Thông tin tài liệu
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHIÊN BẢN 2.0 GIA ĐÌNH LOVEBOOK biên soạn Anh em tham gia: Bùi Văn Cường, Lương Văn Thiện, Nguyễn Xuân Tùng, Mai Văn Chinh, Phan Ngọc Đức, Lê Nhất Duy, Đinh Thị Thu Hà, Ngô Lương Thanh Trà, Ngô Lương Thanh Trà, Hoàng Trung Hiếu Một số thông tin phiên 2.0: Số trang: 500 trang khổ A4 (phiên 1.0 – 368 trang) Ngày phát hành: 25/09/2015 _ Đặt trước sách Lovebook phiên 2.0: https://goo.gl/XeHwk5 Giải đáp thắc mắc sách Lovebook: http://goo.gl/A7Dzl0 Tài liệu Lovebook chọn lọc:http://goo.gl/nU0Fze Kênh giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn LỜI NÓI ĐẦU Các bạn cầm tay sách tham khảo luyện thi Đại Học – Cao Đẳng phần Hệ Phương Trình! “Vâng, lại Hệ phương trình nữa!” Tôi chắn có không bạn, chí phần lớn bạn học sinh có suy nghĩ cầm sách tay! Thực suy nghĩ đúng; lý thị trường nay, có nhiều, tìm đâu thấy có sách tham khảo phần Hệ Phương Trình luyện thi Đại Học – Cao Đẳng Và chất lượng sách có nhiều sách nên sách có chất lượng bình bình với Nhưng, xin nhấn mạnh điều bạn không nên coi sách giống sách khác Nói làm nhiều, xin mời bạn theo dõi đánh giá tập ví dụ mẫu sau Bài tập trích đề thi Đại Học khối A năm 2014 Bài giải tập hợp tất tâm lực Bạn nhận khác biệt nằm x√12 − y + √y (12 − x ) = 12 (1) { x − 8x − = 2√y − (2) Hướng dẫn: Bài toán có phương trình gây nhiều ý, phương trình (1) Các số 12 xuất nhiều lần phương trình (1) ngẫu nhiên, mà vị trí xuất chúng kèm với dấu + Do chắn phải xử lý phương trình (1) trước; sau thay kết thu từ phương trình (1) vào phương trình (2) Xử lý phương trình (1) Một lời khuyên là: bế tắc phương trình, nghĩ đến Bất đẳng thức! Và nghĩ đến Bất đẳng thức, nhanh chóng nhận thấy cách giải phương trình (1) xuất Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Với bạn có kiến thức Bất đẳng thức mức khá, không khó để nhận sử dụng Bất đẳng thức vào phương trình (1), ta thấy kết mà thông qua bước biến đổi lắt léo Cụ thể biến đổi: [√12 − y x + √y (12 − x )] ≤ (x + 12 − x )(12 − y + y) = 144 ⇒ x√12 − y + √y (12 − x ) ≤ 12 Vậy dấu “=” phải xảy ra! Phương trình (1) giải dòng! Các bạn tìm dạng tổng quát Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki phương pháp đánh giá Phương pháp tọa độ Cách 2: Từ kết cách 1, dựa vào điều kiện xảy dấu “=”, tiến hành nắn để sử dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm Cụ thể biến đổi: x2 12 y x 12 y x 12 y ⇒ x√12 − y + √y (12 − x ) ≤ 12 y 12 x y 12 x2 Do đó, dấu “=” phải xảy Cách giải dễ hiểu Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Để tạo đồng bậc thành phần phương trình (1), tiến hành phép đặt ẩn phụ a = √12 − y Khi y = 12 − a2 , khớp với √12 − x Và tiến hành đặt ẩn phụ không hoàn toàn, lại cách xử lý bình phương lên để khử căn, tiến hành biểu diễn ẩn qua Phương trình (1) trở thành: x a + √(12 − x )(12 − a2 ) = ⇔ √(12 − x )(12 − a2 ) = 12 − xa Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn 12 ≥ x a (12 − x − a2 ) = (12 − xa)2 12 ≥ x a xa ≤ 12 ⟺{ ⟺{ (x − a)2 = x=a x>0 ⇒ x = √12 − y ⇒ { x = 12 − y Cách giải góp mặt môt yếu tố cao siêu hai cách đầu Tuy nhiên để có ⇔{ )(12 thể nhìn “đẳng cấp” x √12 − y dễ dàng Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp - TH1: Nếu x √12 − y = √(12 − x )y; từ phương trình (1) ta suy ra: x>0 x>0 x √12 − y = √(12 − x )y = ⇔ {x (12 − y) = 36 ⟺ { x =y=6 y(12 − x ) = 36 Thử lại không thỏa mãn phương trình (2) - TH2: Với x √12 − y − √(12 − x )y ≠ 0; Nhân vế phương trình (1) với x √12 − y − √(12 − x )y ta được: [x √12 − y + √(12 − x )y] [x √12 − y − √(12 − x )y] = 12 [x √12 − y − √(12 − x )y] ⇔ x (12 − y) − (12 − x )y = 12 (x √12 − y − √(12 − x )y) ⇔ x − y = x √12 − y − √(12 − x )y (3) Kết hợp (1) (3) ta có: x y 12 x 12 y x 2 y 12 x (12 x )y 12 y x Cách xử lý có lẽ nghĩ đến, khó định hình tạo hệ phương x√12 − y trình với hai ẩn { √(12 − x )y Xử lý phương trình (2) Sau xử lý xong phương trình (1) số cách giải trên, kết thu là: y = 12 − x Đem vào phương trình (2), thu phương trình vô tỉ không dễ nhìn: x − 8x − = 2√10 − x Đến đây, tiến hành “ép nghiệm” để giải toán Ngoài ta giải toán cách “khảo sát hàm số”; cách trình bày phần sau: x − 8x − = 2√10 − x ⇔ (x − 8x − 3) − (2√10 − x − 2) = ⇔ (x − 3) [x + 3x + + Do x ≥ nên x + 3x + + 2(x + 3) √10 − x + 2(x + 3) ]=0 >0 √10 − x + Vậy toán giải hoàn toàn nhiều hướng suy nghĩ hoàn toàn khác Bài giải chi tiết Biến đổi phương trình (1) Cách 1: Bất đẳng thức Cô-si: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm ta có: x + 12 − y x√12 − y ≤ |x|√12 − y ≤ Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn y + 12 − x 2 Cộng theo vế bất đẳng thức lại, ta có: √y (12 − x ) ≤ x + 12 − y y + 12 − x + = 12 2 x = |x| x≥0 Dấu xảy khi: { ⟺{ y = 12 − x x = 12 − y Cách 2: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: x√12 − y + √y (12 − x ) ≤ [√12 − y x + √y (12 − x )] ≤ (x + 12 − x )(12 − y + y) = 144 ⇒ x√12 − y + √y (12 − x ) ≤ 12 Dấu"=" xảy khi: x √12 − y ⟺ x√y = √(12 − x )(12 − y) y √12 − √ x≥0 x≥0 ⇔{ ⟺{ x y = (12 − x )(12 − y) y = 12 − x Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: x2 = Đặt a = √12 − y, ta có: x a + √(12 − x )(12 − a2 ) = 12 ⇔ √(12 − x )(12 − a2 ) = 12 − xa 12 ≥ x a ⇔{ (12 − x )(12 − a2 ) = (12 − xa)2 12 ≥ x a x a ≤ 12 ⇔{ ⟺{ (x − a)2 = x=a x>0 ⇒ x = √12 − y ⇒ { x = 12 − y Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp: - TH1: Nếu x √12 − y = √(12 − x )y Từ phương trình (1) ta suy ra: x √12 − y = √(12 − x )y = x>0 x>0 ⇔ {x (12 − y) = 36 ⟺ { x =y=6 y(12 − x ) = 36 Thử lại không thỏa mãn phương trình (2): - TH2: x √12 − y − √(12 − x )y ≠ Nhân vế phương trình với x √12 − y − √(12 − x )y ta được: [x √12 − y + √(12 − x )y] [x √12 − y − √(12 − x )y] = 12 [x √12 − y − √(12 − x )y] ⇔ x (12 − y) − (12 − x )y = 12 [x √12 − y − √(12 − x )y] ⇔ x − y = x √12 − y − √(12 − x )y (3) Kết hợp (1) (3) ta có: x − y + 12 x√12 − y = x≥0 2 ⟺ {y = 12 − x 12 + y − x {√(12 − x )y = Biến đổi phương trình (2) Thay y = 12 − x vào phương trình (2) ta được: x − 8x − = 2√10 − x Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn ⇔ (x − 8x − 3) − (2√10 − x − 2) = ⇔ (x − 3) (x + 3x + + Do x ≥ nên x + 3x + + 2(x + 3) √10 − x + 2(x + 3) )=0 >0 √10 − x + Suy x = Từ suy y = Thay vào thỏa mãn đề Vậy x = y = x=3 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=3 Nguồn gốc: Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng, toán ta dựa tinh thần việc sử dụng Bất đẳng thức; bắt nguồn ý tưởng từ cách khó lòng mà chỉnh cho tạo kết ý muốn Vậy theo dõi xong Suy nghĩ bạn cảm thấy nào? Quyển sách khác sách khác Hệ phương trình mà bạn đọc qua điểm nào? Những điều hẳn người có câu trả lời cho riêng Và xin nói với bạn rằng, bạn cầm sách lên tay, có nghĩa bạn có duyên với sách, không nên lãng phí duyên nợ Tôi tin bạn không cảm thấy thất vọng trình sử dụng sách sách làm bạn thất vọng trước đây! Các bạn coi người bạn vô hình để đường, dẫn lối cho bạn bạn gặp phải vướng mắc trình sử dụng sách! Quyển sách trình bày đa số tập theo khung mẫu: Đề – Hướng dẫn – Bài giải chi tiết – Nguồn gốc Các tập sách nêu rõ nguồn gốc xuất xứ để tạo (nếu có) Việc có tác dụng trình luyện thi? Chúng định hướng lời giải trước phần Hướng dẫn, sau tiến hành giải chi tiết toán phần Bài giải chi tiết, cuối nêu Nguồn gốc cách để tạo toán Tác dụng phần Nguồn gốc lớn nhiều so với phần Bài giải chi tiết; biết nguồn gốc xuất xứ cách tạo toán, bạn giải toán cách chuẩn xác, mà hiểu rõ chất toán tạo vô số toán tương tự khác để phục vụ luyện tập thêm Đôi bạn biến tấu thành phần trình tạo toán để tạo toán có hình dạng khác so với toán ban đầu; điều có tác dụng lớn để hình thành phản xạ giải toán thân bạn Bạn không thấy bỡ ngỡ người đề biến đổi đôi chút đề cũ; bạn “đi guốc bụng” họ Về cách sử dụng sách cho đạt hiệu cao có thể, xin nêu cách thức sử dụng sách này, bao gồm hai loại hình Cá nhân Nhóm! Các bạn tham khảo tự tìm cho cách sử dụng sách cho hiệu thân Về mặt cá nhân: Bạn nên đọc qua hết phần lý thuyết nêu đầu phương pháp Khi nghiên cứu ví dụ, bạn không nên xem phần diễn thuyết bên đề bài, việc làm làm hạn chế tư bạn bạn làm dụng vào lời giải Bạn nên nháp để tìm lời giải cho riêng mình, tốt lời giải bạn tự thân nghĩ ra! Khi không nghĩ lời giải cho riêng mình, bạn xem phần Hướng dẫn Bạn nên xem từ từ, vừa xem vừa nghĩ xem suy nghĩ bị mắc chỗ mà giải được; suy nghĩ bạn bị mắc chi tiết mà nêu phần hướng dẫn Sau đọc xong phần hướng dẫn, thay đọc tiếp Bài giải chi tiết, bạn nên tự tìm lời giải cho toán tinh thần đọc hiểu phần Hướng dẫn Khi gặp vướng mắc trình trình bày lời giải, bạn xem phần Bài giải chi tiết Phần nên xem từ từ xem mắc chỗ Sau tiếp thu lời giải chuẩn toán, bạn nên tự trình bày lại lời giải toán theo ý mình; tự tìm cho cách giải khác cho toán Nếu bạn tìm điều đáng quý! Cuối cùng, trình bày xong, bạn nên suy nghĩ xem “do đâu mà lại có toán vậy, người đề tạo toán nào, liệu tạo toán tương tự biến thể khác không,….?”! Rồi bạn trình bày suy nghĩ bạn toán chỗ riêng Sau xong (hoặc chưa nghĩ nguồn gốc), bạn xem phần Nguồn gốc nêu sau toán để xem suy nghĩ có giống không! Bạn tiếp thu thêm khía cạnh nguồn gốc mà nêu ra, có số khía cạnh khác nguồn gốc toán mà bạn lại tự tìm được! Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn - Về mặt nhóm: Các bạn tự lập cho nhóm bạn sử dụng sách để luyện tập thêm nhiều (lợi ích lề rèn khả làm việc nhóm) Các bạn sử dụng sách này, bạn phải hoàn thành phần “cách thức sử dụng theo cá nhân” mà trình bày Sau đó, bạn tạo nhiều đề tương tự kèm biến thể bạn tùy chỉnh, gửi cho làm; người làm ví dụ người khác đặt Càng nhiều người có nhiều biến thể xuất Và đương nhiên không nên biến thể toán thành “quá khích” mà biến thành đánh đố! Điều chút tác dụng việc luyện tập, dễ gây tâm lý sợ sệt giải toán! Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief Allow life to replenish you When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void Sự mát khiến trống rỗng - học cách không để đau khổ đóng lại trái tim tâm hồn Hãy để đời đổ đầy lại bạn Dưới đáy u sầu, dường điều - niềm vui chờ đợi để lấp đầy khoảng trống _Pam Brown _ Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, kết thúc giọt nước mắt _Khuyết danh _ Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Phản xạ hệ phương trình Cuốn sách đúc kết nhiều kinh nghiệm, kỹ tất “mẹo” anh chị sau nhiều năm gắn bó với HPT Đây có sách HPT hay, đầy đủ, chi tiết mang nhiều tâm huyết tình cảm người viết Nhưng phương pháp phân tích, trình bày đây, gặp HPT hẳn thật khó khăn để lựa chọn phương pháp để sử dụng Đầu tiên giải toán giải toán cách thật “đẹp” Chính lí ấy, viết nhằm cung cấp cho em cách nhìn tổng quan nhất, lối tư logic tìm kiếm lời giải cho HPT Bài viết nhằm hướng dẫn cho em cách quan sát, tư đưa nhận định, đánh giá rút chìa khóa toán Do viết chưa thực đầy đủ phương pháp (PP) Vì em tự rèn luyện để hình thành “PHẢN XẠ” nhanh đầy đủ riêng mình! Bài viết gồm phần: A Điểm lại số phương pháp thường dùng đề thi Đại Học, Học Sinh Giỏi B Tư giải Hệ Phương Trình A Tổng quan số phương pháp giải hệ phương trình Trong đề thi đại học có số PP thường gặp: - Phân tích thành nhân tử - Đặt ẩn phụ - Hàm số Vì số phương pháp phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ… đề cập đến chi tiết sách hầu hết tài liệu Phương trình, Hệ phương trình quen thuộc Cùng với xu hướng đề thi “ưu ái” cho phương pháp hàm số nên xin trình bày số điểm ý phương pháp khác tập trung kĩ phương pháp hàm số Phân tích thành nhân tử Chỉ xin đề cập tới phương pháp thường gặp nhất: - Phương pháp nhẩm nghiệm, đặc biệt dùng máy tính để nhẩm nghiệm trình bày phần Phụ lục 2: Hướng tư PNĐ - Phương pháp dùng phương trình bậc để giải Hệ phương trình: Đây phương pháp hữu ích Hệ phương trình mức độ thi đại học * Đặc điểm nhận dạng: Khi Hệ phương trình có xuất phương trình bậc với ẩn (giả sử ẩn x), ta xem phương trình bậc ẩn x, tham số y giải bình thường phương trình bậc Lưu ý: Nếu tính ∆ mà không biểu diễn dạng bình phương phương pháp không dùng I xy + x − = (1) (D–2012) Giải hệ phương trình: { 2x − x y + x + y − 2xy − y = 0(2) Nhận thấy phương trình (1) bậc với x y, phương trình (2) bậc với x, bậc với y Do xem (2) phương trình bậc với y, x tham số: (2) ⇔ y − (x + 2x + 1)y + (2x + x ) = Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn ∆= (x + 2x + 1)2 − (2x + x ) = (−x + 2x + 1)2 Do PT (2) có nghiệm: [ y = x2 y = 2x + xy + x − = x=1 x3 + x − = + Với y = x hệ phương trình cho tương đương với: { ⇔ ⇔{ { 2 y=1 y=x y=x + Với y = 2x + hệ phương trình cho tương đương với: −1 + √5 x= { 2 xy + x − = y = √5 (2x + 1)x + x − = 2x + 2x − = ⇔{ ⇔{ ⇔ { y = 2x + y = 2x + y = 2x + −1 − √5 x= { y = −√5 [ x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y x ; 1 y 5 ; x y Đây cách xử lý mà muốn nói đến ví dụ phần Phân tích thành nhân tử - Nhân liên hợp – Hằng đẳng thức Các bạn tham khảo hướng xử lý khác Đặt ẩn phụ Phương pháp quen thuộc, đặc biệt ý đến Phương pháp chia để làm xuất ẩn phụ: Kĩ thuật có số dấu hiệu nhận dạng phương trình có tích xy, x y , f(x)g(y) … nhiên tất dấu hiệu không đặc trưng mà chủ yếu dựa kinh nghiệm tư người giải Do tự làm số ví dụ rút kinh nghiệm cho mình: 1) { x + + y(y + x) = 4y (x + 1)(y + x − 2) = y x(x + y + 1) − = (D − 2009) 3) { (x + y)2 − + = x + x y = 19x 2) { y + xy = −6x (x − 2x + x )(1 + y − 2y) = 16y 4) { 2x y − 2xy + y − 10y + = Cách xác định biểu thức đem chia giới thiệu Phương pháp Đặt ẩn phụ Hàm số *Cơ sở lý thuyết: Với f(x) g(x) hàm số liên tục 𝔻 ta có: Hàm số f(x) đơn điệu 𝔻 thì: +) f(x) = a có không nghiệm 𝔻 (nếu f(α) = a x = α (α ∈𝔻)) +) f(u) = f(v) u = v ∀ u, v ∈ 𝔻 f(x) g(x) đơn điệu ngược chiều biến thiên 𝔻 f(x) = g(x) có không nghiệm 𝔻 3.+) f(x) đồng biến 𝔻 f(u) > f(v) u > v ∀ u, v ∈𝔻 +) f(x) nghịch biến 𝔻 f(u) > f(v) ⇔ u < v ∀ u, v ∈ 𝔻 *Phương pháp làm: - Từ Hệ phương trình biến đổi dạng f(u) = f(v) - Chứng minh hàm đặc trưng f(t) đơn điệu 𝔻 Suy f(u) = f(v) ⇔ u = v - Từ u=v kết hợp với phương trình hệ phương trình để giải Hệ phương trình *Những ý làm phương pháp này: Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Cố gắng cô lập biến để chuyển phương trình thành F(x) = G(y) II Giải hệ phương trình: { (x + 2)√x + 4x + + y√y + + x + y + = (1) √x + y + = x − y + (2) Cô lập biến phương trình (1): (1) ⇔ (x + 2)√x + 4x + + x + = −y√y + − y Nếu có thể, cố định vế làm hàm đặc trưng biến đổi vế lại theo hàm đặc trưng Xét tiếp ví dụ II sau cô lập biến ta PT (1)⇔ (x + 2)√x + 4x + + x + = (−y)√(−y)2 + + (−y) Dế thấy VP đơn giản gọn Do cố định VP chọn f(t) = t√t + + t hàm đặc trưng Khi VP = f(−y) Ta tìm cách biến đổi VT dạng f(u(x)) Dễ thấy u(x) = x + VT = (x + 2)√(x + 2)2 + + (x + 2) = f(x + 2) Phương trình trở thành f(x + 2) = f(−y) Bài giải chi tiết (x + 2)√x + 4x + + y√y + + x + y + = (1) { √x + y + = x − y + (2) x−y+1≥ Điều kiện: { (∗) x +y+1≥ Với x; y thỏa mãn (∗): (1) ⇔ (x + 2)√x + 4x + + x + = (−y)√(−y)2 + + (−y)(3) Xét hàm số f(t) = t√t + + t ℝ có f ′ (t) = √t + + Do f(t)đồng biến ℝ t2 √t + + > 0∀ t ∈ ℝ Lại có (3) ⇔ f(x + 2) = f(−y) ⇔ x + = −y ⇔ y = −x − Kết hợp với phương trình (2)ta { y = −x − y = −x − ⇔ { √x + (−x − 2) + = x − (−x − 2) + √x − x − = 2x + y = −x − x = −1 ⇔{ 2x + ≥ y = −1 x − x − = 4x + 12x + Kết hợp với điều kiện (∗)ta suy hệ phương trình có nghiệm (−1; −1) ⇔{ Tìm dấu hiệu đối xứng: bậc, bậc 2, bậc 3, hệ số… Kí hiệu: deg(f(x)): bậc hàm f(x) VD: deg(x + 3x − 1) = 2, deg(√x + 1) = … III 2x + 4x√1 + 4x − √y = 2√y + y (1) Giải hệ phương trình: { 3x + √y + = √y (2) Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Chương I: Bổ sung kiến thức giải hệ phương trình Hệ phương trình gồm hai hay nhiều phương trình (thường hai) Thực chất việc giải hệ phương trình việc tìm liên hệ hai phương trình hệ với Ta làm việc cách xử lý phương trình riêng lẻ, xử lý đồng thời hai phương trình Để xử lý ta cần phải trạng bị phương pháp biến đổi giải hệ phương trình Bước cuối việc giải hệ phương trình việc giải phương trình Các kỹ thuật giải phương trình cần đầu tư ý Tôi không đề cập đến thứ bản, mà đề cập đến thứ thực cần thiết, tránh gây dài dòng nhiều chữ Trong phần này, trình bày theo phần sau: BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA I: BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG LẬP PHƯƠNG II: LƯỢNG GIÁC HÓA BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN I: DẠNG ĐẶC BIỆT II: DẠNG TỔNG QUÁT (ĐỌC THÊM) BÀI 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - NHÂN LIÊN HỢP – HẰNG ĐẲNG THỨC BÀI 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC I: ÉP NGHIỆM II: KHẢO SÁT HÀM SỐ 10 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Ta có: 4(x + y) = (1) ⇔ √(3x + y)2 + (x − y)2 + √(x + 3y)2 + (x − y)2 ≥ √(3x + y)2 + √(x + 3y)2 = |3x + y| + |x + 3y| ≥ |3x + y + x + 3y| = 4|x + y| = 4(x + y) (vì x + y ≥ 0) Do dấu “=” phải xảy Tức ta x = y x≥0 Nên ta có { y≥0 Thay vào phương trình (2), ta được: (2) ⇔ (√x + − 2√4 − x)√2x + 18 = 5(x − 3) 5x − 15 √2x + 18 = 5(x − 3) ⇔ √x + + 2√4 − x √2x + 18 ⇔ 5(x − 3) ( − 1) = √x + + 2√4 − x ⇔ 5(x − 3) (√x + + 2√4 − x − √2x + 18) = ⇔[ x=3 √x + + 2√4 − x = √2x + 18 Với x = ⇒ y = Do ta nghiệm { Với √x + + 2√4 − x = √2x + 18 x=3 y=3 ⇔ x + + 4(4 − x) + 4√(x + 1)(4 − x) = 2x + 18 ⇔ 4√(x + 1)(4 − x) = 2x + 3x + ⇔ 16(x + 1)(x − 4) + (x + 1)2 (2x + 1)2 = ⇔ (x + 1)(4x + 8x + 21x − 63) = ⇔ (x + 1)(2x − 3)(4x + 14x + 42) = 3 ⇔ x = (vì x ≥ 0) ⇒ y = (thỏa mãn) 2 x=3 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { ; y=3 y= { x= Bình luận: Ngoài việc đánh giá hai thức đề cách trên, ta đánh giá việc sử dụng bất đẳng thức Min-cốp-ski trình bày phần PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Tuy nhiên sử dụng phương pháp đó, ta phải chứng minh dấu bất đẳng thức vector, dài dòng so với cách làm trình bày lời giải 429 Giải hệ phương trình: { x + 6y − = √2(1 − y)(x + 1) (1) (3 − x)√2 − x − 2y√2y − = (2) Hướng dẫn: Nhận thấy thành phần xuất phương trình (1) hỗn tạp ẩn lẫn số mũ, việc khai thác phương trình (1) trước không khả quan; lại thấy cô lập hai ẩn phương trình (2) hai vế, nên ta nghĩ đến việc dùng phương pháp khảo sát hàm đại diện vào phương trình (2) để khai thác (2) ⇔ (3 − x)√2 − x = 2y√2y − ⇔ [√(2 − x)2 + 1] √2 − x = [√(2y − 1)2 + 1] √2y − Hàm số đại diện f(t) = (t + 1)t hàm số đồng biến ℝ, ta thu kết x + 2y = Đem kết vào phương trình (1), ta thu được: (1) ⇔ x + 3(3 − x) − = √(x + 1)(2 − + x) 39 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn ⇔ x − 3x + = √(x + 1)(x − 1) Với phương trình vô tỉ loại (cũng bất phương trình vô tỉ có hình dạng), ta thường đưa phương trình vô tỉ dạng phương trình đẳng cấp Trong không ngoại lệ Ta việc thử chọn tính tổng thừa số tích bậc hai để tạo kết giống thành phần bên thức Và kết thu sau hồi thử chọn là: ⇔ 3(x − x + 1) − 2(x − 1) = √(x − 1)(x − x + 1) Tới đây, ta việc chia hai vế phương trình cho đại lượng thành phần để khử ẩn Đương nhiên không phép quên bước xét điều kiện trước tiến hành chia Đương nhiên, ta phân tích trực tiếp thành nhân tử Bài giải chi tiết: x≤2 y≥ Điều kiện: { (1 − y)(x + 1) ≥ Phương trình (2) tương đương với: (2) ⇔ (3 − x)√2 − x = 2y√2y − ⇔ [√(2 − x)2 + 1] √2 − x = [√(2y − 1)2 + 1] √2y − Xét hàm số f(t) = t(t + 1) [0; +∞) có: f ′ (t) = 3t + > ∀t ∈ (0; +∞) Do hàm số f(t) đồng biến [0; +∞) Mà ta lại có f(√2 − x) = f(√2y − 1) ⇔ √2 − x = √2y − ⇔ − x = 2y − ⇔ x + 2y = Đem vào phương trình (1), ta : (1) ⇔ x + 3(3 − x) − = √(x + 1)(2 − + x) ⇔ x − 3x + = √(x + 1)(x − 1) ⇔ 3(x − x + 1) − 2(x − 1) = √(x − 1)(x − x + 1) ⇔3−2 x2 − x2 − √ = x2 − x + x2 − x + x2 − 1 ⇔√ = ⇔ x − = x − x + ⇔ x = ⇒ y = (thỏa mãn) x −x+1 x=2 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { 430 y= Giải hệ phương trình: { x y + x + = √x y + (1) y (x − 1) + 3y(x − 2) + 3y + = (2) Bài giải chi tiết: Điều kiện: x y ≥ −2 Phương trình (2) tương đương với: (2) ⇔ x y + 3x y = y − 3y + 3y − + 3(y − 1) ⇔ (x y)3 + 3(x y) = (y − 1)3 + 3(y − 1) Xét hàm số f(t) = t + 3t có: f ′ (t) = 3t + > ∀t ∈ ℝ Do hàm số f(t) đồng biến ℝ Mà ta lại có f(x y) = f(y − 1) ⇔ x y = y − ⇒ y ≥ −1 Đem vào phương trình (1), ta được: (1) ⇔ x y + x + = 2x√y + 40 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn ⇔ x (y + 1) − 2x√y + + = ⇔ (x√y + − 1) = ⇔ x√y + = Vậy ta thu hệ: x>0 x2y + x2 = x√y + = y = − x2 ⇔{x y=y−1 ⇔ { { x y=y+1 x (2 − x ) + x = x>0 x>0 x>0 ±1 + √5 ± √5 y = − x2 ⇔ { y = − x2 ⇔{ ⇔x= ⇒y= 2 (x − x − 1)(x + x − 1) = x − 3x + = ±1 + √5 𝐊ế𝐭 𝐥𝐮ậ𝐧: Hệ phương trình có nghiệm là: ± √5 y= { x= Giải hệ phương trình: 27x + 3x + (9y − 7)√6 − 9y = (1) { x2 109 + y + √2 − 3x − = (2) 81 431 Bài giải chi tiết: y≤ Điều kiện: { x≤ Phương trình (1) tương đương với: (1) ⇔ 3x(9x + 1) = √6 − 9y [√(6 − 9y)2 + 1] Xét hàm số f(t) = t(t + 1) ℝ có: f ′ (t) = 3t + > ∀t ∈ ℝ Nên hàm số f(t) đồng biến ℝ x≥0 Mà ta lại có f(3x) = f(√6 − 9y) ⇔ 3x = √6 − 9y ⇔ { y = − x2 Thế vào phương trình (2), ta được: x2 109 + ( − x ) − √2 − 3x − = (3) 3 81 Nhận thấy x = x nghiệm phương trình (3) x2 109 + ( − x ) − √2 − 3x − (0; ) có: 3 81 2 g ′ (x) = 2x(2x − 1) − < ∀x ∈ (0; ) 3√2 − 3x Xét hàm số g(x) = 2 3 Nên hàm số g(x) nghịch biến 0; 2 3 Do phương trình g(x) = nghiệm 0; 1 3 Mà ta lại có g ; x Nên y nghiệm phương trình g(x) = x2 41 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Thử lại ta thấy nghiệm thỏa mãn hệ phương trình x Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y Giải hệ phương trình: 432 − √x = x + xy − 2y (1) y √x { (√x + − √y) (1 + √x + 3x) = (2) Hướng dẫn: Phương trình (1) có nhiều thành phần hỗn tạp, quan sát kỹ thấy phương trình (1) chứa thừa số (x – y): y−x (1) ⇔ = (x − y)(x + 2y) y√x ⇔ (x − y) (x + 2y + )=0 y√x Đương nhiên với điều kiện x; y dương, ta thu trường hợp x = y Với điều kiện này, phương trình (2) trở thành: (2) ⇔ (√x + − √x) (1 + √x + 3x) = Nhìn qua thấy phương trình giải lần nhân liên hợp ⇔ (1 + √x + 3x) = 3(√x + + √x) Phương trình quy dạng A + B − AB − = ⇔ (A − 1)(B − 1) = Do ta đưa phương trình dạng phương trình tích Bài toán coi giải Bài giải chi tiết: Điều kiện: x; y > Phương trình (1) tương đương với: y−x (1) ⇔ = (x − y)(x + 2y) y√x ⇔ (x − y) (x + 2y + )=0 y√x Với x; y > ⇒ x + 2y + > ∀x; y > y√x Do ta x = y Đem vào phương trình (2), ta được: (2) ⇔ (√x + − √x) (1 + √x + 3x) = ⇔ (1 + √x + 3x) = 3(√x + + √x) ⇔ √x + √x + − √x(x + 3) − = ⇔ (√x − 1)(√x + − 1) = x=1 x=1 ⇔[ √ ⇔[ ⇒ x = ⇒ y = (thỏa mãn) x = −2 (loại x > 0) √x + = x=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=1 433 Giải hệ phương trình: { x + (y − y − 1)√x + − y + y + = (1) √y − − √xy − 2x − = (2) 42 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Bài giải chi tiết: y −2≥0 Điều kiện: { xy − 2x − ≥ Phương trình (1) tương đương với: (1) ⇔ x + (y − y − 1)√x + − y + y + = ⇔ (√x + − y) (y + √x + − 1) = Vì y + √x + − ≥ y + √2 − > Nên ta thu được: y = √x + ⇔ y = x + Thay vào phương trình (2), ta được: (2) ⇔ √x − − √x − + x = ⇔ ( √x − − 2) + x − = √x − − (x − 3)(x + 3x + 9) x+3 ⇔ (x − 3) [ + 1] = √x − + √(x − 1)2 + 2√x − + x = ⇒ y = √11 x+3 ⇔[ x + 3x + (∗) +1 = √x − + √(x − 1)2 + 2√x − + Xét phương trình (*), ta thấy: x + 3x + > ⇔ x + 3x − > 2√x − √x − + ⇔ (x + x)2 + (x − 3)2 + 5x > ∀x x+3 3 + < ⇔ √(x − 1)2 + √x − + > x 3 √(x − 1)2 + 2√x − + 3 Đặt t = √x − > Khi ta thu được: t + 2t + > √t + ⇔ t + 3t + 6t + 4t > ∀t > Do phương trình (*) vô nghiệm x=3 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y = √11 43 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Chương IV: Tản mạn Hệ phương trình Trong chương này, bàn luận vài vấn đề mở rộng Hệ phương trình Các vấn đề không xuất nhiều đề thi đại học vài năm gần đây, có phần không xuất Tuy nhiên mở rộng để bổ trợ phần kiến thức cần thiết Trong phần này, trình bày theo phần sau: BÀI 1: MỞ RỘNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI: HỆ LẶP BA ẨN BÀI 2: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH: PHƯƠNG TRÌNH BÀI 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI THAM SỐ I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II III: MỘT SỐ HỆ KHÁC 44 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Bài 1: Mở rộng hệ phương trình đối xứng loại hai: Hệ lặp ba ẩn Hệ lặp ba ẩn (hay gọi hệ hoán vị vòng quanh) hệ phương trình có dạng: f(x) = g(y) {f(y) = g(z) f(z) = g(x) Nếu f g hai hàm số đơn điệu (cùng chiều ngược chiều) miền A (A⊂ℝ) x = y = z Chứng minh: Do vai trò x, y, z hệ phương trình nhau, nên ta giả sử x ≤ y ≤ z Trường hợp 1: f g hai hàm đơn điệu chiều (giả sử đồng biến; tương tự với trường hợp nghịch biến) Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≤ z ⇒ f(y) ≤ f(z) ⇒ g(z) ≤ g(x) ⇒ z ≤ x Nên ta thu được: x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z Trường hợp 2: f g hai hàm đơn điệu ngược chiều (giả sử f đồng biến g nghịch biến; tương tự với trường hợp lại) Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≥ z ⇒ f(y) ≥ f(z) ⇒ g(z) ≥ g(x) ⇒ z ≤ x x≤y≤z Nên ta thu được: {x ≤ y ≥ z ≤ x ⇒ x = y = z Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = z Lưu ý: Bạn tổng quát hệ lặp lên nhiều ẩn Kết thu tất ẩn Cách chứng minh tương tự Phương pháp 1: Những tập suôn sẻ 434 x + 3x − + ln(x − x + 1) = y (1) Giải hệ phương trình: { y + 3y − + ln(y − y + 1) = z z + 3z − + ln(z − z + 1) = x Hướng dẫn: Trước tiên ta nhìn thấy hệ lặp ẩn vai trò x, y, z Đầu tiên vào làm hệ phương trình thiết phải đặt điều kiện Ở ta dễ dàng thấy điều kiện x,y,z ∈ R (do x − x + > 0) Làm phương pháp nêu ta phải xét hàm số f(t) = t + 3t − + ln(t − t + 1) tập ℝ 2t − 3t − t + 2 ́ = 3t + + f(t) = 3t + > 0, ∀t ∈ R t2 − t + t2 − t + ⇒ f(t) đồng biến R Vậy toán trình bày tiếp giống phần lý thuyết nêu Bài giải chi tiết: Xét hàm số f(t) = t + 3t − + ln(t − t + 1) (t ∈ ℝ) Ta có: 2t − 3t − t + f ′ (t) = 3t + + = 3t + > 0, ∀ t ∈ R t −t+1 t −t+1 Nên hàm số f(t) đồng biến ℝ Do vai trò x, y, z hệ phương trình nhau, nên ta giả sử x ≤ y ≤ z Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≤ z ⇒ f(y) ≤ f(z) ⇒ g(z) ≤ g(x) ⇒ z ≤ x Nên ta thu được: x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z Khi ta được: (1) ⇔ x + 2x − + ln(x − x + 1) = Xét h(x) = x + 2x − + ln(x − x + 1) ℝ Ta có: 2x − 2x + h′(x) = 3x + + = 3x + > 0, ∀x ∈ R x −x+1 x −x+1 Nên hàm số h(x) đồng biến ℝ 45 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Mà g(1) = ⇒ x = nghiệm phương trình x=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {y = z=1 46 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn − √5 x = − √2 x = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { − √2 ; − √5 y= y= { 510 Giải hệ phương trình: { 2√xy − y + x + y = √5 − x + √1 − y = Bài giải chi tiết: xy ≥ x Điều kiện: { x ≤ y≤1 hpt ⇔ { 2√xy − y = − x − y √5 − x + √1 − y = x+y ≤5 2 ⇔ {4(xy − x) = 25 − 10(x + y) + x + 2xy + y − x − y + 2√5 − x − 5y + xy = x+y ≤ x+y =5 x=5 2 2 ⇔ {x + y − 2xy − 10x − 6y + 25 = ⇔ {x + y − 2xy − 10x − 6y + 25 = ⇔ { y=0 2√2 − x − 5y + xy = x + y − 2√2 − x − 5y + xy = x + y − x=5 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=0 511 Giải hệ phương trình: { x + 4y = (x + y − 1)√y − = (y − 2)√x + y Bài giải chi tiết: y≥1 Điều kiện: { x+y≥0 Hệ phương trình cho tương đương với: x + 4y = { (x + y)√y − − √y − − (y − 1)√x + y + √x + y = x + 4y = ⇔{ (√x + y √y − + 1)(√x + y − √y − 1) = x = −1 Do y ≥ nên nghiệm thỏa mãn { y=1 ⇔{ x + 4y = 2 x = −1 ⇔ {x + 4y = ⇔ { y = ±1 x + y = y − x = −1 √ √ x = −1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=1 512 Giải hệ phương trình:{ √4x − = (2y + 11)(17 − y) + √y (1) y(y − 3x + 3) = 5(3x + 2) (2) Bài giải chi tiết: x≥ Điều kiện: { y≥0 (2) ⇔ (y + 5)(y − 3x − 2) = ⇔ y = 3x + (vì y ≥ 0) Khi đó, phương trình (1) trở thành: (1) ⇔ √4 y−2 4y − 17 − = (2y + 11)(17 − y) + √y ⇔ √ − √y = (2y + 11)(17 − y) 3 47 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 ⇔ y − 17 = (2y + 11)(17 − y) ⇔ (y − 17) 4y − 17 + √y ⇔ y = 17 ⇒ x = (thỏa mãn) Lovebook.vn 4y − 17 + √y ( + 2y + 11 x=5 Kết luận: Hê phương trình có nghiệm là: { y = 17 Giải hệ phương trình: 4x = (√x + + 1) (x − y + 3y − 2) (1) 513 x + (y + 1)2 = (1 + ) (2) { Bài giải chi tiết: Điều kiện: y ≠ y = −2 (1) ⇔ (y + 2)(x + y − 1) = ⇔ [ x + y2 = Với y = −2; (1) ⇔ 4x = x (√x + + 1) ⇔ [ Ta nghiệm { x=0 x = ±2√2 x = x = ±2√2 ;{ y = −2 y = −2 Với x + y = ⇒ −1 ≤ x; y ≤ (1) ⇔ 4√x + − x + y − 3y − = 4x + − x 4 + x (4 − x ) Ta có 4√x + − x = = ≥ ∀ x ∈ [−1; 1] 4√x + + x 4√x + + x Mặt khác y3 − 3y − + = y − 3y + = (y − 1)2 (y + 2) ≥ ∀ y ∈ [−1; 1] Suy 4√x + − x + y − 3y − ≥ x=0 Dấu “=” xảy { y=1 x = x = ±2√2 x = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { ;{ ;{ y = −2 y=1 y = −2 514 Giải hệ phương trình: { y − 2xy + 7y = −x + 7x + (1) √3y + 13 − √15 − 2x = √x + (2) Bài giải chi tiết: 15 ] Phương trình(1) tương đương với: (1) ⇔ y − 2xy + 7y + x − 7x − = ⇔ (y − x)2 + 7(y − x) − = ⇔ (y − x − 1)(y − x + 8) = y2 = x + ⇔[ y =x−8 Điều kiện: x ∈ [−1; 15 1 ⇔ x − ≤ − ⇒ y2 ≤ − 2 2 Do y = x − không thỏa mãn đề Nên với y = x + 1; phương trình (2) trở thành: Nhận thấy x ≤ 48 =0 ) Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn (2) ⇔ √3x + 16 = √15 − 2x + √x + ⇔ 3x + 16 = 16 − x + 2√(15 − 2x)(x + 1) x≥0 ⇔ 2x = √(15 − 2x)(x + 1) ⇔ { 4x + (x + 1)(2 − 15) = x≥0 ⇔{ ⇔ x = ⇒ y = ±2 6x − 13x − 15 = x=3 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y = ±2 49 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Phụ lục 2: Hướng tư pnđ (suy từ đáp số lời giải máy tính bỏ túi) Lưu ý: Các loại máy tính dòng CASIO fx-570es trở lên VINACAL 570es trở lên sử dụng Quy ước: X , tức nhập vào hình X2 , rút gọn cho ALPHA ) x2 Ứng dụng để giải hệ phương trình với phương pháp khảo sát hàm đại diện: x3 3x2 9x 22 y 3y 9y (1) Ví dụ 1: (A-2012): Giải hệ phương trình: 2 x y x y (2) * Con đường tìm lời giải theo hướng tư PNĐ: - Vì thấy (2) có tính đối xứng đẹp nên chọn (2) điểm bắt đầu cho việc tìm hàm đại diện: + Thao tác: X Y2 X Y SHIFT CALC , Can’t solve Tiếp tục: X Y2 X Y SHIFT CALC , Can’t solve Nhận định: (2) không chứa hàm đại diện - Vậy phải khai thác (1): + Thao tác: X3 3X2 9X 22 Y3 3Y2 9Y SHIFT CALC , X=3 Tiếp tục: X3 3X2 9X 22 Y3 3Y2 9Y SHIFT CALC , X=4 Tiếp tục: X3 3X2 9X 22 Y3 3Y2 9Y SHIFT CALC , X=5 + Ý nghĩa thao tác: X3 3X2 9X 22 Y3 3Y2 9Y SHIFT CALC , Cố định Y=1, tìm X (X=3) X3 3X2 9X 22 Y3 3Y2 9Y SHIFT CALC , Cố định Y=2, tìm X (X=4) X3 3X2 9X 22 Y3 3Y2 9Y SHIFT CALC , Cố định Y=3, tìm X (X=5) (2 ; ; nhận định khoảng chứa nghiệm x, thay đổi số 2, 6, giúp tìm nhiều nghiệm x hơn) 50 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Phụ lục 3: Hướng tư pnđ (suy từ đáp số lời giải dung máy tính cầm tay) cho phương pháp cộng đại số Lưu ý: Các loại máy tính dòng CASIO fx-570es trở lên VINACAL 570es trở lên sử dụng Quy ước: X2 , tức nhập vào hình X2 , rút gọn cho ALPHA ) x2 Quay ngược thời gian Năm lớp 9, làm quen với phương pháp cộng đại số sau: 495 Giải hệ phương trình sau: - Cách giải đơn giản, chất việc triệt tiêu ẩn (là x y) Lời giải chi tiết: - Lấy phương trình thứ nhân với 2, cộng vào phương trình thứ ta được: 2x y 4x 2y 16 5y 20 x Xong 4x 3y 4 4x 3y 4 4x 3y 4 y Mở rộng vấn đề: Phải dễ mà nhiều người nhầm tưởng phương pháp cộng đại số nhiều ứng dụng lên cấp 3? Mời bạn đọc đọc ví dụ 496 Giải hệ phương trình sau: Lời giải chi tiết: Điều kiện: x,y Lấy (2) nhân với -2 cộng với (1) ta được: 2xy 2x y y 7y 2(2y 2xy 7y) 2xy 4xy 2x y 5y 7y 2y 4y x y 5y 7y y 1 2x y 3 y y 2x Sau y vào (2) ta tìm nghiệm hệ cho: 1 1 (2;1); ;2 ; ;2 Nhận xét: Rõ ràng việc “nhìn ra” để nhân (2) với -2 khó khăn Đối với hệ phương trình khác đâu thiết phải nhân với số tự nhiên, đơn cử ví dụ sau: 497 Giải hệ phương trình sau: Lời giải chi tiết Điều kiện: x,y 51 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn x (x 4) (y 3) x x y x 22 2y 3x 6x 4y 24y 36 x y 2x y x 4x y 6y 9 x x y x 2y 22 (y 3)(x 2x 4y 12) Lấy (1) nhân với cộng với (2) nhân với x2 ta được: 2 2 2 2 2 2 y y Để hệ có nghiệm 2 x 2x 4y 12 4y x 2x 12 Thay y=3 vào (2) ta tìm (x;y)=(2;3);(-2;3) Thay (*) vào (2) ta tìm x;y 2;5 ; 2;5 2 * Kết luận: Hệ có nghiệm Nhận xét: Đối với người giải đề này, “mò” hệ số để áp dụng thành công phương pháp cộng đại số hồi học lớp 9? Trở thực 52 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Cuối cùng, để khép lại cuối tiểu thuyết “Chinh phục Hệ phương trình” anh chị muốn ttặng em câu chuyện TỪ BỎ LÀ ĐÁNH MẤT HẠNH PHÚC Chúng ta lần bỏ qua hội đón nhận hạnh phúc cho mình? Là lần dễ dàng buông tay đánh rơi hội khác nhau, lần cắt đứt tất cội rễ tình cảm để cố kiếm tìm khác xa xôi hơn? Mỗi lần từ bỏ, lần đánh hội để hạnh phúc Bởi may mắn vốn vài lần ghé qua Khi trẻ, người ta dễ dàng từ bỏ hội để hạnh phúc, người ta nghĩ rằng, có thứ hạnh phúc khác tìm đến Thế nhưng, người ta rằng, hạnh phúc thật đến lần đời mà Tức là, không nắm lấy vĩnh viễn, không trân trọng chẳng có lần sau Cuộc đời có thời gian để phung phí, hội đến lần đứng nhìn lướt qua? Từ bỏ hay khước từ, cách thức nhận thua sớm, trở thành kẻ hèn nhát gặp thử thách đón đường Từ bỏ đánh hạnh phúc Thế nên, tình yêu đến nắm lấy thật chặt, may đến biết tận dụng, có điều kiện phấn đấu cho mục tiêu, đừng buông bỏ thứ gì, kể ước mơ thời thơ bé Nếu bạn chưa cố gắng mà từ bỏ, bạn chưa thử níu kéo mà từ bỏ, bạn ngần ngại chần chừ mà từ bỏ, có thể, bạn bỏ qua hạnh phúc lớn lao đời Không từ bỏ cố chấp giằng co, không từ bỏ việc bạn thử cố gắng để giữ lại thứ thuộc mình, thứ nên thuộc mình, cố ngoái lại Không từ bỏ có nghĩa là, bạn đem tất khả nỗ lực thân đánh cược, để kể có thua không hổ thẹn buông tay sớm, không tiếc nuối cố gắng Từ bỏ đánh hạnh phúc Nhiều cho rằng, đời dài đằng đẵng, có nhiều hội dần đến phía sau lưng, nên đợi chờ mà không gắt gao nắm lấy mảnh vỡ nhỏ nhặt để ghép thành sống cho riêng Nhưng, qua, lấy lại lần hay sao? Hãy biết nâng niu thứ đến gần với sống bạn, biết trân trọng chút thứ hạnh phúc bé nhỏ thuộc mình, có ngày, bạn nhận thấy sáng suốt biết bao, không từ bỏ Hãy biết nỗ lực giây phút cuối cùng, thời điểm kết ngã ngũ, để không tiếc nuối dằn vặt hai từ “giá như” Những người hay nói “giá như”, người thường từ bỏ dễ dàng, người bỏ qua nhiều hội để hạnh phúc, người ôm nuối tiếc đến sau Vậy nên cho dù đừng từ bỏ điều dễ dàng, cần lần vô tâm mà nới lỏng tay, hạnh phúc theo thứ trượt khỏi sống bạn ấy, bay mất, không trở Bạn à, nên, đừng nghĩ đến việc từ bỏ sớm, đấy, cần kiên nhẫn chút, bạn giữ hạnh phúc đời Các em à, biết nỗ lực giây phút cuối cùng, thời điểm kết ngã ngũ, để không tiếc nuối dằn vặt hai từ “giá như” Thân thương, Anh chị Lovebook cute ^_^ 53 [...]