Chinh phục điểm 8 Hệ PT BPT

2015 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 = 𝒚√𝒚 − 𝟐 − 𝟐𝒙 (𝟏) Bài 1: { (√𝒚 − 𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟑(𝒚 − 𝟐) + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 (𝟐) (Trích đề thi thử lần – năm 2016 – THPT HÀN THUYÊN-BẮC NINH) Phân tích đề: Nếu tín đồ phương pháp hàm số bạn dễ nhận PT (1) sử dụng hàm số có dạng 𝑓(√𝒚 − 𝟐) = 𝒇(𝟐𝒙) , sau xét hàm 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕 ok(các bước bạn) Nhưng mấu chốt nhìn PT (1) sử dụng hàm số sao? Đó câu hỏi hay trả lời cho bạn Chúng ta sử dụng máy tính casio 𝑓𝑥-570ES PLUS,casio 𝑓𝑥-570VN PLUS … sau: 𝟏 𝒙≥− 𝟐 Trước tiên, sống chết bạn phải tìm đkxđ đã, tìm luôn: { 𝒚≥𝟐 Các bạn xét PT (1), chuyển tất vế thành vế, chuyển VP sang VT sau: 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 − 𝒚√𝒚 − 𝟐 + 𝟐𝒙 Sau quy trình bấm máy: Nhập biểu thức vào máy tính 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 − 𝒚√𝒚 − 𝟐 + 𝟐𝒙 Bấm SHIFT CALC hình bên phải, có nghĩa máy tính hỏi bạn cho giá trị Y bao nhiêu, cho Y = (do đkxđ 𝒚 ≥ 𝟐 nên lấy y=2 trở lên) bấm vào máy tính sau: = Bây hình máy tính lại lên hỏi bạn cho giá trị X bao nhiêu, bạn cho giá trị thí dụ cho -10 bấm vào máy sau: – 10 = Bây hình máy tính lên bên phải, có nghĩa cho giá trị Y=2 X=0 sai số phép tính L – R=0, hay (X;Y)=(0;2) nghiệm biểu thức Tương tự hướng dẫn bạn cho giá trị Y=3,4,5,6,… để tìm X=…, để tìm quy luật mà buộc X Y Khi thực tương tự ta bảng sau: Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Y 10 X 0,5 0,7071067812 0,8660254038 1,414213562 Nếu người sử dụng máy tính thành thạo hay quen với số dễ dàng thấy 0,7071067812= √2 , 0,8660254038= √3 , 1,414213562=√2 từ ta thấy quy luật 2X=√𝑌 − , bạn chưa nhìn ta làm tiếp sau: Y X 0,5 √2 =0,7071067812 √3 =0,8660254038 10 √2 =1,414213562 √𝑌 − √2 =1,414213562 √3 =1,732050808 2√2 =2,828427125 Bây ta thấy quy luật 2X=√𝑌 − Mấu chốt bạn liệt kê biểu thức có PT mà ta xét, thí dụ ta thêm √𝑌 − để xuất mối quan hệ X Y nhanh Đó bước đầu để chinh phục câu hệ Bước để ta tìm nhân tử chung 2X=√𝑌 − biết trước Bây cần bạn có chút tư duy: Đối với PT mà biến x y độc lập biểu thức chứa biến x y độc lập ta nghĩ đến việc sử dụng Phương pháp hàm số( mấu chốt đạo hàm).Vì biết trước nhân tử chung 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 sử dụng hàm số ta làm sau: (1)⇔ (2𝑥)3 + 2𝑥 = [(𝑦 − 2) + 2]√𝑦 − − √𝑦 − ⇔ (2𝑥)3 + 2𝑥 = (√𝑦 − 2) + √𝑦 − Đến ta nhận hàm đặc trưng 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕 , bước là: Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 ⇒ Hàm số đồng biến R 𝒙≥𝟎 Hay 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 ⇔ { 𝟐 Vậy ta nhân tử cần mong muốn, mấu chốt 𝟒𝒙 = 𝒚 − 𝟐 việc sử dụng máy tính casio vào giải toán để ta biết trước PT có nhân tử chung hay kết ta khai thác bước theo Sau tìm nhân tử chung 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 thay vào PT (2) là: (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 (𝟑) Nhìn chung PT khó tương đối phức tạp không nhờ công cụ vạn hỗ trợ - máy tính casio 𝒇𝒙-570ES PLUS Ta chuyển tất biến vế, chuyển hết VT được: (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗 Sau nhập vào máy tính để tìm nghiệm PT Quy trình bấm máy sau: Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Nhập biểu thức vào máy tính (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗 Bấm SHIFT CALC hình bên phải, sau máy hỏi bạn cho X có giá trị bạn cho giá trị bất kỳ, cho X= - 10 bấm vào máy sau: - 10 = Bây hình kết X=0,5 sai số phép tính L – R=0 hay X=0,5 nghiệm PT (3) Tiếp theo bạn gán giá trị X=0,5 vào biến A máy tính cách bấm máy sau: SHIFT STO ( - ) Bây chia nghiệm X=0,5 để xem PT nghiệm hay không cách nhập biểu thức vào: ((𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗): (𝒙 − 𝟎, 𝟓) Nhớ A=0,5 thêm dấu ngoặc vào đầu cuối Bây máy hỏi bạn có muốn gán giá trị A=0,5 không, bạn ấn = để đồng ý Tiếp theo máy hỏi bạn muốn cho giá trị X=0,5 không, đồng ý ấn = không bạn cho giá trị bất kỳ, lấy X=0,5 Bây hình kết X=1,5 sai số phép tính L – R=0 hay X=1,5 nghiệm PT (3) Như đến ta thấy PT (3) có nghiệm Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Tiếp tục bạn gán nghiệm X=1,5 vào biến B cách bấm máy sau: SHIFT STO °''' Bây chia tiếp nghiệm X=1,5 PT (3) để xem PT có nghiệm hay không Hoàn toàn tương tự ta nhập biểu thức vào máy tính kết hiển thị bên phải Bây hình lên X=4,596291202 sai số phép tính L –R=0 hay X=4,596291202 nghiệm PT (3) Tương tự ta gán nghiệm X=4,596291202 vào biến C máy cách bấm máy sau: SHIFT STO hyp Hoàn toàn tương tự ta lại chia nghiệm X=4,596291202 PT để xem PT nghiệm hay hết nghiệm Và kết bên phải Bây máy tính hiển thị kết Can’t Solve có nghĩa PT (3) hết nghiệm Các bạn thay giá trị X thêm để chắn PT (3) hết nghiệm, theo kinh nghiệm hết Đó ta biết PT (3) có nghiệm {0,5; 1,5; 4,596291202} ta thấy nghiệm thỏa mãn đk 𝑥 ≥ đkxđ Bây việc làm biến đổi PT (3) theo nghiệm Đến ta lại câu hỏi: “ồ đến phải nhỉ?” Tôi trả lời câu hỏi Chúng ta có nghiệm sử dụng chúng cho hợp lý sau: thay nghiệm vào √𝟐𝒙 + 𝟏 nghiêm cho giá trị đẹp ta tách PT theo nó, ta thấy nghiệm 1,5 cho kết đẹp nghiệm không đẹp cho Vì tách PT theo nghiệm 1,5 sau (3)⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐) + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 ⇔ ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝟖𝒙 − 𝟐𝟕 = (𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟏 ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) ( − (𝟐𝒙 − 𝟗)) = 𝟎 √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 Đến ta thấy xuất nghiệm 0,5 1,5 nghiệm đâu? Xin trả lời nghiệm nghiệm PT 𝟏 √𝟐𝒙+𝟏+𝟐 − (𝟐𝒙 − 𝟗) = 𝟎 (4) Bây ta việc giải (4) nghiệm lại Nhưng đến nhiều bạn không làm nốt, chả nhẽ nấu cơm xong mà không không bạn Vậy phải nhỉ? Chả ta làm sau: Viết lại (4):(𝟐𝒙 − 𝟗)( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ [(𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏𝟎]( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 Đến bạn nhìn ra, đặt √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒂 ≥ 𝟎, (4) trở thành: (𝒂𝟐 − 𝟏𝟎)(𝒂 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 − 𝟏𝟎𝒂 − 𝟐𝟏 = 𝟎 ⇔ (𝒂 + 𝟑)(𝒂𝟐 − 𝒂 − 𝟕) = 𝟎 Đến dễ rồi, ta 𝒂 = {−𝟑; 𝟏−√𝟐𝟗 𝟐 ; 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 } có 𝒂 = Đến bạn đừng hỏi nhá, mà làm nốt: √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 ⇔𝒙= 𝒂 ≥ 𝟎 𝟏𝟑+√𝟐𝟗 𝟒 Thế xong nhé! Bài làm thức: ĐKXĐ: 𝒙 ≥ −𝟎, 𝟓 , 𝒚 ≥ 𝟐 Xét PT (1): 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 = 𝒚√𝒚 − 𝟐 − 𝟐𝒙 ⇔ (𝟐𝒙)𝟑 + 𝟐𝒙 = [(𝒚 − 𝟐) + 𝟐]√𝒚 − 𝟐 − √𝒚 − 𝟐 𝟑 ⇔ (𝟐𝒙)𝟑 + 𝟐𝒙 = (√𝒚 − 𝟐) + √𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒇(𝟐𝒙) = 𝒇(√𝒚 − 𝟐) Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇒ Hàm số đồng biến R 𝒙≥𝟎 ⇒𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 ⇔ { 𝟐 , thay vào PT (2) ta được: 𝟒𝒙 = 𝒚 − 𝟐 (2)⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐) + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 ⇔ ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝟖𝒙 − 𝟐𝟕 = (𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟏 ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) ( − (𝟐𝒙 − 𝟗)) = 𝟎 √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 ⇔ 𝒙 = 𝟎, 𝟓 ⇒ 𝒚 = 𝟑( 𝒕𝒎) 𝒙 = 𝟏, 𝟓 ⇒ 𝒚 = 𝟏𝟏(𝒕𝒎) (𝟐𝒙 − 𝟗)( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 (∗) Giải PT (∗) ⇔ [(𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏𝟎]( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 Đặt √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒂 ≥ 𝟎, PT (∗) trở thành: (𝒂𝟐 − 𝟏𝟎)(𝒂 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 − 𝟏𝟎𝒂 − 𝟐𝟏 = 𝟎 ⇔ (𝒂 + 𝟑)(𝒂𝟐 − 𝒂 − 𝟕) = 𝟎 𝒂 = −𝟑 ⇔ 𝒂= 𝒂= Do 𝒂 ≥ 𝟎 nên √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 𝟏−√𝟐𝟗 𝟐 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 ⇔𝒙= 𝟏𝟑+√𝟐𝟗 𝟒 ⇒𝒚= 𝟏𝟎𝟑+𝟏𝟑√𝟐𝟗 𝟐 (𝒕𝒎) 𝟏𝟑+√𝟐𝟗 𝟏𝟎𝟑+𝟏𝟑√𝟐𝟗 KL: Vậy hệ cho có nghiệm (0,5; 3), (1,5; 11), ( 𝟒 ; 𝟐 )  (𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎 (𝟏) Bài 2: { 𝟐 𝟐𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (𝟐) (Trích đề thi thử lần – năm 2016 - THPT LỤC NGẠN –BẮC GIANG) Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Phân tích đề: 𝟔 Bước đầu tiên( sống chết bạn phải) tìm điều kiện xác định: − ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 𝟓 Bây khó nhể làm để xác định nhân tử chung PT (1) Như bảo bạn “ vỏ quýt dày có móng tay nhọn mà móng tay nhọn có bấm móng tay” Đó sử dụng công cụ vạn máy tính casio 𝒇𝒙 − 𝟓𝟕𝟎ES PLUP Và việc làm nhập VT PT (1) vào máy lập bảng giá trị Tương tự bạn tìm giá trị X Y cho bảng giá trị: Y 10 X -1 -6 -13 -97 10 √3 − 𝑋 Như hướng dẫn ta thấy có biểu thức PT ta tính thêm giá trị biểu thức vào bảng X Y ta Ở ta thêm dòng giá trị √3 − 𝑋 ta nhận mối quan hệ 𝑥, 𝑦, cứ: Y=√𝟑 − 𝑿 Việc khai triển PT (1) theo nhân tử 𝒚 = √𝟑 − 𝒙, nhiều bạn đến lại không nghĩ phải nhỉ? Đơn giản, bạn để ý thí dụ nói: Đối với PT mà biến x y độc lập biểu thức chứa biến x y độc lập ta nghĩ đến việc sử dụng Phương pháp hàm số( mấu chốt đạo hàm) Thật vậy, ta dùng hàm số để tạo nhân tử chung tìm cho PT (1) sau: (1)⇔ (𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎 ⇔ (𝟒 − 𝒙)√𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚 𝟑 ⇔ (√𝟑 − 𝒙) + √𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚 ⇔ 𝒇(√𝟑 − 𝒙) = 𝒇(𝒚) Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 𝒚≥𝟎 ⇒ Hàm số đồng biến R ⇒ √𝟑 − 𝒙 = 𝒚 ⇔ { 𝟐 𝒚 = 𝟑−𝒙 Đến OK rồi, bây ta việc vào PT (2) nửa quãng đường Nào bạn thay vào PT (2) ta nhỉ: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (3) Đó thay vào PT (2) ta PT ( 3), việc giải PT (3) ok nhớ thử lại nghiệm tìm 𝑥, 𝑦 Bây giải PT (3) nhá, có nhiều bạn giải Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT không bạn chưa giải dạng PT tương đối khó Tôi bảo mà “vỏ quýt dày có móng tay nhọn mà móng tay nhọn có bấm móng tay” sử dụng máy tính casio 𝒇𝒙 − 𝟓𝟕𝟎ES PLUP Quy trình bấm máy nhá: Nhập biểu thức VT PT (3) vào máy kết hình bên Bấm SHIFT CALC hình bên phải, tức máy hỏi bạn cho X có giá trị bạn cho giá trị bất kỳ, lấy giá trị X=0 bấm vào máy sau: = Bây máy kết hình bên, nghĩa X= - sai số