Chinh phục hệ phương trình tổng ôn thi THPT Quốc gia

Tài liệu được biên soạn gồm các ví dụ chọn lọc minh họa cho các kỹ thuật giải HPT trong thi đại học phổ biến nhất:(1) Kỹ thuật rút thế(2) Kỹ thuật nhóm nhân tử chung(3) Kỹ thuật dùng hàm số và đạo hàm(4) Kỹ thuật dùng BĐT vec tơ(5) Kỹ thuật dùng số phức(6) Kỹ thuật nhân liên hợp và đánh giá(7) Kỹ thuật lượng giác hóaHy vọng đây là tài liệu bổ ích cho các hs trước kỳ thi THPT Quốc gia.

CHINH PHUïC H HH H Ệ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi THPT Quốc gia (full) M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 1 Bài 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 x x 3 y y 3 2 3 x 2 y y 8 (1) (2)  − − + = −   − = +   ĐK: x 2; y 0 ≥ ≥ Hướng dẫn tìm lời giải + Quan sát hệ ta thấy (1) có thể cô lập được x và y sang từng vế, hơn nữa x có mũ 3, y nằm trong biểu thức chứa căn bậc 2 - đây là loại toán phổ biến - ta sẽ nghĩ ngay đến việc dùng “hàm đại diện” để làm. Cụ thể (1) biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 x 3x 2 y y 3 x 1 3 x 1 y 3 3 y 3 x 1 3 x 1 y 3 3 y 3   ⇔ − + = + ⇔ − − − = + − +   ⇔ − − − = + − + + Đến đây thì ổn rồi, coi như là có lối thoát, ta xét hàm 3 f (t) t 3t = − + Các bạn chú ý tìm điều kiện của t căn cứ vào ĐK của x và y nhé, cụ thể như thế này: Do x 2 x 1 1 t 1 y 0 y 1 1 ≥ ⇒ − ≥  ⇒ ≥  ≥ ⇒ + ≥  , xét 2 f '(t) 3t 3 0, t 1 = − ≥ ∀ ≥ ⇒ f(t) đồng biến Vậy ( ) ( ) f x 1 f y 3 x 1 y 3 x 1 y 3 − = + ⇔ − = + ⇔ = + + thay vào (2) và bình phương 2 vế ta được: 2 9 y 3 y 8y 9 (*) + = + + + Phương trình (*) ta có thể dùng quy tắc giải phương trình cơ bản rồi bình phương 2 vế, tuy nhiên cách đó sẽ ra phương trình bậc cao, hơn nữa ta chỉ giải được nếu pt đó có nghiệm nguyên. + Bạn lấy máy tính bấm ta thấy pt (*) có nghiệm y = 1, vậy ta sẽ dùng cách thêm bớt rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là y - 1 như sau: ( ) ( )( ) ( ) 2 2 9 y 3 y 8y 9 y 3 2 y 8y 9 y 1 9 9 y 1 y 9 y 1 y 9 0 y 3 2 y 3 2 (*) 9 + = + + ⇔ + − = + −   − ⇔ = − + ⇔ − − − =     + + + +   + Ta dễ thấy với y 0 ≥ thì 9 y 9 0 y 3 2 − − < + + Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1) Bài 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 x y xy 1 4y x 1 2 x x y (1) (2)  + + + =   + − =   Hướng dẫn tìm lời giải Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1, như vậy dạng toán này ta thường nghĩ đến việc khử ẩn bậc 1 nằm ở vế phải như sau: + Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (1) cho y 0 ≠ được phương trình : 2 x 1 x y 4 y + + + = (*) M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 2 + Ở phương trình (*) đã xuất hiện đại lượng 2 x 1 y + , điều này có nghĩa là ta sẽ biến đổi (2) để làm xuất hiện 2 x 1 y + và dẫn đến việc suy nghĩ sẽ giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ, trong đó có 1 ẩn phụ là 2 x 1 a y + = + Bây giờ ta thực hiện mở dấu ngoặc từ pt(2) sẽ được : 3 2 2 x x x y 2x 2 0 + + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 1 x y 2 x 1 0 x x 1 x y y y 2 x 1 0 x x 1 y x 1 2 x 1 y x 1 x y 2 y x 1 x y 2 1 y (**) ⇔ + + − + = ⇔ + + + − − + = ⇔ + + + − + = ⇔ + + − = + ⇔ + − = + Như vậy sau khi biến đổi pt(2) để làm xuất hiện đại lượng 2 x 1 y + , ta thấy xuất hiện thêm một đại lượng nữa là ( ) x y 2 + − , do đó từ (*) ta thêm bớt để thành như sau : 2 x 1 x y 4 y + + + = (*) ( ) 2 x 1 x y 2 2 y   + ⇔ + + − =     + Vậy cuối cùng thì hệ phương trình đã cho đã trở thành : ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 x y 2 2 y x 1 x y 2 1 y    + + + − =        +  + − =   Bài toán đến đây sẽ giải bằng cách đặt ẩn phụ 2 x 1 a y + = , b x y 2 = + − quá dễ rồi nhé. Các bạn giải đoạn cuối sẽ có đáp số ( ) ( ) ( ) x; y 2;5 , 1;2 = − Bài 3: Giải hệ phương trình 2 3 3 3 3 2 2 2 3x y 2xy y 8 4y x y 4y x 6y 5y 4  + − = −   + − + =   Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết, ta thấy mỗi pt của hệ đều có thể cô lập được x, y nên ta biến đổi như sau: ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 y 3x 2x 1 8 4y 3x y 2xy y 8 4y x y 4y x 6y 5y 4 y x 4x 5 4 6y  + − = −  + − = −   ⇔   + − + =  + + = +   + Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên ta biến đổi tiếp : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 3 3 2 8 4 3x 2x 1 y 3x 2x 1 8 4y y y 4 6 y x 4x 5 4 6y x 4x 5 y y (1) (2)  + − = −   + − = −   ⇔   + + = +   + + = +    + Quan sát (1) và (2) rõ ràng ta cần phải cộng vế của chúng lại (sẽ làm mất đi lượng 2 4 y ) M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 3 3 2 3 8 6 x 3x 6x 4 y y ⇒ + + + = + (*) + Phương trình (*) nhận thấy VT và VP có “hình thức” gần giống nhau rồi, vậy chắc chắn đến đây sẽ dùng “hàm đại diện” để làm, vậy biến đổi tiếp tục nhé: ( ) ( ) 3 3 3 2 3 8 6 2 2 x 3x 6x 4 x 1 3 x 1 3 y y y y     + + + = + ⇔ + + + = +         Ổn rồi nhé, giờ xét hàm số 3 2 (t) t 3t, t R f '(t) 3t 3 0, t R f = + ∈ ⇒ = + > ∀ ∈ . Vậy f(t) là hàm đồng biến 2 2 f (x 1) f x 1 y y   + = ⇒ + =     thay vào (2) …(bạn tự làm đoạn cuối vì nó không khó). Cuối cùng có đáp số (x;y) (1;1) = Bài 4: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 x 2y 8(x y) 3xy 4 2 x 3 y 2x y 5 (1) (2)  + = + −   − + − = − +   Hướng dẫn tìm lời giải + ĐK: x 2; y 3 ≤ ≤ + Ta thấy ở phương trình (1) 2 2 x x(8 3y) 2y 8y 0 (*) ⇒ − − + − = + Ta coi (*) là phương trình bậc 2 với ẩn x, tính ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 3y 4.1 2y 8y y 8 0 ∆ = − − − = = − ≥ , từ đây tìm được 2 nghiệm x 8 2y x 2y 8 0 x y x y 0 = − + − =   ⇔   = − + =   , vậy (*) (x 2y 8)(x y) 0 ⇔ + − + = + Với x 2y 8 + = ta thấy: với đk đề bài x 2 x 2 x 2y 8 x 2y 8 y 3 2y 6 y 3 ≤ =   ⇒ + ≤ ⇒ + = ⇔   ≤ ⇒ ≤ =   (như vậy ta đã dùng cách đánh giá kết hợp với đk để có x = 2 ; y = 3, nếu bạn không biết kỹ thuật đặc biệt này thì từ x 2y 8 + = x 8 2y ⇔ = − thay vào (2) giải sẽ rất dài dòng) Bây giờ thay x = 2; y = 3 vào (2) ta thấy không thỏa mãn. Vậy loại bỏ trường hợp này ! + Với y x = − thay vào (2) và biến đổi ta được : 2 4 2 x 3 x x 5 − + + = + (**). Gặp dang phương trình (**), ta dùng máy tính để bấm nghiệm và thấy phương trình có 1 nghiệm là x = 1, như vậy ta sẽ nghĩ đến dùng PP “nhân lên hợp” để xuất hiện nhân tử chung là (x 1) − . Thật vậy, từ (**) ( ) ( ) 2 1 x x 1 4 2 x 1 3 x 2 x 1 4 (x 1)(x 1) 2 x 1 3 x 2 4 1 (1 x) x 1 0 2 x 1 3 x 2 − − ⇔ − − + + − = − ⇔ + = − + − + + +   ⇔ − − + + =   − + + +   * TH1: 1 x 0 x 1 y 1 − = ⇔ = ⇒ = − * TH2: Xét 4 1 f (x) x 1; 3 x 2 2 x 1 3 x 2 = − + + − ≤ ≤ − + + + - Nhận thấy f(x) có 1 nghiệm x 2 = − , mặt khác: ( ) ( ) 2 2 2 1 f '(x) 0 2 x 2 x 1 2 3 x 3 x 1 = + > − − + + + + ⇒ f(x) là hàm đồng biến x 2 ⇒ = − là nghiệm duy nhất của f(x). Vậy HPT có nghiệm (x; y) (1; 1);( 2;2) = − − M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 4 Bài 5: Giải hệ phương trình 2 2 3 2 2x 11x 2y 9 0 22x 21 y 3y y (2x 1) 2x 1 (1) 4x (2)  − − + =   − + + + + = + −   Hướng dẫn tìm lời giải + ĐK: 1 x 2 ≥ + HPT ( ) 2 2 3 2 2x 11x 2y 9 11x 21 y 3y y (2x 1) 2x 1 (1) 4 2x (2)  − = −  ⇔  − + + + + = + −   Thay (1) vào (2) ta có: 3 2 y 3y 5y 3 (2x 1) 2x 1 + + + = + − (*) - Nhận thấy (*) có vế trái là đa thức bậc 3, vế phải có căn bậc 2, hơn nữa x và y đều cô lập ở mỗi vế, do đó ta sẽ nghĩ đến PP hàm số để giải quyết tiếp, thật vậy từ (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 y 1 2 y 1 2x 1 2 2x 1 y 1 2 y 1 2x 1 2. 2x 1   ⇔ + + + = − + −   ⇔ + + + = − + − - Đến đây ổn rồi, ta xét hàm 3 2 f (t) t 2t f '(t) 3t 2 0 = + ⇒ = + > ⇒ f(t) là hàm đồng biến ( ) ( ) f y 1 f 2x 1 y 1 2x 1 ⇒ + = − ⇔ + = − thay vào (1) ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2x 11x 11 0 x 1 y 0 2 2x 1 2x 11x 11 x 5 y 2 4 2x 1 2x 11x 11  − + ≥ = ⇒ =   − = − + ⇔ ⇔   = ⇒ = − = − +    Bài 6: Giải hệ phương trình 3 3 3 2x 3x y 1 xy 2x 3  + =   − =   Hướng dẫn tìm lời giải + Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ nên sẽ biến đổi như sau: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 3y 2 3y 2x 3x y 1 y 2 x x 2 3y y 2 3. 2 3y 3 3 1 y 2 xy 2x 3 y 2 x x 3 (*)   = + + =    + = −    ⇔ ⇔ ⇒ + = ⇒ − = +    − − =    − = =     + Đặt ẩn phụ 3 3 3 t 2 3y t 2 3y t 2 3y = + ⇒ = + ⇔ − = , mặt khác từ (*) có 3 y 2 3t − = . Như vậy ta có HPT 3 3 y 2 3t 2 3y (3) t (4)  − =   − =   , lấy (3) - (4) ta được: 3 3 2 2 y t 3(t y) (y t)(y yt t 3) 0 y t − = − ⇔ − + + + = ⇔ = (do 2 2 (y yt t 3) 0 + + + > ) Đến đây thì coi như bài toán giải quyết xong. ĐS: 1 (x;y) ( 1; 1); 1; 2   = − −     Bài 7: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 3 1 1 4 8 1 3 2 26 2 14 2 xy x y y x y x y x x  + + + − =    − + + = −  Hướng dẫn tìm lời giải ĐK: 0 y ≥ M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 5 Ta có 4 0 y y y y + − > − = do đó từ phương trình (1) suy ra x>0; y>0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 4 