Tuyển chọn các bài Max – Min (câu 10 điểm) trong 21 đề thi thử Tây Ninh 2015 tập hợp những bài tập về Max – Min được lọc ra trong các đề thi thử THPT Quốc gia tại Tây Ninh năm 2015. Tài liệu giúp cho các bạn có cơ sở để ôn tập và luyện thi một cách tốt hơn. Mời các bạn tham khảo.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn hoctoancapba.com xin giới thiệu Tuyển chọn MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM) 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015 Hy vọng tài liệu giúp em học sinh ôn tập tốt chuyên đề MAX – MIN kỳ thi THPT QG tới ĐỀ THPT Quang Trung – Tây Ninh Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = log32 x + + log32 y + + log32 z + r r r Trong mp(Oxy), gọi a = (log3 x;1),b = (log3 y;1),c = (log3 z;1) Ta có: r r r r r n = a + b + c ⇒ n = (1;3) r r r r r r a + b + c ≥ a + b + c ⇒ log32 x + + log32 y + + log32 z + ≥ 12 + 32 ⇒ P ≥ 10 , dấu = xảy ba vecto kiện đề ta x=y=z= 3 Vậy MinP= 10 r r r a,b,c 0,5 hướng kết hợp điều 0,5 x=y=z= 3 ĐỀ THPT Trần Phú – Tây Ninh Cho ba số thực a, b, c thỏa: a∈ [ 0;1] , b∈ [ 0;2] ,c∈ [ 0;3] 2( 2ab + ac + bc) 8− b b Tìm giá trị lớn P = 1+ 2a + b + 3c + b+ c + b a + c + + ( ) 12a2 + 3b2 + 27c2 + Ta có: a∈ [ 0;1] , b∈ [ 0;2] ,c∈ [ 0;3] 0.25 ( 1− a) ( b + c) ≥ b + c ≥ ab + ac ⇒ ⇔ ⇒ 2a + b+ 3c ≥ 2ab + bc + ac ( − b) ( a + c) ≥ 2a + 2c ≥ ab + bc ⇒ 2( 2ab + ac + bc) 2( 2ab + ac + bc) ≤ 1+ 2a + b + 3c 1+ 2ab + ac + bc Mặt khác b + c ≥ a( b + c) ( a∈ [ 0;1] ) Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0.25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ⇒ 8− b 8− b 8− b ≤ = b + c + b( a + c) + a( b + c) + b( a + c) + 2ab + bc + ac + Với số thực x, y, z, ta có ( x − y) + ( y − z) + ( y − x) ≥ ⇔ 2( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2xy + 2yz + 2xz 2 ⇔ 3( x2 + y2 + z2 ) ≥ ( x + y + z) 2 ⇒ 12a2 + 3b2 + 27c2 = 3( 2a) + b2 + ( 3c) ≥ => b ( 2a + b+ 3c) = 2a + b + 3c ≥ 2ab+ bc + ac b 12a2 + 3b2 + 27c2 + 2ab + bc + ac + ≤ Suy 0.25 2( 2ab + bc + ac) 8− b b + + 1+ 2ab + bc + ac 2ab + bc + ac + 2ab + bc + ac + 2( 2ab + bc + ac) ⇒P≤ + 1+ 2ab + bc + ac 2ab + bc + ac + P≤ Đặt t = 2ab+ bc + ac ⇒ t ∈ [ 0;13] Xét hàm số f ( t) = f '( t) = ( t + 1) ff( 0) = 1; − ( 6) = Do đó: P ≤ ĐỀ 2t + , t ∈ [ 0;13] t+1 t+ 8 ( t + 8) , f '( t) = ⇔ t = 16 47 ; ff( 13) = ⇒ 21 ( t) ≤ 16 ∀t ∈ [ 0;13] 0.25 16 16 16 Khi a = 1; b = 2; c = P = Vậy giá trị lớn P 7 THPT Lê Q Đơn – Tây Ninh Cho x số thực thuộc đoạn [ − 1, ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P= − 4x − + x − 4x + + x + Đặt a = − x , b = + x a + 4b2 = 9, với a, b ≥ Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn π Do đặt α ∈ [0, ] với a=3sinα ,2b=3cosα Khi đó: 3sin α − cosα a −b 2sin α − cosα P= = = a + 2b + 3sin α + 3cos α + 2sin α + cos α + Xét hàm số f ( x ) = 2sin x − cos x π với x ∈ [0, ] 2sin x + cos x + + 4sin x + 8cos x π Ta có f ( x ) = (2sin x + cos x + 4) > 0, ∀x ∈ [0, ] 0,25 / π Suy hàm số f(x) luôn đồng biến [0, ] π f ( x ) = f (0) = − ; max f ( x ) = f ( ) = Do đó: π x∈[0,π ] x∈[0, ] Vậy P = −1 x = Max P = x = −1 ĐỀ THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 2+b a 2+c b 2+a c Giải Ta có a a a = ≥ , + a ≥ a + b a a + ba + a + ba Tương tự: 0,25 b b c c ≥ ≥ ; + c b + b + bc + a c + c + ac Cộng vế BĐT ta có: a b c a b c + + ≥ + + + b a + c b + a c + a + ba + b + cb + c + ac Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán = abc b cb + + bc + bca + babc + b + cb b + bc + bac = b cb + + = (điều phải chứng minh) bc + + b + b + cb b + bc + Dấu xảy a = b = c = ĐỀ THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a+b+c=3 Tìm giá trị lớn biểu thức P = abc +3 + ab + bc + ca ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) Áp dụng Bất đẳng thức ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) , ∀x, y, z ∈ ¡ ta có: ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) = 9abc > ⇒ ab + bc + ca ≥ abc ( ) 0,25 Ta có: ( + a ) ( + b ) ( + c ) ≥ + abc , ∀a, b, c > Thật vậy: ( + a ) ( + b ) ( + c ) = + ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) + abc ≥ ( + 3 abc + 3 ( abc ) + abc = + abc Khi P ≤ ( + abc ) + abc =Q + abc ) ( 1) 0,25 Đặt a+b+c abc = t Vì a, b, c > nên < abc ≤ ÷ =1 Xét hàm số Q = ⇒ Q '( t ) = 0,25 t2 + , t ∈ ( 0;1] 3( + t ) + t 2t ( t − 1) ( t − 1) (1+ t ) (1+ t ) 2 ≥ 0, ∀t ∈ ( 0;1] Do hàm số đồng biến ( 0;1] nên Q = Q ( t ) ≤ Q ( 1) = Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang ( 2) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Từ (1) (2) suy P ≤ 6 Vậy max P = , đạt khi: a = b = c = 0,25 ĐỀ THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh Cho số thực x, y , z khác thỏa mãn: x + y + z = x y.z = Tìm giá trị lớn x biểu thức: P = + P= 1 + y z 1 1 y+z + + = + = + x( − x) x y z x yz x Ta có: ( y + z ) ≥ yz ⇔ ( − x ) ≥ 2 ⇔ x < 0∨ 3− 2 ≤ x ≤ 4∨ x ≥ 3+ 2 x 0,25 x Xét hàm số: f ( x ) = + x ( − x ) ⇒ f ' ( x ) = − + − 2x x2 Với: x < ∨ − 2 ≤ x ≤ ∨ x ≥ + 2 f ' ( x) = ⇔ x = ∨ x = 1− ∨ x = 1+ 2 0,25 Lập bảng biến thiên Tính được: ( ) ( ) f (1+ ) = f ( − 2 ) = 1+ f 1− = f + 2 =1− 2 0,25 Vậy giá trị lớn P + đạt tại: x = y = + 2, z = − 2 hay x = z = + 2, y = − 2 x = y = − 2, z = + hay x = z = − 2, y = + 0,25 Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ĐỀ THPT Tân Châu – Tây Ninh ĐỀ THPT Lê Duẫn – Tây Ninh Cho x, ,y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= − x + xy + xyz x+ y+z Ta có x + xy + xyz = x + 1 x.8 y + x.8 y.32 z x + y x + y + 32 z 32 + = ( x + y + z) = ( x + y + z) ≤ x+ 24 24 Đặt t = x + y + z ; t ≥ ⇒ P ≥ f ( t ) = f ′( t ) = − − 2t 3t 0.25 + ; f ′( t ) = ⇔ t = t3 t2 Lập bảng biến thiên hàm f(t) ta Pmin = − 0.25 0.25 t=1 16 x = 21 x + y + z = ⇒ y = Dấu “=” xảy 2 x = y 21 x = 32 z z = 21 0.25 ĐỀ THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh Cho a, b, c không âm a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + Cho a, b, c không âm a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca + 5a + 5b + 5c + Ta có ≤ ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) ⇔ ≤ ( a + b + c) ≤ Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang điểm 0,25đ hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán ⇔ ≤ a+b+c ≤ Đặt t = a + b + c với t ∈ 3; 3 Mà ab + bc + ca = ( a + b + c) Nên P ( t ) = t + 5t + − ( a + b2 + c2 ) 0,25đ t2 − = 0,25đ P ' ( t ) = t + > 0, ∀t ∈ 3; 3 