phép tính L-R=0, hay X=-1 nghiệm PT (3) Tiếp tục bấm vào mũi tên bên trái bàn phím ◀ ta kết hình bên Bây chia nghiệm X=-1 PT để xem PT (3) nghiệm không nhập biểu thức vào máy tính kết hình bên, nhớ phải có đóng mở ngoặc biểu thức VT PT (3) ban đầu Bấm SHIFT CALC hình bên phải, tức máy hỏi bạn cho X có giá trị bạn cho giá trị bất kỳ, lấy giá trị X=-1 bấm vào máy sau: = Bây máy kết hình bên, nghĩa X= sai số phép tính L-R=0, hay X=2 nghiệm PT (3) Như đến ta thấy PT (3) có nghiệm Tiếp tục bấm vào mũi tên bên trái bàn phím ◀ ta kết hình bên Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây chia tiếp nghiệm X=2 PT để xem PT (3) nghiệm không nghiệm vừa tìm nhập biểu thức vào máy tính kết hình bên, nhớ phải có đóng mở ngoặc biểu thức VT PT (3) ban đầu Bấm SHIFT CALC hình bên phải, tức máy hỏi bạn cho X có giá trị bạn cho giá trị bất kỳ, lấy giá trị X=2 bấm vào máy sau: = Bây máy tính hiển thị kết Can’t Solve có nghĩa PT (3) hết nghiệm Các bạn thay giá trị X thêm để chắn PT (3) hết nghiệm, theo kinh nghiệm hết Như đến ta tạm kết luận PT (3) có nghiệm -1 Bước ta khai triển PT (3) theo nghiệm Vậy nhỉ? Lại câu hỏi đặt ra, người giải đáp Tôi ai, hướng dẫn bạn Trước tiên cần bạn nhớ lại 𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝑺 chút Định lý Vi-ét: { 𝟏 , với 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 nghiệm PT: 𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝑷 (𝑺𝟐 ≥ 𝟒𝑷 để PT có nghiệm) Đó kiến thức cũ mà ta phải áp dụng sau: −1 + = ⇒ -1 nghiệm PT: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 Đó có −1.2 = −2 nhân tử chung 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ta tách PT (3) theo “ bố nghiệm rồi” Ở cách khách dùng kết nghiệm tìm số đẹp tức nhân biểu thức (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 𝑥 − 𝑥 − ta không cần sử dụng đến Vi-ét ( cách không áp dụng hết) Tiếp theo hướng dẫn bạn cách tạo nhân tử tử chung phương pháp liên hợp: Dễ thấy { Ở PT (3) ta thấy có biểu thức √𝟓𝒙 + 𝟔, √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 phải tìm biểu thức liên hợp chúng để tạo thành nhân tử chung vừa tìm 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 chúng có dạng: (𝒂𝒙 + 𝒃) − √𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝒌(𝒙𝟐 −𝒙−𝟐) (𝒄𝒙 + 𝒅) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = (𝒂𝒙+𝒃) √𝟓𝒙+𝟔+ 𝒎(𝒙𝟐 −𝒙−𝟐) √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒄𝒙+𝒅) Mục đích tìm giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 Bây hướng dẫn bạn tìm 𝑎, 𝑏 𝑐, 𝑑 tương tự bạn tự tìm Trong tay bạn có sẵn nghiệm -1 nên việc tìm giá trị đơn giản sau: 𝒂 (−𝟏) + 𝒃 = √𝟓 (−𝟏) + 𝟔 𝒂=𝟏 Ta phải có: (𝒂𝒙 + 𝒃) = √𝟓𝒙 + 𝟔 ⇔ { ⇔{ 𝒃=𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 = √𝟓 𝟐 + 𝟔 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Giải (c) ta được: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⇔ (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟒) = 𝟎 ⇔ 𝒙=𝟏 (tmđk ≤ 𝑥 ≤ 5) 𝒙=𝟒 Với x=1 y=2( tm đkxđ) với x=4 y=5( tm đkxđ) Giải (d): (d) ⇔ 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎 Dễ thấy: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 > 0, ∀𝑥𝜖 [ ; 5], nên PT (d) vô nghiệm KL: Vậy hệ cho có nghiệm là: (1; 2) (4; 5)  𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏 (𝟏) Bài 5: { 𝟑𝒚√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒚 − 𝟏) (𝟐) ( Trích đề thi thử lần – năm 2016 – THPT NGÔ SĨ LIÊN-BẮC GIANG) Phân tích đề: Lại câu hệ, nhìn mà nản thực chả có phải nản ta có công cụ hữu dụng máy tính casio fx-570ES PLUS (cái phổ biến cả) Bước đầu nhỉ? Là tìm đkxđ đãbảo sống chết phải tìm đkxđ ĐKXĐ: 𝒙 ≥ −𝟏 𝟐 , 𝒚 ≥ −𝟏 Tiếp theo xét PT (1) nhé, bạn đoán xem PT (1) có nhân tử chung nào? Thôi đoán mò đoán meo làm chi bắt tay vào tìm nhân tử chung cách sử dụng máy tính cầm tay Tương tự thí dụ cho bảng giá trị X Y, bạn nhớ thêm nhá PT mà có biểu thức bạn tính thêm giá trị biểu thức theo X Y: Y X -1 0 1 √2=1,414213562 √3=1,732050808 √𝑌 + √2 √3 Đó biết nhân tử chung PT (1) X=√𝑌 + Đơn giản không bạn với việc bấm bấm biết nhân tử chung PT (1) Bây ta việc tách PT (1) theo nhân tử xong Nhưng bạn để ý PT (1), ta thấy vế, vế có biến x y độc lập Do ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hàm số Và PT (1) khai thác sau: (1)⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏 ⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (𝒚 + 𝟏) + [(𝒚 + 𝟏) + 𝟑]√𝒚 + 𝟏 − 𝟏 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 20 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT 𝟑 𝟐 ⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (√𝒚 + 𝟏) + (√𝒚 + 𝟏) + 𝟑√𝒚 + 𝟏 − 𝟏 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑓(√𝒚 + 𝟏) Đó hàm đặc trưng bạn Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟑𝒕 − 𝟏, có: 𝒇 ′ (𝒕) 𝟏 𝟏 𝟖 𝟏 𝟐 𝟖 = 𝟑𝒕 + 𝟐𝒕 + 𝟑 = 𝟑 (𝒕 + 𝟐 𝒕 + + ) = 𝟑 (𝒕 + ) + > 𝟎, ∀𝒕𝝐𝑹 𝟑 𝟗 𝟗 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝒙≥𝟎 ⇒ Hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến R ⇒ 𝒙 = √𝒚 + 𝟏 ⇔ { 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏 Thế OK bây ta thay vào PT (2) xong: 