4 8 4 xy x y y y y y y ⇔ + + + − + + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 1 2 4 1 1 xy x y y x x x y y y ⇔ + + = + + ⇔ + + = + + 2 2 2 2 2 1 1x x x y y y       ⇔ + + = + +                   (3) Xét hàm số ( ) 2 1 f t t t t = + + trên ( ) 0; +∞ . Có ( ) ( ) 2 2 2 ' 1 1 0 0; 1 t f t t t t = + + + > ∀ ∈ +∞ + Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên ( ) 0; +∞ . Mà phương trình (3) có dạng ( ) 2 2 2 4 f x f x y x y y   = ⇔ = ⇔ =       Thay 2 4 y x = vào phương trình (2) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 12 26 8 2 14 6 13 4 14 2 2 14 14 4 x x x x x x x x x x − + + = − ⇔ − + + = − ⇔ − + − = − + − Xét hàm số ( ) 3 g u u u = + trên R Có ( ) 2 ' 3 1 0 g u u u R = + > ∀ ∈ Suy ra hàm số g(u) đồng biến trên R mà phương trình (4) có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 2 2 14 2 14 6 12 6 0 1 2 x nhaän g x g x x x x x x loaïi  = +  − = − ⇔ − = − ⇔ − + + = ⇔  = −  ⇒ 12 8 2 y = − . Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1 2;12 8 2 + − Bài 8: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 4 2 6 11 10 4 2 0  + − = − − −   − − + − − =   x x y y x y x x Hướng dẫn tìm lời giải Điều kiện: 2 2 4 2 0 2 4 10 0 y y x x  + + ≥   − − + ≥   Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2 2 4(10 4 2 ) 14 4 2 6 11 10 4 2 4 x x x x y x x x − − − − − + = − − = ≤ Rút gọn ta được: 2 2 4( 6 11) 14 4 2 10 2 15 0 y x x x x x y − + ≤ − − ⇔ − + + ≤ (3) Tương tự phương trình (1) : 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 3 0 2 y y x x y y x x y y − − − + − = − − − ≤ ⇔ + + + − ≤ (4) Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 6 2 2 2 2 1 3 6 6 12 0 3( 1) ( 3) 0 3 x x x y y x y y =  − + + + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔  = −  Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là (1, 3) S = − Bài 9: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 (1) 1 2. (2) x xy y y x y x y x  + + = +   − + + =   Hướng dẫn tìm lời giải ĐK: 1 0. x y − + ≥ 2 2 2 (3) (1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0 2 2 (4) x y x y xy y y x x y x y x y =  ⇔ − + − + − = ⇔ − + − = ⇔  = −  • Từ (3) & (2) ta có x=y=1. • Từ (4) & (2) ta có 0; 2 2 2 1 8 ; . 3 3 2 3 3 y x x y y x y y y = =  = −    ⇔   = − = − =    Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 1 ; 1;1 ; ; 2;0 ; ; ; . 3 3 x y x y x y   = = = −     Bài 10: Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 7 4 5 6 3 2 3 10 34 47 x xy y x xy y x xy y x xy y   + − + + − = − −     + + =    ( ) ,x y ∈ ℝ . Hướng dẫn tìm lời giải ĐK: 2 2 2 2 3 2 0 4 3 7 0 x xy y x xy y   − − ≥     + − ≥    Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình ( ) 1 , ta được: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 5 6 4 0 6 4 3 7 3 2 x y x xy y x y x xy y x xy y    =      + − + = ⇔      = −    + − + − −     + Với x y = thay vào ( ) 2 , ta được: 2 1 1 1 1 1 x y x x y  = ⇒ =  = ⇔  = − ⇒ = −   + Với 6 x y = − thay vào ( ) 2 , ta được: 2 47 47 6 82 82 82 47 47 47 6 82 82 y x y y x   = ⇒ = −   = ⇔   = − ⇒ =   ; KL: ( ) ( ) 47 47 47 47 1;1 , 1; 1 , ; 6 ; ;6 82 82 82 82 S                     = − − − −                           Bài 11: Giải hệ phương trình sau 3 2 2 2 1 3 1 1 2 2 1 y x x x y y x xy x  + − = − −   + = + +   Hướng dẫn tìm lời giải M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 7 Đk: 1 1 x − ≤ ≤ - Hệ phương trình (I) ( ) 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 1 y y x x y x xy x  + = − + −  ⇔   + = + +  ( ) ( ) 2 1 1 , 0 1 2 2 1 2 y x y y x xy x  = − ≥  ⇔  + = + +   - Ta có (2) 2 2 1 1 2 2 1 x x x x ⇔ − + = + − 2 2 2 2 1 1 1 0 x x x x ⇔ + − − − − = - Đặt cos x t = với [ ] 0; t π ∈ , ta có 2 cos 1 2sin 1 2 sin 2 2 t t x t x = = − ⇒ − = - Nên phương trình (2) trở thành 2 2 os 2cos sin 2 sin 1 0 2 t c t t t + − − = 2 sin 2 2 sin 4 2 t t π   ⇔ + =     ( ) 4 3 3 4 5 5 k t k k t π π π π  = − +  ⇔ ∈   = +   ℤ [ ] ( ) os 0; 5 5 2 sin 10 x c t t l y π π π π π   =  = ∈   ⇔ ⇔    = =     là nghiệm của hệ phương trình. Bài 12: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y  + + =  +   + = −  Hướng dẫn tìm lời giải + > ÑK : x y 0 , ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2  + + =  +   + = −  xy x y x y x y x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0 2 2 0 ⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + = + xy x y xy x y xy x y xy x y x y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 ⇔ + + − − + − = x y x y xy x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 1 3 0 4 ⇔ + − + + + − =     + = ⇔  + + + =   x y x y x y xy x y x y x y Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x + y > 0. Thế (3) vào (2) ta được 2 1 − = x y Giải hệ 2 1 1; 0 2; 3 1 + = = =   ⇒   = − = − =   x y x y x y x y (nhận) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (-2;3). (Do hàm ( ) 3 2 f t t t = + luôn đồ ng bi ế n) M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 8 Bài 13: Giải hệ phương trình: x 3 +12y 2 + x + 2 = 8y 3 +8y x 2 +8y 3 + 2y = 5x      Hướng dẫn tìm lời giải x 3 +12y 2 + x + 2 = 8y 3 +8y(1) x 2 +8y 3 + 2y = 5x(2)      Ta có 3 3 (1) x x (2y 1) (2y 1)(*) ⇔ + = − + − Xét hàm số 3 f (t) t t, t R = + ∈ 2 f '(t) 3t 1 0 ⇒ = + > . Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R. Từ (*) ta có: f (x) f (2y 1) x 2y 1 = − ⇒ = − Thế x = 2y - 1 vào (2) giải ra được y = 1 hoặc y = 6 thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6) Bài 14: Giải hệ phương trình 2 2 3 5 4 4 2 1 1 x xy x y y y y x y x  + + − − = +   − − + − = −   Hướng dẫn tìm lời giải Đk: 2 2 0 4 2 0 1 0 xy x y y y x y  + − − ≥  − − ≥   − ≥  Ta có (1) ( )( ) 3 1 4( 1) 0 x y x y y y ⇔ − + − + − + = Đặt , 1 u x y v y = − = + ( 0, 0 u v ≥ ≥ ) Khi đó (1) trở thành : 2 2 3 4 0 u uv v + − = 4 ( ) u v u v vn =  ⇔  = −  Với u v = ta có 2 1 x y = + , thay vào (2) ta được : 2 4 2 3 1 2 y y y y − − + − = ( ) ( ) 2 4 2 3 2 1 1 1 0 y y y y ⇔ − − − − + − − = ( ) 2 2 2 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y y − − + = − + − − + − ( ) 2 2 1 2 0 1 1 4 2 3 2 1 y y y y y     ⇔ − + =   − + − − + −   2 y ⇔ = (vì 2 2 1 0, 1 1 1 4 2 3 2 1 + > ∀ ≥ − + − − + − y y y y y ) Với 2 y = thì 5 x = . Đối chiếu đk ta được nghiệm của hệ PT là ( ) 5; 2 M ỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN H ÌNH GI ẢI H Ệ PH ƯƠNG TR ÌNH - T ỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Trang 9 Bài 15: Giải hệ phương trình 3 2(2 1) 2 1 (2 3) 2 4 2 2 4 6  + + + = − −   + + + =   x x y y x y Hướng dẫn tìm lời giải Điều kiện xác định: 1 , 2 2 ≥ − ≥ x y Xét hàm số: ( ) 3 ( ) 2 0; = + ∈ +∞ f t t t t Suy ra 2 '( ) 6 1 0 = + > f t t nên đây là hàm số đồng biến Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có (2 1) ( 2) 2 1 2 + = − ⇔ + = − f x f y x y Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 4 8 2 4 6 (*) − + + =y y Xét hàm số ( ) 4 ( ) 4 8 2 4 6, 2; = − + + − ∈ +∞ g y y y y ( ) 4 1 1 '( ) 0 2; 4 8 2 4 = + > ∀ ∈ +∞ − + g y y y y nên g(y) đồng biến Hơn nữa g(6) = 0 nên (*) có duy nhất 1 nghiệm là y = 6 Với y = 6 ta có 1 2 = x Bài 16: Giải hệ phương trình : 7 1 78 x y y x xy x xy y xy  + = +    + =  Hướng dẫn tìm lời giải ĐK: x, y> 0. (I) ( ) 7 78 x y xy xy x y  + = +  ⇔  + =   . Đặt t xy = . (ĐK: t>0) ( ) 7 78 x y t t x y + = +  ⇔  + =  2 7 78 0 t t ⇒ + − = . ( ) ( ) 13 l 6 n t t = −  ⇔  =   ⇔ t = 6 13 36 x y xy + =  ⇔  =  4 9 v 9 4 x x y y = =   ⇔   = =   Vậy hệ pt có 2 nghiệm là : (4;9) ; (9;4) Bài 17: Giải hệ phương trình 2 3 3 2 3 (1 )( 3 3) ( 1) . ( , ) 2 4 2( 2) y x y x y x x y R x y x y  − − + − = −  ∈   − + − = −  . Hướng dẫn tìm lời giải ĐKXĐ: 2 2 0 0, 1 1, 1 x y x y x y x y   − ≥ ≥   ⇔   ≥ ≥ ≥ ≥     [...]... hoặc 3xy = 4 - Với 3xy = 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y = 1 do đó x = 1 3 - Với 3xy = 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y = 0 (Loại) - Với 3xy = 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y = −2 do đó x = − 2 3 Trang 23 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA  x2 − 5 y + 3 + 6 y 2 − 7 x + 4 = 0  Bài 43: Giải hệ phương trình :   y ( y − x + 2) = 3 x + 3... =0   Trang 16 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Vì y ≥ −4 ⇒ x ≥ −2 ⇒ x + 2 + x +1 ( 3 2+ x+2 )( x +1 + ) 3 (1 + x + 2 +1 )( 3− x 2 + 3− x ) >0 x = 2  x = −1 Từ đó phương trình trên tương đương với ( x − 2 )( x + 1) = 0 ⇔  Với x = 2 ⇒ y = 0; x = −1 ⇒ y = −3 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {( −1; − 3) ;... KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA  Vậy nghiệm (x; y) của hệ là  −4 + 13;   1 − 13   1 + 13   ,  −4 − 13;  , ( −2; − 1)    2   2  3   x − 2 − y − 1 = 27 − x Bài 40: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) 4 ( x − 2 ) + 1 = y  Hướng dẫn tìm lời giải 4 2 Từ phương trình (2) ta có ( x − 2 ) = y − 1 ⇒ y − 1 = ( x − 2 ) thay vào phương trình (1) ta được x −... vào phương trình (2) ta có: 2 2 (5 y) + 3 7 5y = 2 2 (3) 2 Xét hàm số g(y) = 2(5y ) + 2 3 3 5y 5y ⇒ g '(y) = 50y.2( ) ln 2 + > 0, ∀y > 0 2 4 y Trang 10 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA 1 7 1 Mà g   = ; suy ra phương trình có nghiệm duy nhất y = 5 5 2 4 5 Do đó hệ có nghiệm x = ; y = 1 5  x3 − y 3 + 3 y 2 + x − 4 y + 2 = 0 (1)  Bài 19: Giải hệ phương trình: ... Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8) Trang 12 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA  xy + 2 = y x 2 + 2  Bài 22: Giải hệ phương trình  2 2 2  y + 2 ( x + 1) x + 2 x + 3 = 2 x − 4 x  Hướng dẫn tìm lời giải ĐKXĐ: x ∈ ℝ; y ∈ ℝ Ta có xy + 2 = y x 2 + 2 ⇔ y ) ( x2 + 2 − x = 2 ⇔ y = 2 2 x +2−x ⇔ y = x 2 + 2 + x (1) Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta...  x = 2 (thoûa maõn) 2 ⇒ 9 x − 26 x + 16 = 0 ⇔   x = 8 (loaïi)  9  Với x = 2 ⇒ y =1 , suy ra hệ phương trình có một nghiệm (2;1) 2 xy  2 2 x + y + x + y = 1 Bài 37: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ ℝ )  x + y = x2 − y  Trang 21 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA Hướng dẫn tìm lời giải Điều kiện: x + y > 0 Đặt u = x + y, u > 0 và v = xy Pt (1) trở thành: u... KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA  1   * x = 1 ⇒ y = 2 Vậy nghiệm của hệ : 1;  2  x2 y + x2 + 1 = 2 x x2 y + 2  Bài 34: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) 3 6 2 2  y ( x − 1) + 3 y ( x − 2) + 3 y + 4 = 0  Hướng dẫn tìm lời giải x 2 y + x 2 = 1  y = 2 − x 2 x y + 1 = 1  2   ⇔  x y = y − 1 ⇔  x 2 ( 2 − x 2 ) + x 2 = 1 ( 4) Do đó hệ đã cho tương đương... Với x = 1+ 5 1− 5 −1+ 5 1+ 5 ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 2 2 Trang 14 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA 1+ 5 1− 5   −1 + 5 1+ 5   , ( x; y ) =   ; ;  2 2  2 2      Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) =    x6 + 3x 2 − 4 = y3 + 3 y 2 + 6 y  Bài 25: Giải hệ phương trình sau:  2 2 y − ( x + 1) x + y + 8 + 7 = x  Hướng dẫn tìm lời giải Đáp án: Điều kiện: x... ) = t 3 + 2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra : x = 0 1 x + 1 = 3 x3 + 1 ⇔  Vậy hệ có hai nghiệm là (−1; ); (0;0) 2  x = −1 Trang 17 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 3) = 3( x 2 + y 2 ) + 2  Bài 31: Giải hệ phương trình  2  4 x + 2 + 16 − 3 y = x + 8  ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn tìm lời giải ĐK: x ≥ −2, y ≤ 16 3... 2 − x + 3 xy + 3 y 2 − 3 y + 1 + 1 ] y + x + y +1 Trang 15 MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TỔNG ÔN THPT QUỐC GIA ⇔ ( x + 1)[ x 2 + (3 y − 1) x + 3 y 2 − 3 y + 1 + 1 ] (3) y + x + y +1 2 2 2  3  x − 3 xy − x − 1 = y + 2 xy − x  y 3 − 3 yx 2 + y + 1 = x 2 + 2 xy − y 2  Bài 27: Giải hệ phương trình:  Hướng dẫn tìm lời giải Từ (1) và (2) ta có x 3 − 3xy 2 − x − 1 − ( y 3 − 3 yx 2 +