Giải PT bằng cách đưa về hệ PT

vn to an ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nguyễn Tất Thu12 uy en Khi giải hệ phương trình nói riêng giải toán nói chung, ta thường tìm cách làm giảm số ẩn cần tìm Lúc toán dễ giải Tuy nhiên nhiều toán giải phương trình việc đưa thêm vào số ẩn phụ (tức tăng số ẩn cần tìm lên) lại giúp cho ta giải toán tốt Ví dụ Giải phương trình √ √ 3+x+ 6−x=3+ (3 + x)(6 − x) Lời giải Phương trình có cách giải Ta thấy vế trái phương trình tổng hai thức, vế phải chứa tích hai thức ta nhận thấy hai thức vế trái có quan hệ tổng bình phương chúng (tức hai thức có hai quan √ hệ là√từ phương trình cho, hai tổng bình phương 9), ta đặt a = x + 3, b = − x ta có hệ phương trình nl a + b = + ab a2 + b = Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta (a, b) = (0, 3) (3, 0) /o • Với a = 3, ta tìm x = • Với a = 0, dễ dàng tính x = −3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = −3 :/ Nhận xét Khi gặp phương trình có dạng F f (x), n a + f (x) v = ta đặt u = n m a + f (x), m b − f (x) = c, (I) b − f (x) để đưa toán việc giải hệ phương trình G(u, v) = c un + v m = a + b Giải hệ ta tìm u, v Từ suy giá trị x ht Chú ý Khi tìm u, v để tìm x ta cần giải hai phương trình m b − f (x) = v n a + f (x) = u Trường THPT Lê Hồng Phong, thành phố Biên Hòa, tỉnh Đồng Nai Bài viết trình bày lại chương trình soạn thảo LaTeX can_hang2007 Đề nghị bạn ghi rõ nguồn http://onluyentoan.vn đăng tải trang web khác Ví dụ Giải phương trình √ 24 + x + √ 12 − x = u+v =6 ⇔ u3 + v = 36 12 Đặt u = √ 24 + x v = √ 12 − x ye nt oa n Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa x √ Dễ thấy u 36, v Ta có hệ phương trình Nguyễn Tất Thu v =6−u u(u2 + u − 12) = v =6−u ⇔ u3 + (6 − u)2 = 36 √ 36 u = 0, u = u = −4 Từ ta Phương trình u(u2 + u − 12) = có ba nghiệm tìm x = −24, x = −88, x = Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = −24, x = −88, x = Ví dụ Giải phương trình Lời giải Điều kiện: x √ 17 − x = √ √ 17 Đặt a = x, b = 17 − x (a, b √ a+b=3 a+b=3 ⇔ a4 + b4 = 17 x+ (a + b) − 2ab 2 − 2a b = 17 ⇔ 0) Ta có hệ a+b=3 a2 b2 − 18ab + 32 = /o nl u Từ phương trình thứ hai hệ phương trình cuối, ta tìm ab = ab = 16 Nghiệm a+b = 94 < 16 Vậy ta phải có ab = 16 bị loại theo giả thiết ta phải có ab a+b=3 ab = Giải hệ ta có (a, b) = (1, 2) (2, 1) Từ tính x = x = 16 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1, x = 16 Ví dụ Giải phương trình (∗) 2x − 1, ta thấy y + = 2x Vậy ta có hệ phương trình :/ Lời giải Đặt y = √ √ x3 + = 2x − x3 + = 2y y + = 2x Trừ hai phương trình hệ, ta x3 − y = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x2 + xy + y + 2) = ⇔ x = y, x2 + xy + y + = x + ht y 2 + 3y + > Thay vào hệ ta có  x + = 2x ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = ⇔  √ Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = − 1+2 , x = √ 5−1 x=1 −1 ± x= √ Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Chú ý ye nt oa n • Ta giải toán cách sau: √ √ (∗) ⇔ x3 + 2x = 2x − + 2x − ⇔ f (x) = f 2x − , với f (t) = t3 + 2t Dễ thấy f (t) hàm đồng biến R nên từ ta có √ x = 2x − ⇔ x3 − 2x + = • Dạng tổng quát toán f (x) n + b = a n af (x) − b Để giải phương trình này, đặt t = f (x), y = n af (x) − b, ta có hệ tn + b = ay y n + b = at Đây hệ đối xứng loại II với hai ẩn t y • Khi thay a, b, f (x) số ta có