Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia

Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================Tuyển chọn các bài toán MIN MAX ôn thi THPT quốc gia=====================================

TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

MIN - MAX

NGUYỄN HỮU BIỂN

(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z= 1

Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3

Chứng minh rằng với ∀ ≥a 1 ta luôn có : 1x 1y 1z x x y y z z.

a +a ≤a +a (2) z z x x x z z x

a +a ≤ a +a (3) Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( x x y y z z) y x z z y x x z y

Suy ra 1x 1y 1z x x y y z z.

a +a +a ≥ a +a +a ( do x + y + z = 3 )

Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1 (đpcm)

Bài 3: Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc+ +ca= 3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc= 1,ab bc+ +ca= ⇒ 3 a=b= =c 1, ( , ,a b c> 0).

Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn −1−2 2<x<−1+2 2,y>0,z>0 và

1)

(

1)

(

1

z y z

x y

++

Hướng dẫn

) 1 ( 8

1 )

1 (

1 )

1 (

1 )

1 ( 8

1 )

1 (

1 )

1 (

1

x z

y x

y z

P

+

−

+ +

+ +

1 )

1 (

1 )

1 (

1

2 2

1 (

1 )

1

(

1

y z y

z yz yz

z

2 2

2 2 2

2)

()1)(

(2

)

1

(

)1(2))(

1()1(2)1

)(

(

2

y z zy y

z zy

yz zy z

y zy yz

zy y

z

+++++

+

≥

++

−+

+++++

⇔

0 4 ) ( ) 1 ( 2

4 2 ) )(

1

( + − 2 + + + 2 2 − + 2 − − 2 − ≥

0 ) 1 ( )

) 1 ( 2

2 2

2

x x

z y

Do đó 2 2 2 2

)1(444

)1(1

11

1)

1(

1)

1

(

1

x x

yz z

+

≥+

≥+

++

2

2 8 ( 1 )

1 )

≥

⇒

x x

≥

8

1 4

4

Xét

t t t

f

−

+ +

=

8

1 4

4 )

)8()4(

240723)

8(

1)

4(

4)

('

t t

t t t

t t

f

−+

−+

−

=

−

++

−

=20

; 4 0

240 72 3 0

4 3

Do đó

4

3 ) ( ≥

=

=

= +

1

3 1

1

4 ) 1

z y x z

y x

z y x

Vậy

4

3 min =P khi x= − 3 ,y=z= 1

Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ( 3 3) ( 2 2)

− ≥ − nên ta có

2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

t P

t 2 4 +∞ f’(t) - 0 +

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương

* Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

≤ + = Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3

Bài 8: Cho a b c, , là các số thực dương và a b c+ + =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

6, đạt được khi và và chi khi : a= = =b c 1

Bài 9: Cho a b c, , là các số dương và a+ + =b c 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và a+ + =b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có:

2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3

Bài 12: Cho x, y, z ≥ 0thoả mãn x + y + z > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

3 16

Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 3 − 5 ≤x≤ 2

+ Khảo sát hàm số t theo biến x với 3 − 5 ≤x≤ 2ta tìm được: 5 5 5 1

Pmax = 18 đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1

Bài 14: Cho các số thực x y; thay đổi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P= x2+y2+2x+ +1 x2+y2−2x+ +1 y−2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy MinP 3= khi a = b = c = 1

Bài 16: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz

3 1 1

12 6

x+y ≤ xy ≤ (4) Từ (2), (3), (4) ta có 5 1 12

t M

4 4

) 1 )(

1 ( ).

1 ).(

).(

1 ).(

) 1 )(

1 ( ) (x+y x+ y+

y x

Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x, y ta có :

( )

27 4 27 4 1

3 3 3

1

3 4 4 4 3 4

=

( )

27 4 27 4 1

3 3 3

1

3 4 4 4 3 4

=

) 1 )(

1 ( )

9 6

3 3

3

4 3

4

y x

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 20: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện (x+y) 3 + 4xy≥ 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức 3 ( 2 2 ) 2 2 ( ) 2 ( 3 4 ) 2015

+

−

− +

− +

Đặt x 2 + y 2 = t thì t 1

2

≥ (do x y 1) + ≥ Xét hàm số 9 2

f (t) t 2t 2015 4

1 32233 min f (t) f

Bài 22 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = log23x+ +1 log23y+ +1 log23z+1

Hướng dẫn

NX: những dạng bài có dạng a2+b2 + m2+n2 rất có thể sẽ áp dụng được phương pháp BĐT vec - tơ

- Trong mp(Oxy), gọi a=(log ;1),3x b=(log ;1),3y c=(log ;1)3z

Vậy minP = 10 khi x = y = z = 33

Bài 23: Cho ba số thực a, b, c thỏa: a∈[0;1 ,] b∈[0;2 ,] c∈[0;3]

bc+ +b+ + +b cb+b bc+ + = (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 26: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + + = b c 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 1

abc

abc abc

++

2

, t 0;11

3 1

t Q

t t

++

P = , đạt được khi và chỉ khi: a=b=c=1

Bài 27: Cho 3 số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn: x + y+z = 5 và x y z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1 1

x y z

= + +

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2+

Dấu “=” khi : x= y = + 1 2,z= 3 2 2 − hay x= z= + 1 2, y 3 2 2 = −

hoặc x= y = 3 2 2, − z= + 1 2 hay x= z= 3 2 2, − y= + 1 2

Bài 28: Cho x, y, z là các số thực dương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 29: Cho a, b, c không âm và a2 +b2 +c2 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ab bc+ +ca+ 5a 5 + b+ 5c+ 4

Hướng dẫn

2

c a c b b

) 1 ( 4

) ( ) )(

)(

(

3

c a c a c b

5 2 5

0 ) ( 3 )

5

(

4

) ( 2 ) ( ) (

4

2

2 2

2 2

2

x c

a va

x

c a x

c a c

a ca bc ab c b

3 2

4

)

(

x x

x c

) ( '

; ) 2

5 5 ( 5

f x x

x

f

Ta có: f( 0 ) = 0 ; f( 2 ) = 6 3 ; f( 5 ) = 0

1

2

52

2

2 2 2 2

2

b a

c b a

a c

a b

ca bc ab

c b a

c a

c b b a x

Bài 31:Cho các số thực dương x, y, z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Vậy Max P = 1 khi x = y = z

Bài 32: Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4

b c2 c d2 d a2 a b2 2

1 + +1 + +1 + +1 + ≥

Hướng dẫn

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1

Bài 33: Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2 5

4

a+ =b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1

 + + + 

Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d

• abc bcd cda dab ab c d( ) cd b a( ) a b (c d) c d (b a)

2 4 2

Suy ra F ≥5 MinF =5 đạt khi

28

11

4

15

4

a a

a b

− ≥ − nên ta có

2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

t P

Bài 35: Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a c≤ và ab bc+ = 2c2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c

Bài 36: Cho a b c, , là các số dương và a+ + =b c 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Theo giả thiết x = y = 4 nên

2 3



x x

Bài 38: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y z)2 y (z x) z (x y)2 2

P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71

/

(2 6) 8 24.2

Khi x=y=z=1 thì P= Do đó giá trị lớn nhất của P là

Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Vậy min ( ) 2f x = khi x= 2 và m ax ( ) 12 2 4 7f x = + khi x= 8

Bài 43: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 +y2 + (3x− 2)(y− 1) 0 =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+y2+ + +x y 8 4− −x y

x y

KL: Giá trị lớn nhất của P là 6 8 2+ đạt được khi x = 2 và y = 0

Bài 44: Cho a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn a+ + =b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= − 2(ab bc+ +ca) 3 + 27a b c2 2 2 − 3(a2 +b2 +c2 ) 6( + ab bc+ +ca)

Bài 45: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a+ + =b c 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9 c

+ Theo cô – si có 22+ 2b + 2c≥ 3 23 a b c+ + = 6 Tương tự …

+ Vậy M ≥3 29. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 1.

Bài 46: Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x+y+ =z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Bài 47: Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2x + 3y + z = 40

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 2 x2 + + 1 3 y2 + 16 + z2 + 36

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5đạt được khi : x= 2,y= 8,z= 12

Bài 48: Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 +y2 +z2 = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 3 3 3 33 3.

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có 5 ,

12

P ≤ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t =2 hay

1

3

x= y= z= Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 ,

12 đạt được khi 1 .

3

x= y= z=

Bài 49: Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn ab bc+ +ca= 7abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 8a42 1 108b25 1 16c62 1

Giả thiết tương đương với 1 1 1 7

Do a,b,c dương và a+b+c =1 nên a, b, c ∈( )0;1 ⇒ − 1 a;1 b;1 c − − dương

Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta được