Kỹ thuật dùng máy tính casio chinh phục hệ phương trình không mẫu mực trong đề thi trắc nghiệm môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT DÙNG MÁY TÍNH CASIO CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM MÔN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT DÙNG MÁY TÍNH CASIO CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI

TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

MỤC LỤC

2.3.1 Vấn đề 1: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp một

2.3.2 Vấn đề 2: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp cần

1 Mở đầu:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng, con người cần phải có một tri thức, một tư duy nhạy bén Muốn có những tri thức đó con người phải tự học, tự nghiên cứu Hiện nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật nhất là các ngành thuộc lĩnh vực công nghệ thông tin, trong đó máy tính cầm tay là một thành quả của những tiến bộ đó Máy tính cầm tay đã được sử dụng rộng rãi trong các nhà trường với tư cách là một công cụ hỗ trợ việc học tập, giảng dạy hay cả việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hiện đại như hiện nay một cách có hiệu quả Đặc biệt với nhiều tính năng mạnh như máy

Fx 500 Vn Plus thì học sinh còn được rèn luyện và phát triển dần tư duy thuật toán một cách hiệu quả Máy tính cầm tay là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho học sinh và giáo viên trong việc giải toán Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán một cách nhanh hơn, tiết kiệm được thời gian và tốn ít công sức hơn

Bắt đầu từ năm học 2016-2017 trở đi trong kỳ thi THPT quốc gia thì môn toán được tổ chức thi dưới hình thức trắc nghiệm Với hình thức thi đó học sinh phải giải bài toán với tốc độ nhanh để hoàn thành bài làm trong thời gian ngắn nhất Song trong cấu trúc của một đề thi trắc nghiệm, ngoài những câu hỏi nhận biết, thông hiểu và vận dụng thấp là các câu dễ làm và tốn ít thời gian thì bên cạnh đó là những câu vận dụng cao vừa khó tìm ra cách giải vừa mất rất nhiều thời gian Học sinh muốn đạt điểm 9-10 thì phải làm thành thạo các câu đó Và một trong số các câu hỏi khó đó có câu hỏi về hệ phương trình không mẫu mực vốn đã khó trong bài thi tự luận và mất rất nhiều thời gian để giải Để đáp ứng yêu cầu đó ngoài việc học sinh có năng lực tư duy tốt thì sử dụng máy tính cầm tay sẽ đem lại hiệu quả cao hơn, giúp các em tìm ra lời giải nhanh hơn tiết kiệm được thời gian để giải toán Đặc biệt với các em học sinh tôi thấy các em có sự say mê khi khám phá được nhiều chức năng của máy tính cầm tay nên các em ham học, say mê tìm tòi hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Vì những lý do trên nên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm:

- Giúp cho học sinh hình thành thuật toán để giải bài toán hệ phương trình một cách nhanh hơn, tiết kiệm được thời gian đáp ứng được yêu cầu về mặt thời gian trong giải toán đặc biệt là giải toán trắc nghiệm

- Tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh một số ứng dụng hay của máy tính cầm tay trong dạy học môn toán và kỹ năng dùng máy tính cầm tay trong giải toán trắc nghiệm

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

* Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh THPT, học sinh ôn thi THPT quốc gia và có thể áp dụng cả cho học sinh lớp 9 ôn thi học sinh giỏi

* Phạm vi nghiên cứu:

- Không trình bày các vấn đề cơ bản về máy tính casio mà chỉ minh họa các ví dụ

cụ thể và có tính toán mới trong giải toán

- Kỹ thuật dùng máy tính casio dò nghiệm để giải hệ phương trình

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp nêu vấn đề

- Phương pháp phân tích

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Sáng kiến kinh nghiệm này dựa trên cơ sở:

- Các kiến thức cơ bản về máy tính Casio, kỹ năng dùng máy tính casio giải phương trình [3]

- Các kiến thức toán học cơ bản trong chương trình THPT [1], [2]

- Một số kĩ thuật giải hệ phương trình đại số như phương pháp cộng, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá… và ứng dụng của máy tính Casio.( Ở đây tôi dùng máy tính Casio fx 570 Vn Plus) [3], [5]

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Thứ nhất, ngày nay là thời đại của khoa học công nghệ, hầu hết các gia đình đều trang bị cho con em mình một cái máy tính cầm tay Bên cạnh đó, trong hầu hết các kỳ thi thí sinh đều được đem máy tính cầm tay vào phòng thi

Thứ hai, kể từ năm học 2016-2017 trở đi trong các kỳ thi THPT quốc gia môn toán thi dưới hình thức trắc nghiệm với thời gian 90 phút 50 câu

Thứ ba, trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng trình độ của học sinh rất khác nhau, mức độ và năng lực tư duy cũng chênh lệch đáng kể Đứng trước bài toán giải hệ phương trình không mẫu mực các em thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu để tìm được lời giải do đó mất rất nhiều thời gian tìm ra lời giải mà một

đề thi trắc nghiệm chỉ làm trong thời gian 90 phút

Vì thế nhằm tạo điều kiện cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo gây được hứng thú và phát triển tư duy lôgic, giúp các em tiết kiệm thời gian giải toán, sáng kiến kinh nghiệm này đề cập một vấn đề mới giúp học sinh khai thác tối đa chức năng của máy tính cầm tay để chinh phục bài toán giải hệ phương trình không mẫu mực đạt điểm cao trong các kỳ thi

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

2.3.1 Vấn đề 1: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp một trong hai phương trình của hệ phân tích được thành nhân tử.

* Đặt vấn đề:

Khi bắt tay vào giải hệ phương trình, nếu ta không nhận thấy được nó thuộc dạng cố định nào đó đã học thì việc đầu tiên ta nên nghĩ tới là thử xem một trong hai phương trình của hệ có phân tích được thành nhân tử không Và việc này nếu có

sự hỗ trợ của máy tính sẽ đơn giản hơn nhiều

* Nội dung phương pháp:

Ta dùng máy tính để dò tìm mối liên hệ giữa x và y từ một trong hai phương trình của hệ Từ đó tùy từng hệ ta có thể dùng phương pháp hàm số, phương pháp nhân liên hợp, phương pháp đánh giá để tìm ra mối liên hệ như dự đoán

* Phương tiện để dò nghiệm:

Ta dùng phím SOLVE để dò nghiệm.

Muốn tìm mối liên hệ của x và y ta nhập vào máy tính một trong hai phương trình của hệ mà ta dự đoán là phân tích được thành nhân tử

Bước 1 : Nhập phương trình cần dò nghiệm vào máy:

Ví dụ muốn nhập pt : 2 x 1 ( 2x 2y 1 2 ( x 1) )y

Ấn trên máy:

2AnlphaX  1 ( 2AnlphaX  2AnlphaY  1 2 ( AnlphaX  1)AnlphaY)

Bước 2: Dò tìm các giá trị của x và y:

Sau khi nhập xong phương trình, bấm Shift solve, máy hỏi Y? nhập 0 =, máy hỏi

Solve for X thì nhấn dấu “=”

Máy sẽ xử lý, chờ một lúc máy hiện kết quả Y= 0 thì X= 1

Tiếp theo ấn mũi tên sang trái để quay trở lại pt, lại tiếp tục bấm Shift solve, sau đó nhập giá trị khác của Y Cứ như vậy ta có kết quả như bảng sau:

Y 0 1 2 3

X 1 2 3 4

Dự đoán quy luật: x – 1 = y

* Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Hệ phương trình:

2 2

2 2

x y xy x y

x y x x y x y







có bao nhiêu nghiệm?

A 0 B.1 C 2 D 3 [4].

Phân tích:

Nhập máy phương trình (1) ta có kết quả:

Dự đoán: y = 2x + 1

Lời giải:

Điều kiện: 2x y  0;x 4y 0

1 (1)

2 1

y x

 



   



* Với y = x + 1 thay vào phương trình (2) ta được:

0

1

x

x





Suy ra hệ có 2 nghiệm (x;y) là (0;1) và (1;2)

* Với y = 2x + 1 thay vào (2) ta được:

3 3 4 1 9 4 3 ( 4 1 1) ( 9 4 2) 0

Suy ra hệ có nghiệm (x;y) là (0;1)

Đối chiếu điều kiện hệ có 2 nghiệm là (0;1) và (1;2)

Vậy ta chọn C

Ví dụ 2: Hệ phương trình:

3 2

x y x y x y







có 2

nghiệm ( ; )x y và 1 1 ( ; )x y Khi đó tổng 2 2 x1 x2 là:

A -1 B 0 C 1 D 2

Phân tích:

Bấm máy xử lý pt (1):

Dự đoán: y = x + 1

Mà x, y đứng độc lập nên ta sẽ dùng phương pháp hàm số

Lời giải:

Điều kiện: x 2;y 4

(1)  (x 1)  2(x 1)  3(x 1) y  2y  3y

Xét hàm số: f t( )  t3 2t2  3 , '( ) 3t f t  t2  4t  3 0,  t R

Nên y = x + 1 Thay vào (2) ta được:

3 2

2

2

2

2

2( ( 2)(3 ) 2)

( 2)( 2) ( 2 3 3)( ( 2)(3 ) 2)

2

( 2 3 3)( ( 2)(3 ) 2) 1

2 0

2

x

x

      

   

  





      



Vậy hệ pt có 2 nghiệm (2;3) và (-1;0)

Ta chọn C







có

nghiệm (x;y) thỏa mãn đẳng thức nào sau đây?

A x – y = 1 B x + y = 4 C 2x – y =1 D 2x + y = 4

Phân tích:

Bấm máy xử lý phương trình (1) ta có kết quả như bảng sau:

Y 0 1 2 3

X 1 2 3 4

Dự đoán quy luật: x – 1 = y

Ta sẽ biến đổi phương trình (1) để xuất hiện nhân tử chung là x - 1 - y

Lời giải:

Điều kiện: x 1;y 0; 2x 2y  1 0;3xy 2x  2 0

(1) (x y ) 2x 2y 1 ( x 1) 2 ( x 1)y  y0

2

2

x y

x y x y

2 2

2

0

2

2

x y

      

PT (1)

Thế vào pt (2) ta được:

(2) 3x 2 x 1 4 x 9 2 (3 x 2)(x 1)

Đặt

2

2

3

6 0

2( )

17( )

1

t

pt t t

t l

x l

x x

y











Vậy hệ có 1 nghiệm (2;1)

Ta chọn A

Ví dụ 4: Hệ phương trình:

2

y x y x x y y

y x y x y x y







có 2 nghiệm ( ; )x y và 1 1 ( ; )x y 2 2

Khi đó x1 x2 y1 y2 là:

A 2 3 B 4 5 C 2 3 D 4 5 [4]

Phân tích:

Bấm máy xử lý pt (1) ta được kết quả:

Y 0 1 2 3

X 1 2 3 4

(Chú ý: Ở bài này điều kiện là x y nên khi máy hỏi “solve for x” ta phải nhập giá

trị của x lớn hơn y)

Dự đoán quy luật: x – y = 1 từ đó ta có lời giải

Lời giải:

Điều kiện:

0 2

y

x y

x y













1 1

1 1 1

1

y x y

y x y do

y

y x







Với y = 1 thay vào (2) ta được: 9 – 3x = 0 x = 3

Với y = x - 1 (Đk: 1  x 2) thay vào (2) ta được

1 2

  

1 2

  

5 1 2 5

2

x

x loai



 









 





1 5 2

  

Ta chọn B

Ví dụ 5: Hệ phương trình:

2

3







có nghiệm (x;y)

thỏa mãn bất đẳng thức nào sau đây?

A x y  1 B x y  2 C x y 3 D.x y 0 [4]

Phân tích:

Đặt điều kiện, sau đó bấm máy xử lý pt (1)

Ta có kết quả như sau:

X 3,16… 3 2,828… 2,64…

Dự đoán quy luật: y + x2 = 12

Nhưng ở bài này ta không thể phân tích thành nhân tử như mấy bài trước Giờ ta thử đi đánh giá 2 vế của pt xem sao

Lời giải:

Điều kiện:

2

2  y 12;x  12

Áp dụng BĐT Cauchy cho vế trái ta được

0 12

12 12

x





 

 



Thay vào pt (2) ta được:

2

2

( 3)( 3 1) 2(1 10 ) 0

2( 3)

1 10 3

x

x y



Vậy hệ có nghiệm (3;3)

Ta chọn D

* Bài tập tự luyện:

Câu 1: Hệ phương trình:

2

2

xy x y y x y







có mấy nghiệm?

A 0 B 1 C 2 D 4

Câu 2: Hệ phương trình:

4 4

x x y y y







có 2 nghiệm

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng:

A x 3;y 2 B x3;y2 C x3;y2 D x3;y2

Câu 3: Hệ phương trình:

2

2 2







có nghiệm (x;y) thỏa mãn mệnh đề nào dưới đây:

A x Z y Z ;  B x Q y Z; 

  C x Z y N ;  D x Q y Z; 

Câu 4: Hệ phương trình:

2

x x y y x y







có nghiệm (x;y)

thuộc đường thẳng nào sau đây?

A 2x + 3y = 6 B x – y = 2 C 3x + 2y = 5 D x + y = 3

(Chú ý: Đáp án là chữ cái được gạch chân)

2.3.2 Vấn đề 2: Kỹ thuật sử dụng máy tính casio trong trường hợp cần phải kết hợp 2 phương trình của hệ mới có thể phân tích thành nhân tử

* Đặt vấn đề:

Một số hệ phương trình giải bằng phương pháp cộng đại số, nhiều học sinh không hiểu được số k mà đáp án đưa ra được tìm như thế nào Mà nếu có tìm được thì việc tìm nhân tử chung cũng không dễ dàng gì nếu không có kĩ năng Song giờ đây các em có thể dùng máy để dò tìm số k mà không phải vất vả đi tìm bằng phương pháp hệ số bất định nữa

* Nội dung phương pháp:

Khi bấm máy thử cả hai phương trình của hệ mà không tìm được mối liên hệ của x và y vì toàn ra số xấu ta sẽ kết hợp cả 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ

Đó là ta cần tìm số k sao cho khi lấy pt thứ nhất của hệ cộng với k lần pt thứ hai

của hệ thì ta được một pt mới có thể phân tích được thành nhân tử Tức là ta bấm máy sẽ tìm được mối liên hệ của x và y

* Phương tiện để tìm số k:

Bước 1: Nhập vào máy pt (1) + k (2) (số k ở đây ta thử lần lượt các giá trị chứ

không nhập biến cụ thể)

Bước 2: Lần lượt thử với k = 0, k = 1,… Nhập giá trị y = 0 thử cho đến khi ta

được x đạt giá trị nguyên hoặc phân thức hữu tỷ…, ta thử tiếp với y = 1,….Từ đó suy ra mối liên hệ của x và y

* Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Hệ phương trình:

2

2

5 7 (2)





A 2 B 3 C 4 D 0 [5].

Phân tích:

Viết lại hệ thành

2

2

5 7 0 (2)





   



Nhập vào máy (1) + k (2) Sau đó lần lượt thử với k = 0, k = 1 Nhập giá trị y = 0 ta thấy k = 1 cho x là số hữu tỷ , ta thử tiếp với y = 1…Ta được bảng sau:

Dự đoán: 2x + y = 3

Lời giải:

Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ ta được:

2 2

* Với y = 3 – 2x thay vào (1) ta được:

2

2x  4x   2 0 x  1 y 1

* Với y = -4 – x thay vào (1) ta được:

9x 9 x 1 y 3

     

Vậy hệ có 2 nghiệm là (1;1) và (-1;-3)

Ta chọn A

Ví dụ 2: Hệ phương trình:

2 2

2

( ) ( 1) 3 (1 ) (2)





2 2

( ; )x y , ( ; )x y ,3 3 ( ; )x y Khi đó tích 4 4 x x x x bằng:1 2 3 4

A 10 B 6 C 4 D 3 [5]

Phân tích:

Nhập máy phương trình (1) + k (2) và thử với k = 0, 1, -1 ta chọn k = -1 Kết quả cho như bảng sau:

Dự đoán nhân tử x + 1 = 0

Lời giải:

Lấy (1) – (2) ta được:

2

1

x





 



