Chinh phục hệ phương trình trong đề thi đại học

Chinh phục hệ phương trình trong đề thi đại học Chinh phục hệ phương trình trong đề thi đại học Chinh phục hệ phương trình trong đề thi đại học Chinh phục hệ phương trình trong đề thi đại học Chinh phục hệ phương trình trong đề thi đại học Chinh phục hệ phương trình trong đề thi đại học

Trích đoạn CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cuốn sách viết tập thể tác giả GSTT GROUP Phát hành: 22/10/2014 101 Nguyễn Ngọc Nại, Hà Nội Nxb: Đại học quốc gia HN Số trang: 340 trang (khổ A4, bìa gấp) Giá bìa: 99.000 vnđ (Miễn phí vận chuyển, giảm 15% mua trực tiếp) xy + = y√x + (1) Giải hệ phương trình: 1 y + 4x + 2(x − 1)√x − 2x + = 2x + (2) 221rê rerfd s Hướng dẫn: Hệ phương trình có hình dạng oăm Ta không nhìn thấy biểu thức chung gọi có hai phương trình Tuy khó nhìn vậy, ta phát điểm chung vô mong manh khó nhìn, tương đồng cấu tạo hai biểu thức phương trình y√x + (x − 1)√x − 2x + Do ta nghĩ đến việc kết hợp hai yếu tố để đưa đánh giá theo hàm số đại diện Nhận thấy (2) chứa y2, đâu toàn có chứa x; ta lại rút y theo x cách nhanh chóng từ (1) Do ta thử biến đổi sau: (1) ⇔ y (√x + − x) = ⇔ y = = √x + + x √x + − x Không tội mà lại để nguyên phân số, ta nên nhân liên hợp để khử mẫu số Bậy ta thử thay kết vào (2) xem tạo (√x + + x) + 4x + 2(x − 1)√x − 2x + = 2x + ⇔ 4x − + 2x√x + + 2(x − 1)√x − 2x + = ⇔ 2x − + x√x + + (x − 1)√(x − 1)2 + = Đến đây, tinh mắt, bạn nhìn dấu hiệu việc xét hàm đại diện trước mắt Còn bạn mơ hồ ta cần dấu tương đương đủ để bạn nhìn đặc sắc ⇔ x + x√x + = (1 − x) + (1 − x)√(1 − x)2 + Bây vấn đề hóa giải với hàm số f(t) = t + t√t + Bài giải chi tiết hpt ⇔ { ⇔{ ⇔{ y + 4x + 2(x − 1)√x − 2x + = 2x + y = √x + + x y + 4x + 2(x − 1)√x − 2x + = 2x + ⇔{ ⇔{ y (√x + − x) = y = √x + + x (√x + + x) + 4x + 2(x − 1)√x − 2x + = 2x + y = √x + + x 4x − + 2x√x + + 2(x − 1)√x − 2x + = y = √x + + x x + x√x + = (1 − x) + (1 − x)√(1 − x)2 + x2 Xét hàm số f(t) = t + t√t + (t ∈ ℝ) có f ′ (t) = + √t + + >0∀t∈ℝ √x + Do f(t) đồng biến ℝ 1 + √13 Lại có f(x) = f(1 − x) ⇔ x = − x ⇔ x = ⇒ y = 2 x= Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: + √13 {y =  Cách 2: hpt ⇔ { y = x + √x + y = x + √x + y = (√(1 − x)2 + + − x) ⇔{ 2 (x + √x + 3) = (√(1 − x)2 + + − x) ⇔ x + √x + = (1 − x) + √(1 − x)2 + Xét hàm số g(t) = t + √t + (t ∈ ℝ) có f ′ (t) = + Nên hàm số g(t) đồng biến ℝ t √t + = √t + + t √t + > |t| + t √t + ≥0∀t∈ℝ 1 + √13 ⇒y= 2 Nguồn gốc: Nếu bạn định hình hướng giải toán đầu, bạn nhận thấy toán đặc sắc có ý tưởng bắt nguồn không rắc rối Người đề từ hàm số đơn điệu tập xác định ; sau thực hai phép thay ẩn (những phần trình bày kỹ phương pháp Khảo sát hàm đại diện) để tạo phương trình ; kết hợp với phương trình bạn lựa chọn để thu gọn phương trình thu bên (bạn biến đổi chút) Vậy thu hệ phương trình sản phẩm Chúng ta thử tạo bừa hệ phương trình với tinh thần sau : - Chọn hàm số đồng biến ℝ+ f(t) = et + ln t Mà ta lại có g(x) = g(1 − x) ⇔ x = − x ⇔ x = Chọn hai phép đặt ẩn thay là: - t1 = √x t = √2 − x Thế hai phép đặt đồng thời vào hàm số ban đầu để tìm phương trình lại, ta : 3 e√x + ln √x = e√2−x + ln √2 − x ⇔ e√x + ln x = e√2−x + ln(2 − x ) 2 √x3 √2−x2 2) ⇔ 2e + ln x = 2e + ln(2 − x Đây phương trình cần phải đưa để đánh giá hàm số đại diện Bây ta cần phải thu gọn hình dạng phương trinh cách tạo phép thay ẩn Phép thay ẩn phương trình lại hệ − x2 pt ⇔ (e√x − e√2−x ) = ln x3 2 − x2 (e√x − e√2−x ) = y y Nếu đặt = e ta được: { x3 − x = ey y 3 2 (e√x − e√2−x ) = y Và hệ phương trình chúng ta: { − x = ey y (Trích “90 đề toán tập – GSTT”): Giải hệ phương trình (xy + 1)3 = 2y (9 − 5xy) (1) xy(5y − 1) = + 3y (2) 221rê rerfd s Hướng dẫn: Ta nhận chung đáng ý xuất nhiều lần tích xy Nếu tiến hành rút xy theo y từ (2) đem vào (1) ta thu phương trình có ẩn y Tuy nhiên, trước rút thế, ta phải xét điều kiện mẫu Bài giải chi tiết (2) ⇔ = (vô lý) 5 1 + 3y Với y ≠ , (2) ⇔ xy = (3) 5y − 3y + 3y + Thế (3) vào (1) ta được: (1) ⇔ ( + 1) = 2y (9 − ) 5y − 5y − Với y = 8y 30y − 14 521 60y − 28 ) = 2y ⇔ = (5y − 1) 5y − 5y − 5y − ⇔ (5y − 1) (15y − 7) = 128 ⇔ 75y − 65y + 17y − 27 = ⇔ (y − 1)(75y + 10y + 27) = ⇔ y = (thỏa mãn y ≠ ) Khi đó, (3) ⇔ x = x=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y=1 Các bạn tham khảo cách giải khác “90 đề toán tập – GSTT” Nguồn gốc: Để tạo hệ phương trình trên, ta cần từ phương trình ẩn (1), tiến hành thay ẩn (1) hệ thức (2), ta thu phương trình (1’) từ (1) phép đặt (2) Kết hợp hai phương trình (1’) (2) lại ta hệ phương trình cần lập Tiêu biểu ta thử xây dựng hệ phương trình đơn giản sau: Từ phương trình (2x − 1)(x − 2)2 = 5, ta biến đổi lung tung sau: ⇔( pt → (x − 2)2 = 5 → x−2= √ → x= 2x -1 2x - 4(x − 3)2 → x = (2x − − √5(2x − 1)) = 2x - + 2x - = 2x - 2x - 1( 2x - - 5) 4(x − 3)2 4x + 6x − − 2√5(2x − 1)3 Tiếp theo ta thay theo ý thích, giả dụ √5(2x − 1) = y + phép thay Khi ta hệ cần tạo 2 (1 − ) = 2x + 3x − − 2(y + 1)3 { x y + 2y − 10x + = Hệ đương nhiên giải từ phương trình thứ hai phương trình đầu hệ cồng kềnh (Trích:90 đề Toán tập 1–GSTT):Giải hệ phương trình: x √x + − 3y = 3√x − (1) log x + y = (2) 221rê rerfd s Hướng dẫn: Khi gặp phương trình logarit, có thể, ta nên khử logarit Nhận thấy thừa số 3y đặc biệt xung quanh thành phần giống nó, suy nghĩ tự nhiên khử đề thành phần đồng với Việc khai thác từ pt(1) điều không khả thi Nhưng từ pt(2), ta tạo 3y : x pt(2) ⇔ log ( ) = −y ⇔ 3y = x Đương