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) (𝟑) Việc tìm xem PT (3) có nghiệm để từ ta xác địng PT (3) theo nghiệm Khoan để ý xem nhá PT (3) vế chung nhân tử (𝒙 − 𝟏) Vậy nên ta khai thác (3) theo nhân tử nhá (3) ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) ⇔ 𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏) ⇔ 𝒙 = 𝟏(𝒕𝒎đ𝒌 𝒙 ≥ 𝟎) ⇒ 𝒚 = 𝟎(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ) 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝟒) Bây giải (4) cho nhẹ nhàng Nào bạn dùng máy tính casio để xem PT có nghiệm Quy trình bấm máy sau: Nhập biểu thức vào máy tính: 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 Bấm SHIET CALC, máy hỏi bạn cho X bạn cho X=9 ấn = Sau hình máy lên bên phải tức X=-0,464101615 nghiệm PT (4) Tiếp theo bạn gán nghiệm vừa tìm cho A cách bấm SHIFT STO (-) Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 21 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Tiếp theo bạn nhập biểu thức vào máy: (𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 ): (𝒙 − 𝑨), có nghĩa bạn chia nghiệm X=A PT để xem PT (4) có nghiệm không Bấm SHIFT CALC, máy lại hỏi bạn cho giá trị A không bạn ấn = máy hỏi cho X bạn ấn =( lấy giá trị đó) Sau máy kết hình bên tức X=6,464101615 nghiệm PT (4) Tiếp tục gán nghiệm X=6,464101615 cho biến B máy cách bấm SHIFT STO °''' Tiếp theo bạn nhập biểu thức vào máy: (𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 ): (𝒙 − 𝑨)(𝒙 − 𝑩), có nghĩa bạn chia tiếp nghiệm X=B PT để xem PT (4) có nghiệm không Bấm SHIFT CALC máy hỏi cho giá trị A, B, X không bạn ấn dấu =( trừ với X bạn thay A, B không thay cố định nghiệm) Sau máy hình bên tức PT (4) hết nghiệm Như đến ta tạm kết luận PT (4) có nghiệm A,B với A,B nghiệm lẻ Đó đến bạn thấy ghê ghê nghiệm lẻ làm Các bạn đừng lo sử dụng Định lý Vi-ét để khai thác nghiệm lẻ xem nghiệm lẻ 𝐴+𝐵 =6 nghiệm PT bậc Ta thấy { A B nghiệm PT: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝐴 𝐵 = −3 Đó bạn biết nghiệm lẻ nghiêm PT 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ta tường ming nghiệm nhé: + 2√3 , − 2√3 Như ta xác định nhân tử chung nghiệm lẻ Tiếp theo tìm biểu thức liên hợp √𝟐𝒙 + 𝟏 Gọi 𝟏 𝒂= 𝒂 𝑨 + 𝒃 = √𝟐𝑨 + 𝟏 𝟐 biểu thức liên hợp √𝟐𝒙 + 𝟏 𝒂𝒙 + 𝒃 nên { ⇔{ 𝟏 Do ta 𝒂 𝑩 + 𝒃 = √𝟐𝑩 + 𝟏 𝒃= 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 −𝟔𝒙−𝟑 có: ( + ) − √𝟐𝒙 + 𝟏 = [(𝒙 + 𝟏) − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏] = ((𝒙+𝟏)+𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟐𝒙+𝟏 ) Thế OK khai thác PT (4) theo (4)⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 22 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟏)[(𝒙 + 𝟏) − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏] = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 𝟐 ⇔ 𝒙 − 𝟔𝒙 − 𝟑 + 𝟑(𝒙 + 𝟏) ( )=𝟎 (𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 (𝒂) ⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏) 1+ = 𝟎 (𝒃) (𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏 Đến dễ không bạn, PT (a) không nói làm Bây PT (b) OK, để đk để có PT (3) 𝒙 ≥ 𝟎 nên điều dễ thấy VT (b)>0 Do PT (b) vô nghiệm Vậy xong rồi! Bài làm thức: ĐKXĐ: 𝒙 ≥ −𝟏 𝟐 , 𝒚 ≥ −𝟏 Xét PT (1): (1)⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏 ⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (𝒚 + 𝟏) + [(𝒚 + 𝟏) + 𝟑]√𝒚 + 𝟏 − 𝟏 𝟑 𝟐 ⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (√𝒚 + 𝟏) + (√𝒚 + 𝟏) + 𝟑√𝒚 + 𝟏 − 𝟏 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑓(√𝒚 + 𝟏) Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟑𝒕 − 𝟏, có: 𝒇 ′ (𝒕) 𝟏 𝟏 𝟖 𝟏 𝟐 𝟖 = 𝟑𝒕 + 𝟐𝒕 + 𝟑 = 𝟑 (𝒕 + 𝟐 𝒕 + + ) = 𝟑 (𝒕 + ) + > 𝟎, ∀𝒕𝝐𝑹 𝟑 𝟗 𝟗 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝒙≥𝟎 ⇒ Hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến R ⇒ 𝒙 = √𝒚 + 𝟏 ⇔ { 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏 Thay vào PT (2) ta được: 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) (𝟑) Giải PT (3): (3) ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) ⇔ 𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏) Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 23 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ 𝒙 = 𝟏(𝒕𝒎đ𝒌 𝒙 ≥ 𝟎) ⇒ 𝒚 = 𝟎(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ) 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝟒) Giải PT (4): (4)⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 ⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟏)[(𝒙 + 𝟏) − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏] = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 ⇔ 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 + 𝟑(𝒙 + 𝟏) ( )=𝟎 (𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 (𝒂) ⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏) 1+ = 𝟎 (𝒃) (𝒙 + 𝟏) + 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙=3+2 Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ⇔ (𝒙 − 𝟑 − 𝟐√𝟑)(𝒙 − 𝟑 + 𝟐√𝟑) = 𝟎 ⇔ 𝒙= 3−2√√3 Do đk 𝒙 ≥ 𝟎 nên PT (a) có nghiệm 𝒙 = 𝟑 + 𝟐√𝟑 ⇒ 𝒚 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟐√𝟑 (tm đkxđ) 𝟑(𝒙+𝟏) Giải (b): + (𝒙+𝟏)+𝟐 √𝟐𝒙+𝟏 = 𝟎 Do đk 𝒙 ≥ 𝟎 nên VT (b)>0 nên PT (b) vô nghiệm KL: Vậy hệ cho có nhiệm là: (1; 0) (𝟑 + 𝟐√𝟑 ; 𝟐𝟎 + 𝟏𝟐√𝟑 )  Không biết bạn chán chưa đổi không khí nhá làm PT nhá Bài 6: 𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟖 𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟑 = (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐) (1) (Trích đề thi TNTHPTQG – năm 2015) Phân tích đề: Các bạn thấy việc giải hệ hay PT hay BPT giải PT mà Chẳng qua người ta làm khó cách ràng buộc mối quan hệ x y, từ bắt tìm thay vào hai PT ban đầu việc giải hệ Còn giải BPT người ta thêm dấu lớn hay nhở … thực chất giải PT ta thay dấu dấu giải khống khác bao Bây giải đề thu thức TNTHPTQG năm 2015 vừa qua để thấy rõ sức mạnh máy tính casio fx-570ES PLUS… Bước dù hệ hay BPT hay PT phải tìm ĐKXĐ cả, đkxđ là: 𝒙 ≥ −𝟐 Bây tìm nghiệm PT nhá Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 24 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Nhập biểu thức vào máy: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 − (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 Bấm SHIFT CALC máy lên hình bên, tức máy hỏi bạn cho X bao để thực phép tính bạn cho bất kỳ, cho X=1 ấn = Bây máy kết hình bên tức X=2 nghiệm PT Bây bạn bấm ◀ để quay lại hình lúc ban đầu nhập máy Bây bạn chia nghiệm X=2 PT để xem PT cho nghiệm hay không ( nhớ phải có dấu đóng mở ngoặc đầu cuối biểu thức ban đầu hình bên) Bấm SHIFT CALC máy lên hình bên, tức máy hỏi bạn cho X bao để thực phép tính bạn cho bất kỳ, cho X=2 ấn = Bây máy kết hình bên tức X=3,302775638 nghiệm PT Gán nghiệm X=3,302775638 vào biến A máy cách bấm SHIFT STO (-) Nhập biểu thức vào máy: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 − (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐)) : (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝑨) ( 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟑 Tức bạn chia tiếp nghiệm X=A PT để xem PT nghiệm hay không Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 25 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bấm SHIFT CALC máy lên hình bên, tức máy hỏi bạn cho A=3,302775638 bạn đồng ý ấn = (riêng biến A bạn không thểch o gán nghiệm vào nó) Tiếp theo máy lên hỏi bạn cho X để thực phép tính bạn lấy giá trị máy hình bên ấn = Bây máy kết hình bên có nghĩa PT hết nghiệm( bạn bấm tiếp thay giá trị X hết nghiệm rồi) Đó đến tạm kết luận PT cho có nghiệm A Bây điều băn khoăn bạn nghiệm lẻ X=A đâu tìm Như bảo bạn “vỏ quýt dày có móng tay nhọn mà móng tay nhọn có bấm móng tay” sử dụng công cụ hữu dụng máy tính casio fx-570ES PLUS,… sau Cái nghiệm lẻ A= 3,302775638 thường nghiệm PT bậc dạng 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 + 𝒎 = 𝟎 ( 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 cho giống dạng thống chia vế cho a ta PT 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 + 𝒎 = 𝟎 cho hệ số a=1) Do nghiệm lẻ nghiệm PT 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 + 𝒎 = 𝟎 nên ta phải có: 𝑨𝟐 + 𝒌𝑨 + 𝒎 = 𝟎 ⇔ 𝒎 = −(𝑨𝟐 + 𝒌𝑨) Đó đã hình dung cách làm chưa tìm hệ số k m PT cần tìm Bây sử dụng chức TALBE máy tính để tìm hệ số sau: Bấm MODE để vào chức TALBE hình lên hình bên Bây nhập biểu thức vào 𝒎 = −(𝑨𝟐 + 𝒌𝑨) Bằng cách coi k=X m=F(x) máy tính, ta cần tìm giá trị k cho m đẹp Bấm = máy hỏi bạn cho hàm xét m=F(x)= −(𝑨𝟐 + 𝒌𝑨), có giá trị X chạy từ giá trị hay giá trị bắt đầu X bạn cho -10 ấn – 10 = Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 26 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây máy lại hỏi bạn cho giá trị kết thúc X bạn cho 10 ấn 10 = Tiếp theo hình máy lại hỏi bạn cho khoảng cách giá trị X bước nhảy bạn cho ấn = Bây máy kết hình bên, cột X tức giá trị k ta -10 cột F(x) tức giá trị m ta xác định k giá trị m=F(x)= −(𝑨𝟐 + 𝒌𝑨) Sử dụng nút ▼ ▶ ◀ ▲ ta tìm giá trị đẹp X=k=-3 F(x)=m=-1, PT ta 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 Đó đơn giản ta tìm nghiệm lẻ nghiệm PT 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎, ta giải PT xem nghiệm lẻ có dạng sau: 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 ⇔ 𝒙= 𝟑+√𝟏𝟑 = 3,302775638 𝒙 = 𝟐 𝟑+√𝟏𝟑 𝟐 𝟑−√𝟏𝟑 𝟐 = −0,3027756377 Đó nghiệm lẻ bạn lại thấy thắc mắc không có thêm nghiệm mà vừa ta bấm máy PT có nghiệm 𝟑−√𝟏𝟑 𝟐 𝟑+√𝟏𝟑 𝟐 , bạn đừng lo nghiệm bị loại điều kiện giải PT Vậy xong không bạn bây giải sơ sơ qua nhá (1)⇔ 𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟖 𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟑 = (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐) Các bạn để ý 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 = (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐 > 𝟎, ∀𝒙 nên ta quy đồng lên thoải mái, √𝒙 + 𝟐 − 𝟐 = 𝒙−𝟐 √𝒙+𝟐+𝟐 liên hợp nhân tử chung Bây “chém” tiếp nhá: (1)⇔ ⇔ 𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟖 𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟑 = (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒) 𝒙−𝟐 (𝒙 = + 𝟏) ( ) (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐 √𝒙 + 𝟐 + 𝟐 ⇔ (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒)(√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)[(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐] Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 27 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ 𝒙 = 𝟐(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ) (𝒙 + 𝟒)(√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟏)[(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐] (𝒂) 3+√13 xong Chắc chắn Đó xuất nghiệm x=2 bây nghiệm x= nghiệm nghiệm PT (a) ta giải PT (a) Các bạn để ý PT (a) mà xem ta thấy vế độc lập biểu thức √𝒙 + 𝟐 (𝒙 − 𝟏) có na ná giống ta nghĩ đến việc sử dụng PP Hàm số sau: (a)⇔ (𝒙 + 𝟒)(√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟏)[(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐] ⇔ [(𝒙 + 𝟐) + 𝟐](√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = [(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐][(𝒙 − 𝟏) + 𝟐] 𝟐 ⇔ [(√𝒙 + 𝟐) + 𝟐] (√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = [(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐][(𝒙 − 𝟏) + 𝟐] ⇔ 𝑓(√𝒙 + 𝟐) = 𝒇(𝒙 − 𝟏) Đó hàm đặc trưng bạn cần xét hàm Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = (𝒕𝟐 + 𝟐)(𝒕 + 𝟐) = 𝒕𝟑 + 𝟐𝒕𝟐 + 𝟐𝒕 + 𝟒, có: 𝒇 ′ (𝒕) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟑𝒕 + 𝟒𝒕 + 𝟐 = 𝟑 (𝒕 + 𝟐 𝒕 + + ) = 𝟑 (𝒕 + ) + > 𝟎, ∀𝒕𝝐𝑹 𝟑 𝟗 𝟗 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ⇒ Hàm số đồng biến R 𝒙≥𝟏 𝒙−𝟏≥𝟎 𝟑+√𝟏𝟑 𝒙≥𝟏 ⇒ √𝒙 + 𝟐 = 𝒙 − 𝟏 ⇔ { ⇔ { ⇔ { 𝟑±√𝟏𝟑 ⇔ 𝒙 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝟐 = (𝒙 − 𝟏) 𝒙= 𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 Đó xong Bài làm thức: ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟐 PT ch tương đương với: 𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟖 𝒙𝟐 −𝟐𝒙+𝟑 ⇔ = (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒) 𝒙−𝟐 (𝒙 = + 𝟏) ( ) (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐 √𝒙 + 𝟐 + 𝟐 ⇔ (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟒)(√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐)[(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐] Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 28 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ 𝒙 = 𝟐(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ) (𝒙 + 𝟒)(√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟏)[(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐] (𝒂) Giải (a) ta được: (a)⇔ (𝒙 + 𝟒)(√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟏)[(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐] ⇔ [(𝒙 + 𝟐) + 𝟐](√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = [(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐][(𝒙 − 𝟏) + 𝟐] 𝟐 ⇔ [(√𝒙 + 𝟐) + 𝟐] (√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = [(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐][(𝒙 − 𝟏) + 𝟐] ⇔ 𝑓(√𝒙 + 𝟐) = 𝒇(𝒙 − 𝟏) Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = (𝒕𝟐 + 𝟐)(𝒕 + 𝟐) = 𝒕𝟑 + 𝟐𝒕𝟐 + 𝟐𝒕 + 𝟒, có: 𝒇 ′ (𝒕) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟑𝒕 + 𝟒𝒕 + 𝟐 = 𝟑 (𝒕 + 𝟐 𝒕 + + ) = 𝟑 (𝒕 + ) + > 𝟎, ∀𝒕𝝐𝑹 𝟑 𝟗 𝟗 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ⇒ Hàm số đồng biến R 𝒙≥𝟏 𝒙−𝟏≥𝟎 𝟑+√𝟏𝟑 𝒙≥𝟏 ⇒ √𝒙 + 𝟐 = 𝒙 − 𝟏 ⇔ { ⇔{ 𝟐 ⇔{ 𝟑±√𝟏𝟑 ⇔ 𝒙 = 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝟐 = (𝒙 − 𝟏) 𝒙= 𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 KL: Vậy PT cho có nghiệm 𝟑+√𝟏𝟑 𝟐  𝟑 Bài 6: 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 = 𝟐𝒙𝟐 √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) Phân tích đề: Đây toán nhìn sơ qua thấy khó khó nản không muốn làm thực không khó dùng máy tính casio fx-570ES PLUS sau: Nhập biểu thức vào máy kết hình bên: 𝟑 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 − 𝟐𝒙𝟐 √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) Bấm SHIFT CALC máy hình bên tức máy hỏi bạn cho X để thực phép tính thfi bạn cho lấy ấn = Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 29 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây hình máy kết hình bên tức X=1 nghiệm PT cho Bấm ◀ để quay hình lúc ban đầu Bây chia nghiệm X=1 PT để xem PT cho có nghiệm không kết hình bên Nhớ phải có đóng mở ngoặc vào đầu biểu thức ban đầu Bấm SHIFT CALC máy lại hỏi bạn cho X nhiêu bạn lấy giá trị tính ấn = Bây máy kết hình bên tức nghiệm X=1,108495283 PT Các bạn gán nghiệm lẻ X=1,108495283 vào biến A máy cách bấm SHIFT STO (-) Bây bạn nhập biểu thức vào máy tính: 𝟑 (𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 − 𝟐𝒙𝟐 √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 )) : (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝑨) Tức bạn chia tiếp nghiệm X=A PT để xem PT nghiệm không Bấm SHIFT CALC máy hỏi bạn có đồng ý cho giá trị A 1,108495283 không bạn ấn = vừa bạn gán nghiệm X=A vào biến A Máy lại hỏi bạn cho giá trị X bạn lấy giá trị ấn = Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 30 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây máy kết hình bên tức nghiệm lẻ X=-3,608495283 nghiệm PT cho Các bạn gán nghiệm X=-3,608495283 vào biến B máy cách ấn SHIFT STO °''' Nhập biểu thức vào máy: 𝟑 (𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 − 𝟐𝒙𝟐 √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 )) : (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝑨)(𝒙 − 𝑩) Tức bạn chia tiếp nghiệm X=B PT để xem PT nghiệm không Bấm SHIFT CALC máy hỏi (tương tự trên) bạn ấn = Máy lại hỏi tiếp (tương tự) bạn ấn = Tương tự bạn ấn = Bây máy kết hình bên tức PT hết nghiệm Bây ta tạm thời kết luận PT cho có nghiệm 1, A, B Mấu chốt bạn nghiệm lẻ A B đau để tìm PT chứa không Như ví dụ trình bày trước ta sử dụng Định lý Vi-ét sau: 𝑨 + 𝑩 = −𝟐, 𝟓 ⇒A B nghiệm PT: 𝒙𝟐 + 𝟐, 𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎 ⇔ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟎 Nào { 𝑨 𝑩 = −𝟒 giải nghiệm PT 2𝑥 + 5𝑥 − = nghiệm A, B sau: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = −𝟓±√𝟖𝟗 𝟒 −𝟓+√𝟖𝟗 Đó rồi: nghiệm A= 𝟒 = 𝟏, 𝟏𝟎𝟖𝟒𝟗𝟓𝟐𝟖𝟑 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 31 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT −𝟓−√𝟖𝟗 nghiệm B= 𝟒 − 𝟑, 𝟔𝟎𝟖𝟒𝟗𝟓𝟐𝟖𝟑 Bây tách PT cho theo nhân tử (𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟖) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 𝟑 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 = 𝟐𝒙𝟐 √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) Bây bạn thấy băn khoăn không, không việc phải sợ bạn Như thí dụ trước việc tìm biểu thức liên hợp bậc không khó 𝟑 Gọi biểu thức liên hợp √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) 𝑎𝑥 + 𝑏 nên ta có: 𝟑 𝒂 𝑨 + 𝒃 = √𝑨(𝟏 + 𝟑𝑨 − 𝟑𝑨𝟐 ) 𝒂 = −𝟏 { ⇔{ 𝟑 𝒃=𝟐 𝒂 𝑩 + 𝒃 = √𝑩(𝟏 + 𝟑𝑩 − 𝟑𝑩𝟐 ) 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 𝟑 ⇒ (𝟐 − 𝒙) − √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) = 𝟑 𝟑 (𝟐 − 𝒙)𝟐 + (𝟐 − 𝒙) √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) + ( √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ))𝟐 𝑨−𝑩𝟑 𝟑 Nhớ thêm đẳng thức nhá: √𝑨 − 𝑩 = 𝟑 √𝑨𝟐 +𝑩 𝟑√𝑨+𝑩𝟐 Đó nhân tử chung nhá Bây chém thôi: 𝟑 (1)⇔ 𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 − 𝟐𝒙𝟐 √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) = 𝟎 𝟑 ⇔ 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 + 𝟐𝒙𝟐 [(𝟐 − 𝒙) − √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 )] = 𝟎 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 ⇔ 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 + 𝟐𝒙𝟐 ( =𝟎 𝟐) 𝟑 𝟑 (𝟐 − 𝒙)𝟐 + (𝟐 − 𝒙) √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) + (√𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 )) ⇔ 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 = 𝟎 (𝒂) 𝟏+ 𝟐𝒙𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 ( 𝟐 − 𝒙) 𝟐 + ( 𝟐 − 𝒙) √ 𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) + ( √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 )) = 𝟎 (𝒃) 𝒙=𝟏 Giải (a): 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝟑 𝟐 𝒙= 𝟑 −𝟓+√𝟖𝟗 𝟒 −𝟓−√𝟖𝟗 𝟒 𝟑 Giải (b): (𝟐 − 𝒙)𝟐 + (𝟐 − 𝒙) √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) + (√𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ))𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 Các bạn quay đề cho tôi: Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 32 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT 𝟐 𝟑√ 𝟐𝒙 𝟐 𝟏𝟑 𝟓𝟓 𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 = 𝟕 (𝒙 − ) + >𝟎 𝟏𝟒 𝟐𝟖 𝟐 𝟑 − √𝟐𝟏 (< 𝟎) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 ⇒ √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙 ) > 𝟎 ⇔ 𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙 ) > 𝟎 ⇔ 𝟑 + √𝟐𝟏 𝟎 𝟎 VT (b)>0 nên PT (b) vô nghiệm Bài làm thức: Từ PT cho ta có: 𝟐 𝟑√ 𝟐𝒙 𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 ) 𝟏𝟑 𝟐 𝟓𝟓 = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 = 𝟕 (𝒙 − ) + >𝟎 𝟏𝟒 𝟐𝟖 𝟐 𝟑 − √𝟐𝟏 𝟎 ⇔ 𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙 ) > 𝟎 ⇔ 𝟑 + √𝟐𝟏 𝟎 𝟎, ∀𝒙 ∈ (−∞; 𝟎) ∪ (𝟎; 𝟐) ⇒ PT (b) vô nghiệm KL: Vậy PT cho có nhiệm là: 1, −𝟓+√𝟖𝟗 −𝟓−√𝟖𝟗 𝟒 , 𝟒  Trên số thí dụ cách giải hệ pt mà biên soạn mong bạn tìm thấy hữu ích tài liệu Lần đầu viết tài liệu nhiều sai sai sót mong độc giả góp ý để biết lỗi sai sửa vào lần viết tài liệu cho xác hay tại: SĐT: 0967453602 0911060820 Email: ngcuong.hvnh@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/nmc22297 Nhóm thảo luận: https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan Rất mong nhận phản hồi tích cực từ độc giả Thân ái! Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 34 [...]