Chương IV: Tản mạn về Hệ phương trình
Bài 1: Mở rộng hệ phương trình đối xứng loại hai: Hệ lặp ba ẩn
Hệ lặp ba ẩn (hay còn gọi là hệ hoán vị vòng quanh) là hệ phương trình có dạng:
{
f(x) = g(y) f(y) = g(z) f(z) = g(x)
Nếu f và g là hai hàm số đơn điệu (cùng chiều hoặc ngược chiều) trên một miền A (A⊂ℝ) thì x = y = z.
Chứng minh: Do vai trò của x, y, z trong hệ phương trình là như nhau, nên ta giả sử x ≤ y ≤ z
Trường hợp 1: f và g là hai hàm đơn điệu cùng chiều (giả sử là cùng đồng biến; tương tự với trường hợp cùng nghịch biến).
Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≤ z ⇒ f(y) ≤ f(z) ⇒ g(z) ≤ g(x) ⇒ z ≤ x Nên ta thu được: x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z
Trường hợp 2: f và g là hai hàm đơn điệu ngược chiều (giả sử f đồng biến còn g nghịch biến; tương tự với trường hợp còn lại).
Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≥ z ⇒ f(y) ≥ f(z) ⇒ g(z) ≥ g(x) ⇒ z ≤ x Nên ta thu được: { x ≤ y ≤ z
x ≤ y ≥ z ≤ x ⇒ x = y = z
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi x = y = z.
Lưu ý: Bạn cũng có thể tổng quát hệ lặp lên nhiều hơn 3 ẩn. Kết quả thu được vẫn là tất cả các ẩn đều bằng nhau. Cách chứng minh tương tự như trên.
Phương pháp 1: Những bài tập suôn sẻ
Hướng dẫn:
Trước tiên ta nhìn thấy đây là hệ lặp 3 ẩn do vai trò của x, y, z là như nhau. Đầu tiên khi vào làm hệ phương trình nhất thiết phải đặt điều kiện. Ở đây ta dễ dàng thấy điều kiện là x,y,z ∈ R (do x2− x + 1 > 0).
Làm như phương pháp nêu trên thì ta phải xét hàm số f(t) = t3+ 3t − 3 + ln(t2− t + 1) trên tập ℝ.
f(t)́ = 3t2+ 3 + 2t − 1
t2− t + 1= 3t2+3t2− t + 2
t2− t + 1 > 0, ∀t ∈ R.
⇒ f(t) đồng biến trên R. Vậy bài toán sẽ được trình bày tiếp giống như phần lý thuyết đã nêu.
Bài giải chi tiết:
Xét hàm số f(t) = t3+ 3t − 3 + ln(t2− t + 1) (t ∈ ℝ). Ta có:
f′(t) = 3t2+ 3 + 2t − 1
t2− t + 1= 3t2+3t2− t + 2
t2− t + 1 > 0, ∀ t ∈ R Nên hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.
Do vai trò của x, y, z trong hệ phương trình là như nhau, nên ta giả sử x ≤ y ≤ z Do x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y) ⇒ g(y) ≤ g(z) ⇒ y ≤ z
⇒ f(y) ≤ f(z) ⇒ g(z) ≤ g(x) ⇒ z ≤ x
Nên ta thu được: x ≤ y ≤ z ≤ x ⇒ x = y = z. Khi đó ta được:
(1) ⇔ x3+ 2x − 3 + ln(x2− x + 1) = 0
Xét h(x) = x3+ 2x − 3 + ln(x2− x + 1) trên ℝ. Ta có:
h′(x) = 3x2+ 2 + 2x − 1
x2− x + 1= 3x2+ 2x2+ 1
x2− x + 1> 0, ∀x ∈ R Nên hàm số h(x) đồng biến trên ℝ.
434 Giải hệ phương trình: {
x3+ 3x − 3 + ln(x2− x + 1) = y (1) y3+ 3y − 3 + ln(y2− y + 1) = z z3+ 3z − 3 + ln(z2− z + 1) = x
Mà g(1) = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = 1 y = 1 z = 1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = 1 − √2 y =1 − √2
2
; {
x = 1 − √54 y =1 − √5
8
Bài giải chi tiết:
Điều kiện: { xy ≥ x
x ≤ 5 y ≤ 1
hpt ⇔ {2√xy − y = 5 − x − y
√5 − x + √1 − y = 1 ⇔ {
x + y ≤ 5
4(xy − x) = 25 − 10(x + y) + x2+ 2xy + y2 6 − x − y + 2√5 − x − 5y + xy = 1
⇔ {
x + y ≤ 5
x2+ y2− 2xy − 10x − 6y + 25 = 0 2√2 − x − 5y + xy = x + y − 5
⇔ {
x + y = 5
x2+ y2− 2xy − 10x − 6y + 25 = 0 2√2 − x − 5y + xy = x + y − 5
⇔ {x = 5 y = 0 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = 5
y = 0
Bài giải chi tiết:
Điều kiện: { y ≥ 1 x + y ≥ 0
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
{ x2+ 4y2= 5
(x + y)√y − 1 − √y − 1 − (y − 1)√x + y + √x + y = 0
⇔ { x2+ 4y2= 5
(√x + y. √y − 1 + 1)(√x + y − √y − 1) = 0⇔ { x2+ 4y2= 5
√x + y = √y − 1⇔ {x2+ 4y2= 5
x = −1 ⇔ {x = −1 y = ±1 Do y ≥ 1 nên nghiệm thỏa mãn là {x = −1
y = 1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {x = −1 y = 1
Bài giải chi tiết:
Điều kiện: {x ≥ 3 4 y ≥ 0
(2) ⇔ (y + 5)(y − 3x − 2) = 0 ⇔ y = 3x + 2 (vì y ≥ 0) Khi đó, phương trình (1) trở thành:
(1) ⇔ √4.y − 2
3 − 3 = (2y2+ 11)(17 − y) + √y ⇔ √4y − 17
3 − √y = (2y2+ 11)(17 − y) 510 Giải hệ phương trình: {2√xy − y + x + y = 5
√5 − x + √1 − y = 1
511 Giải hệ phương trình: { x2+ 4y2= 5
(x + y − 1)√y − 1 = (y − 2)√x + y
512 Giải hệ phương trình:{√4x − 3 = (2y2+ 11)(17 − y) + √y (1) y(y − 3x + 3) = 5(3x + 2) (2)
⇔ y − 17 4y − 173 + √y
= (2y2+ 11)(17 − y) ⇔ (y − 17) (
1 4y − 173 + √y
+ 2y2+ 11 ) = 0
⇔ y = 17 ⇒ x = 5 (thỏa mãn)
Kết luận: Hê phương trình có nghiệm là: {x = 5 y = 17
Bài giải chi tiết:
Điều kiện: y ≠ 0
(1) ⇔ (y + 2)(x2+ y2− 1) = 0 ⇔ [ y = −2 x2+ y2= 1 Với y = −2; (1) ⇔ 4x2= x2(√x2+ 1 + 1) ⇔ [ x = 0
x = ±2√2 Ta được các nghiệm { x = 0
y = −2 ; {x = ±2√2 y = −2 Với x2+ y2= 1 ⇒ −1 ≤ x; y ≤ 1
(1) ⇔ 4√x2+ 1 − x2+ y3− 3y − 2 = 0 Ta có 4√x2+ 1 − x2= 4x2+ 4 − x4
4√x2+ 1 + x2 =4 + x2(4 − x2)
4√x2+ 1 + x2 ≥ 4 ∀ x ∈ [−1; 1]
Mặt khác y3− 3y − 2 + 4 = y3− 3y + 2 = (y − 1)2(y + 2) ≥ 0 ∀ y ∈ [−1; 1]
Suy ra 4√x2+ 1 − x2+ y3− 3y − 2 ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi {x = 0
y = 1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { x = 0
y = −2 ; {x = ±2√2
y = −2 ; {x = 0 y = 1
Bài giải chi tiết:
Điều kiện: x ∈ [−1;15 2]
Phương trình(1) tương đương với: (1) ⇔ y4− 2xy2+ 7y2+ x2− 7x − 8 = 0
⇔ (y2− x)2+ 7(y2− x) − 8 = 0 ⇔ (y2− x − 1)(y2− x + 8) = 0
⇔ [y2= x + 1 y2= x − 8 Nhận thấy x ≤ 15
2 ⇔ x − 8 ≤ −1
2 ⇒ y2 ≤ −1 2 513
Giải hệ phương trình:
{
4x2 = (√x2+ 1 + 1) (x2− y2+ 3y − 2) (1) x2+ (y + 1)2= 2 (1 + ) (2)
514 Giải hệ phương trình: {y4− 2xy2+ 7y2= −x2+ 7x + 8 (1)
√3y2+ 13 − √15 − 2x = √x + 1 (2)
(2) ⇔ √3x + 16 = √15 − 2x + √x + 1
⇔ 3x + 16 = 16 − x + 2√(15 − 2x)(x + 1)
⇔ 2x = √(15 − 2x)(x + 1) ⇔ { x ≥ 0
4x2+ (x + 1)(2 − 15) = 0
⇔ { x ≥ 0
6x2− 13x − 15 = 0⇔ x = 3 ⇒ y = ±2
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { x = 3 y = ±2
Phụ lục 2: Hướng tư duy pnđ (suy từ đáp số ra lời giải bằng máy tính bỏ túi)
Lưu ý: Các loại máy tính dòng CASIO fx-570es trở lên hoặc VINACAL 570es trở lên đều có thể sử dụng.