nhiên, thay trở lại pt(1) khử ẩn y đi, mà làm mẫu số; biến pt(2) dạng vô tỉ (1) ⇔ √x + − = √x − Đến đây, toán giải quyết! Bài giải chi tiết ĐK: x ≥ x Ta có (2) ⇔ log ( ) = −y ⇔ 3y = Khi ta được: x (1) ⇔ √x + − = √x − ⇔ √x + − √x − = ⇔ 2x − = 2√x − 5 ⇔ 4x − 4x + = 4x − ⇔ 4x = ⇔ x = (thỏa mãn) ⇒ y = − log 4 x= KL: Hệ phương trình có nghiệm { y = − log Nguồn gốc: rõ ràng (2) điều kiện thế, (1) biến thể tạo Với tinh thần dựa vào logarit phương trình vô tỉ, ta kiến tạo bừa vài hệ phương trình sau: - Phương trình x − √x + = 6, thay = xlog y vào ta x − √6 (log y + 1) = xlog y Tiếp tục biến đổi lằng nhằng đi, ta x(x − log y) = √6 (log y + 1) - Và phương trình biến thể Ngoài ta biến đổi điều kiện = xlog y theo ý muốn Tóm lại dù có muốn giấu diếm ta giấu chất toàn cách thật kỹ lưỡng Số xuất lộ liễu hai phương trình giống số xuất đề Và manh mối giúp ta lần hướng giải x(x − log y) = √6 log y + { 2x = y Giải hệ phương trình: (x + 1)y + = 2xy (y − 1) xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + 221rê rerfd s Hướng dẫn: Nhìn qua ta thấy hệ khó chịu Có lẽ ngoặc nhóm vào chả có chút tác dụng để tìm liên hệ, có che giấu điều đó; đó, ta không phá tung hết ra! x y + 2xy + + y − 2xy = hpt ⇔ 3x y − 2xy − x y − 2xy − = Sau phá tan ra, ta nhìn thấy số hạng xy có đẳng thức (xy + 1)2 hai phương trình Khi nhóm đẳng thức bạn nên thử nhóm vào, dẫn tới hướng giải (xy + 1)2 − 2xy + y = hpt ⇔ 3x y − 2xy − (xy + 1)2 = Đến nhìn hai ẩn (xy + 1)2 xy Công việc bên phá thứ ngụy trang làm cho chung xuất nhiều lần; vấn đề giải quyết! Vậy, dấu ngoặc tác dụng, ta nên phá ngoặc Chắc hẳn nhiều bạn thấy thắc mắc y x y nhét vào ẩn được? Hướng giải là: coi chúng “tham số”, ta giải hệ phương trình bậc hai ẩn (xy + 1)2 xy ! Bạn đặt chúng A hay B tùy ý; không đặt ẩn không sao; miễn ta giải được! Có không toán cần (nhiều được) giải kiểu (coi thứ thừa thãi tham số) 3x y − y (xy + 1)2 = (1) hpt ⇔ 3x y + y xy = (2) { Nhìn vào hệ trên, nhiều bạn đặt câu hỏi: “thế khác coi x y y hai ẩn? ” Thật coi vậy, giải với hai ẩn lại hệ ban đầu! Vậy việc đặt ẩn không thành công? Tuy nhiên, hệ khác hệ ban đầu chỗ là: hệ ban đầu hay xử lý phương trình đâu, hệ ta xử lý phương trình thứ hai cách giản ước y hai vế! Sau đó, ta thu phương trình bậc hai với ẩn xy! Sau tìm xy rồi, ta việc thay lên phương trình hệ này, khử ẩn x! Bài toán giải hoàn toàn Bài giải chi tiết Ta có: hpt ⇔ x y + 2xy + + y − 2xy = 3x y − 2xy − x y − 2xy − = ⇔ (xy 2 + 1) − 2xy + y = ⇔ 3x y − 2xy − (xy + 1)2 = {   Với y = không thỏa mãn hệ Với y ≠ 0; ta có: 3x y6 − y (1) 3x y + y xy = (2) (xy + 1)2 = xy = 1 (2) ⇔ 4xy = 3x y + ⇔ [ xy = ∗ xy = 1; (1) ⇔ 2(y + 1)2 = 3y − y ⇔ y = (y + 1)2 + √5 √5 − y= ⇒x= 2 ⇔ (y + y + 1)(y − y − 1) = ⇔ − √5 + √5 [y = ⇒ x = − 2 ∗ xy = ; (1) ⇔ (y + 3)2 = −7y (phương trình vô nghiệm) + √5 √5 − x= x=− ; KL: Hệ phương trình có nghiệm ∶ + √5 − √5 y= y= 2 { { Lưu ý: Trong số toán, để phát ẩn phụ, ta phải tiến hành chia hai vế cho đại lượng Cụ thể ví dụ trên, ta chia để nhóm ẩn phụ Đây cách làm cho bạn không muốn coi ẩn thừa tham số! Cụ thể sau:  Với y = không thỏa mãn hệ  Với y ≠ 0; ta có: x 1 2 x + 2 + − 2xy = −1 (x + ) − 2xy = −1 y y y hpt ⇔ ⇔ x 1 2 3x y − 2 − x − 2xy − = 3x y − 2xy − (x + ) = { y y y { 1 b≥ 2 a=x+ a = 2b − a − 2b = −1 ⇔ Đặt { ⇔{ y ; hpt ⇔ 3b2 − 2b − (2b − 1) = 3b2 − 2b − a2 = a2 = 2b − b = xy 3b2 − 4b + = 1 x+ =1 x= { { y y a=1 b = ⇒ a = ±1 { xy = x +x=1 1 ⇔[ b=1 ⇔ ⇔[ ⇔ a = −1 1 b = (loại b ≥ ) { x= x + = −1 b=1 y { { y xy = [ [ x + x = −1 (pt vô nghiệm) −1 + √5 −1 − √5 x= ⇒y= 2 ⇔ (thỏa mãn) −1 − √5 −1 + √5 ⇒y= [x = 2 Nguồn gốc: Để tạo hệ phương trình trên, ta từ hệ phương trình (u; v) (có thể giải được); u = u(x; y) sau tiến hành phép đặt ; ta đưa hệ cho hệ hai ẩn (x; y) Thực nhiều phép đặt v = v(x; y) ẩn mới, ta thu hệ phương trình có tính lắt léo Hướng giải xuôi chắn đưa hai ẩn (u; v) Đối với hệ phương trình ý tưởng tạo xuất phát từ cách giải thứ hai; cách giải thứ thật giống cách giải thứ hai (khác chỗ có đem chia hay không), nhiên việc dễ nhìn cách giải mang tinh thần khác hoàn toàn nằm việc coi ẩn thừa làm tham số 5 Giải hệ phương trình: (4x + 1)x + (y − 3)√5 − 2y = (1) 4x + y + 2√3 − 4x = (2) 221rê rerfd s Hướng dẫn: Nhìn qua hệ thấy (2) xử lý trước, (1) nhìn thấy tương đồng bậc hai số hạng Cụ thể: (4x + 1) bậc hai x, (y − 3) bậc hai √5 − 2y Do đó, ta chuyển vế để nắn hàm số f(t) = 4t + t hai vế Biểu thức (3 − y)√5 − 2y chọn √5 − 2y làm vai trò giống x Do đó, gặp trường hợp này, ta phải chọn ước bội (5 − 2y) làm ẩn y y y (1) ⇔ 4x + x = ( − ) √ − + √ − 4 Đến đây, ta việc khảo sát hàm số f(t) = 4t + t suy đồng biến ℝ Từ ta có kết quả: 2x = √5 − 2y Công việc chắn đem vào (2) Tuy nhiên, nên theo x hay theo y? Nhận thấy theo y lại có (√3 − 2√5 − 2y) vô lằng nhằng; đó, ta thực theo x Khi ta được: (2) ⇔ 16x − 24x + 8√3 − 4x − = Phương trình giải nào? Chắc chắn điều kiểu đến phương trình này, không cách khác xử lý hệ ban đầu ngon việc khảo sát hàm đại diện Chúng ta thực gạn điều kiện thật nghiêm ngặt để xử lý phương trình Từ 2x = √5 − 2y suy x ≥ 0, kết hợp với điều kiện ban đầu ta x ∈ [0; x= ] Công việc mò nghiệm tập xác định; ta tìm giá trị Bây giờ, hai đường tiếp, “ép nghiệm” “khảo sát hàm số” Ta thử hai hướng  Hướng 1: Ép nghiệm: pt ⇔ (16x − 24x + 5) + √3 − 4x − = − 4x ⇔ (4x − 5)(4x − 1) + =0 √3 − 4x + 16 ⇔ (2x − 1) [8x + 4x − 10x − − ]=0 √3 − 4x + Công việc lại, mang nhiều nguy hướng chứng minh ngoặc to vô nghiệm tập xác định! Do phân số dương, nên ta thử chứng minh hàm số bậc ba bên âm tập xác định (nếu điều không xảy nói chung khó để giải quyết; nhiều không thể) Thật may khảo sát hàm g(x) = 8x + 4x − 10x − tập xác định giá trị âm; ngoặc to âm tập xác định x Và toán giải  Hướng 2: Khảo sát hàm số: Hướng thường sử dụng hướng không khả thi, biện pháp cuối Và ta thử xem hướng có khả thi không Xét h(x) = 16x − 24x + 8√3 − 4x − (x ∈ [0; ]) 16 16 có h′ (x) = 64x − 48x − = 16x(4x − 3) − √3 − 4x √3 − 4x 3 3 x ≤ ⇒ x < ⇒ h′ (x) < ∀ x ∈ (0; ) Nên h(x) nghịch biến [0; ] 4 4 Kết thu tốt tốt hơn! Vậy toán này, hai hướng xử lý khả thi, hướng khoa học Bài giải chi tiết x≤ Điều kiện: y≤ { y y y (1) ⇔ 4x + x = ( − ) √ − + √ − 4 Xét hàm số f(t) = 4t + t (t ∈ ℝ) có f ′ (t) = 12t + > ∀ t ∈ ℝ Do f(t) đồng biến ℝ y y Mà ta có f(x) = f (√ − ) ⇔ x = √ − (nên x ≥ 0) Khi ta được: 4 (2) ⇔ 16x − 24x + 8√3 − 4x − = (3)  Cách 1: Ép nghiệm: Ta có: (3) ⇔ (16x − 24x + 5) + √3 − 4x − = ⇔ (4x − 5)(4x − 1) + − 4x √3 − 4x + =0 ⇒ y = (thỏa mãn) 16 ⇔ (2x − 1) [8x + 4x − 10x − − ]=0⇔ 16 √3 − 4x + 8x + 4x − 10x − − =0 { √3 − 4x + Xét hàm số g(x) = 8x + 4x − 10x − với x ∈ [0; ] có g ′ (x) = 24x + 8x − 10 = ⇔ x = 55 Do g(0) = −5; g ( ) = − ; g ( ) = −8 nên g(x) < ∀ x ∈ [0; ] 16 Nên phương trình 8x + 4x − 10x − − = vô nghiệm [0; ] √3 − 4x + x= Vậy phương trình có nghiệm ( ; 2)  Cách 2: Khảo sát hàm số: Xét h(x) = 16x − 24x + 8√3 − 4x − (x ∈ [0; ]) 16 16 có h′ (x) = 64x − 48x − = 16x(4x − 3) − √3 − 4x √3 − 4x 3 3 x ≤ ⇒ x < ⇒ h′ (x) < ∀ x ∈ (0; ) Nên h(x) nghịch biến [0; ] 4 4 1 mà h ( ) = Nên x = nghiệm phương trình ⇒ y = 2 x= Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=2 Giải hệ phương trình: { √x + y + x(x + y) = √2y + 2y (1) √x + 4y − + = √3x − + y (2) 221rê rerfd s Hướng dẫn: Nhìn (1) làm ta nghĩ đến phương pháp xét hàm đại diện, ta nhẩm nghiệm x = y thỏa mãn (1); nhiên ý tưởng nhanh chóng bị tắt x(x + y) √x + y ! Tuy nhiên ta nhẩm x = y; ta không nên bỏ phí hướng giải Ta thử tiến hành ép biểu thức (x − y) Đương nhiên dùng kỹ thuật ta phải gạn chặt điều kiện! Sau ép xong, ta thu kết quả: ⇔ (x − y) ( + x + 2y) = √x + y + √2y Vấn đề ngoặc to đơn giản dương điều kiện xác định Vậy x = y Khi ta lại phải tiến hành ép nghiệm lần phương trình thu không dễ giải theo cách thông thường Và ta nhanh chóng tìm có nghiệm x = Kết ép nghiệm sau: x=2 x+6 x + (x − 2) ( − − 1) = ⇔ [ = + (3) √x + 4x − + √3x − + √x + 4x − + √3x − + Để cách làm không bị phá sản, ta phải chứng minh (3) vô nghiệm giá! Thử máy tính vài giá trị ta thấy vế trái (3) nhỏ vế phải Do ta thử chứng điều với x thỏa mãn điều kiện Cụ thể sau: (3) ⇔ x+6 √x + 4x − + −1= ⇔ x − √x + 4x − + √x + 4x − + 3 Ta có x − √x + 4x − = − 2; nên √x x2 + x − √x + 4x − + √3x − + 4x − + > √3x − + (5) Từ (4) (5) suy x − √x + 4x − + < >0∀x≥ 3 √x + 4x − + √3x − + 3 ⇔ < +1∀x≥ √x + 4x − + √3x − + Ơn trời cách làm chày cối cuối không phụ lòng người kiên trì! x+6 Bài giải chi tiết Điều kiện: y ≥ 0; x ≥ Ta có: (1) ⇔ √x + y − √2y + (x + xy − 2y ) = ⇔ (x − y) ( + x + 2y) = √x + y + √2y y≥0 Với { + x + 2y > ∀ x; y ∈ ℝ x≥ x + y + √2y √ Vậy x = y Khi đó; (2) tương đương: √x + 4x − + = √3x − + x ⇔ (√x + 4x − − 3) = √3x − − + (x − 2) x=2 x + ⇔[ = + (3) √x + 4x − + √3x − + x+6 x − √x + 4x − + 3 Ta có: (3) ⇔ −1= ⇔ = √x + 4x − + √3x − + √x + 4x − + √3x − + 4x − 3 Ta có x − √x + 4x − = − 0∀x≥ √x + 4x − + √3x − Và > 2; nên √x + 4x − + > √3x − + (5) x − √x + 4x − + 3 Từ (4) (5) suy < √x + 4x − + √3x − + x+6 3 ⇔ < +1∀x≥ √x + 4x − + √3x − + Do x = ⇒ y = nghiệm hệ phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm (2; 2) Nguồn gốc: Thực không chắn việc phương trình cuối có người đề giải kỹ thuật “ép nghiệm” hay không! Việc nghĩ cách làm chút đảm bảo mang nhiều yếu tố may mắn, chưa thể hoàn toàn hướng bắt nguồn phương trình Còn phương trình đầu hệ, có dạng tương đồng hàm số, kết cục lại không áp dụng chút gọi hàm số vào để xử lý Vậy người đề lại tạo kiểu phương trình oăm vậy? Câu trả lời không từ ý tưởng hàm số, mà từ ý tưởng đánh giá: “nếu f(x) > g(y) A > B (hoặc A < B); f(x) < g(y) A < B (hoặc A > B); lại trường hợp f(x) = g(y) A = B” Cụ thể này, ta giải phương trình đầu sau: Xét √x + y + x(x + y) = √2y + 2y (1) (với x; y > 0)) x + y > 2y ⇒ √x + y > √2y ⇒ √x + y + x(x + y) > √2y + 2y x(x + y) > y 2y = 2y x + y < 2y ⇒ √x + y < √2y Nếu x < y ⇒ ⇒ √x + y + x(x + y) < √2y + 2y x(x + y) < y 2y = 2y Do x = y, ta thấy thỏa mãn (1) Vậy hai phương pháp đánh giá hàm số đánh giá trực tiếp phương pháp hiệu tổng quát hơn? Câu trả lời phương pháp hiệu tổng quát Hai phương pháp phần bù nhau; gặp phương trình mà đánh giá hàm số lại đánh giá ta nên đánh giá trực tiếp Tuy nhiên số lượng sử dụng việc đánh giá trực tiếp không nhiều Và đánh giá trực tiếp tinh thần biểu diễn phép biến đổi liên hợp để ép thừa số Nếu x > y ⇒ ... (2), ta thu phương trình (1’) từ (1) phép đặt (2) Kết hợp hai phương trình (1’) (2) lại ta hệ phương trình cần lập Tiêu biểu ta thử xây dựng hệ phương trình đơn giản sau: Từ phương trình (2x −... ta hệ cần tạo 2 (1 − ) = 2x + 3x − − 2(y + 1)3 { x y + 2y − 10x + = Hệ đương nhiên giải từ phương trình thứ hai phương trình đầu hệ cồng kềnh (Trích:90 đề Toán tập 1–GSTT):Giải hệ phương trình: ... luận: Hệ phương trình có nghiệm là: y=1 Các bạn tham khảo cách giải khác “90 đề toán tập – GSTT” Nguồn gốc: Để tạo hệ phương trình trên, ta cần từ phương trình ẩn (1), tiến hành thay ẩn (1) hệ thức