toán phương trình Ví dụ Giải phương trình Lời giải Điều kiện: x −3 Ta có phương trình cho tương đương 2(x + 1)2 − = Đặt t = x + 1, y = x+3 /o nl u 2x2 + 4x = x+1 (x + 1) + ⇔ (x + 1)2 − = 2 t +1= x+1 + + 1, suy y − = 2t Vậy ta có hệ :/  y   t2 − = t   y2 − = Trừ vế hai phương trình, ta t2 − y = từ suy t = y t + y + ht • Với t = y y−t ⇔ (t − y) t + y + 2 = 0, = 0, ta có hệ phương trình tương đương  √  t2 − = t 2t2 − t − = + 17 ⇔ ⇔t= t = y t Với giá trị t vừa tìm này, ta tính x = √ 17−3 (thỏa x −3) (II) Nguyễn Tất Thu √ ye nt oa n • Với y = −t − 21 , hệ phương trình ta trở thành   t  √   t+  4t + 2t − = −1= 13 + 2 ⇔ ⇔t=−  t −  t − 2 Từ ta tìm x = − 5+4 13 (thỏa x −3) √ Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình 17−3 √ x = − 5+4 13 √ x2 − x − 1000 + 8000x = 1000 Lời giải Điều kiện: x − 8000 Phương trình cho tương đương √ 4x2 − 4x − 4000 = 4000 + 8000x ⇔ (2x − 1)2 − 4001 = 4000 4000(2x − 1) + 4001 √ 4001 Đặt u = 2x − 1, v = + 8000x, dễ thấy v 0, u − 4000 Ta có hệ phương trình u2 − 4001 = 4000v ⇔ v − 4001 = 4000u u2 − 4001 = 4000v u2 − v = 4000(v − u) /o nl u u2 − 4001 = 4000v (1) (u − v)(u + v + 4000) = (2) ⇔ Do u + v + 4000 > nên từ (2) ta có u = v Thay vào (1), ta u2 − 4000u − 4001 = ⇔ u = 4001 u Từ ta tìm x = 2000 (thỏa x − 8000 ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2000 :/ Chú ý Ở (II) ta thay số b biểu thức g(x) ta giải phương trình cách làm tương tự Ví dụ Giải phương trình Lời giải Điều kiện: x √ 4x2 + 7x + = x + −2 Ta có (∗) ⇔ (2x + 1)2 + 3x = 2(2x + 1) − 3x ht Đặt t = 2x + 1, y = √ 2t − 3, ta có y + 3x = 2t y Như ta có hệ t2 + 3x = 2y ⇒ (t − y)(t + y + 2) = 0, y + 3x = 2t từ suy y = t y = −t − (∗) Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình • Với y = t, hệ phương trình trở thành   4x + 3x − = t − 2t + 3x = ⇔ ⇔x= x − t ye nt oa n • Xét trường hợp y = −t − Lúc hệ phương trình ta viết lại sau  2  4x + 11x + = t + 3x + 2(t + 2) = ⇔ ⇔x=− x − t −2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 47 , x = 41 Ví dụ Giải phương trình 8x3 − 4x − = √ 6x + Lời giải Phương trình cho tương đương (2x)3 − 4x − = Đặt u = 2x, v = √ 2x + 4x + √ 2x + 4x + 1, ta có hệ phương trình u3 − v = v − u ⇔ u3 − 4x − = v /o nl u u3 − 4x − = v ⇔ v − 4x − = u (u − v)(u2 + uv + v + 1) = u3 − 4x − = v u=v ⇔ 8x3 − 6x = u − 4x − = u ⇔ (1) Nếu |x| > |8x3 − 6x| = 2|x|(4x2 − 3) > nên (1) vô nghiệm Do ta phải có |x| Điều cho phép ta đặt x = cos t với t ∈ [0, π] Khi phương trình (1) viết lại thành cos 3t = π 5π 7π ⇔ t1 = ∨ t2 = ∨ t3 = 9 :/ Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = cos π9 , x = cos 5π , x = cos 7π 9 Ví dụ Giải phương trình 7x2 − 13x + = 2x2 x(1 + 3x − 3x2 ) Lời giải Dễ thấy x = không nghiệm phương trình cho Xét trường hợp x = Chia hai vế phương trình cho x3 , ta ht 13 3 − + =2 + − x x x x x Đặt t = x1 , ta có √ 8t3 − 13t2 + 7t = t2 + 3t − ⇔ (2t − 1)3 − (t2 − t − 1) = 2(2t − 1) + (t2 − t − 1) Đặt u = 2t − 1, v = 2(2t − 1) + t2 − t − 1, ta có hệ phương trình Nguyễn Tất Thu Do u2 + uv + v + > nên ta có u = v ⇔ 2t − = ye nt oa n u3 − t2 + t + = 2v ⇒ u3 − v = 2v − 2u ⇔ (u − v)(u2 + uv + v + 2) = v − t + t + = 2u √ t + 3t − ⇔ 8t3 − 13t2 + 3t + = ⇔ (t − 1)(8t2 − 5t − 2) = Giải phương trình cuối ta tìm ba nghiệm t1 = 1, t2 = Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = 1, x = 16 √ , 5− 89 √ 5− 89 , 16 x= t3 = √ 5+ 89 16 16 √ 5+ 89 Những ví dụ ta thay b (II) biểu thức chứa x Vậy thay a biểu thức chứa x nào? Ta giải theo cách hay không? Ta xét ví dụ sau Ví dụ 10 Giải phương trình √ 4x2 − 11x + 10 = (x − 1) 2x2 − 6x + Lời giải Phương trình cho viết lại thành Đặt u = 2x − 3, v = /o nl u (2x − 3)2 + x + = (x − 1) (x − 1)(2x − 3) − x − (x − 1)(2x − 3) − x − Ta có hệ phương trình u2 + x + = (x − 1)v ⇒ u2 − v = (x − 1)(v − u) ⇔ (u − v)(u + v + x − 1) = v + x + = (x − 1)u Từ suy u = v u + v + x − = • Với u = v, ta có :/ u2 + x + = (x − 1)u ⇔ (2x − 3)2 + x + = (x − 1)(2x − 3) ⇔ 2x2 − 6x + = Phương trình vô nghiệm ht • Với u + v + x − = 0, ta có √ √ 2x − + 2x2 − 6x + + x − = ⇔ 2x2 − 6x + = − 3x  x ⇔  7x − 18x + 44 = Hệ vô nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Như (II) ta thay a b biểu thức chứa x ta có cách giải tương tự Với cách làm tạo phương trình hay khó Ta xét ví dụ sau ye nt oa n Ví dụ 11 Giải phương trình 8x2 − 13x + = 1+ x √ 3x2 − Lời giải Phương trình cho tương đương √ 8x3 − 13x2 + 7x = (x + 1) 3x2 − ⇔ (2x − 1)3 − (x2 − x − 1) = (x + 1) (x + 1)(2x − 1) + x2 − x − Đặt u = 2x − 1, v = (x + 1)(2x − 1) + x2 − x − 1, ta có hệ phương trình u3 − (x2 − x − 1) = (x + 1)v v − (x2 − x − 1) = (x + 1)u Trừ vế hai phương trình, ta u3 − v = (x + 1)(v − u) ⇔ (u − v)(u2 + uv + v + x + 1) = Chú ý 3u2 3u2 +x+1 +x+1 4 4x2 + 2(2x − 1)2 + = (2x − 1)2 + x + = > 0, 4 nên từ ta có u 2 + /o nl u u2 + uv + v + x + = v + √ 3x2 − ⇔ 8x3 − 15x2 + 6x + =  x=1 ⇔ (x − 1)(8x2 − 7x − 1) = ⇔  x=− Vậy phương trình cho hai nghiệm x = 1, x = − :/ u = v ⇔ 2x − = Ví dụ 12 Giải phương trình √ √ √ − x2 + x2 + x − + − x = √ ht x Ta thấy tổng biểu thức nên ta Lời giải Điều kiện: 5−1 √ √ √ đặt a = − x2 , b = x2 + x − 1, c = − x, a, b, c 0, ta có hệ   a + b + c = a2 + b4 + c6 =   a, b, c Do a, b, c a + b + c = nên ta có a2 + b + c a, b, c 1, suy a2 a + b + c = a, b4 b, c6 c Do Như hệ tương đương với ye nt oa n   a = a b = b4 ⇔ x =   c = c6 Nguyễn Tất Thu Kết luận: phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 13 Giải phương trình √ √ √ √ √ √ x = − x − x + − x − x + − x − x √ √ √ Lời giải Điều kiện: x Đặt a = − x, b = − x, c = − x, a, b, c hệ phương trình   ab + bc + ca = − a    (a + b)(a + c) =  ab + bc + ca = − b ⇔ (b + c)(b + a) =     (c + a)(c + b) = ab + bc + ca = − c2 Ta có Nhân tương ứng ba phương trình hệ phương trình cuối lấy bậc hai hai vế ta √ (a + b)(b + c)(c + a) = 15 /o nl u Mà (a + b)(b + c)(c + a) = 3(b + c) = 4(c + a) = 5(a + b) nên ta có   23      a= √ a + b =     15       17 671 ⇔ b= √ ⇔x= b + c =   240 15           15  c = √ c + a = 15 ht :/ Vậy phương trình cho có nghiệm x = 671 240 ...  x ⇔  7x − 18x + 44 = Hệ vô nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Như (II) ta thay a b biểu thức chứa x ta có cách giải tương tự Với cách làm tạo phương trình... vào hệ ta có  x + = 2x ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = ⇔  √ Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = − 1+2 , x = √ 5−1 x=1 −1 ± x= √ Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Chú ý ye nt oa n • Ta giải toán cách. .. Để giải phương trình này, đặt t = f (x), y = n af (x) − b, ta có hệ tn + b = ay y n + b = at Đây hệ đối xứng loại II với hai ẩn t y • Khi thay a, b, f (x) số ta có toán phương trình Ví dụ Giải