BBT t 3 P’(t) + 22 0,25đ P(t) 4+5 Vậy Pmax = 22 với t = ⇔ a = b = c = ĐỀ 10 THPT Trảng Bàng – Tây Ninh Cho số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c a + b + c = Chứng minh rằng: Ta có: (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ −4 (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) ≥ −4 ⇔ P = (a − b)(b − c )(a − c)(ab + bc + ca) ≤ Do a ≥ b ≥ c nên Nếu ab+bc+ca ĐỀ 14 0.25 THPT Nguyễn Huệ - Tây Ninh Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = (x + y3 ) − ( x2 + y ) ( x − 1)( y − 1) t2 Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y) ta có xy ≤ Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn P= P≥ t − t − xy (3t − 2) t2 Do 3t - > − xy ≥ − nên ta có xy − t + t (3t − 2) t2 = t2 t−2 − t +1 0,25 t3 − t2 − Xét hàm số f (t ) = t2 t − 4t ; f '(t ) = ; f’(t) = ⇔ t = v t = t−2 (t − 2) 2 t - f’(t) + 0,25 +∞ f(t) x+ y=4 x = f (t ) = f(4) = đạt ⇔ Do P = (2; +∞ ) xy = y = ĐỀ 15 THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh Cho số thực dương a,b,c đôi khác thỏa mãn 2a ≤ c ab + bc = 2c Tìm giá trị lớn biểu thức P = Theo giả thiết: 2a ≤ c nên Vì a b c + + a−b b−c c −a a a b b a 2c ≤ ; ab + bc = 2c ⇔ + = ⇔ = −1 c c c c c b a b ≤ nên ≥ c c c b Đặt t = < t ≤ a c b 2t − t 1 P= + c + = + + = 1− + a b b a 2t − t − 1 − t 2(1 − t ) 2t + 6(1 − t ) − −1 1− c c c c Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Xét hàm số f (t ) = − 3 + , t ∈ 0; Ta có: 2t + 6(1 − t ) 4 3 3 f '(t ) > 0, ∀t ∈ 0; , f (t ) đồng biến 0; 4 4 Do GTLN hàm số đạt t = , suy max P = 27 ab + bc = 2c ⇔ 8a = 3b = 4c , chẳng hạn chọn Đẳng thức xảy 2a = c (a,b,c)=(3,8,6) ĐỀ 16 THPT Trần Quốc Đại – Tây Ninh Cho a, b, c số dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= bc 3a + bc ca + 3b + ca Vì a + b + c = ta có + ab 3c + ab bc bc bc bc 1 = = ≤ + ÷ 3a + bc a(a + b + c) + bc (a + b)(a + c ) a+b a+c 1 0,25 Vì theo BĐT Cơ-Si: a + b + a + c ≥ (a + b)(a + c ) , dấu đẳng thức xảy ⇔ b = c Tương tự ca ca 1 ≤ + ÷ b+a b+c 3b + ca bc + ca ab + bc ab + ca Suy P ≤ 2(a + b) + 2(c + a) + 2(b + c) = ab ab 1 ≤ + ÷ c+a c+b 3c + ab a+b+c = , 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = 0,25 0,25 a = b = c = 0,25 ĐỀ 17 THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 1 1 S = 1 + x + ÷ + 1 + y + ÷ x y Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Theo bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có: 3 3 3 1 7 7 7 1 + x + ÷ + ÷ + ÷ ≥ 1 + x + ÷ (1) x 2 2 2 x 1 7 7 7 1 + y + ÷ + ÷ + ÷ ≥ 1 + y + ÷ (2) y 2 2 2 y 0,25 Cộng vế (1), (2) ta có 3 1 1 7 + x + ÷ + + y + ÷ + ≥ ÷ x y 2 1 1 2+ x + y + + ÷ x y 1 Mặt khác ta lại có ( x + y ) + ÷ ≥ xy x y 3 1 1 7 + x + ÷ + + y + ÷ + ≥ ÷ x y 2 1 =4⇒ + ≥ nên x y x+ y xy 0,25 2+ x + y + ÷ x+ y 343 7 Theo giả thiết x = y = nên S + ≥ ÷ ⇔ S ≥ 2 0,25 1 + x + x = 1 + y + = ⇔x= y=2 Dấu “=” xảy y x=y x+ y =4 0,25 Vậy S = 343 ĐỀ 18 THPT Bình Thạnh – Tây Ninh Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Ta có : P= P= x (y + z) y (z + x) z (x + y) + + yz zx xy x x y2 y2 z z + + + + + y z z x x y Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang (*) 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ R Do : x + y ≥ xy(x + y) ∀x, y > 3 Tương tự, ta có : hay x y2 + ≥x+y y x ∀x, y > y2 z2 + ≥ y+z z y ∀y, z > z2 x + ≥z+x x z ∀x, z > 0,25 Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta được: P ≥ 2(x + y + z) = ∀x, y, z > x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = 0,25 0,25 ĐỀ 19 THPT Lộc Hưng – Tây Ninh Cho x > 0, y > thỏa mãn x y + xy = x + y + 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu 2 thức P = x + y + (1 + xy ) − xy x y + xy = x + y + 3xy + Ta có ⇔ xy ( x + y ) = x + y + 3xy (1) x > 0, y > nên x + y > (1) ⇒ x + y = 1 + +3≥ + ⇒ ( x + y ) − 3( x + y ) − ≥ x y x+ y 0.25 điểm ⇒ [ ( x + y ) + 1] [ ( x + y ) − ] ≥ ⇒ x + y ≥ 3 + ⇔1− = xy x + y x + y xy Nên P = ( x + y ) + − = ( x + y )2 + + xy x+ y (1) ⇔ = t +Đặt x + y = t (t ≥ 4) ⇒ P = t + + = f (t ) 2t − + Ta có f '(t ) = 2t − = > 0, ∀t > Nên f(t) đồng biến t t Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0.25 điểm hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán [ 4; +∞ ) ⇒ P = f (t ) ≥ f (4) = 71 Hay giá trị nhỏ P 71 x = y = 0.5 điểm ĐỀ 20 THPT Châu Thành – Tây Ninh Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy + y + 5( x + y ) − 24 8( x + y ) − ( x + y + 3) 2x + + 3y + ÷ ≤ 36 ⇒ x + y + xy ≤ Ta có 6( x + 1)( y + 1) = (2 x + 2)(3 y + 3) ≤ Ta có 5( x + y ) ≥ ( x + y ) ⇒ 5( x + y ) ≥ x + y 0,25 ( x + y − 3) = x + y + + xy − x − y ≥ ⇔ 2( x + y + xy + 3) ≥ 8( x + y ) − ( x + y + 3) Suy P ≥ 2( xy + x + y) − 24 2( x + y + xy + 3) Đặt t = x + y + xy , t ∈ ( 0;5] , P ≥ f (t ) = 2t − 24 2t + / Ta có f (t ) = − 24.2 3 (2t + 6) =2 (2t + 6) − (2t + 6) < 0, ∀t ∈ ( 0;5] Vậy hàm số f(t) nghịch biến khoảng ( 0;5] Suy f (t ) = f (5) = 10 − 48 V x = y =1 Vậy P = 10 − 48 2, ĐỀ 21 THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh Xét số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P=xy+yz+zx+ Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang x+ y+z 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Ta có : xy +yz +zx = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) 2 ( x + y + z) = 0.25 −3 ( x + y + z) Do đóP= −3 + x+ y+z Vì ≤ xy +yz +zx ≤ x + y + z = ( x + y + z) Neâ n 0≤ −3 0.25 ≤3 ⇔ ≤ ( x + y + z) − ≤ ⇔ ≤ ( x + y + z) ≤ Suy ≤ x + y + z ≤ Đặ t t =x+y+z, ≤ t ≤ t2 − P= + t t −3 Xeù t f(t)= + vớ i 3≤t ≤3 t t3 − f'(t)=t- = t t f ' ( t ) = ⇔ t = ⇔ t = (loaïi) Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0.25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ( ) 3 13 f ( 3) = 13 Neâ nf( t) ≤ ≤ t ≤ 3 13 Do đóP ≤ 13 Khi x=y=z=1 P= f = 13 Do đógiátrịlớ n nhấ t củ a P Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang 0.25 ... An Giang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn ĐỀ THPT Tân Châu – Tây Ninh ĐỀ THPT Lê Duẫn – Tây Ninh Cho x, ,y, z số thực dương... hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Từ (1) (2) suy P ≤ 6 Vậy max P = , đạt khi: a = b = c = 0,25 ĐỀ THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh Cho số... Lập bảng biến thi? ?n hàm f(t) ta Pmin = − 0.25 0.25 t=1 16 x = 21 x + y + z = ⇒ y = Dấu “=” xảy 2 x = y 21 x = 32 z z = 21 0.25 ĐỀ THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh Cho a, b,