... https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 30 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên tức là nghiệm lẻ X=-3,6 084 95 283 là một nghiệm nữa của PT đã cho Các bạn gán nghiệm X=-3,6 084 95 283 vào biến B trong máy bằng cách ấn SHIFT STO °''' Nhập biểu thức này vào máy: 𝟑 (𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟖 − 𝟐𝒙𝟐 √𝒙(𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 )) : (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝑨)(𝒙 − 𝑩) Tức là các bạn chia tiếp nghiệm X=B của PT đi để xem PT còn nghiệm... ta sẽ đi giải đề thu chính thức TNTHPTQG năm 2015 vừa qua để thấy rõ hơn về sức mạnh của máy tính casio fx-570ES PLUS… Bước đầu tiên dù là hệ hay BPT hay PT thì đều phải tìm ĐKXĐ cả, ở đây đkxđ là: 𝒙 ≥ −𝟐 Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm nghiệm của PT nhá Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 24 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Nhập biểu thức vào máy: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙... X=3,3027756 38 là một nghiệm nữa của PT Gán nghiệm X=3,3027756 38 này vào biến A trong máy bằng cách bấm SHIFT STO (-) Nhập biểu thức này vào máy: 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 − (𝒙 + 𝟏)(√𝒙 + 𝟐 − 𝟐)) : (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝑨) ( 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟑 Tức là các bạn chia tiếp nghiệm X=A của PT đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 25 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT. .. https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 12 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Các bạn thay giá trị y=100 vào (1) ta được: 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗𝟒𝟏𝟏𝟗𝟑 = 𝟎, giải PT này ta được nghiệm duy nhất là 𝒙 = 𝟗𝟗 ( các bạn bấm MODE 5 4 và nhập hệ sỗ để giải PT bậc 3) Ở đây 𝒙 = 𝟗𝟗 nhưng do ta chọn y=100 nên 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏 = 𝒚 − 1 Như vậy nhân tử chung của PT (1) là 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 Cách 2: sử dụng... chính thức: ĐKXĐ: 𝑥 ≥ −2, 𝑦 ≤ 4 Xét PT (1): (1)⇔ 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 ⇔ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟖 ⇔ (𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒚 − 𝟐)𝟑 ⇔ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 15 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Thay vào PT (2) ta được: √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 (3) Giải PT (3): (3)⇔ √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐... “chém” PT (3) thôi: (3)⇔ 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 ⇔ (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 0 ⇔ 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 (𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 =𝟎 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 18 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒄) ⇔ 𝟏 𝟏 + = 𝟎 (𝒅) (𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 Như vậy đã xuất hiện nhân tử chung rồi, bây chỉ còn xử lỹ cái PT. .. – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 27 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ 𝒙 = 𝟐(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ) (𝒙 + 𝟒)(√𝒙 + 𝟐 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟏)[(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐] (𝒂) 3+√13 là xong thôi Chắc chắn 2 Đó như vậy đã xuất hiện nghiệm x=2 rồi bây chỉ còn nghiệm x= rằng nghiệm này sẽ là nghiệm của PT (a) và bây giờ ta đi giải PT (a) là sẽ ra Các bạn để ý PT (a) mà xem ta thấy 2 vế độc lập 2 biểu thức √𝒙 +... tôi lấy bằng 1 và ấn = Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 29 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây giờ màn hình máy hiện kết quả như hình bên tức là X=1 là nghiệm của PT đã cho Bấm ◀ để quay về màn hình lúc ban đầu Bây giờ các chia nghiệm X=1 của PT đi để xem PT đã cho có còn nghiệm nào nữa không và được kết quả như hình bên Nhớ phải có đóng mở ngoặc... ⇒ 𝒙 = √𝒚 + 𝟏 ⇔ { 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏 Thay vào PT (2) ta được: 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) (𝟑) Giải PT (3): (3) ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) ⇔ 𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏) Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 23 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ 𝒙 = 𝟏(𝒕𝒎đ𝒌 𝒙 ≥ 𝟎) ⇒ 𝒚 = 𝟎(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ) 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝟒) Giải PT (4): (4)⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 ⇔... bây giờ chúng ta sẽ đi giải nghiệm của PT 2𝑥 2 + 5𝑥 − 8 = 0 thì sẽ ra nghiệm A, B ngay như sau: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = −𝟓±√𝟖𝟗 𝟒 −𝟓+√𝟖𝟗 Đó thế là ra rồi: nghiệm A= 𝟒 = 𝟏, 𝟏𝟎𝟖𝟒𝟗𝟓𝟐𝟖𝟑 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 31 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT −𝟓−√𝟖𝟗 và nghiệm B= 𝟒 − 𝟑, 𝟔𝟎𝟖𝟒𝟗𝟓𝟐𝟖𝟑 Bây giờ chúng ta sẽ đi tách PT đã cho theo nhân tử (𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙𝟐 + ... https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 30 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây máy kết hình bên tức nghiệm lẻ X =-3 ,6 084 95 283 nghiệm PT cho Các bạn gán nghiệm X =-3 ,6 084 95 283 vào biến B máy cách... https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Y 10 X 0,5 0,707106 781 2 0 ,86 602540 38 1,414213562 Nếu người sử dụng máy tính thành thạo hay quen với số dễ dàng thấy 0,707106 781 2= √2 , 0 ,86 602540 38= ... https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 18 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT