương trình xy = 12 ta y = Thay y = 12 x 12 vaøo pt : x2 + y2 = 25 x 12 x + x 2 x2 + = 25 144 = 25 x2 x4 + 144 = 25x2 x4 – 25x2 + 144 = (*) đặt x2 = M ( M 0) pt (*) trở thành M2 – 25M + 144 = Giải pt ta tìm M1 = 16 ( thỏa đk) M2 = (thỏa đk) Thay M1 = 16 vaøo x2 = M x2 = 16 x= 16 = Thay M2 = vaøo x2 = M x2 = x= = + Lần lượt thay x1 = 4, x2 = -4, x3 = 3, x4 = -3 vaøo y = 12 ta tìm y1 = 3, x y2 = -3, y3 = 4, y4 = - Vậy hai số x, y cần tìm là: - -3 TRỌN BỘ WORD TỐN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 18 18 Ví dụ 2: Tìm hai cạnh hình chữ nhật biết chu vi 22m diện tích 28 m2 Giải Gọi u v hai cạnh hình chữ nhật (u > 0, v > 0), ta coù : S = u + v = 11 P = u.v = 28 Theo Viét đảo u v nghiệm phương trình : x2 – 11x + 28 = Giải pt ta tìm x1 = = u x2 = = v Vậy hai cạnh hình chữ nhật 4m 7m Dạng : TÌM THAM SỐ ĐỂ THỎA MÃN DẤU CÁC NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = Bước 1: Tính (hoặc ’) Bước 2: Dùng Viét để tính tổng S tích P nghiệm Bước : * Phương trình có nghiệm trái dấu P < 0; * Phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm dương lớn giá trị tuyệt đối nghiệm âm P S TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ET Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu 19 19 * Phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm P S * Phương trình có hai nghiệm dấu (hoặc * Phương trình có hai nghiệm dương * Phương trình có hai nghiệm âm (hoặc P ' ' 0) 0) P S 0 (hoaëc ' 0) P S ví dụ 1: Xác định m để phương trình x2 – 3x + m – = a) Có nghiệm dương phân biệt; c) Có nghiệm âm phân biệt; b) Có nghiệm dương nhau; d) Có nghiệm trái dấu; Giaûi = (-3)2 – 4.1(m – 1) = – 4m + = 13 – 4m S = x1 + x = - b == 3; a a = m 1 P S a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 13 m c P = x1.x2 = = m-1 13 4m m m 0 Vậy giá trị m làm cho pt có nghiệm âm d) Pt có nghiệm trái dấu P