Với x = -1 thay vào (1) ta được: 2y2  2y  4 0 pt vô nghiệm

Với

2

1 y xy 3y 0 x y y

y

 

2

2

2

1

1 0

2

y

y









2

2

Với y  1 2  x  3 2 2

Với y  1 2  x  3 2 2

Vậy hệ có 4 nghiệm (3 5; 1 5)

2

 

 , (3 5; 1 5)

2

 

 , (3 2 2; 1    2) , (3 2 2; 1    2)

Ta chọn C

Ví dụ 3: Hệ phương trình:

2 2

1 2 2 (1)

    



Đặt a x 1 x b2 ; y1 y2 Khi đó:

A 6, 8

a b B 8, 6

a b C 1, 6

5

a b D 8, 2

5

Phân tích:

Thử với k = 1 ta được kết quả:

Dự đoán: x là nhân tử chung

Lời giải:

Lấy (1) + (2) ta được:

1 1 0

2 2

x

   



                







   



Với x  0 y 1

Với x = -2y + 2 thay vào (1) ta được:

2

   

Vậy hệ có 2 nghiệm: (0;1) và ( ; )8 1

5 5

Ta chọn B

Ví dụ 4: Hệ phương trình:

3 3 5 2 14 2 97 28 755 (1) ( 3)( 4) ( 11)(14 ) (2)



1 1

( ; )x y và ( ; )x y2 2 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M( ; )x y1 1 và N( ; )x y2 2 là:

A x + y - 11 = 0 B x – y – 11 = 0 C x + y + 11 = 0 D x – y +11 = 0

Phân tích:

Bài này ta phải thử hơi lâu một chút, k = 7 mới có số đẹp và kết quả như sau:

Dự đoán: y - x = 11

Lời giải:

Lấy (1) + 7.(2) ta được:

3 12 2 48 64 3 21 2 147 343 ( 4) 3 ( 7) 3 11

2 10 112 0

      

Vậy hệ có 2 nghiệm (2;13), (3;14)

Ta chọn D

* Bài tập tự luyện:

Câu 1: Hệ phương trình:

4 4 2 2

2 2





A 1 B 4 C 6 D 3

Câu 2: Cho hệ phương trình:

x y x y

x x y y y



 Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x, y đều là các số vô tỷ.

B Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x, y đều là các số hữu tỷ.

C Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x, y đều là các số nguyên

D Nghiệm của hệ phương trình là các cặp (x;y) mà x đều là số vô tỷ, y là số

nguyên

Câu 3: Hệ phương trình:

2 2

x y xy y

y x y x





Khi đó hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:

A x1 x2  y1 y2 B x1 x2 y1 y2 C x1 x2  (y1 y2 ) D x1 x2  y1 y2

Câu 4: Cho hệ phương trình:

x x x y

y y y x





Tìm mện đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Có đúng một cặp (x;y) mà x, y nhận các giá trị nguyên.

B Có hai cặp (x;y) mà x, y nhận các giá trị nguyên.

C Có ba cặp (x;y) mà x, y nhận các giá trị nguyên.

D Không có cặp (x;y) nào mà x, y nhận các giá trị nguyên.

Câu 5: Cho hệ phương trình:

3 3

2 2

9

x y

x y x y





liên hệ giữa x và y là:

A y = x + 3 B x = y + 2 C y = x - 3 D x = y - 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Sau khi dạy cho học sinh phương pháp này tôi nhận thấy ở các em sự say mê và hứng thú học tập, các em đã thành thạo kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay trong quá trình học chuyên đề phương trình, hệ phương trình Các em đã không còn lúng túng khi gặp bài toán giải hệ phương trình không mẫu mực mà đã chủ động phân tích, dò nghiệm để tìm ra lời giải

Tôi cũng đã chia sẻ phương pháp này cho các giáo viên trong tổ bộ môn của mình Các thầy cô đã áp dụng và cũng thu được kết quả tốt Các em học sinh và thầy cô giáo đều có ý kiến phản hồi tốt về phương pháp này

Tôi đã tiến hành thực nghiệm tại trường THPT Lương Đắc Bằng Tôi cho học sinh làm bài kiểm tra sau khi dạy phương pháp này

Kết quả kiểm tra như sau: