hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh đại học gần đây theo chiều hướng khó dần lên. Nó có những bài toán không đơn giản đối với học sinh dự thi tuyển sinh đại học. Mà trong khung cấu trúc đề thi của Bộ giáo dục và Đào tạo, cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn. Mang trong nó nhiều kỹ năng tính toán và phương pháp giải không đơn thuần như hầu hết chúng ta đã học ở hệ phương trình lớp 10.Do đó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn đề then chốt. Những vấn đề có thể nói là chuyên đề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh đại học. Cũng chính vì điều này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở đơn giản trước đây chúng tôi không trình bày ở đây. Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai đối với ẩn. Mà nó được xem kẻ vào những bài toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày. Bởi sau khi dùng những phép biến đổi mà các em sắp được học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình đơn giản hơn rất nhiều mà tất cả chúng ta đều có thể giải được.
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 2 xy x + − 16 = y − y x + Câu 1: Giải hệ phương trình 2 + y x − = xy − 12 y + x − Lời giải ĐK: x ≥ (*) Nhận thấy y = không thỏa mãn (1) Với y ≠ (1) ⇔ x x + − Đặt u = x + 4, v = 16 = − x + y3 y ⇒ 2u ( u − ) − 2v3 = v − 9u ⇔ 2u + u = 2v + v y ⇔ ( u − v3 ) + ( u − v ) = ( u − v ) ( u + uv + v ) + 1 = ⇔ ( u − v ) ( u + v ) + u + v + 1 = ⇔ u = v 2 ⇒ x+4 = ⇒ y = y x+4 Thế vào (2) ta + x − 2 = x − 12 +4 x−4 x+4 x+4 x+4 ⇒ x + + x − = x − 12 + ( x + )( x − ) (3) Đặt t = x + + x − ≥ = 2 ⇒ t = x + x − 16 t = Khi (3) thành t = t − 12 ⇔ t − t − 12 = ⇔ t = −3 Kết hợp với t ≥ 2 ta t = thỏa mãn ⇒ x + + x − = x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 x + x − 16 = 16 x + x − 16 = x − 16 = − x 4 ≤ x ≤ 4 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x = ⇒ y = thỏa mãn hệ cho ⇔ 64 − 16 x = −16 x − 16 = ( − x ) 2 Đ/s: ( x; y ) = 5; 3 xy 3 + x − = y − y 3 + x Câu 2: Giải hệ phương trình 15 y − xy + y − x = + − x Lời giải ĐK: −3 ≤ x ≤ (*) Nhận thấy y = không thỏa mãn (1) Với y ≠ (1) ⇔ x + x − = − + x y3 y Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt u = + x , v = Facebook: LyHung95 ⇒ u ( u − ) − v = 3v − 6u ⇔ u + 3u = v3 + 3v y ⇔ ( u − v3 ) + ( u − v ) = ⇔ ( u − v ) 3 ( u + uv + v ) + 3 = v 9v ⇔ ( u − v ) 3 u + + + 3 = ⇔ u = v 2 1 ⇒ 3+ x = ⇒ y = y 3+ x 15 3x 3− x − + = 3+ 3− x 3+ x 3+ x 3+ x Thế vào (2) ta ⇒ 15 − 3x + − x = 3 + x + ⇔3 ( ( + x )( − x ) ) + x − − x = 15 − x − Đặt t = + x − − x ⇒ t = + x + ( − x ) − ⇒ 15 − 3x − t = Khi (3) thành 3t = t ⇔ t = ( + x )( − x ) (3) ( + x )( − x ) ( + x )( − x ) = t (4) Với −3 ≤ x ≤ ⇒ t = + x − − x ≤ + + < Do (4) ⇔ t = ⇒ + x − − x = ⇔ + x = − x −3 ≤ x ≤ 30 −3 ≤ x ≤ thỏa mãn hệ cho ⇔ ⇔ ⇔x= ⇒ y= 12 3 + x = ( − x ) 5x = 30 Đ/s: ( x; y ) = ; 12 x3 − y + y − 12 x − 16 = Câu 3: Giải hệ phương trình 2 x − x − y − y − y + 10 − x = Lời giải: ĐK: −2 ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ Xét PT(1) ta có: x − 12 x = y − y + 16 ⇔ x3 − 12 x = ( y − ) − 12 ( y − ) Do −2 ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ nên x; y − ∈ [ −2; 2] Xét hàm số f ( t ) = t − 12t ( t ∈ [ −2; 2]) ta có: f ( t ) = t − 12t Lại có: f ' ( t ) = 3t − 12 ≤ ∀t ∈ [ −2; 2] hàm số nghịch biến [ −2; 2] Do f ( x ) = f ( y − ) ⇔ x = y − vào PT(2) ta có: PT ( ) ⇒ x − x − − x − 3x − x + = ⇔ ( x − 3) − x = x + 3x − Đặt u = − x ≥ ta có: u + ( x − 3) u − 3x = ⇔ u ( x + u ) − ( x + u ) = u = ( ) ⇔ ( u − 3)( x + u ) = ⇔ x = −u = − − x x ≤ ⇔ x = − ⇒ y = 2− Với x = − − x ⇔ 2 x = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Facebook: LyHung95 ) Vậy HPT cho có nghiệm là: ( x; y ) = − 2; − ( ) x3 − x + y − + y = y Câu 4: Giải hệ phương trình x − x − y − y = x + y − Lời giải: ĐK: x ∈ [ −1;1] ; y ∈ [ 0; 2] Khi xét PT(1) ta có: x3 − x = y − y − y + ⇔ x − x = ( y − 1) − ( y − 1) Do y ∈ [ 0; 2] ⇒ ( y − 1) ∈ [ −1;1] Xét hàm số: f ( t ) = t − 4t ( t ∈ [ −1;1]) ta có: f ' ( t ) = 3t − < ∀t ∈ [ −1;1] Khi ta có : f ( x ) = f ( y − 1) ⇔ x = y − vào PT(2) ta có: PT ( ) ⇒ x − x − − x = x + x − Đặt u = − x ta có: ( x − 1) u = x + x − u ⇔ u + x + x − ux − u = ⇔ ( u + x ) + ( x + u )( x − u ) = − x = −2 x ⇔ ( u + x )( x − u + 1) = ⇔ x + = − x x ≤ −1 ⇔x= ⇒ y = 1− Với − x = −2 x ⇔ 5 5 x = x ≥ −1 x = 0; y = ⇔ Với x + = − x ⇔ x = −1; y = 2 x + x = −1 Vậy nghiệm PT là: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( −1; ) ; ;1 − − x ( x − 1) + y = y − Câu 5: Giải hệ phương trình 2 3 x x − − y − y + x − x = Lời giải : ĐK : ≥ x ≥ 3; y ∈ [ 0; 2] Ta có : Khi : PT (1) ⇔ (4 − x) − x ∈ [ 0;1] ; ( y − 1) ∈ [ −1;1] − − x = y − y + = ( y − 1) − ( y − 1) Xét hàm số: f ( t ) = t − 3t ( t ∈ [ −1;1]) ta có: f ' ( t ) = 3t − < ∀t ∈ [ −1;1] Khi ta có : f ( y ≥1 − x = f ( y − 1) ⇔ − x = y − ⇔ vào PT(2) ta có: 3 − x = y − y ) PT ( ) ⇒ x x − − x − + x − x − = ⇔ ( x − ) x − + x − x − = Đặt t = x − ( t ≥ ) ta có: ( 3x − ) t + x − x + t = ⇔ 3xt + x + t − ( t + x ) = x − = −t = − x − (*) ⇔ ( x + t )( x + t ) − ( x + t ) = ⇔ ( x + t − )( x + t ) = ⇔ x + x − = ( loai ) 13 x ≤ Khi đó: (*) ⇔ − x = x − ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 1+ 2 4 x − 29 x + 52 = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 3 Vậy nghiệm HPT là: ( x; y ) = ;1 + 4 x + y − x − y = 4x − y Câu 6: Giải hệ phương trình x − = y − x + − Lời giải: Đk: x ≥ y ≥ 0; x ≥ 3; x ≥ y; x − 3y + ≥ Khi ta có: (1) ⇒ x − x − y = x − y ⇔ y − x = x − y y = ⇒ x = ( loai ) y ≥ 2x y ≥ 2x ⇔ ⇔ ⇔ 2 4 x − xy + y = x − y 4 y + y = xy y = 4x − x2 − = x −1 − Với y = x − vào PT(2) ta có: ⇔ x −9 −4 = ( x −1 − Xét (*) với x ≥ ta có: ) x = ⇔ x+5 = x −1 + x − + x −1 + ( x + )( x − 5) = ( x − ) ⇔ x2 − + x+5 x2 − + ≥ x+5 >1> x+4 ( *) x −1 + Do PT(*) vô nghiệm Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 5;16 ) 4x − y = x + y − x − y Câu 7: Giải hệ phương trình ( y + y + ) x ( y + 1) + = x3 − x − x − 17 Lời giải: ĐK: x ≥ y ≥ 0; x ( y + 1) + ≥ 0; x ≥ y y = 0; x = ( loai ) y ≥ x Ta có: PT (1) ⇔ x − y = x − x − y ⇔ y − x = x − y ⇔ ⇔ y + y = xy y + = 2x Với y + = x vào PT(2) ta có: ( x + 1) x + = x − x − x − 17 ⇔ ( x + 1) ( ) x + − x − + 3x − x ( 4x − 16 = ⇔ + 1)( x − x ) MS1 + ( x − ) ( 3x + x + 8) = x3 + x ⇔ ( x − 2) + 3x + x + = ⇔ x = ⇒ y = ( tm ) ( x ≥ ) MS1 Vậy HPT có nghiệm là: ( x; y ) = ( 2;3) 4x − y − = x + y + − x − y +1 Câu 8: Giải hệ phương trình y − x + + y − x + = 21 y − 17 Lời giải: 17 ĐK : y ≥ ; x ≥ y + 1; x ≥ y + 1; y − x + ≥ 21 Ta có: PT (1) ⇔ x − y − = x − x − ( y + 1) ⇔ y − x + = x − ( y + 1) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 y + = ( loai ) ⇔ ( y + 1) − x ( y + 1) + x = x − ( y + 1) ⇔ y + − x = −4 ⇔ y = x − Với y = x − vào PT(2) ta có: y − y + y − y + − 21 y − 17 = ⇔ ( ) ( ) y − y + − y − + y − − 21 y − 17 + ( y − y + ) = y2 − y + ( y − y + 2) ⇔ + + ( y2 − y + 2) = MS1 MS y = 1; x = ⇔ ( y − y + 2) + + 1 = ⇔ (t / m ) y = 2; x = MS MS 2 Vậy HPT cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;1) ; ; y 1+ y = − x − x +1 y Câu 9: Giải hệ phương trình ( x + 1) y + = ( x + 1) y + Lời giải: Điều kiện: x ≠ −1; y > Từ phương trình ( ) ta có y + − = ( x + 1) y ⇔ 8y + 8y + + = ( x + 1) y ⇒ x + > Phương trình (1) hệ phương trình cho tương đương x+ 1 + xy + y = 1+ y y + xy + y + xy + y = + ⇔ = ⇔ 2 y y ( x + 1) x + ( x + 1) y = ( x + 1) Với + xy + y = ⇔ + y ( x + 1) = (loại) Với y = ( x + 1) ⇒ x + = 8y + = y thay vào phương trình ( ) hệ phương trình ta có y = ⇒ x = −1 y y + ⇔ y + = y + ⇔ y + = ( y + 2) ⇔ y − y − = ⇔ y = −1( l ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( − 1;5 ) xy − 1 2y − = − y +1 ( x + 1) Câu 10: Giải hệ phương trình x + y + = ( x + 1) y + + Lời giải Điều kiện: x ≠ − ; y > −1 Từ phương trình ( ) ta có y + − = ( x + 1) y + ⇔ 2y + 2y + +1 = ( x + 1) y + ⇒ x + > Phương trình (1) hệ phương trình cho tương đương Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 xy + y + = 2y xy − xy + y + xy + y + + = + ⇔ = ⇔ 2 x + ( x + 1)2 y +1 y +1 ( x + 1) y + = ( x + 1) Với xy + y + = ⇔ y ( x + 1) + = (loại) Với y + = ( x + 1) ⇔ x + = 2y + = y + thay vào phương trình ( ) hệ phương trình ta có y + y + + ⇔ y + = y + ⇔ y + = ( y + 2) ⇔ y = ⇔ y = ⇒ x = 2 −1 −1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ;1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ...Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt u = + x , v = Facebook: LyHung95 ⇒ u ( u − ) − v = 3v − 6u ⇔ u + 3u = v3 + 3v y ⇔ ( u − v3 ) + ( u − v ) = ⇔ ( u − v ) 3... thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Facebook: LyHung95 ) Vậy HPT cho có nghiệm là: ( x; y ) = − 2; − ( ) x3 − x + y − + y = y Câu 4: Giải hệ... kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 3 Vậy nghiệm HPT là: ( x; y ) = ;1 + 4 x + y − x − y = 4x − y Câu 6: Giải