... tiết 12 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn Chương II: Các phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ phương trình là tìm mối liên hệ giữa hai phương trình với nhau Ngoài những hệ phương trình có phương pháp giải tổng quát như các hệ đối xứng, hệ đẳng cấp thì có nhiều phương pháp được biểu diễn dưới nhiều bài toán khác nhau; nhưng tóm gọn lại cũng chỉ là những phương pháp: thế,... đưa về phương trình tích, dùng hằng đẳng thức, nhân liên hợp, cân bằng bậc – hệ số, Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tất cả các phương pháp để giải quyết một hệ phương trình Bao gồm các phương pháp thường xuyên được sử dụng trong các đề thi thử và đề thi Đại học BÀI 1: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI... đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn Bài 1: Các hệ phương trình cơ bản I- Hệ phương trình đẳng cấp Đây là những hệ phương trình mà ta sẽ có thể nhận ra được sự tồn tại của những yếu tố đồng bậc xuất hiện ở cả hai phương trình Sự đẳng cấp ở đây có thể là tương đồng về bậc ở hai vế tương ứng của hai phương trình, hoặc là tương đồng về sự lệch bậc giữa hai vế của từng phương trình. .. được hệ phương trình trên, ta cần đi từ một phương trình một ẩn bất kỳ (1), tiến hành thay một ẩn bất kỳ trong (1) bằng một hệ thức bất kỳ (2), khi đó ta sẽ thu được phương trình (1’) từ (1) bằng phép đặt (2) Kết hợp hai phương trình (1’) và (2) lại ta sẽ được hệ phương trình cần lập Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { Tiêu biểu ta có thể thử xây dựng một hệ phương trình đơn giản như sau: Từ phương. ..Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn Bài 1: Phương trình bậc ba Như các bạn đã biết, không có công thức nghiệm cho phương trình bậc ba trong chương trình THPHƯƠNG TRÌNH; do đó nếu trong quá trình giải mà bạn chẳng may gặp phải một phương trình bậc ba thì chắc chắn rằng phương trình đó luôn có thể giải được bằng những kiến thức của THPHƯƠNG TRÌNH (với điều kiện là... các bình phương 426 Giải hệ phương trình: 35 3√y 3 (2x − y) + √x 2 (5y 2 − 4x 2 ) = 4y 2 (1) { √2 − x + √y + 1 + 2 = x + y 2 (2) Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn Hướng dẫn: Hình dạng phương trình (1) của bài này có nét giống với phương trình (1) của bài hệ trong đề thi Đại Học năm 2014 Và đúng vậy, chúng ta cũng nên thử những hướng xử lý của bài đó vào hệ phương trình này... những hệ phương trình này là thực hiện nhân theo vế hai phương trình cho nhau để cân bằng bậc, hoặc cũng có thể chia theo vế hai phương trình cho nhau rồi tiến hành đưa phương trình thu được về một ẩn 38 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: Cái nhìn đầu tiên của chúng ta khi gặp hệ trên là từng vế tương ứng của hai phương trình là đồng bậc với nhau Nên nếu ta tiến hành nhân để cân bằng bậc thì sẽ đưa về phương. .. cái hệ ban đầu! Vậy việc đặt ẩn như trên là không thành công? Tuy nhiên, cái hệ này khác cái hệ ban đầu ở chỗ là: hệ ban đầu có thể thế hay xử lý được phương trình nào đâu, còn hệ này thì ta có thể xử lý ở phương trình thứ hai bằng cách giản ước đi y 4 ở cả hai vế! Sau đó, ta sẽ thu được một phương trình bậc hai với ẩn là xy! Sau khi tìm được xy rồi, ta chỉ việc thay lên phương trình trên của hệ này,... đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn x 2 xy 3x 2 4 Nên 4 x y 2 2 3 x y 3x 4 4 Vậy hệ đã cho có các nghiệm x, y 2; 2 , 2; 2 4 9 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm là : 1 y 9 { x 425 Giải hệ phương trình: 1 {√x + y + 1 − 1 √y = x 3 + 3y(x 2 + xy + y − 1) + 1 (1) √𝑦 − 𝑥 3 − √7 − 𝑦 = 𝑦 2 + 6𝑥𝑦 + 𝑥 2 + 12 (2) Hướng dẫn : Phương trình. .. cuối cùng là tách thành hai phương trình theo ý bạn muốn! Ví dụ như t 3 − 5t 2 − 2t + 6 = 0 ⇔ x 3 − 5x 2 y − 2xy 2 + 6y 3 = 0 x 3 − 5x 2 y = 6 ⇒{ 3 y − xy 2 = −3 39 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn: 14 Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn Bài 3: Phương pháp thế Nguyên tắc để áp dụng phương pháp Thế là kết nối những cái chung tồn tại ở hai phương trình Cái chung đó có thể là ... đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Chương II: Các phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm mối liên hệ hai phương trình với Ngoài hệ phương trình có phương. .. RỘNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI: HỆ LẶP BA ẨN BÀI 2: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH: PHƯƠNG TRÌNH BÀI 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI THAM SỐ I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH... Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên 2.0 Lovebook.vn Bài 1: Các hệ phương trình I- Hệ phương trình đẳng cấp Đây hệ phương trình mà ta nhận tồn yếu tố đồng bậc xuất hai phương trình Sự đẳng
Ngày đăng: 27/11/2015, 15:36
Xem thêm: Chinh phục hệ phương trình, Chinh phục hệ phương trình