Quy ước: X25, tức là nhập vào màn hình X25, rút gọn cho ALPHA ) x2 5 1. Ứng dụng để giải hệ phương trình với phương pháp khảo sát hàm đại diện:
Ví dụ 1: (A-2012): Giải hệ phương trình:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1 2
2
x x x y y y ( )
x y x y ( )
* Con đường tìm lời giải theo hướng tư duy PNĐ:
- Vì thấy (2) có tính đối xứng đẹp nên chọn (2) là điểm bắt đầu cho việc tìm hàm đại diện:
+ Thao tác:
2 2 1 1 1
X Y X Y 2 SHIFT CALC , hiện Can’t solve. Tiếp tục:
2 2 1 2 2
X Y X Y 2 SHIFT CALC , hiện Can’t solve.
Nhận định: (2) không chứa hàm đại diện.
- Vậy phải khai thác (1):
+ Thao tác:
3 3 2 9 22 3 3 2 9 1 2
X X X Y Y Y SHIFT CALC , hiện X=3. Tiếp tục:
3 3 2 9 22 3 3 2 9 2 6
X X X Y Y Y SHIFT CALC , hiện X=4. Tiếp tục:
3 3 2 9 22 3 3 2 9 3 4
X X X Y Y Y SHIFT CALC , hiện X=5.
+ Ý nghĩa thao tác:
3 3 2 9 22 3 3 2 9 1 2
X X X Y Y Y SHIFT CALC , Cố định Y=1, tìm X (X=3)
3 3 2 9 22 3 3 2 9 2 6
X X X Y Y Y SHIFT CALC , Cố định Y=2, tìm X (X=4)
3 3 2 9 22 3 3 2 9 3 4
X X X Y Y Y SHIFT CALC , Cố định Y=3, tìm X (X=5)
(2 ; 6 ; 4 là nhận định về khoảng chứa nghiệm x, thay đổi các số 2, 6, 4 sẽ giúp tìm ra nhiều nghiệm x hơn)
Phụ lục 3:
Hướng tư duy pnđ (suy từ đáp số ra lời giải dung máy tính cầm tay) cho phương pháp cộng đại số
Lưu ý: Các loại máy tính dòng CASIO fx-570es trở lên hoặc VINACAL 570es trở lên đều có thể sử dụng.
Quy ước: X25, tức là nhập vào màn hình X25, rút gọn cho ALPHA ) x2 5 1. Quay ngược thời gian
Năm lớp 9, chúng ta đã được làm quen với phương pháp cộng đại số như sau:
- Cách giải quá ư là đơn giản, bản chất là việc triệt tiêu 1 ẩn (là x hoặc là y) Lời giải chi tiết:
- Lấy phương trình thứ nhất nhân với 2, cộng vào phương trình thứ nhất ta được:
2x y 8 4x 2y 16 5y 20 x 2
4x 3y 4 4x 3y 4 4x 3y 4 y 4 Xong
Mở rộng vấn đề: Phải chăng vì quá dễ mà nhiều người nhầm tưởng rằng phương pháp cộng đại số không có nhiều ứng dụng khi lên cấp 3? Mời bạn đọc đọc ví dụ 2
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x,y
Lấy (2) nhân với -2 và cộng với (1) ta được:
2 3 2 2
2 3 2
2 3 2
2
2xy 2x y y 1 7y 2(2y 2xy 1 7y) 0 2xy 4xy 2x y 5y 7y 3 0
2y 4y 2 x y 5y 7y 3 0 y 1 2x y 3 0
y 1 y 3 2x
Sau đó thế y vào (2) và ta sẽ tìm được 3 nghiệm của hệ đã cho:
1 3 1 3
(2;1); ;2 3 ; ;2 3
2 2
Nhận xét: Rõ ràng việc “nhìn ra” để nhân (2) với -2 khá khó khăn. Đối với các bài hệ phương trình khác thì đâu nhất thiết cứ là phải nhân với 1 số tự nhiên, đơn cử như ví dụ 3 sau:
Lời giải chi tiết Điều kiện: x,y
495 Giải hệ phương trình sau:
496 Giải hệ phương trình sau:
497 Giải hệ phương trình sau:
Lấy (1) nhân với 4 và cộng với (2) nhân với x2 ta được:
2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2
4 2 2 2 2 2 4 2
4 x (x 4) (y 3) x x y x 22 2y 3x 6x 4y 24y 36 x y 2x y 4 x 4x y 6y 9 x x y x 2y 22 (y 3)(x 2x 4y 12)
Để hệ có nghiệm thì
4 2 4 2
y 3 y 3
4y x 2x 12 * x 2x 4y 12 0
Thay y=3 vào (2) ta tìm được (x;y)=(2;3);(-2;3) Thay (*) vào (2) ta tìm được x;y 2;5 ; 2;5
Kết luận: Hệ có 4 nghiệm như trên
Nhận xét: Đối với người giải đề này, làm sao có thể “mò” ra được các hệ số như trên để áp dụng thành công phương pháp cộng đại số như hồi còn học lớp 9?
2. Trở về hiện thực
Cuối cùng, để khép lại cuối tiểu thuyết “Chinh phục Hệ phương trình” anh chị muốn ttặng các em câu chuyện