Đề ôn thi cao học vào Học viện công nghệ bưu chính viễn thông
BÀI TẬP ÔN THI CAO HỌC - 2012 -*** PHẦN 1: LÝ THUYẾT TỔ HỢP *** * Vấn đề 1: Công thức cộng/nhân/bù 1.1 Công thức cộng a) |X1 ∪ X2|= |X1|+|X2| – |X1 ∩ X2| b) |X1 ∪ X2 ∪ X3| = |X1|+|X2|+|X3| – |X1 ∩ X2|– |X1 ∩ X3|– |X2 ∩ X3| +|X1 ∩ X2 ∩ X3| c) |X1 ∪ X2 ∪ …Xm|= N1 – N2 +…+(-1)m-1Nm; với Nk tổng phần tử giao k tập lấy từ n tập 1.2 Công thức nhân a) |X1 x X2|=|X1| x |X2| b) |X1 x X2 x x Xn|=|X1| x |X2|x x |Xn| c) Xét có thứ tự (x1, ,xn); xi có ki khả số khác k1.k2 kn 1.3 Công thức bù A ⊂ X; A phần bù A X => |A|=|X| \| A | -Bài Giả sử tất số điện thoại giới đánh số theo qui tắc sau: bắt đầu mã quốc gia dài từ đến chữ số, tức có dạng X XX XXX; 10 chữ số dạng NNX-NXX-XXXX, N nhận giá trị từ đến 9, X biểu thị chữ số từ đến Theo cách đánh số có tối đa số điện thoại khác nhau? Bài 2: Có biển số xe bắt đầu chữ in hoa kết thúc chữ số, biết có 26 chữ bảng chữ tiếng Anh? Bài 3: Có số nguyên phạm vi đến 999 chia hết cho 9? Bài 4: Có số nguyên phạm vi 1000 đến 5000 chia hết cho 9? Bài 5: Có số nguyên phạm vi 5000 đến 10000 chia hết cho 12? ĐS=835 Bài 6: Có số nguyên từ đến 10000 không chia hết cho số số 3,4,7 Bài 7: Có xâu nhị phân độ dài 10 không bắt đầu số không kết thúc số Bài 8: Có số có 10 chữ số với chữ số 1,2,3 mà chữ số 1,2,3 có mặt lần? Bài 9: Lớp học có 55 bạn nam 35 bạn nữ Hãy cho biết có cách chọn đội văn nghệ lớp cho số bạn nam số bạn nữ, biết đội văn nghệ cần thành viên nhiều 10 thành viên Bài 10: Lớp học có 60 bạn nam 25 bạn nữ Hãy cho biết có cách chọn đội văn nghệ lớp cho số bạn nam hai lần số bạn nữ, biết đội văn nghệ cần thành viên nhiều thành viên * Vấn đề 2: Tổ hợp lặp, hoán vị lặp a) Chỉnh hợp n! k - số chỉnh hợp không lặp chặp k n phần tử = An = (n − k )! k - số chỉnh hợp lặp chặp k n phần tử = n b) Tổ hợp n! k - Số tổ hợp không lặp chặp k n phần tử = C n = k!(n − k )! k - Số tổ hợp lặp chặp k n phần tử = Cn+k −1 c) Hoán vị - Số hoán vị không lặp n phần tử = n! - Số hoán vị lặp n phần tử, có n1 phần tử thuộc loại 1, , nk phần tử thuộc loại k n! = n1! n2 ! nk ! d) Số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + +xn = k k = Cn+k −1 e) Số cách cất n vật khác vào k hộp cho cất ni vật vào hộp thứ i (i=1, ,k) n! = n1! n2 ! nk ! -Bài 1:(tổ hợp lặp) a) Một học sinh đến cửa hàng mua k viết n màu khác nhau, hỏi có cách mua? b) Tính số nghiệm nguyên không âm pt sau: x1+ +xn = k Bài 2: Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có nghiệm nguyên không âm cho a) x1 ≥ 1? b) xi ≥ với i = 1, 2, 3, 4, 5? c) ≤ x1 ≤ 10? d) ≤ x1 ≤ ≤ x2 ≤ 4, x3 ≥15 ? Bài 3: Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có nghiệm nguyên không âm cho a) x1 ≥ 1, x3 ≥ b) 5≤ x3 ≤ 10? c) ≤ x1 ≤ ≤ x2 ≤ 4, ≤ x3 ≤ 6, ≤ x5 ≤ Bài 4: Có giỏ đựng táo, cam, lê giỏ chứa qủa a) Có cách chọn qủa? b) Có cách chọn qủa mà có táo, cam, lê? Bài 5: Bất đẳng thức x1+x2+x3 kỷ lục f , nên ta loại tất phương án hoàn chỉnh x phát triển từ phương án phận a Nếu toán tối ưu tìm max {f(x): x ∈ D} cần xây dựng hàm g (hàm tính cận trên) cho: g(a1, …,ak) ≥ max {f(x): x ∈ D, x1 = a1, …,xk = ak} phương án phận a=(a1,…,ak) có g(a1, …,ak) < f ⇒ f > g(a1, …,ak) ≥ max {f(x): x ∈ D, x1 = a1, …,xk = ak} ⇒ phương án hoàn chỉnh x=(x1,…,xn) phát triển từ phương án phận a=(a 1, …,ak) có hàm mục tiêu f(x) < kỷ lục f , nên ta loại tất phương án hoàn chỉnh x phát triển từ phương án phận a * Cài đặt: (tìm min) void Try(int i) //xac dinh xi { for (xét tất knj xi) { if (chấp nhận knj) //nếu chấp nhận khả j { ghi nhận việc chọn knj // (*) :lệnh xi = knj; //lưu kn j vào xi if (i==n) //đã xác định đủ n thành phần cập nhật kỷ lục kỷ lục nhỏ hơn; else if ( g(a1, …,ak) ≤ f ) //tim max thi g(a1, …,ak) ≥ f Try(i+1); // xác định xi+1 ghi nhận việc bỏ chọn knj // lệnh (*) } } } void nhanhcan(){ f = + ∞ ; //nếu biết phương án x đặt f = f( x ).Nếu tìm max f = - ∞ Try(1); //tim x1 } -Bài 1: (Bài toán túi) Có n loại đồ vật, loại đồ vật thứ i có trọng lượng a i giá trị sử dụng ci Cần bỏ đồ vật vào túi có trọng lượng b, cho tổng giá trị sử dụng đồ vật chất túi lớn n D tập phương án, D={x =(x1,…,xn): ∑a x i =1 i i ≤ b, xi ∈ Z+, i=1,…,n} n Hàm mục tiêu f(x) = ∑c x i =1 i i Bài toán túi có dạng: Tìm max {f(x) :x ∈ D} (1) Không giảm tính tổng quát, ta giả thiết loại đồ vật đánh số cho thoả mãn: c1/a1 ≥ c2/a2 ≥ … ≥ cn/an Mệnh đề: Phương án tối ưu (1) với biến liên tục (xi ∈ R+) x =(x1,x2,…,xn)=(b/a1,0,…,0) giá trị tối ưu (c1/a1)b Chứng minh: n n n i =1 i =1 i =1 ci/ai ≤ c1/a1 , i=1,…,n ⇒ cixi ≤ (c1/a1)aixi ⇒ f(x) = ∑ ci xi ≤ ∑ (c1 / a1 )ai xi =(c1/a1) ∑ xi = (c1/a1)b Bây giả sử có phương án phận cấp k: (u1, …,uk) Khi gía trị sử dụng túi là: σ k =c1u1+…+ckuk trọng lượng lại túi bk= b – a1u1 – a2u2 – … – akuk Ta có: n max {f(x)= ∑ ci xi : x ∈ D, xi = ui, i = 1,…,k} = max { σ k + i =1 ≤ σ k + max { n ∑ i = k +1 ci xi : n ∑ ax i = k +1 i i n n ∑cx : ∑ ax i = k +1 i i i = k +1 i i ≤ bk, xi ∈ Z+} ≤ bk, xi ≥ 0} = σ k + (ck+1/ak+1)bk ⇒ chọn hàm tính cận g(x)= σ k + (ck+1/ak+1)bk Nhận xét: ak+1 xk+1 +….+ an xn ≤ bk ⇒ xk+1 +(ak+2 xk+2….+ an xn)/ak+1 ≤ bk / ak+1 ⇒ xk+1 ≤ bk / ak+1 ⇒ khả chọn cho xk+1 0,…, bk / ak+1 ⇒ khả chọn cho xk 0,…, bk-1 / ak Do mệnh đề cm, ta chọn khả theo thứ tự giảm dần * Giải toán túi sau: Tìm max : f(x)=10x1+5x2+3x3+6x4 Thoả điều kiện: 5x1+3x2+2x3+4x4 ≤ 8; xi ∈ Z+ Bài 2: (Bài toán người du lịch) Cố định thành phố xuất phát T1 Bài toán người du lịch trở thành toán : Tìm { f(x2,…,xn)=c[1,x2]+c[x2,x3]+…+c[xn-1,xn]+c[xn,1] | (x2,…,xn) hoán vị {2,…,n} } G/s qua k thành phố: T1 > T(a1) >… >T(ak) ứng với phương án phận (a1, a2,…, ak) chi phí cho hành trình phận σ =c[1,a2]+c[a2,a3]+…+c[ak-1,ak] Để phát triển thành hành trình đầy đủ, phải qua n-k+1 đoạn đường Ta có: σ +(n-k+1)cmin ≤ {f(x): x1 = a1, …,xk = ak} nên chọn g(a1,…,ak)= σ +(n-k+1)cmin * Giải toán người du lịch với ma trận chi phí sau: 17 9 15 14 11 18 22 16 15 20 12 ... mãn: c1/a1 ≥ c2/a2 ≥ … ≥ cn/an Mệnh đề: Phương án tối ưu (1) với biến liên tục (xi ∈ R+) x =(x1,x2,…,xn)=(b/a1,0,…,0) giá trị tối ưu (c1/a1)b Chứng minh: n n n i =1 i =1 i =1 ci/ai ≤ c1/a1 , i =1, …,n... (ck +1/ ak +1) bk ⇒ chọn hàm tính cận g(x)= σ k + (ck +1/ ak +1) bk Nhận xét: ak +1 xk +1 +….+ an xn ≤ bk ⇒ xk +1 +(ak+2 xk+2….+ an xn)/ak +1 ≤ bk / ak +1 ⇒ xk +1 ≤ bk / ak +1 ⇒ khả chọn cho xk +1 0,…, bk / ak +1. .. = c1an -1 + c2an-2 + …+ ckan-k (n ≥ k) (1) Với a0= C0, …, ak -1= Ck -1 (c1, c2, …, ck, C0,…, Ck -1 số ck ≠ 0) Phương trình đặc trưng (1) là: rk - c1rk -1- c2rk-2-…- ck = (2) Xét k=2: an = c1an -1 +